CC BY
38
УДК 577.3
Ю.М. Давыдов Е.И. Гусев 2, И.М. Давыдова 3, М.Ю. Мартынов 4
Национальная Академия прикладных наук России 1 Российская академия медицинских наук 2 Институт механики и экологии 3 Российский государственный медицинский университет 4
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МОЗГОВОГО КРОВОТОКА МЕТОДОМ КРУПНЫХ ЧАСТИЦ
Abstract
A numerical modeling of the blood flows in the brain is realized by using Large-Particles Method. The boundary and zero-time conditions are obtained from Doppler ultrasound clinical measurements. The problem of blood rheoiogy is discussed. The region of bifurcation of carotid is investigated. In this region, where common carotid is divided by internal carotid and external carotid, the blood flow has three-dimensional type.
Проведено комплексное исследование, которое позволило численно промоделировать течение крови в артериях головного мозга и, в частности, в окрестности области бифуркации сонной артерии человека [1-5]. Структура артерий головного мозга описана в ряде отечественных и зарубежных монографий [6-8 и др.]. На рис. I приведена схема сосудов, питающих головной мозг человека, взятая из [4]. На правой стороне этого рисунка видна общая сонная артерия (Common Carotid), разветвляющаяся в области бифуркации на внутреннюю сонную артерию (Internal Carotid) и внешнюю сонную артерию (External Carotid). В области бифуркации канал общей сонной артерии разделяется на два канала существенно разной толщины: диаметр внутренней сонной артерии значительно больше диаметра внешней сонной артерии. С гидродинамической точки зрения данная задача аналогична задаче о течении жидкости в окрестности точки
разветвления трубопроводов (например, в жидкостной системе охлаждения атомных реакторов).
На рис. 2 изображён реальный вид этих артерий в окрестности области бифуркации (Б): общая сонная артерия (ОСА), внутренняя сонная артерии (ВнутрСА) и внешняя сонная артерия (ВнешСА).
мозг человека
Передняя мозговая
Задняя мозговая
Передняя соединительная Средняя мозговая
Задняя соединительная
Внутренняя сонная Основная Наружная сонная
Общая сонная Позвоночная
Подключичная
Плече-го-Повной
ствол
(безымянная
артерия)
Дуга аорты
Рис. 1. Схема сосудов, питающих головной
Рис. 2. Вид артерий в окрестности области бифуркации
Изучение кровотоков в сосудах головного мозга весьма актуально и представляет собой сложную задачу. В [4, 5] обсуждается постановочная часть численного эксперимента по изучению гемодинамики в сосудах головного мозга с помощью метода крупных частиц - наиболее мощного современного метода вычислительного эксперимента. Этот метод был предложен в нашей стране одним из авторов настоящей статьи и стал в прямом смысле энциклопедическим: вошёл во все математические энциклопедии мира [9-11 и др.]. С помощью метода крупных частиц решены многие сложнейшие нелинейные задачи науки и техники [12 и др.].
С геометрической точки зрения постановка данной задачи о течении в окрестности точки бифуркации общей сонной артерии включает в себя следующую иерархию моделей:
1) рассмотрение соединения под надлежащими углами трёх жёстких круглых труб соответствующих калибров,
2) рассмотрение соединения грех гидроупругих труб,
3) соединение каналов с усложнённой геометрией (например, с учётом конфигурации склеротической бляшки).
Любая сложная геометрия сосудов (в том числе с патологическими изменениями) может быть описана с помощью предложенной одним из авторов данной статьи методики дробных ячеек [13].
Численный эксперимент проводится методом крупных частиц [9 ~ 11]. Используется электрически нейтральная физическая модель (без учёта электрических зарядов частиц крови и стенок сосудов). Стенки сосудов предполагаются жёсткими с
неизменной геометрией. Так как скорость течения крови в общей сонной артерии (=30 см/с) существенно дозвуковая, то при постановке краевых условий в начальном и выходном сечениях для обеспечения вычислительной устойчивости целесообразно использовать правый и левый инварианты Римана [14].
При реализации численного эксперимента необходимо свойства крови определить как с качественной, так и с количественной точек зрения. Нужно знать, к какому типу жидкостей принадлежит кровь, чтобы выбрать адекватную реологическую модель. Далее нужно получить количественные коэффициенты реологических констант (например, вязкости).
Рядом отечественных и зарубежных авторов [15 и др.] приводятся различные данные по механическим свойствам крови. При этом движение крови в крупных и средних сосудах считается этими авторами ламинарным. Молекулярная вязкость определяется эффектами обмена импульсом и энергией на микроуровне [16, 17]. В реальных течениях, в том числе при кровотоке в крупных и средних сосудах, обмен обычно существенно более интенсивен и определяется турбулентным переносом.
Существуют традиционные методы определения вязкости крови. Однако вязкость, определяемая в визкозиметрах, соответствует вязкости не собственно крови, текущей в кровеносных сосудах живого организма, а вязкости некоторой искусственно созданной дисперсной среды. Дело в том, что кровь, взятая для анализа, быстро свёртывается и её нельзя непосредственно ввести в визкозиметр. Первые нити фибрина в извлечённой из здорового организма крови появляются через 2 минуты, полное свёртывание крови заканчивается через 5 минут. Для сохранения крови в жидком состоянии в неё необходимо ввести антисвёртывающий препарат (например, гепарин). При этом в дальнейшем мы будем с необходимостью исследовать вязкость не чистой крови, а смеси крови с антисвёртывающим препаратом.
В результате проведённых авторами физических экспериментов были определены нелинейные характеристики вязкости крови и её плазмы в зависимости от концентрации введения в кровь гепарина. Некоторые результаты приведены ниже в таблицах (табл. 1 - табл. 3).
В табл. 1 вязкость определялась в ротационном визкозиметре при большой скорости сдвига (128 1/с). Это соответствует условиям течения крови в крупных сосудах.
В табл. 2 вязкость определялась в ротационном визкозиметре при умеренной скорости сдвига (28 1/с), что соответствует условиям течения крови в мелких сосудах.
В обоих случаях как для крупных (табл. 1), так и для мелких сосудов (табл. 2) мы наблюдаем чёткий максимум вязкости гидровзвеси «кровь - гепарин» при определённой концентрации гепарина. Отметим, что этот максимум отчётливо проявляется в крови всех доноров, сдавших свою кровь для исследования. Возраст доноров варьировался в широких пределах.
Исследование зависимости вязкости плазмы крови от концентрации вводимого гепарина дало качественно аналогичные результаты. Для плазмы максимум вязкости достигается при несколько большем значении концентрации гепарина (0,0077). В целом вязкость плазмы, как и следовало ожидать, в несколько раз меньше вязкости крови. Это происходит оттого, что в плазме отсутствуют форменные элементы крови.
Таблица 1
Зависимость вязкости крови от концентрации гепарина для большой скорости сдвига
Номер пробы крови Объём взятой крови (мл) Объём введённого гепарина (мл) Вязкость крови |Х-10 [П] = = И [СП] Концентрация гепарина Относительная вязкость крови
1 4 0,01 4,668 0,002494 0,9739203
4 0,05 4,793 0,012346 1
4 0,09 4,657 0,022005 0,971625287
4 0,13 4,498 0,031477 0,938451909
2 4 0,01 4,94 0,002494 0,97320725
4 0,05 5,076 0,012346 1
4 0,09 4,953 0,022005 0,975768322
4 0,13 4,849 0,031477 0,955279748
3 4 0,01 4,226 0,002494 0,973957133
4 0,05 4,339 0,012346 1
4 0,09 4,158 0,022005 0,958285319
4 0,13 4,09 0,031477 0,942613505
4 4 0,01 5,008 0,002494 0,96511852
4 0,05 5,189 0,012346 1
4 0,09 4,989 0,022005 0,961456928
4 0,13 4,793 0,031477 0,923684718
5 4 0,01 6,424 0,002494 0,974218987
4 0,05 6,594 0,012346 1
4 0,09 6,401 0,022005 0,970730968
4 0,13 6,278 0,031477 0,952077646
6 4 0,01 4,457 0,002494 0,969334493
4 0,05 4,598 0,012346 1
4 0,09 4,413 0,022005 0,959765115
4 0,13 4,291 0,031477 0,93323184
В табл. 3 для контроля приведены вязкости крови для новой группы доноров (для скорости сдвига 128 1/с) с иными, чем в табл. 1, концентрациями гепарина.
В табл.! - табл. 3 приведены относительные вязкости крови, равные частному от деления вязкости исследуемого образца на максимальную вязкость крови данного донора при концентрации гепарина, равной, как отмечалось выше, 0,005.
При дальнейшем уменьшении концентрации гепарина (< 0,0025) вначале по-прежнему заметно снижение величины вязкости, хотя градиент уменьшается и в дальнейшем становится нулевым (при концентрации гепарина ~ 0.00215).
Экспериментально выявленная сложная нелинейная зависимость чётко соответствует физике процесса и логически непротиворечива. Из физических соображений следует, что в «нулевой точке отсчёта», где концентрация гепарина равна минимальному физиологическому уровню живого организма, вязкость крови будет больше, чем при введении дополнительного гепарина. Так как гепарин уменьшает вязкость, то при его введении вязкость жидкостной системы «кровь - гепарин» будет уменьшаться, что мы и наблюдаем при малых концентрациях гепарина. В некоторой точке будет достигнут минимум вязкости. При дальнейшем увеличении концентрации гепарина эффект разведения нивелируется биохимическими реакциями и наблюдается
аномальное возрастание вязкости крови с увеличением доли гепарина в смеси. Далее вновь вязкость крови понижается по мере увеличения доли г епарина.
Таблица 2
Зависимость вязкости крови от концентрации гепарина для небольшой скорости сдвига
Номер Объём Объём Вязкость Концентрация Относительная
пробы взятой введенного крови гепарина вязкость
крови крови (мл) гепарина (мл) ц-Хи [П] =» = исщ крови
1 4 0,01 6,049 0,002494 0,950353496
4 0,05 6,365 0,012346 1
4 0,09 6,052 0,022005 0,950824823
4 0,13 5,839 0,031477 0,917360566
2 4 0,01 6,838 0,002494 0,970204313
4 0,05 7,048 0,012346 1
4 0,09 6,891 0,022005 0,977724177
4 0,13 6,68 0,031477 0,947786606
3 4 0,01 5,418 0,002494 0,990493601
4 0,05 5,47 0,012346 1
4 0,09 5,207 0,022005 0,951919561
4 0,13 5,155 0,031477 0,942413163
4 4 0,01 6,9961 0,002494 0,977231457
4 0,05 7,159 0,012346 1
4 0,09 6,962 0,022005 0,97248219
4 0,13 6,728 0,031477 0,939796061
5 4 0,01 9,152 0,002494 0,966624419
4 0,05 9,468 0,012346 1
4 0,09 9,099 0,022005 0,961026616
4 0,13 8,894 0,031477 0,939374736
6 4 0,01 6,672 0,002494 0,979304271
4 0,05 6,813 0,012346 1
4 0,09 6,529 0,022005 0,958314986
4 0,13 6,397 0,031477 0,938940261
Таблица 3
Зависимость вязкости крови от концентрации гепарина для большой скорости сдвига и
новой группы доноров
Номер пробы крови Объём взятой крови (мл) Объём введённого гепарина (мл) Концентрация гепарина Вязкость крови |дЛ0 [П] = = ц ГСП] Относительная вязкость крови
1 4 0,01 0,002494 4,361 0,990011
4 0,02 0,004975 4,405 1
4 0,03 0,007444 4,373 0,992736
4 0,04 0,009901 4,299 0,975936
2 4 0,01 0,002494 4,426 0,974675
4 0,02 0,004975 4,541 1
4 0,03 0,007444 4,457 0,981502
4 0,04 0,009901 4,396 0,968069
Важным экспериментальным средством исследования кровотока является ультразвуковая доплерография [18-20 и др.]. Она позволяет проводить сканирование крупных и средних кровеносных сосудов и определять скорости кровотока. При этом могут быть обнаружены особенности кровотока: зоны аномально турбулизированных областей за склеротическими бляшками и т.п. Эти данные могут служить тестами при численном моделировании кровотока. На рис. 3 - 4 приведены результаты
доплерографии, проведённые одним из авторов. На рис. 3 показан кровоток во внутренней сонной артерии (дан вариант кровотока при наличии в сосуде склеротических бляшек). Разным оттенкам на рисунках соответствуют разные величины скорости. Видно, что за бляшками реализуется зона с пониженными величинами модулей скоростей (тёмная область). На рис. 4 показано турбулентное течение в изгибе позвоночной артерии (резко меняющаяся от точки к точке гамма оттенков).
Рис. 3. Кровоток во внутренней Рис.4. Турбулентное течение в изгибе
сонной артерии позвоночной артерии
В расчётах методом крупных частиц диаметр общей сонной артерии варьировался в пределах 10-12 мм, диаметр наружной сонной артерии - 5-7 мм, диаметр внутренней сонной артерии — 9-10 мм.
Авторами были проведены многочисленные расчёты. Отмечена вихревая структура потока в окрестности места ветвления сосудов. В пристеночном слое преобладает плазма, в которой клетки крови - единичные эритроциты, - ориентированы параллельно продольному сечению сосуда. Некоторыми авторами допускается формирование из нескольких эритроцитов так называемых "монетных столбиков” (слипание эритроцитов) при движении в крупных сосудах. В этом случае данные дисперсные частицы с соответствующими линейными размерами буду!' представлять ещё одну компоненту несомой среды.
Рассмотрим вначале ламинарный режим течения крови (рис. 5) на прямолинейном (неискривлённом) участке кровеносного сосуда радиусом Я. В этом случае реализуется течение Пуазейля (рис. 5, рис. 6, а) с параболическим распределением скоростей по радиусу [16. 17]:
и(у) = (Р\ ~рт)(&г ^)/(Ац1).
В случае турбулентного течения распределение скоростей по поперечному сечению кровеносного сосуда становится существенно более равномерным (рис. 6,6). Это происходит потому, что в турбулентной среде производится гораздо более интенсивный обмен импульсами в поперечном направлении и реализуется существенное перемешивание разных слоев текущей крови. Уровень турбулентного обмена на много порядков превышает уровень молекулярного обмена, определяющего ламинарное течение.
Рис.5. Ламинарный режим течения крови
Рис.6. Распределение скорости течения крови по радиусу кровеносного сосуда: а) для ламинарного (параболическое распределение) и б) для турбулентного течений
а б
Рис.7. Распределение скоростей течения крови на криволинейных участках кровеносных сосудов: а) в диаметральном и б) в поперечном сечениях
На криволинейных участках кровеносных сосудов характер течения крови существенно усложняется. На рис, 7 приведено распределение скоростей в диаметральном сечении на изогнутом участке кровеносного сосуда (левая часть рисунка). В правой части этого же рисунка показана структура течения крови в поперечном сечении. Вследствие вязкостного пристеночного торможения скорость течения крови вблизи стенок кровеносного сосуда меньше, чем в его середине. Поэтому величина центробежной силы, действующей на частицы крови на изогнутом участке, больше для быстрых частиц крови, первоначально движущихся в середине кровеносного сосуда. Из-за этого возникает вторичное течение, направленное от внутреннего к внешнему радиусу в середине кровеносного сосуда и от внешнего радиуса к внутреннему радиусу на периферии кровеносного сосуда (см. рис. 7). При этом распределение скоростей в диаметральном сечении качественно меняется: максимум продольной скорости смещается из центра кровеносного сосуда к его наружному радиусу (см. рис.7).
Библиографический список
1. Давыдов Ю.М., Гусев Е.И., Давыдова И.М., Мартынов М.Ю. Фундаментальные проблемы моделирования задач гемодинамики // Наука и технология углеводородов. - 2000. - № 6(13). - С. 183-191.
2. Давыдов Ю.М., Гусев Е.И. Фундаментальные проблемы математического моделирования мозгового кровообращения II VIII Всероссийский съезд неврологов. - Казань, 2001. - С. 229-230.
3. Давыдова И.М., Мартынов М.Ю. Численное моделирование течения крови в мозговых артериях // VIII Всероссийский съезд неврологов. - Казань, 2001.
4. Давыдов Ю.М., Гусев Е.И.. Моделирование задач гемодинамики методом крупных частиц // Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред: Тр. III Междунар. конгресса. - М.: Нефть и газ, 2000. - С. 28-30.
5. Давыдова И.М., Мартынов М.Ю. К постановке задачи о численном исследовании течения крови в области бифуркации сонной артерии методом крупных частиц Я
Актуальные проблемы механики сплошных и сыпучих сред: Тр. III Междунар. конгресса. - М.: Нефть и газ, 2000. - С. 38-40.
6. Гусев Е.И., Коновалов A.H., Бурд Г.С. Неврология и нейрохирургия. - М.: Медицина, 2000. - 656 с.
7. Гусев Е.И., Скворцова В.И., Чекнева Н.С. и др. Лечение острого мозгового инсульта (диагностические и терапевтические алгоритмы) / Всероссийское общество неврологов, Рос. гос. мед. ун-т. - М., 1997. - 28 с.
8. Гусев Е.И. Карлов В.А., Мельничук П.В., Скоромец A.A. и др. Болезни нервной системы. Т. 1 / Под ред. П.В. Мельничука. - М.; Медицина, 1982. - 368 с.
9. Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод // Математическая энциклопедия. Т. 3. - М.: Советская энциклопедия, 1982. - С. 125-129.
10. Давыдов Ю.М. Крупных частиц метод // Математический энциклопедический словарь. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - С. 303-304. / В кн.: Математика. Большой энциклопедический словарь. Изд-е 3-є. — М.: Российская энциклопедия, 2000. - С. 303-304.
11. Davydov Yu.M. Large-Particle Method // Encyclopaedia of Mathematics. Vol.5. -Dordrecht / Boston / London : Kluver Academic Publishers, 1990. - P, 358-360.
12. Давыдов Ю.М., Алабужев П.М., Давыдова И.М. и др. Численное исследование актуальных проблем машиностроения и механики сплошных и сыпучих сред методом крупных частиц. Т.1 - Т.5 / Под ред. Ю.М. Давыдова. - М.: НАПН, 1995. -1658 с,
13. Давыдов Ю.М. Расчёт обтекания тел произвольной формы методом крупных частиц // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 1971. -T. XI.-№4.-С. 1056-1063.
14. Давыдов Ю.М., Постановка граничных условий с помощью инвариантов Римана. -М.: Изд-во ин-та механики и экологии, 1998. - 17 с.
15. Clinical Blood Rheology. Vol. 2. / Editor G. Lowe. - CRC Press, 1988.
16. Кикоин A.K., Кикоин И.K. Молекулярная физика. Изд-е 2-е, перераб. - М.: Наука, 1976. -480 с.
17. Лойцянский Л.Г. Механика жидкостей и газа. Изд-е 6-е, перераб. и доп. - М.: Наука, 1987. - 840 с.
18. Гусев Е.И., Коновалов A.H., Мартынов М.Ю. и др. Методы исследования в неврологии и нейрохирургии / Под ред. Е.И. Гусева. - М.: Нолидж, 2000. - 336 с.
19. Никитин Ю.М., Стрижаков А.Н., Стулин И.Д. и др. Ультразвуковая допплеровская диагностика сосудистых заболеваний / Под ред. Ю.М. Никитина и А.И. Труханова. - М.: Видар, 1998. - 432 с.
20. Atkinson P., Woodcock J. Doppler Ultrasound and its Use in Clinical Measurement. -London / New York / Paris / San Diego / San Francisco / Sao Paulo / Sydney / Tokyo / Toronto: Academic Press, 1982. - 288 p.
Получено 06.06.2002
