Численное моделирование массопереноса при сверхкритической флюидной экстрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 66.061.3/66.011

А. Г. Егоров, А. Б. Мазо, Р. Н. Максудов, Е. Н. Тремасов, В. А. Аляев

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МАССОПЕРЕНОСА ПРИ СВЕРХКРИТИЧЕСКОЙ ФЛЮИДНОЙ ЭКСТРАЦИИ

Ключевые слова: сверхкритическая экстракция; численная модель; параметры модели; маслосодержщее ядро; фронт истощения; диффузионное сопротивление; дисперсия.

Предложена и реализована численная модель, описывающая в полной постановке процесс сверхкритической флюидной экстракции в зернистом слое сферических частиц растительного сырья. Исследовано влияние параметров модели на характеристики процесса экстракции.

Keywords: supercritical extraction; numerical model; model parameters; oil containing core;

depletion front; diffusive resistance; dispersion;

Numeric model is offered and realized describing in full positing the process of supercritical fluid extraction in seed layer of spherical particles of plant raw material. The influence of model parameters on extraction process is investigated.

Математическая модель «сужающегося ядра» [1] для расчета процессов сверхкритической флюидной экстракции в зернистом слое сферических частиц растительного сырья построена в работах [2, 3]. При этом использовались лабораторные данные извлечения масла из семян амаранта сверхкритическим диоксидом углерода [4]. В этой модели, записанной в безразмерной форме, все параметры процесса выражаются через две функции: координату фронта истощения растительной частицы R и концентрацию раствора масла в потоке флюида в камере аппарата С. Там же получено аналитическое решение задачи в упрощенной формулировке. В общей постановке функции C и R удовлетворяют следующей краевой задаче для системы двух дифференциальных уравнений:

_ дС д (_ _ дСЛ h(R)R и _ч . . .

8— + — 1С-8d— 1 = —/ v—(1 - С), t > 0, 0 < z < H;

< dt dz { d dz J 1 -(1 -8p )R

дС дС

t = 0: С(z) = 1; z = 0: С -8d — = 0, z = H : 8d — = 0.

дz дz

(1)

-R

1 -0 ~5р ) )§=^) (1 -с )■ ? >0; (2)

К (2,0) = 1.

Здесь t - время, 2 - координата, направленная вдоль оси экстрактора Граничное условие в

(1) при 2 = 0 отражает факт равенства нулю полного потока масла на входе в экстрактор; «мягкое» граничное условие при 2 = Н обеспечивает свободный, чисто конвективный, вынос раствора масла из выходного сечения аппарата. Функция Хевисайда Л (!) в уравнении (1) обнуляет диффузионный поток от полностью выработанных частиц, т.е. зёрен, у которых размер ! маслосодержщего ядра сузился до нуля; эта же функция в уравнении

(2) обеспечивает неотрицательность ! .

Безразмерный параметр 5t обратно пропорционален масличности сырья; коэффициент 5j характеризует интенсивность дисперсионного потока масла; 5р выражает диффузионное сопротивление пограничного слоя на поверхности частиц зернистого слоя.

В работе [2] на основе критериального анализа было показано, что для сырья с высоким содержанием масла при типичных режимах экстракции параметры , 5j, 5p являются малыми (не превышают величин порядка 10 ). Именно это позволило отбросить соответствующие члены в модели (1), (2) и получить аналитическое решение упрощенной задачи. В данной статье используется полная постановка задачи, для ее решения применяются численные методы. Такое обобщение, с одной стороны, расширяет область применимости модели; с другой стороны, учет диффузионного и емкостного членов в уравнении (1) не только не усложняет процедуру численного решения, но даже естественно регуляри-зует упрощенную гиперболическую систему уравнений.

Для численного решения нелинейной задачи (1), (2) проведем предварительные преобразования. Введем новые переменные и функции

х = z, U = 1 - С, V = y/(R) = — -(1 - 5p ), p(R) = h{R)R, . (3) H' ' *к ' 2 \ p> ' 1 -(1 -5p)R

В терминах (3) рассматриваемая задача примет вид

„ dU 1 dQ(U) _ _ .. 5d dU . _ _

5t + + = 0, Q = U--¡j—, t > 0,0 < х < 1; (4)

dt H дх H дх (4)

t = 0: U(x) = 0; R(x) = 1; х = 0: Q = 1, х = 1: Q = U.

dV

^ = -h(R)U, V (х,0) = ^(1). (5)

При численном решении задачи (3) - (5) используется равномерная по пространству и времени сетка с шагами Ах, At и двухслойная монотонная конечно-разностная схема первого порядка. Полудискретизация по времени приводит к следующей задаче на каждом временном слое t:

¥{R ) = V, p = p(R); (6)

5U - U 1 dQ(U) ,. 0 (7)

5 ——= 0; (7)

1 At H дх

V = V -Ath (R) U. (8)

Здесь V (t) = V (t - At) . Решение этой схемы строится следующим образом.

- R находится методом дихотомии как решение первого уравнения в (6). По найденному R с помощью второго уравнения (6) рассчитывается p .

- Уравнение (7) для U после стандартной дискретизации по пространству сводится к трехдиагональной системе линейных алгебраических уравнений, которая решается методом прогонки [5].

- По формуле (8) пересчитывается функция V .

Разностная схема исследовалась на сходимость методом сгущающихся по пространству и времени сеток; при этом проводилось сравнение численного решения с точным, представленным в [2]. Результаты численных расчетов позволяют утверждать, что при Ах = 3.3 • 10-3, At = 3 • 10-4 относительная погрешность численного решения не превышает 0.5%.

Предложенная численная схема использовалась для оценки влияния параметров 8, , 5р на решение задачи. Оказалось, что при их значениях, меньших 0.01, численное

решение практически совпадает с аналитическим решением упрощенной задачи, в которой эти параметры приняты равными нулю. Расчеты показали, что наиболее существенное влияние на процесс экстракции оказывает величина дисперсии 5б. На рис. 1 показано влияние этого параметра на распределение концентрации С и радиуса истощения R вдоль оси экстрактора х

0 х 1 0 х 1

Рис. 1 - Влияние коэффициента дисперсии 5d на распределение концентрации (слева) и радиуса истощения вдоль оси экстрактора при Н = 1 на момент t = 0,75

Результаты, представленные на рисунках, свидетельствуют, что упрощенная модель адекватно описывает изучаемый процесс извлечения масла при ограничении öd < 10 , а большие значения этого параметра существенно меняют внутреннюю картину экстракции. Интересно, что при этом кривая выхода масла m(t) мало чувствительна к параметру 5d в

существенно более широком диапазоне его изменения. При любом коэффициенте дисперсии начальная фаза процесса извлечения сопровождается линейным участком функции m(t) с единичным наклоном, а финальная стадия - горизонтальным участком со значением полного маслосодержания. Таким образом, дисперсия в принципе может оказывать влияние лишь на переходный участок, предшествующий полной выработке масла из сырья. Как показали расчеты, даже при Sd = 0.5 относительная погрешность определения m(t) по упрощенной модели не превышает долей процента.

Литература

1. GotoM., RoyB, Hirose Т. Shrinking-core leaching model for supercritical-fluid extraction J. Supercrit. Fluids. 1996, V. 9. -Р. 128-133.

2. Максудов, Р.Н. Математическая модель экстрагирования семян масличных культур сверхкритическим диоксидом углерода / Р.Н. Максудов и др. // Сверхкрит. флюиды: теория и практика. - 2008. - Т. 3. - № 2. - С. 20-32.

3. Егоров, А.Г. Экстракция полидисперсного зернистого слоя молотых семян масличных культур сверхкритическим диоксидом углерода / А.Г. Егоров, А.Б.Мазо, Р.Н. Максудов // Теоретические основы химической технологии. - 2010. - Т. 44. - № 5. - С. 498-506.

4. Максудов, Р.Н. Исследование экстракции масла из семян амаранта и измерение растворимости сквалена в сверхкритическом диоксиде углерода / Р.Н. Максудов и др. // Вестник Казанского технол ун-та. - 2005. - № 1. - С. 279-285.

5. Самарский, АА. Методы решения сеточных уравнений / А.А. Самарский, Е.С. Николаев. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

© А. Г. Егоров - д-р физ.-мат. наук, проф., зав. каф. аэрогидромеханики ПФУ, egorov2@ksu.ru; А. Б. Мазо - д-р физ.-мат. наук, проф. той же кафедры, amazo@ksu.ru; Р. Н. Максудов - канд. техн. наук, доц. каф теоретических основ теплотехники КГТУ, maxoudov@kstu.ru; Е. Н. Тремасов - канд. техн. наук, асс. той же кафедры; В. А. Аляев - д-р техн. наук, проф., зав. каф. ВТЭФУ, alyaev@kstu.ru.