CC BY
25
УДК 622.279:532
Ключевые слова:
неравновесная
фильтрация,
пластовая
газоконденсатная
система,
фазовый переход,
локальное
равновесие,
математическая
модель,
численная модель.
Численное моделирование локально-неравновесной фильтрации в газоконденсатных пластах
А.Л. Ковалёв1, Е.В. Шеберстов1*
1 ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 142717, Московская обл., Ленинский р-н, с.п. Развилковское, пос. Развилка, Проектируемый пр-д № 5537, вл. 15, стр. 1 * E-mail: E_Sheberstov@vniigaz.gazprom.ru
Тезисы. Актуальность вопроса обусловлена тем, что в используемых на практике коммерческих программах гидродинамические расчеты газоконденсатных месторождений выполняются в предположении о локальном равновесии газовой и жидкой фаз. В то же время, согласно экспериментальным данным, переход выведенной из равновесия газоконденсатной системы в равновесное состояние не происходит мгновенно, а требует значительного времени.
В статье рассмотрены опубликованные математические модели, не предполагающие мгновенного фазового перехода и различающиеся видом формулы интенсивности фазового перехода. В выбранной модели интенсивность фазового перехода компонента представлена в форме произведения кинетического коэффициента и разности химических потенциалов в фазах. Полученная система дифференциальных уравнений аппроксимирована полностью неявной конечно-разностной схемой. Создана компьютерная программа, в которой для решения системы нелинейных функциональных уравнений применен метод Ньютона. Программа протестирована на решении задачи равновесной фильтрации, и получено практически полное совпадение с решением коммерческой программы.
Вычислительные эксперименты показали, что неравновесность оказывает влияние на распределение насыщенности жидкой фазы в окрестности газоконденсатных скважин и на фильтрационные сопротивления. Выполнено моделирование предполагаемых экспериментов на керновых моделях, и показана важность измерения насыщенности жидкостью как основного индикатора эффекта неравновесности.
В статье обсуждаются математические и компьютерные модели, учитывающие неравновесность фазовых переходов при фильтрации газоконденсатных систем. Теоретическая и практическая значимость вопроса обусловлена тем, что гидродинамические расчеты фильтрации в газоконденсатных месторождениях выполняются в предположении локального фазового равновесия, в то время как, согласно лабораторным экспериментам, переход выведенной из равновесия системы в равновесное состояние требует определенного времени. Известны, например, результаты специальных исследований [1], показавших зависимость количества отобранного конденсата от темпа снижения давления при отборе газа из ячейки PVT1. Реальный темп снижения давления в движущемся к скважине элементе можно оценить, зная дебит, забойное давление, а также толщину продуктивного пласта. Сопоставляя эти данные с результатами упомянутого эксперимента, можно прийти к выводу о возможном влиянии неравновесности и необходимости контроля этого фактора.
Наибольшие погрешности «равновесных» моделей, не учитывающих темп снижения давления, ожидаются при их применении к анализу ситуаций в окрестности скважины. В частности, присутствие жидкой фазы, выпавшей вследствие ретроградной конденсации, способно сильно повлиять на результаты стандартных гидродинамических исследований скважин (ГДИС) на стационарных и нестационарных режимах. Этот эффект также сказывается на составе флюида, отбираемого для лабораторного анализа.
Создание численной модели, учитывающей неравновесность фазового перехода «газ - жидкость» в движущейся по пористому пласту многокомпонентной смеси, требует в первую очередь обоснования математической модели неравновесного
PVT - акроним от англ. pressure, volume, temperature (давление, объем, температура).
процесса. В линейном приближении, предполагая отклонения от равновесия малыми, воспользуемся моделью неравновесной термодинамики [2] и пренебрежем перекрестными членами [3-5]. Во всех этих работах деление на жидкую и газовую фазы сохраняется и уравнения сохранения компонентов в каждой фазе записываются в предположении, что компоненты (молекулы углеводородов и прочих веществ) находятся в одной из этих фаз:
nf =-П f =\ (tf -tf).
(6)
d(mSG pGYi) dt
+ div(wf pGY) = nf;
d(mSL pLXi) dt
+ div(wL pLXi) = П f;
= EY = 1 i = 1,2,..., n,
(1)
(2)
(3)
где п - число компонентов; , - индекс компонента; т - пористость; а - индекс жидкой (а = Ь) либо газовой (а = О) фазы; 5а- насыщенность
фазы; ра = -1 - плотность фазы (уа - мольный
объем фазы); X,, У, - мольная доля компонента в жидкой и в газовой фазах соответственно;
- скорость фильтрации фазы; Ца - интенсивность перехода компонента (конденсации или испарения) в фазу а.
Диффузия компонентов внутри фаз не учитывается, т.е. предполагается, что все компоненты фазы движутся с одинаковой, средней по полному сечению, скоростью
wa=- (gradP a+f),
(4)
nf + nf = о.
Модель обменного члена, выражающего интенсивность межфазного перехода компонентов, выберем, следуя В.Н. Николаевскому и др., М.Д. Розенбергу и др., В.М. Максимову [3-5]:
Здесь X, - кинетический коэффициент; ц;а - химический потенциал -го компонента в фазе а. Кинетический коэффициент зависит от размеров и формы областей, занятых фазами, и от величины межфазной поверхности. Предполагается, что каждая фаза подчиняется уравнению состояния и справедливы формулы для вычисления химических потенциалов.
Кинетика фазовых переходов исследуется во многих областях науки и техники с применением различных теоретических моделей. Так, процесс ретроградной конденсации начинается с возникновения в газовой фазе достаточно крупных зародышей жидкой фазы. Это так называемый этап нуклеации. Затем происходят слияние зародышей и диффузия компонентов к их границам. Математическая модель такого механизма была использована для анализа экспериментов по отбору газовой фазы из РУТ-сосуда [1]. При прямом испарении, которое начнется после достижения давления максимальной конденсации, скорость перехода компонентов из жидкой фазы в газовую будет определяться скоростью их диффузии к межфазной границе. При использовании уравнения (6) учет деталей фазового перехода можно осуществлять с помощью выбора значений кинетических коэффициентов в зависимости от текущей обстановки.
Несколько иная форма обменного члена принята в модели Л.К. Нгиема, П.Х. Сам-мона [6]. Он выражен через диффузионные потоки из жидкой и газовой фаз к границе фазового раздела, на которой фазы находятся в термодинамическом равновесии:
где уа - удельный вес фазы; К - абсолютная проницаемость; ка, ца - относительная фазовая проницаемость и вязкость соответственно; Ра - фазовое давление. В случае газовых скважин закон Дарси (4) следует заменить на двучленный.
Переход компонентов возможен только из фазы в фазу (адсорбция не учитывается), поэтому справедливо равенство
nf = Df (Xi - x,eq) - Df (Y - Yeq),
(7)
(5)
где X/4, Yeq - мольные доли компонентов жидкой и газовой фаз в равновесном состоянии, которое рассчитывается по общему составу смеси в ячейке численной модели. В работе Л.К. Нгиема, П.Х. Саммона [6] даны детальные выражения для определения коэффициентов DL, Df, куда, в частности, включен геометрический параметр A/L, характеризующий элементарный процесс диффузионного перехода (где A - горизонтальная площадь поперечного сечения, L - вертикальная толщина условного элемента). Учитывается только молекулярная диффузия. Дисперсионная составляющая,
зависящая анизотропным образом от скорости фильтрации, в коэффициенте не учитывается. Похожие формулы обменного члена предложены У Ву и др. [7], Б.Р.Б. Фернандесом и др. [8].
В работе А.В. Волоховой и др. [9] «скорость переноса /-го компонента газоконден-сатной смеси через межфазную границу пропорциональна отклонению от состояния равновесия». На первый взгляд, модели обменного члена, предложенные различными авторами, схожи. Однако модель (7) имеет определенное преимущество. При ее использовании требуется находить только равновесные составы Хеч, Г/е<1, в то время как модель (6) предполагает вычисление химических потенциалов для составов X ,, У, жидкой и газовой фаз, которые при текущих термобарических условиях могут оказаться в области метастабильных или нестабильных состояний.
Окончательный вид модели неравновесной фильтрации получим подстановкой в формулы (1), (2) уравнения, выражающего скорость фильтрации через давление (4). Полученная система будет содержать 2п + 2 уравнений относительно неизвестных X ,, У,, Р, Б. Здесь под £ понимается насыщенность одной из фаз, через которую очевидным образом выражается насыщенность другой фазы. Полученная замкнутая система может быть решена только численно.
Рассмотрим также приближенную модель, которая получена заменой исходной системы двух балансных уравнений (1), (2) для каждой фазы на два других уравнения [10, 11]. Первое есть сумма двух исходных уравнений, в него не входит обменный член. А в качестве второго уравнения авторы модели предложили релаксационное уравнение для разности химических потенциалов в точке [10, 11]:
(АГт)1
АГ1
г/ оа А а \ п+1 /оа_аАа\ щ
[О р 0,-), -(Б Р 6,-), ] =
= Б1у;+1 + (п,а )п+
Б1Уп+1 =
(ра )п+1 - (ра )п+1 1 - 1 1+2.
(9.1)
(9.2)
(8)
где А,. = у/ - у?. Очевидно, что формула (8) не вытекает строго из формул (1), (2) и, следовательно, предложенную систему нужно рассматривать как приближенный вариант исходной модели. Авторы рекомендуют свою модель для расчета прямого испарения.
Численная модель в настоящей работе получена на основании конечно-разностной аппроксимации системы (1)-(3). Использована полностью неявная конечно-разностная схема:
Здесь верхним индексом п показан номер шага по времени; индексом 1 отмечен номер ячейки модели; 9,а - массовая доля /-го компонента в фазе а. Скорость через границу блоков выражалась конечно-разностной аппроксимацией закона Дарси, для вычисления летучестей и мольных объемов фаз использовалось уравнение Пенга - Робинсона, вязкость вычислялась по корреляции Лоренца - Брея - Кларка. Для численного решения системы разностных уравнений применялся метод Ньютона.
Заметим, что по сравнению с равновесной моделью в уравнениях появляется новый (обменный) член, что требует уточнения ограничений на размеры шага по времени, который должен быть согласован со скоростью фазового перехода. В противном случае можно ожидать увеличение численной дисперсии в какой-либо форме.
Результаты моделирования. Сначала рассмотрим результаты, полученные предшественниками. Так, М.Д. Розенберг и С.А. Кундин приводят два примера численного решения одномерной радиально-симметричной задачи неравновесной фильтрации бинарной системы [4]. В первом рассмотрена установившаяся фильтрация. На контуре пласта задана закачка двух неравновесных фаз, а на забое задано неизменное во времени давление. По условиям примера на всем протяжении потока подвижны обе фазы. Заметим, что более общим является случай, когда на вход поступает смесь в однофазном состоянии, а фазовый переход начинается в некоторой промежуточной точке. Из-за отсутствия данных о кинетических коэффициентах авторы ограничились оценкой максимального влияния неравновесности. С этой целью они сопоставили решения для двух крайних случаев. В первом случае рассматривается равновесная фильтрация (предел решений задачи при X, ^ да), а во втором - фильтрация при полном отсутствии межфазного обмена (X, = 0). Сопоставляя результаты расчетов, авторы пришли к выводу, что в рассмотренном примере неравновесность оказывает слабое влияние на распределение давления и сильное на распределение насыщенности.
0*
О 0,40
ч
«
S 0.
« 0
0 0 и
ч
1 0
? 0
X
I
0
1 0
100 200 300 400 500 600 700 800
а Время, мин
0,05
0,62
'N
а
•е «
О И
4 я
5
0,60
0,58
0,56
О
х -
О
Ч §
я 0,54
0,52
10
15 в
20 25 30
Координата, см
0,50
5000
g 4500
И
14000 S 3500
™ 3000 «
S
§■ 2500
§
1з 2000
К 1500 1000
500
100 200 300 400 500 600 700 800 д Время, мин
10
15 б
20 25 30
Координата, см
100 200 300 400 500 600 700 800
г Время, мин
100 200 300 400 500 600 700 800
е Время, мин
0
0
0
5
0
5
0
0
0
0
0 ECLIPSE 300 — локально-неравновесная модель
Рис. 1. Сопоставление результатов разработанной численной локально-неравновесной модели и модели ECLIPSE 300 для равновесного случая: а - динамика насыщенности в выходном элементе модели; б, в - соответственно профили насыщенности и давления на стационарном режиме; г, д - динамика мольных долей компонентов Cj и C7 соответственно в жидкой и газовой фазах в выходном элементе модели; е - динамика накопленного выхода жидкости
Во второй задаче моделировалось истощение вертикальной скважиной круговой области дренирования. Внешняя граница области непроницаема. Решение отыскивается явным методом конечных разностей при ряде дополнительных предположений. Применительно к рассмотренному примеру авторы ограничились выводом об усилении влияния неравновесности при увеличении темпа отбора. В обоих примерах использованы ранее рассчитанные зависимости характеристик бинарной двухфазной равновесной модели от давления.
Л.К. Нгиемом, Б.Р.Б. Фернандесом и др. [6, 8] также сделаны выводы по результатам вычислительных экспериментов по закачке неравновесного газа в нефтяной пласт. Более интересный случай рассмотрен в работе У Ву и др. [7]. Приведенные там результаты описывают влияние неравновесности на распределение давления и насыщенности в окрестности добывающей вертикальной скважины.
Авторами настоящей работы выполнены расчеты для линейно расположенной системы девяти ячеек. Граничные условия подобраны так, чтобы моделировать выход системы на стационарный режим. Длина ячеек - 3 см; площадь поперечного сечения - 7 см2; пористость всех ячеек за исключением девятой - 0,2; проницаемость - 200 мД. В последней ячейке за счет выбора большого фиктивного значения пористости созданы запасы, обеспечивающие поступление флюида через границу с восьмой ячейкой практически с постоянным давлением. Флюидальная система представлена 4-компонентной смесью СН4, С3Н8, С5Н12, С7Н16. Начальное содержание компонентов соответственно, %: 67 - 22 - 8 - 3. Потенциальное содержание углеводородов С5+ составляет 404,1 г/м3, Давление начала конденсации - 139,2 бар, давление максимальной конденсации - 123,0 бар, максимальная насыщенность конденсатом - 19,37 %, температура составляет 65 °С.
Тестирование модели. Решение протестировано путем сопоставления с равновесной композиционной моделью (ECLIPSE 300). Для этого потребовалось найти решение на предложенной модели с достаточно большим коэффициентом межфазного массообмена. Результаты при кинетическом коэффициенте X = 1011 г моль/сут показали практически полное совпадение (рис. 1). Модель инициализирована в однофазном газовом состоянии
при давлении 139,3 бар. Далее осуществлялось равномерное снижение давления до 125 бар в течение 114,4 мин, затем оно поддерживалось на этом уровне; расчет выполнен при нулевой критической насыщенности жидкостью.
Стационарная фильтрация. Рассчитан вариант перехода из состояния покоя к двухфазной стационарной фильтрации. Модель при этом равновесно инициализирована при давлении 138 бар в двухфазном состоянии. Динамика давления на выходе модели предусматривала равномерное снижение давления до 125 бар в течение 104 мин и поддержание его на этом уровне в дальнейшем. На рис. 2 сопоставлены результаты для локально-равновесной и неравновесной моделей. Для всех компонентов и ячеек последней принят одинаковый кинетический коэффициент X = 5000 г-моль/сут. Видно, что как в равновесном, так и в неравновесном случаях стационарный режим достигается практически сразу после стабилизации давления на выходе модели. «Полка» насыщенности жидкостью в неравновесном случае ниже, что логично для процесса ретроградной конденсации.
Для сравнения этот вариант был рассчитан на релаксационной модели (8), импле-ментированной в симулятор tNavigator [11]. Расчет выполнен с коэффициентом релаксации 0,001 мин-1. Можно видеть (см. рис. 2), что в данном случае стационарный режим достигается существенно позже и этот режим является равновесным. Неизбежность выхода на стационарный режим с равновесным фазовым переходом при достаточно длительной закачке следует из модели (8). Причиной этого, по-видимому, служит отсутствие в условии релаксации (8) конвективной составляющей. Более корректным было бы релаксационное уравнение для движущегося элемента:
dА, дА „ 4 —¡- + w—'- = -XiA¡. dt dx
(10)
Правда, в двухфазном случае остается открытым вопрос о выборе скорости фильтрации в этом уравнении.
Влияние неравновесности на результаты ГДИС оценивалось по результатам вычислительных экспериментов на осесим-метричной модели, которые показали существенное влияние неравновесности как на время установления стационарного режима, так и на фильтрационное сопротивление в при-забойной зоне. На рис. 3 отражена расчетная
динамика линейного сопротивления в вариантах с различной степенью неравновесности.
В другом эксперименте исследовалось влияние неравновесности на извлечение газа и конденсата, для чего были рассчитаны серии вариантов истощения зоны дренирования скважины. Результаты показали, что учет неравновесности приводит к увеличению коэффициентов извлечения, но всего лишь в пределах долей процента.
Предложенная модель локально-неравновесной фильтрации была также применена для расчета фильтрации на стадии прямого
испарения. Как показывают результаты расчетов, влияние неравновесности в этом случае существенно зависит от темпа снижения давления. Однако для формулирования конкретных выводов необходимо расширить численную модель, включив в нее учет гравитационной сегрегации, которая может приводить к пространственному разделению фаз. Влияние этого фактора зависит от геологического строения разреза и подвижности жидкой фазы (в пленочном режиме) в вертикальном направлении.
Еще одним практическим приложением модели локально-неравновесной фильтрации
<и 0,40
«
- 0,35
«
¡1 0,30
0,25
1 0,20
й
X
0,15
0,10
3 0,20 й
0,10
500
1000
1500
2000
2500 а
3000
3500
4000
4500 5000 Время, мин
10
15 б
20
25 30
Координата, см
0
0
5
Модель:
уравнение (8) — полная неравновесная - локально-равновесная
Рис. 2. Динамика насыщенности жидкостью выходной ячейки (а) и профили насыщенности на стационарном режиме (б) в расчетах с различными
моделями фазовых переходов
Время, сут
Рис. 3. Моделирование влияния неравновесности на результаты ГДИС
стало моделирование лабораторных исследований на керновой модели. В частности, в качестве наиболее информативного индикатора эффектов неравновесности рекомендованы результаты измерений насыщенности. (Эти выводы изложены в отдельной публикации.) ***
Таким образом, предложена полностью неявная конечно-разностная модель локально неравновесной фильтрации многокомпонент-
ной смеси. Создана и протестирована компьютерная модель.
Влияние эффекта неравновесности на фильтрационные сопротивления, согласно выполненным вычислительным экспериментам, может быть существенным, что необходимо учитывать при интерпретации результатов ГДИС.
Численная модель [11], имплементирован-ная в симулятор tNavigator, не позволяет моделировать установившиеся двухфазные течения с учетом неравновесности фазового перехода.
Список литературы
1. Петрушевский Е.И. О влиянии неравновесности на процесс выделения конденсата из газа / Е.И. Петрушевский, М.С. Разамат // Известия высших учебных заведений. Нефть и газ. - 1963. - № 11. -С. 61-66.
2. Гроот С., де. Неравновесная термодинамика / С. де Гроот, П. Мазур; пер. с англ. - М.: Мир, 1964.
3. Николаевский В.Н. Движение углеводородных смесей в пористой среде / В. Н. Николаевский, Э.А. Бондарев, М.И. Миркин и др. - М: Недра, 1968. - 189 с.
4. Розенберг М.Д. Многофазная многокомпонентная фильтрация при добыче нефти и газа / М.Д. Розенберг, С.А. Кундин. -М.: Недра, 1976. - 335 с.
5. Максимов В.М. Основы гидротермодинамики пластовых систем / В.М. Максимов. -
М.: Недра, 1994. - 201 с.
6. Nghiem L.X. A non-equilibrium equation
of state compositional simulator / L.X. Nghiem,
P.H. Sammon // SPE Reservoir Simulation Symposium, Dallas, USA, 8-11 June 1997. -SPE 37980.
7. Wu W. Modeling non-equilibrium mass transfer effects for a gas condensate field / W. Wu,
W. Wang, M. Delshad et al. - Society of Petroleum Engineers, Inc., 1998. - SPE 39746. - http:// www.ipt.ntnu.no/~curtis/courses/PVT-Flow/2017-TPG4145/e-notes/GC-Papers/SPE39746-Pope-GC.pdf
8. Fernandes B.R.B. Effect of non-equilibrium mass transfer in miscible gas recovery processes /
B.R.B. Fernandes, I.C.M. Lima, E.P. Drumond
et al. // 22nd International Congress of Mechanical Engineering (COBEM 2013), November 3-7, 2013, Ribeirao Preto, SP, Brazil.
9. Волохова А.В. Численное исследование фильтрации газоконденсатной смеси
в пористой среде / А.В. Волохова, Е.В. Земляная, В.В. Качалов и др. // Компьютерные исследования и моделирование. - 2018. - Т. 10. - № 2. -
C. 209-219.
10. Indrupskiy I.M. Non-equilibrium phase behavior of hydrocarbons in compositional simulations and upscaling / I.M. Indrupskiy, O.A. Lobanova, V.R. Zubov // Preprints. - www.preprints. org, posted 18 April 2017. - doi:10.20944/ preprints201704.0108.v1.
11. Zubov V.R. Compositional simulator with non-equilibrium phase transitions / V.R. Zubov, I.M. Indrupskiy, K.Yu. Bogachev // SPE Russian Petroleum Technology Conference and Exhibition, 24-26 October 2016. - Moscow, 2016. -SPE 182001.
Numerical simulation of non-equilibrium local filtration in gas-condensate beds
A.L. Kovalev1, Ye.V. Sheberstov1*
1 Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd no. 5537, Razvilka village, Leninskiy district, Moscow Region, 142717, Russian Federation * E-mail: E_Sheberstov@vniigaz.gazprom.ru
Abstract. The named problem is rather topical due to fact that modern commercial simulators execute hydrody-namic calculations on the assumption of local equilibrium of gas and liquid phases. At the same time, according to the experimental data, an unbalanced gas-condensate system does not return to equilibrium immediately, but after long time.
The article reviews disclosed mathematical models which don't suppose immediate phase transition and vary by appearance of equations describing intensity of phase transition. A pattern selected for modelling velocity of phase transition of a component has a form of multiplication of a kinetic factor and a difference of chemical potentials in the phases. A derived system of differential equations has been approximated according to a fully implicit finite-difference scheme. Besides, there is a new computer program which solves simultaneous non-linear equations by means of a Newton method. Testing of this program through equilibrium filtration problems has given nearly absolute coincidence with results of another commercial program.
The computational experiments has shown that non-equilibrium has affected both distribution of liquid phase's saturation around gas-condensate wells, and bed's resistance to filtration. The intended tests of core models have been simulated, and importance to measure liquid saturation as a main indicator of non-equilibrium effect is shown.
Keywords: non-equilibrium filtration, gas-condensate bedded system, phase transition, local equilibrium mathematical model, numerical model.
References
1. PETRUSHEVSKIY, Ye.I., M.S. RAZAMAT. On the effect of non-equilibrium upon a process of condensate exhalation from gas [O vliyanii neravnovesnosti na protsess vydeleniya kondensata iz gaza]. Izvestiya Vysshikh Uchebnykh Zavedeniy. Neft i Gaz. 1963, no. 11, pp. 61-66. ISSN 0445-0108. (Russ.).
2. GROOT, S.R. de and P. MAZUR. Non-equilibrium thermodynamics. Translated from English. Moscow: Mir, 1964. (Russ.).
3. NIKOLAYEVSKIY, V.N., E.A. BONDAREV, M.I. MIRKIN et al. Motion of hydrocarbon mixtures within a porous medium [Dvizheniye uglevodorodnykh smesey v poristoy srede]. Moscow: Nedra, 1968. (Russ.).
4. ROZENBERG, M.D., S.A. KUNDIN. Multi-phase multi-componentfiltration during production of oil and gas [Mnogofaznaya mnogokomponentnaya filtratsiya pri dobyche nefti i gaza]. Moscow: Nedra, 1976. (Russ.).
5. MAKSIMOV, V.M. Principals of hydrothermal dynamics for bedded systems [Osnovy gidrotermodinamiki plastovykh system]. Moscow: Nedra, 1994. (Russ.).
6. NGHIEM, L.X., P.H. SAMMON. A non-equilibrium equation of state compositional simulator. SPE Reservoir Simulation Symposium, Dallas, USA, 8-11 June 1997. SPE 37980.
7. WU, W., W. WANG, M. DELSHAD et al. Modeling non-equilibrium mass transfer effects for a gas condensate field [online]. Society of Petroleum Engineers, Inc., 1998. SPE 39746. Available from: http://www.ipt.ntnu. no/~curtis/courses/PVT-Flow/2017-TPG4145/e-notes/GC-Papers/SPE39746-Pope-GC.pdf
8. FERNANDES, B.R.B., I.C.M. LIMA, E.P. DRUMOND et al. Effect of non-equilibrium mass transfer in miscible gas recovery processes. 22nd International Congress of Mechanical Engineering (COBEM 2013), November 3-7, 2013, Ribeirao Preto, SP, Brazil.
9. VOLOKHOVA, A.V., Ye.V. ZEMLYANAYA, V.V. KACHALOV et al. Numerical study of gas-condensate mixture filtration in a porous medium [Chislennoye issledovaniye filtratsii gazokondensatnoy smesi v poristoy srede]. Kompyuternyye Issledovaniya i Modelirovaniye. 2018, vol. 10, no. 2, pp. 209-219. ISSN 2076-7633. (Russ.).
10. INDRUPSKIY, I.M., O.A. LOBANOVA, V.R. ZUBOV. Non-equilibrium phase behavior of hydrocarbons in compositional simulations and upscaling [online]. Preprints. Available from: www.preprints.org, posted 18 April 2017. doi:10.20944/preprints201704.0108.v1.
11. ZUBOV, V.R., I.M. INDRUPSKIY, K.Yu. BOGACHEV. Compositional simulator with non-equilibrium phase transitions. SPE Russian Petroleum Technology Conference and Exhibition, 24-26 October 2016. Moscow, 2016, SPE 182001.
