CC BY
9
УДК 517.958+517.988.68 DOI: 10.14529/mmp190108
ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОГО ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОСА В СФЕРИЧЕСКИХ КООРДИНАТАХ
А.В. Боков1, М.А. Корытова2, А.Б. Самаров2
Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова, г. Пятигорск,
Российская Федерация
2Южно-Уральский государственный университет, г. Челябинск,
Российская Федерация
Целью исследования является построение дискретного аналога обобщенного дифференциального уравнения, описывающего конвекцию в вязкой несжимаемой жидкости в сферических координатах. Математическая модель конвективного тепломассопе-реноса в вязкой несжимаемой жидкости задается системой дифференциальных уравнений, полученных на основе уравнений гидродинамики, тепло- и массообмена. Эти уравнения подчиняются обобщенному закону сохранения, который описывается дифференциальным уравнением для обобщенной переменной. Для дискретизации дифференциального уравнения используется метод контрольного объема. Расчетная область разбивается на множество непересекающихся контрольных объемов с узловой точкой в каждом из них. Дифференциальное уравнение интегрируется по контрольным объемам. В результате получается дискретный аналог, связывающий значение обобщенной переменной в узловой точке с ее значениями в соседних узлах. Метод гарантирует строгое выполнение законов сохранения как во всей расчетной области, так и в любой ее части. Чтобы применять лучшие аппроксимации профилей обобщенной переменной, находятся точные решения уравнений сохранения отдельно по каждой координате. Кратко поясняется физический смысл точных решений. В итоге строится дискретный аналог для обобщенного дифференциального уравнения с использованием полученных аналитических решений.
Ключевые слова: математическая модель; конвекция; обобщенное дифференциальное уравнение; дискретный аналог; контрольный объем.
Введение
Авторами статьи в работе [1] была решена задача построения дискретного аналога для уравнения конвекции и диффузии в цилиндрических координатах на основе метода контрольного объема. С учетом того, что многие прикладные задачи требуют для численного решения использования криволинейных сеток, представляется целесообразным получение расчетных формул для коэффициентов дискретного аналога обобщенного дифференциального уравнения с использованием аппроксимации профилей функций между узлами сетки в сферических координатах, как это было сделано ранее для цилиндрической системы координат.
1. Математическая модель конвективного тепломассопереноса
Математическая модель конвективного тепломассопереноса в вязкой несжимаемой жидкости определяется системой дифференциальных уравнений, полученных на
основе уравнений гидродинамики, тепло- и массообмена (см., например, [2]): /дй . „ 2- 1
р + ' = + и + • (V • й) + р<?, (1)
^ + У-(рй) = 0, (2)
ср ^ + й • Ут) = ЛУ2Т. (3)
Здесь (1) - уравнение Навье - Стокса для несжимаемой жидкости, (2) - уравнение неразрывности, (3) - уравнение теплопереноса (уравнение массопереноса имеет вид, аналогичный уравнению (3), с заменой температуры Т на массовую концентрацию химической компоненты). Дифференциальные уравнения (1) - (3) описывают процессы переноса количества движения, массы и энергии. Использованы обозначения: й - скорость (векторная величина), р - давление, Т - температура, р - плотность, П - динамическая вязкость, А - теплопроводность, с - удельная теплоемкость, д -напряженность гравитационного поля, £ - время.
Систему уравнений для компонент вектора скорости получим, решая совместно (1), (2):
д др
— (риг) + V • (рйщ) = + V • (г]^иг) + Вг + Уг, (4)
где щ - ¿-я компонента вектора скорости (г = 1, 2, 3), В - составляющая объемной силы (приложенной к единице объема), V - дополнительные диссипативные члены.
Сравнивая (3) и (4), заметим, что щ и Т подчиняются обобщенному закону сохранения, который описывается дифференциальным уравнением для обобщенной переменной Ф :
д
— (рФ) + V-(рйФ) = V-(ГУФ)+ Ф, (5)
где Ф - так называемый «источниковый член> (обычно представляется в линеаризованном виде, как линейная функция Ф). Физический смысл Ф и Г зависит от того, какую именно величину обозначает переменная Ф. Коэффициент Г играет роль коэффициента диффузии для уравнения переноса массовой концентрации химической компоненты, коэффициента теплопроводности для уравнения тепловой конвекции, коэффициента динамической или кинематической вязкости для уравнения движения жидкости. Источниковый член Ф может включать диссипативные и объемные компоненты, которые не учитываются конвективным и диффузионным членами уравнения (5).
Для дискретизации дифференциального уравнения (5) используем метод контрольного объема. Суть метода и его достоинства обсуждаются в книгах [3 — 5], а в работах [6, 7] приведены примеры его использования.
2. Интегральные балансы для граней контрольного объема
Преобразуем уравнение (5) с учетом (2) к виду:
дФ
р— + рй • УФ = V • (ГУФ) + Ф.
Запишем это уравнение в сферических координатах (т,9,р) (см. [8, 9]):
дФ
д Ф
1 д Ф
1 дФ
р— + рщ — + рщ- — + рщ дъ дт т да т sin 9 др
]_д_
Т^ дт
дт I т2 sin 9 д9
sin 9 Г
<9Ф ~д9
+
1
д
т2 sin2 9 др \ др J
дФ
Г т— ) + Ф.
(6)
В это уравнение входят соответствующие компоненты вектора скорости иг . Уравнение неразрывности в сферических координатах имеет вид:
и
— + — — (г2 и
dt г2 дг г
1
д
+ —а т sin 9 да
1 д , л т sin и др
(7)
Преобразуем уравнения (6), (7), умножая их левые и правые части на г2 и г2Ф соответственно:
2 дФ 2 дФ 2 sin 9 дФ г р— + г рщ ——ь г рщ дт
дъ
г <9Ф sin б1 дв ^U(psm 9 др
д_
дт
1
и
др
дт д
1
д_ Í . втдФ\ smede\Sm de)+sm2 в dp
д
А (г —
dp
гЧ Jü + ф (г>0 + ф —7> 7м (sin 9 Рщ) + ф -
д
(рич
+ т2 Ф
0.
(8)
(9)
dt дгк ' sin 9 д9к ' sin 9 др
Преобразуем уравнение конвекции и диффузии (8), используя уравнение нераз^ рывности (9):
д д д д г2 sin 9 — (р Ф) + — (г2 sin 9 ригФ) + — (г sin 9 рщ Ф) + — (грщ Ф) дt дг д9 др
дт
д
дт
дФ
— г sin б1 Г ——
дт
д9
д Л л ^ д Ф д д
1 Г<9Ф
sin и др
(10)
+ т2 Ф sin 9.
Расчетную область разобьем на множество непересекающихся контрольных объемов, в каждом из которых будет содержаться только одна узловая точка. Разбиение проводим координатными поверхностями (см. [9]): x2 + y2 + z2 = r2 (сферами, r = const, r > 0), x2 + y2 — z2 tg2 9 = 0 (круглыми конусами, 9 = const, 0 < 9 < n, 9 = n/2), y = xtgp (полуплоскостями, p = const, 0 < p < 2п, p = п/2, p = 3n/2).
Рассмотрим типичный контрольный объем V с узловой точкой P (рис. 1). Обозначим через n и s верхнюю («северную:») и нижнюю («южную») грани контрольного объема, через w и e - левую («западную») и правую («восточную») грани, через t и b - «внешнюю» (большего радиуса) и «внутреннюю» (меньшего радиуса) грани. «Северная» и «южная» грани представляют собой части конических поверхностей, «западная» и «восточная» грани - части полуплоскостей, «внешняя» и «внутренняя» грани - части сферических поверхностей. Для удобства представления формул используем такие же обозначения в записи соответствующих этим граням значений переменных. Таким образом, через 9s обозначим значение переменной 9 на «южной» грани, а через 9n - значение этой переменной на «северной» грани. Тогда для данного контрольного объема выполнено условие 9n < 9 < 9s. Аналогичным образом вводятся обозначения для граничных значений переменных p и r: pe < p < pw,
т
N
X
Рис. 1. Контрольный объем V с узловой точкой Р
гъ < г < г4. Следовательно, интегрирование по рассматриваемому контрольному объему - это интегрирование по области
V = {(г, в, ю) | Гъ < г < гивп < в < в8, юе < ю < ю™}.
Уравнение (10) проинтегрируем по указанному контрольному объему V и по временному промежутку [£0, г0 +
г2 ят в
V
¿0
ío+Aí 0о
дг дв дю +
-г2 Ьг
дг I
¿0 впфе
ío+Aí - 0
гг
[ Г2 8Ш0/ЖГФ —
дг
гь
дФ . — ят 0 Г—— 1д0 дв
дв дю дг +
ío+Aí
¿0 Гь^е д
( гвтЯрг^Ф -
¿0 Гь
(11)
дг дв дг =
¿0+Aí
¿0
г2 ят в Ф дг дв дю
_ V
дг.
Аналогично интегрируем уравнение неразрывности (7):
г2 ят в
V
¿0^4 г*
' ío+Aí
¿0
Г*
(/0 I ^^ ш I г
(1г(16(1(р+ / ii / (г2 яш 0 риг) дг
+
¿0 гь
д
— (гят0/ж0)д0
¿0 0п <£е 1_Гь
¿гг!^ Гг 0<
дг дю дг+
¿0 Гь0п
А
дю
(грщ,)дю
дв дю дг +
дгдвдг =
(12)
Размеры контрольного объема V определяются значениями Аг = г — гь, Ар = — Ре (рис. 2) и АО = О8 — Оп (рис. 3). Пусть (5г)г - расстояние между узловыми точками Р и Т, а (5г)ь - расстояние между Р и В. По такому же принципу обозначим расстояния между другими парами узлов: (5ф)ш - между Р и Ш, (5ф)е - между Р и Е, (5О)п - между Р и N, - между Р и 5. Узловая точка Р характеризуется
координатами гР, ОР и .
Рис. 2. Проекция сечения контрольного объема V конусом О = ОР на касательную плоскость (точка касания - узел Р)
Рис. 3. Сечение контрольного объема V полуплоскостью p = pP
Введем понятия суммарных потоков, направленных вдоль осей координат и складывающихся из конвективных и диффузионных составляющих:
J Г = г2 sin в риг Ф — г2 sin в Г -!—, Jo = Г sin 0 /Шб>Ф — sin в Г ,
dr д9 (13)
Г дФ (13)
Jcp = rpUy Ф - -— —.
sin 9 dp
Тогда с учетом формул (13) уравнение (11) примет вид:
r sin в
v
í0+aí
l to
í0+aí
dr de +У í0
dJ?
+ +
de
¿ц?
|dr de d^
dt
í0o+aí
í0
r2 sin в Ф dr de d^
v
(14)
dt.
Пусть Jt - значение потока Jr на грани t, а Jb - значение Jr на грани b. Также обозначим через Js и Jn значения J? на гранях s и n, а через Jw и Je - значения J^ на гранях w и е. Значения переменной Ф в момент времени to + At (новые значения на текущем временном шаге) в узловых точках P, T, B, S, N, W, E обозначим Фр, Фу, ФБ, Ф^, Фм, Ф^, Фе. Значение Ф в момент времени t0 в узле P обозначим Фр. Пусть рр и pp - значения переменной р в узле P в моменты времени t0 + At и t0. При аппроксимации интегралов дискретными аналогами будем использовать неявную схему: на временном шаге t0 < t < t0 + At полагаем значения Ф и р равными новым значениям Фр и рр. Кроме того, согласно применяемому методу считаем, что значения переменных Ф и р во всем контрольном объеме V равны их значениям в узловой точке P. При указанных допущениях уравнение (14) аппроксимируется следующим дискретным аналогом:
(ррФр " Ррфр) + Jb) A^V + Us ~ Jn) ArAp + {Jw - Je) Ar Ав = ФА У, (15) где Ф - среднее по контрольному объему значение Ф в момент времени
/г г 2 в + в Ав
/ / г2 sin в dr dO dp = -(г2 + rtr¿ + г2) sin—- sin Ar Ас/?.
v
~ rt + r^ в5 + в„
Отметим, что при гр = - и рр = - выполнено равенство
2
AV = (2г2Р - |(Аг)2) sin0р sin А0 ArA^.
2
Введем обозначения:
Fr = r2 sin в риг, F? = r sin в рад,?, F^ = гри^.
При этом Ft и Fb - значения Fr на гранях t и b, Fs и Fn - значения F? s и n, Fw и Fe - значения F<^ на гранях w и е. Учитывая (16) дискретный аналог уравнения (12):
(Рр - Рр) ^ + № - Fb)A9Ap + (F, - Fn)ArAp + (Fw - Fe) Ar Atf = 0.
(16)
на гранях составим
(17)
Из (15) и (17) получим
(Фр - фр)^^ + {Jt ~ ^ФР)АвАр - (Jb - F^p)АвАр+
+(Js - F^)ArA^ - (Jn - FnФр)ArA^ + J - FwФр)A^--(Je - FeФp)ArAé, = ФАУ.
(18)
3. Точные решения уравнений сохранения
Следуя [9], будем именовать координаты r, 0, ф полярным радиусом, широтой и долготой. Для получения лучших аппроксимаций профилей обобщенной переменной в различных направлениях найдем точные решения уравнений сохранения отдельно по каждой координате.
I. Рассмотрим установившееся течение в направлении возрастания полярного радиуса r (0 = const, ф = const, R0 < r < Ri):
д f д Ф\ д
— г2 sin 0 ригФ - г2 sin 0 Г— 1=0, —— (г2 sill 0 риг) = 0. (19)
дг \ or J or
Упростим систему уравнений (19), учитывая 0 = const:
д ( 2 ж 2т, дФ \ д . 2 ч
— г ригФ - г Г— = 0, — (:г2риг = 0. дг \ дг J дг
Обозначим r2pur = к = const. Рассматривая течение как одномерное, получаем уравнение относительно функции одной переменной Ф = Ф(г) (Ф^ = Ф^ = 0). В предположении Г = const задача сводится к решению краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения в области R0 < r < Ri (рис. 4):
кФг - 2r ГФг - r2 ГФг'г = 0, Ф(Ro) = Фо, Ф^) = Ф1. (20)
Задача (20) приводится к виду
. к — 2r Г
(1пФ;.)г= г2"г. , Ф(До) = Фо, Ф№) = Фь
Последовательно интегрируя, находим общее решение дифференциального уравнения: , ,, ^
/е-к/(тГ) г
2 dr = Oi-e"^ + С2. Учитывая начальные условия, находим решение системы (19):
fcQ-Д о)
Ф - Фп е rrRo - 1
ф _ ф Цщ-Rq)
е гщщ _ I
(21)
Рис. 4. Область решения одномерной задачи в направлении r
II. Рассмотрим установившееся течение в направлении возрастания 9 (вдоль дуги M0M1, r = const, ф = const, 90 < 9 < 9\, рис. 5):
д ( д Ф \ д , х
— ( г sill в рщФ - sill в Г — 1 = 0, — (г sill в рщ) = 0. (22)
Рис. 5. Область решения одномерной задачи в направлении О
Запишем систему уравнений (22) в виде:
дФ д ( ЛдФ \
rsmO рщ— - — \smOT — \ = 0, г sin в рщ = const.
Обозначим r sin Ори Г-1 = к .В предположении, что Ф = Ф(О), ФГ = Ф^ = 0 и Г = const, получаем краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения в области О0 < О < О1 :
kФ'в - cos О - sin О Ф^ = 0, Ф(О0) = Ф0, Ф(О1 ) = Ф1.
(23)
Аналогично задаче (20)
м );=
k — cos О
sin О
k-1
Решение запишем в виде, аналогичном (21)
Ф — Фо МО/2))к — (tg^o/2))k
Ф1 — Фо (tg(«1 /2)) k — (tg(«o/2))
k•
(24)
III. Рассмотрим установившееся течение в направлении возрастания ^ (по дуге L0Li при r = const, в = const, ^o < ^ < рис. 6):
— (г и Ф - - 0 —(V гП - 0
д^ V ^ sin ^ д^ / ' д^ ^
(25)
Граничные условия: Ф(^о) = Фо, Ф(^1) = Ф1 • Из (25) следует, что rpu^ = const. Пусть rpu^ sin 0 Г-1 = k .В предположении, что Ф = Ф(^), ФГ = = 0 и Г = const, получаем краевую задачу для обыкновенного дифференциального уравнения в области < ^ < :
кФ^ — Ф"<р = 0, Ф(юо ) = Фо, Ф(^1)=Ф1.
(26)
Рис. 6. Область решения одномерной задачи в направлении ф
Решая систему (26), найдем:
Ф - Ф
ek(y-yo) — 1
Фт - Фп ek(V!-{Р0) - 1
(27)
Ф = Ф0 + (ф, - Фо)^—^, /(г) = [Г (28)
4. Физический смысл точных решений
Итак, точные решения в случае одномерных течений по каждой из координат задаются соотношениями (21), (24) и (27). Входящий в каждую из формул коэффициент k зависит от выбора координаты. Поскольку ранее (см. [1]) авторами уже было проведено исследование физического смысла точных решений для случая цилиндрических координат, следует привести лишь общую схему решения данной частной задачи. Для каждого аналитического решения определим соответствующие ему числа подобия (числа Пекле, определяющие соотношение между конвективными и диффузионными членами в уравнениях (4)).
В системе (19) k = r2pur. Определим число Пекле в этом случае равенством
_ k(Ri - R0) _ r2purAR VR\ Rn VR\ Rn
где AR = Ri — Rn - характерный размер. В этом случае уравнение (21) принимает вид:
ePrf{r) - 1 = (г - Rq)R1
еРг — 1 ' 1[Г) г AR где f (r) - безразмерная нелинейная функция координаты r, причем 0 < f (r) < 1 при Rn < r < Ri.
В системе (25) k = rpuy sin 9 Г-1, и число Пекле определяется равенством
rpuy sin 9
Y
где Аф = фт — фп - характерный размер. В этом случае уравнение (27) принимает вид:
- 1 ff , (V - Ы
——г-, tm = —т— — 1 Аф
где f (ф) - линейная функция переменной ф (безразмерная координата), 0 < f (ф) < 1 при фп < ф < фт.
Зададим число Пекле в системе (22) соотношением
Р ,,,„ tg(0i/2) rising ,_tg(fli/2) _ й ~ tg(6p/2) ~ Г tg($0/2)'_
P* = к(<р! - <p0) =
Ф = Ф0+(Ф1-Ф0)е p т = (29)
Уравнение (24) в этом случае принимает вид:
01 ер»-1 ' п' lntg№/2)-lntg(0„/2)' У 1
где f (9) - безразмерная нелинейная функция переменной 9 такая, что при 90 < 9 < 91 ее значения определяются неравенством 0 < f (9) < 1.
Поскольку точные решения во всех трех случаях можно представить обобщенным уравнением
ер/- 1
= Фо + ($1 - Фо) еР_1 ,
где £ - обобщенная координата, то и поведение точных решений в зависимости от значений числа Пекле P будет аналогичным. Теперь к последнему уравнению применимы результаты, полученные в [1]. В пределе при P ^ 0 (в случае «чистой> диффузии) зависимость Ф(£) от £ определяется функцией f (£). Чем больше P ^ 1, тем больше влияние Ф0 на грани контрольного объема. При P ^ — 1 чем больше |P |, тем больше влияние Ф1. В случае, если £ = 0 и значение |P| велико, то на грани контрольного объема, расположенной посередине между узлами, производная Ф^ близка к нулю, то есть диффузия почти отсутствует.
5. Дискретный аналог для обобщенного дифференциального уравнения
Используем полученные аналитические решения для построения дискретного аналога обобщенного дифференциального уравнения (18).
I. Найдем приближения для потоков Jt и J на <внешней> и <внутренней> гранях контрольного объема. В качестве профиля между узлами P и T возьмем функцию, определяемую равенством (28), заменив Ф0 на Фр, а Ф1 на Фт. Примем Л0 = Rp, АЛ = (¿r) t, Л1 = RT = RP + (¿r) t. Тогда
Ф = ФР+Фт~Фр (e^)-l), Pt = MHí) Ft = r¡{PuX smtf, ePt _ i v J ' YtRPRT ' 4 ;í
(r — Лр )Лр /(r)=V ,-Y > Rp<r<RT, r(¿r) t
где rt - значение полярного радиуса на <внешней> грани t контрольного объема. Найдем выражение для потока Jt и покажем, что расположение границы раздела
(¿r).
между узлами Р и Т не существенно. Заметим, что Pt = Ft--. Следова-
rtRP RT sin 9
тельно,
j, = Ft*p + Fl ея/,,. _ _ ея/,,. =
ePt — 1 ePt — 1 ePt — 1
Фт — фp
Ft&p — Ft—p-— = Ft
ePt — 1
^p — Фт
(31)
Поскольку f (г^) в (31) не входит, то значение ^ не зависит от расположения границы раздела между узлами.
Аналогично, на <внутренней> грани контрольного объема
Фв _ Ф^
Jb = Fb
Фв +
epb _ 1
(32)
9/ Л л ГЬ (Рит) ^ ^
где Гь = г^ури^^тв, Рь = —г д д ь, Фб ~ значение обобщенной переменной в узле В.
II. Найдем приближения для потоков . и .п на «южной> и «северной> гранях контрольного объема.
В качестве профиля между узлами Р и Б используем функцию (30), заменив Ф0 на Фр, Ф1 на Ф^, до на вр, в\ на вя. Положим Ав = вя - вР = (бв) 1 Тогда
Ф = ФР + (еР.т _ !) Пв) = lntg(g/2)-lntg(gp/2)
где вр < в < в$ = вр + \5в) . На <южной> грани 5 контрольного объема т3 - значение полярного радиуса, в3 - значение широты,
р. = Ц - Щ , ^ = г3(рщ 8Ш0),. (33)
Поток . на <южной> грани можно представить, с учетом равенств (33), в виде:
J F ФР + F q>S~q>P ер- F - F -
U S 1 S^P \ 1 S JD -, С 1 s JD -, 1 S JD -, ^
ps ps ps
e ^ л e г * e i1 (34)
Ф„ _ Фр (t>„_(t>„ V7
= ^Фр - ^-f = Fs
Фp +
eps 1
Значение . не зависит от расположения границы раздела между узлами, так как в выражение (34) f (в3) не входит.
Аналогично, на <северной> грани п контрольного объема
J = F
nn
ФМ-ФР
(35)
, . Гп (рщ sin в) / вN вр^Л
где Fn = гп{рщ sme)n, Рп = ---R Mntg— -lntg— J, Фм - значение
гп {рщ sin в) / вм вр
—^(lntgT-lntg-
обобщенной переменной в узле N.
III. Найдем приближения для потоков Jw и Je на «западной> и «восточной> гранях контрольного объема.
Для аппроксимации профиля между узлами P и W используем функцию (29), заменяя Фо и Ф1 на Фр и Ф^, р0 и р1 на рр и pw, Ар на w. Тогда для значений Pf < Р < Pw
На «западной> грани контрольного объема Fw = rw(puv)w, Pw = -(ö<p) ,
Pw - угол до грани w от узла P. Поток Jw можно представить в виде
J = F
'Jw ± w
Фр +
ф№ - фр
= F Фр + F
w р w
ePw — 1
Ф№ — Ф
—1
Г
sin 9 e
~ cPwf(yw) Fw
eP
—1
w
—1
Ф№ — Ф
Fw Фр — Fw
= Fw фр
ф№ - фр
ePw — 1
F
w
—1 Фр +
ePw — 1
Фр — Фж
М w
Е. gPwf{(fiw) _
(36)
ер
—1
Заметим, что также не зависит от расположения границы раздела между узлами. Аналогично, на «восточной> грани е контрольного объема
Jе fe
Фе +
Фе — Ф
р
—1
(37)
где Fe — Ге , Pe
Ге (puje Sin 9
e, Фе - значение Ф в узле E.
1 е
Подставим полученные выражения суммарных потоков (31), (32), (34) - (37) на гранях контрольного объема в уравнение (18). Окончательный вид дискретного аналога:
аР ФР = ат Фт + ав ФВ + «я Фз + Фм + а» Ф» + ФЕ + Ь, (38)
где
ар — ар + aT + aB + aS + aN + aW + aE — Фр AV,
Ft
aT
an
а0р
ер — 1
ерп
A9A^, aB
ерь — 1
Fb A9A^, aS
Fs
=р3
e
рп
—1
Fn ArA^, aW
Fw
—1
ArA9, oe
—1
ере
зре
—1
ArA^,
Fe ArA9,
pPAF Ai '
b — ар Фр + ФС AV.
Полученный дискретный аналог для обобщенного дифференциального уравнения может быть использован для численного моделирования конвективного тепломас-сопереноса в условиях ламинарных и турбулентных течений вязкой несжимаемой жидкости на криволинейных сетках в случае использования сферических координат. Расчетные формулы получены на основе точных решений уравнений переноса, поэтому при их использовании для расчетов повышается точность результатов, что является важным аргументом в пользу рассмотренного метода дискретизации при численном моделировании на основе уравнений Навье - Стокса.
Работа поддержана Правительством Российской Федерации (акт № 211), договора № 02.А03.21.0011.
e
ре
e
e
Литература
1. Боков, А.В. Дискретизация дифференциального уравнения конвекции и диффузии на основе метода контрольного объема / А.В. Боков, А.А. Клячин, М.А. Корытова // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия: Математика. Физика. -2016. - № 4. - С. 25-43.
2. Берковский, Б.М. Вычислительный эксперимент в конвекции / Б.М. Берковский, В.К. Полевиков. - Минск: Университетское, 1988.
3. Патанкар, С. Численные методы решения задач теплообмена и динамики жидкости / С. Патанкар. - М.: Энергоатомиздат, 1984.
4. Патанкар, С.В. Численное решение задач теплопроводности и конвективного теплообмена при течении в каналах / С.В. Патанкар. - М.: Издательство МЭИ, 2003.
5. Флетчер, К. Вычислительные методы в динамике жидкостей. Т. 1 / К. Флетчер. - М.: Мир, 1991.
6. Белова, О.В. Метод контрольного объема для расчета гидравлических сетей / О.В. Белова, В.Ю. Волков, А.П. Скибин // Инженерный журнал: наука и инновации. - 2013. -Т. 5. - С. 1-14.
7. Heiss, A. Numerische und experimentelle Untersuchungen der laminaren und turbulenten Konvektion in einem geschlossenen Behälter. Dissertation / A. Heiss. - München: Lehrstuhl A für Thermodynamik, Technische Universität München, 1987.
8. Будак, Б.М. Кратные интегралы и ряды / Б.М. Будак, С.В. Фомин. - М.: Наука, 1965.
9. Корн, Г. Справочник по математике для научных работников и инженеров / Г. Корн, Т. Корн. - М.: Наука, 1984.
Александр Викторович Боков, кандидат физико-математических наук, кафедра «Информационные технологии и правовое регулирование управления:», Российский экономический университет имени Г.В. Плеханова, филиал в г. Пятигорске (г. Пятигорск, Российская Федерация), av_bokov@mail.ru.
Марина Александровна Корытова, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Математический анализ и методика преподавания математики», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), sma.59@mail.ru.
Александр Борисович Самаров, кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра «Уравнения математической физики», Южно-Уральский государственный университет (г. Челябинск, Российская Федерация), samarovab@susu.ru.
Поступила в редакцию 31 августа 2018 г.
MSC 80A20 DOI: 10.14529/mmp190108
NUMERICAL MODELLING OF CONVECTIVE HEAT AND MASS TRANSFER IN SPHERICAL COORDINATES
A.V. Bokov1, M.A. Korytova2, A.B. Samarov2
1Pyatigorsk Branch of Plekhanov Russian University of Economics, Pyatigorsk, Russian Federation
2South Ural State University, Chelyabinsk, Russian Federation E-mails: av_bokov@mail.ru, korytovama@susu.ru, sma.59@mail.ru
The aim of the research is to construct a discrete analogue of the generalized differential equation describing convection in a viscous incompressible fluid in spherical coordinates. The mathematical model of convective heat and mass transfer in a viscous incompressible
fluid is given by a system of differential equations derived from the equations of hydrodynamics, heat and mass transfer. These equations satisfy the generalized conservation law, which is described by a differential equation for the generalized variable. The control volume method is used to obtain a discrete analogue of the differential equation. The computational domain is divided into a multiplicity of control volumes with a node in each of them. As a result, a discrete analogue is obtained that relates the value of the generalized variable at the node point to its values at neighboring nodes. The method guarantees strict compliance of conservation laws both in the entire calculation area and in any part of it. To apply the best approximation of the profiles of the generalized variable, there are exact solutions of the conservation equation separately for each coordinate. The physical meaning of exact solutions is briefly explained. As a result, a discrete analogue is constructed for the generalized differential equation using the obtained analytical solutions.
Keywords: mathematical model; convection; generalized differential equation; discrete analogue; control volume.
The work was supported by Act 211 Government of the Russian Federation, contract no. 02.A03.21.0011.
References
1. Bokov A.V., Klyachin A.A., Korytova M.A. [Discretization of Differential Equations of Convection and Diffusion Based on Control Volume Method]. Science Journal of Volgograd State University. Mathematics. Physics, 2016, no. 4, pp. 25-43. (in Russian)
2. Berkovskiy B.M., Polevikov V.K. Vychislitelnyy eksperiment v konvektsii [Computing Experiment in Convection]. Minsk, Universitetskoe, 1988. (in Russian)
3. Patankar S. Chislennyye metody resheniya zadach teploobmena i dinamiki zhidkosti [Numerical Heat Transfer and Fluid Flow]. Moscow, Energoatomizdat, 1984. (in Russian)
4. Patankar S.V. Chislennoye resheniye zadach teploprovodnosti i konvektivnogo teploobmena pri techenii v kanalakh [Computation of Conduction and Duct Flow Heat Transfer]. Moscow, Izdatelstvo MEI, 2003. (in Russian)
5. Fletcher K. Vychislitel'nyye metody v dinamike zhidkostey [Computational Methods for Fluid Dynamics]. Moscow, Mir, 1991. (in Russian)
6. Belova O.V, Volkov V.Yu., Skibin A.P. [Control Volume Method for Calculation of Hydraulic Networks]. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii [Engineering Journal: Science and Innovation], 2013, no. 5, pp. 1-14. (in Russian)
7. Heiss A. Numerische und experimentelle Untersuchungen der laminaren und turbulenten Konvektion in einem geschlossenen Behalter. Dissertation. Munchen: Lehrstuhl A fur Thermodynamik, Technische Universitat Munchen, 1987. (in Germany)
8. Budak B.M., Fomin S.V. Kratnye integraly i ryady [Multiple Integrals and Series]. Moscow, Nauka, 1965. (in Russian)
9. Korn G., Korn T. Spravochnik po matematike dlya nauchnykh rabotnikov i inzhenerov [Mathematical Handbook for Scientists and Engineers]. Moscow, Nauka, 1984. (in Russian)
Received August 31, 2018
