CC BY
29
24 Вестник СамГУ. 2015. № 10(132)
УДК 517.9
Н.А. Манакова, А.А. Селиванова1
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ШОУОЛТЕРА - СИДОРОВА ДЛЯ МОДЕЛИ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИФФУЗИИ
В статье рассматривается численное исследование модели нелинейной диффузии в круге. Уравнение нелинейной диффузии моделирует процесс изменения потенциала концентрации вязкоупругой жидкости, фильтрующейся в пористой среде. Данное уравнение относится к полулинейным уравнениям соболевского типа, которые составляют обширную область неклассических уравнений математической физики. Показаны существование и единственность слабого обобщенного решения задачи Шоуолтера - Сидорова для уравнения нелинейной диффузии. Разработан алгоритм численного решения задачи в круге на основе модифицированного метода Галеркина, и приведен результат вычислительного эксперимента.
Ключевые слова: уравнение нелинейной диффузии, численное моделирование, метод Галеркина, уравнения соболевского типа, задача Шоуолте-ра - Сидорова, слабое обобщенное решение, монотонные операторы, метод монотонности.
Введение
В цилиндре l х R+, где l С R2 - ограниченная область с границей dl класса Cрассмотрим уравнение нелинейной диффузии
(А - A)xt - div(| у x\p-2 у x) = f, А € R, p > 2, (1)
с краевым
x(s,t) = 0, (s,t) € dl х R+ (2)
и начальным
(А - △)(x(s, 0) - x0(s))=0, s € l, (3)
условиями. Уравнение (1) моделирует процесс изменения потенциала концентрации (x = x(s,t)) вязкоупругой жидкости, фильтрующейся в пористой среде [1; 2]. Параметр А € R характеризует вязкость жидкости, причем экспериментально было подтверждено, что отрицательное значение параметра А не противоречит физическому смыслу модели [3]. Свободный член f = f (s,t) отвечает внешней на!© Манакова Н.А., Селиванова А.А., 2015
Манакова Наталья Александровна (manakovana@susu.ac.ru), Селиванова Анастасия Андреевна (a.a.selivanova@inbox.ru), кафедра уравнений математической физики, Южно-Уральский государственный университет, Российская Федерация, 454080, г. Челябинск, пр. Ленина, 76.
грузке. В подходящих функциональных пространствах X, ф задача (1) - (3) редуцируется к задаче Шоуолтера - Сидорова
Ь(х(0) - х0) = 0 (4)
для полулинейного уравнения соболевского типа
Ь х +М(х) = ¡. (5)
Однозначная разрешимость задачи Коши для модели (1), (2) впервые была установлена Г.А. Свиридюком [4]. Н.А. Манаковой было проведено аналитическое исследование модели нелинейной диффузии и показано существование единственного аналитического решения задачи (1) - (3) в слабом обобщенном смысле [5]. Впервые метод Галеркина для полулинейных уравнений соболеского типа был рассмотрен в работе Г.А. Свиридюка, Т.Г. Сукачевой [6]. В статье проведено численное исследование модели нелинейной диффузии, и впервые построен алгоритм нахождения приближенных решений представленной модели в круге на основе модифицированного метода Галеркина.
1. Математическая модель нелинейной диффузии
Пусть Н = (Н; {•, •)) - вещественное сепарабельное гильбертово пространство, отождествленное со своим сопряженным; (Н, Н*) и (В, В*) - дуальные (относительно двойственности {•, •)) пары рефлексивных банаховых пространств, причем вложения
В ^ Н ^ Н ^ Н* ^ В* (6)
плотны и непрерывны.
О 1 1 -,1
Положим Н = Ь2(П), Н =W2 В = ШР(П), Н* = В* = W-1(Q), - +
Ч р
+ — = 1, тогда выполнены вложения (6). Операторы Ь и М определим следующим образом:
(Lx, y) = j(Axy — Vx ■ Vy)ds Ух, y £ H,
Q
(Mx, y) = J\Vx\p-2Vx ■ Vyds Ух, y £ B.
, 'x\
Q
Введем множество coim L = {y £ H ■ (у,ф) =0, Уф £ kerL \ {0}}, span{^i,^2, ...,ф} = ker L, dim ker L = l. Обозначим через {фи} систему собственных функций, а через {Аи} последовательность собственных значений однородной задачи Дирихле для оператора Лапласа (- Д) в области Q, занумерованную по неубыванию с учетом кратности. Система {фи} образует базис в H ив силу вложений (6) тотальна в пространствах H и B.
Построим галеркинские приближения решения задачи (1)-(3) в виде
N
x(s,t) = J2 xu (г)фи (s), N > l, (7)
k=i
где коэффициенты xk = xk(t),k = 1,...,N определяются следующей задачей:
((А — Д)£, фи) + ((div(\ у x\p-2 у x), фи)) = (f, Фи), (8)
((X — А)(х(0) — хо), фи) = 0,к = 1,N, (9)
где (•, •) — скалярное произведение в Ь2(0).
Уравнение (8) представляет собой вырожденную систему обыкновенных дифференциальных уравнений.
о 1
Теорема 1 [5]. Пусть X ^ —Х1, тогда при Ух0 € Ш2 (&), Т € / € Ьч(0,Т; (&)) существует единственное решение х € (0,Т;ео1ш Ь)П ПЬр(0,Т; Шр(П)) задачи (1)-(з).
Теорема 1 гарантирует сходимость приближенного решения (7) к аналитическому точному решению х € Ьж(0,Т; ео1ш Ь) П Ьр(0,Т; Шр(0,)).
2. Численный алгоритм исследования задачи Шоуолтера — Сидорова для модели нелинейной диффузии
На основе теоретических результатов и модифицированного метода Галеркина был разработан алгоритм численного решения задачи (1)-(3) в круге. Приведем алгоритм численного решения задачи (1)—(3), описывающий работу программы.
1 шаг. Осуществляем ввод параметров уравнения нелинейной диффузии, начальных и краевых условий, радиуса круга, количества галеркинских приближений.
2 шаг. Находим собственные значения и собственные функции оператора (—А) в круге.
3 шаг. Генерируем систему алгебро-дифференциальных уравнений и начальных условий.
4 шаг. Численно решаем систему алгебро-дифференциальных уравнений с начальными условиями методом Рунге — Кутты 4-го порядка.
5 шаг. Выводим график приближенного численного решения уравнения нелинейной диффузии.
Приведем пример, иллюстрирующий работу программы.
Пример 1. Рассмотрим задачу (1)—(3) в круге радиуса Я = 1 с центром в т.(0;0), где х = х(г, ф,Ь), X = 1, р = 2 и /(г, ф, Ь) = 0, х(г, ф, 0) = 1 — г2, 0 ^ ф < 2п. Начальные и граничные условия симметричны (не зависят от ф).
Получим задачу Шоуолтера — Сидорова для модели нелинейной диффузии в круге:
' Хх'( — (1 (т(х(тЖ)'г)1 — 1(г(х(г,г)Уг)'г =0,
х(1,г) = 0, Уф € [0, 2п), х(г, 0) = 1 — г2.
Обозначим через Фи ортонормированную систему собственных функций задачи Дирихле для оператора (—А) в круге. Решение х(г,Ь) задачи будем искать в виде галеркинской суммы
N
х(г,Ь) = ^ хи(Ь)Фи (г).
к=1
Найдем приближенное решение задачи Шоуолтера — Сидорова с двумя галеркин-скими приближениями:
х(г,г) = ~ггой ^ (г^1)х1(г) + ~тгой ^(ги>02 )х2(Ь),
(1)
где Л — функция Бесселя первого порядка к, а — нули функции Бесселя '-го порядка.
Если Л = —^то математическая модель окажется вырожденной.
а
б
Рис. 1. График численного решения (1)-(3): a — при t = 0; b — при t = 5
Используя алгоритм, основанный на модифицированном методе Галеркина и приведенный выше, получим график численного решения модели нелинейной диффузии (см. рисунок).
Литература
[1] Дзекцер Е.С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод // ДАН СССР. 1972. № 5. С. 1031-1033.
[2] Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1987. 664 с.
[3] Амфилохиев В.Б., Войткунский Я.И., Мазаева Н.П. Течения полимерных растворов при наличии конвективных ускорений // Тр. Лен. кораблестр. ин-та. 1975. Т. 96. С. 3-9.
[4] Свиридюк Г.А. Одна задача для обобщенного фильтрационного уравнения Бусси-неска // Изв. вузов. Сер.: Математика. 1990. № 2. С. 55-61.
[5] Манакова Н.А. Задачи оптимального управления для полулинейных уравнений соболевского типа. Челябинск: Издат. центр ЮУрГУ. 2012. 88 с.
[6] Свиридюк Г.А., Сукачева Т.Г. О галеркинских приближениях сингулярных нелинейных уравнений типа Соболева // Изв. вузов. Сер.: Математика. 1989. № 10. С. 44-47.
References
[1] Dzektser E.S. Generalization of the equation of movement of ground waters. DAN SSSR [Proceedings of the USSR Academy of Sciences], 1972, № 5, pp. 1031-1033 [in Russian].
[2] Polubarinova-Kochina P.Ya. Theory of movement of ground waters. М., Nauka, 1987, 664 p. [in Russian]
[3] Amfilokhiev V.B., Voitkunskii Ya.I., Mazaeva N.P. Flows of polymer solutions in the presence of convective accelerations. Tr. Len. korablestr. in-ta [Proceedings of Leningrad Shipbuilding Institute], 1975, Vol. 96, pp. 3-9 [in Russian].
[4] Sviridyuk G.A. A problem of generalized Boussinesq filtration equation. Izvestia Vuzov. Matematika [Russian Mathematics (Iz. VUZ)], 1990, № 2, pp. 55-61 [in Russian].
[5] Manakova N.A. Optimal control problem for semilinear Sobolev type equations. Chelyabinsk, Izdat. tsentr IuUrGU, 2012, 88 p. [in Russian].
[6] Sviridyuk G.A., Sukacheva T.G. On Galerkin approximations of singular nonlinear equations of Sobolev type. Izvestia Vuzov. Matematika [Russian Mathematics (Iz. VUZ)], 1989, № 10, pp. 56-59 [in Russian].
N.A. Manakova, A.A. Selivanova2
NUMERICAL INVESTIGATION OF THE SHOWALTER - SIDOROV PROBLEM FOR NONLINEAR DIFFUSION EQUATION
The article concerns a numerical investigation of nonlinear diffusion model in the circle. Nonlinear diffusion equation simulates the change of potential concentration of viscoelastic fluid, which is filtered in a porous media. This equation is a semilinear Sobolev type equation. Sobolev type equations constitute a vast area of non-classical equations of mathematical physics. Theorem of existence and uniqueness of a weak generalized solution to the Showalter - Sidorov problem for nonlinear diffusion equation is stated. The algorithm of numerical solution to the problem in a circle was developed using the modified Galerkin method. There is a result of computational experiment in this article.
Key words: nonlinear diffusion equation, numerical modelling, Galerkin's method, Sobolev type equations, Showalter - Sidorov problem, weak generalized solution, monotone operators, monotone method.
Статья поступила в редакцию 20/IX/2015. The article received 20/IX/2015.
2Manakova Natalia Aleksandrovna (manakovana@susu.ac.ru), Selivanova Anastasia Andreevna (a.a.selivanova@inbox.ru), Department of Equations of Mathematical Physics, South Ural State University, 76, Lenin Prospect, Chelyabinsk, 454080, Russian Federation.
