Научная статья на тему 'Численное исследование задачи оптимального управления распределением по накоплениям для социально-уязвимых слоев населения Пермского края'

Численное исследование задачи оптимального управления распределением по накоплениям для социально-уязвимых слоев населения Пермского края Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
56
16
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Ключевые слова
РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НАСЕЛЕНИЯ ПО НАКОПЛЕНИЯМ / ПЛОТНОСТЬ НАСЕЛЕНИЯ ПО НАКОПЛЕНИЯМ / ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ / ОПТИМИЗАЦИОННАЯ СИСТЕМА / РАСПРЕДЕЛЕННАЯ СИСТЕМА / СОЦИАЛЬНО-ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ПОЛИТИКА

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Первадчук В. П., Владимирова Д. Б., Деревянкина П. О.

Разработка эффективных мер финансовой поддержки социально-уязвимых слоев населения является актуальной задачей для каждого региона России. Для решения этой задачи необходимо проведение комплексного обследования финансового состояния домохозяйств, в том числе в области распределения населения по объему накоплений. В работе рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных параболического типа, моделирующая распределение населения по накоплениям. Целью исследования является постановка и численное решение задачи оптимального управления этой системой по данным Пермского края. Применяются методы теорий дифференциальных уравнений в частных производных и оптимального управления распределенными системами, методы математического и компьютерного моделирования, методы экономического анализа. Сформулирована задача оптимального управления с граничным управлением и распределенным наблюдением. На основе статистических данных по Пермскому краю проведены расчеты модели для кластера, соответствующего социально-уязвимым слоям населения, в системе Comsol Multiphisics. Найдена оптимальная функция семей с минимальными накоплениями. Даны рекомендации относительно социально-экономической политики региона, которые можно использовать с целью повышения уровня накоплений в указанном кластере.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Текст научной работы на тему «Численное исследование задачи оптимального управления распределением по накоплениям для социально-уязвимых слоев населения Пермского края»

УДК517.9, 519.7, 330.4

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЗАДАЧИ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ РАСПРЕДЕЛЕНИЕМ ПО НАКОПЛЕНИЯМ ДЛЯ СОЦИАЛЬНО-УЯЗВИМЫХ СЛОЕВ НАСЕЛЕНИЯ ПЕРМСКОГО КРАЯ

В.П. Первадчук, Д.Б. Владимирова, П.О. Деревянкина

Аннотация. Разработка эффективных мер финансовой поддержки социально-уязвимых слоев населения является актуальной задачей для каждого региона России. Для решения этой задачи необходимо проведение комплексного обследования финансового состояния домохозяйств, в том числе в области распределения населения по объему накоплений. В работе рассматривается краевая задача для дифференциального уравнения в частных производных параболического типа, моделирующая распределение населения по накоплениям. Целью исследования является постановка и численное решение задачи оптимального управления этой системой по данным Пермского края. Применяются методы теорий дифференциальных уравнений в частных производных и оптимального управления распределенными системами, методы математического и компьютерного моделирования, методы экономического анализа. Сформулирована задача оптимального управления с граничным управлением и распределенным наблюдением. На основе статистических данных по Пермскому краю проведены расчеты модели для кластера, соответствующего социально-узвимым слоям населения, в системе Comsol Multiphisics. Найдена оптимальная функция семей с минимальными накоплениями. Даны рекомендации относительно социально-экономической политики региона, которые можно использовать с целью повышения уровня накоплений в указанном кластере.

Ключевые слова: распределение населения по накоплениям, плотность населения по накоплениям, оптимальное управление, оптимизационная система, распределенная система, социально-экономическая политика.

NUMERICAL STUDY OF THE OPTIMAL CONTROL PROBLEM OF SAVINGS DISTRIBUTION FOR SOCIAL-VULNERABLE LAYERS OF POPULATION IN PERM REGION

V.P. Pervadchuk, D.B. Vladimirova, P.O. Derevyankina

Abstract. The development of effective measures of financial support for socially vulnerable segments of the population is an urgent task for each region of Russia. To solve this problem, it is necessary to conduct comprehensive survey of the households financial condition, including the distribution of the population in terms

of savings. The paper deals with a boundary value problem for a partial differential equation of parabolic type, modeling the population distribution by savings. The aim of the study is to formulate and numerically solve the optimal control problem of this system according to Perm region. The partial differential equations and optimal control of distributed systems theories methods, mathematical and computer modeling methods, economic analysis methods have been used. The optimal control problem with boundary control and distributed observation has been formulated. Based on statistical data in Perm region, calculations of the model for the cluster corresponding to the socially vulnerable layers of the population have been carried out using the Comsol Multiphisics system. The optimal function of families with minimum savings has been found. The recommendations about the socio-economic policy of the region, which can be used to increase the level of savings in the cluster, have been offered.

Keywords: the population distribution by savings, the population density by savings, optimal control, optimization system, distributed system, socio-economic policy.

Введение

Одной из важных задач социально-экономического моделирования является задача выбора оптимальных стратегий для повышения благосостояния социально-уязвимых слоев населения. Согласно данным Пермьстата [1], в Пермском крае до сих пор имеется доля населения, имеющего доходы ниже прожиточного минимума. Это говорит об острой необходимости совершенствования социально-экономической политики региона. Для этого требуется комплексное обследование финансового состояния домохозяйств, в том числе в области распределения по денежным накоплениям.

Обычно для решения подобных стратегических задач подвергаются анализу имеющиеся распределения населения по суммам вкладов [6; 7]. Однако накопления социально-уязвимых слоев населения находятся преимущественно в неорганизованном виде [3], поэтому в этом кластере более эффективен метод математического моделирования спектра накоплений.

Разработкой математических моделей распределения населения по накоплениям и его исследованием специалисты начали заниматься относительно недавно. В работе Д.С. Чернавского [5] впервые была построена математическая модель спектра накоплений общества. Далее В.Т. Ерофеенко и И.С. Козловской были сформулированы смешанные задачи для денежных и материальных накоплений ансамблей семей и рассмотрены вопросы вычисления

вероятностных характеристик. Применением спектральных методов к задачам денежных и материальных накоплений занимались Г.А. Гюльмамедова и Э.Г. Оружиев [4]. Расчет стационарного распределения для региона России был выполнен в работе [2]. Однако в современной российской экономической теории и практике до сих пор не решались и даже не ставились задачи оптимального управления распределением общества по накоплениям.

Целью настоящего исследования является постановка и численное решение задачи оптимального управления распределенной системой накоплений: требуется привести распределение социально-уязвимых слоев населения Пермского края по накоплениям к заданному распределению за счет управления количеством семей с минимальными накоплениями и определить оптимальный закон, по которому должно происходить это изменение.

1. Теоретические положения задач оптимального управления системами, моделирующими распределения населения по накоплениям

Если динамика накоплений отдельной семьи описывается стохастическим уравнением

где:

х-накопления (.геЯ'(п), п = [о,х},- /•'(л-./) - скорость изменения денег в семье, X - марковский стохастический процесс с переходной функцией плотности вероятностей р (у^,х,?), которая определяется функциями

тогда плотность ансамбля семей по накоплениям удовлетворяет параболическому уравнению:

В уравнении (1) искомая функция н(х(0,0 есть плотность распределения ансамбля семей по накоплениям х. Она означает долю тех семей в общей выборке, накопления которых находятся в пределах от х до х + Ах; у(х,0 - количество семей, мигрирующих на отрезок

ди _ 8 дт дх

{{р + с}г1)+~(Ь-г1)+/(х,г)

(1)

единичной длины пространства за единичный интервал времени в окрестностях x и t, t е[0,т] - время.

Случайный процесс X будем считать обобщенным винеров-ским процессом с c = const, b = const: если в нулевой момент времени переменная X имела значение X то в момент времени T она будет иметь нормальное распределение с математическим ожиданием X0 + cT и стандартным отклонением bT.

Далее положим F(x) = f(x)+с

Дополним параболическое уравнение (1) начальным и граничными условиями вида:

u(x,0) = ust u(0,t) = u0 u(L,t) = uL

Применим методологию теории оптимального управления к краевой задаче (1)-(4), описывающей динамику распределения ансамблей семей по накоплениям.

Рассмотрим задачу оптимального управления, в которой функцию управления upr(t) введем как функцию плотности семей с минимальными денежными накоплениями: upr(t) = u(0,t), которая должна доставлять минимум функционалу интегрального вида:

A(u,upr)= J(m(x,?)-m*(x,?))2dxdt+ агЦиргЦ2 —»min, а > О

(5)

(2)

(3)

(4)

где:

а > 0 - «цена» управления,

и*(х,0 - заранее заданное состояние системы, область = М x [0,т].

В качестве пространства решений выберем Ь2(Н[(0)0,т), а в качестве пространства управлений ¿2(0,г) с нормой

г,

\ирг\ = \\\ирг^Х л

Задача управления (1)-(5) относится к классу задач с граничным управлением и распределенным наблюдением. Существование оптимального элемента задачи обеспечивается выпуклостью, полунепрерывностью снизу и коэрцитивностью целевого функционала.

С экономической точки зрения такая постановка означает, что управляя плотностью семей с минимальными накоплениями, требуется обеспечить такое распределение семей по всем накоплениям, чтобы оно всюду в области было близко к заранее выбранному состоянию ы*(х/).

Необходимые условия разрешения задачи оптимального управления в постановке (1)-(5) приведем в виде оптимизационной системы относительно искомой функции ы(х^) и сопряженной функции р(х,1):

(6)

После решения системы (6) оптимальное управление находится по формуле:

(7)

2. Численная реализация задач оптимального управления системами, моделирующими распределения населения по накоплениям, на примере социально-уязвимых слоев населения Пермского края

Определим параметры модели для Пермского края на 2016 г. аналогично [5]. Скорость изменения денег в семье зададим функцией:

р(х) = (1 - 0,35 • @(рд))-р ~ - од • X • ®(х,10).

(8)

где 0 (х. у) = —-. Р{х) = 0,72- 0,015- х • ©(.т,40)

х8 + у8

Дрейф с принят нулевым, шум 6 = 4.

Задача решалась в области = [0,Ь] x [0,т], где Ь = 31,28 прожиточных минимумов, т = 12 месяцев. Начальное и граничное условия были заданы в соответствии со стационарным решением уравнения (1).

Пусть требуется, чтобы в каждый момент времени распределение и(х,0 по накоплениям было близко к нормальному распределению и*(х,0 с параметрами: математическое ожидание равно 10, среднеквадратичное отклонение равно 4. Это будет означать, что у большинства семей в кластере накопления составляют 10 прожиточных минимумов и позволяют купить наиболее дешевый элитарный товар (стоимость которого в модели заложена также равной 10 прожиточным минимумам). Под элитарным товаром понимается такой товар, спрос на который не падает по мере роста дохода (это, как правило, высококачественные товары). В стационарном случае основной массе семей из рассматриваемого кластера элитарные товары недоступны: у основной массы накопления составляют 2,68 прожиточных минимумов, что в несколько раз меньше, чем минимальная цена элитарного товара (10 прожиточных минимумов).

Численное исследование модели проводилось в системе COMSOL Multiphysics 4.2.

Известно, что по сравнению с 2015 г. доля населения с величиной среднедушевого дохода менее прожиточного минимума в Пермском крае в 2016 г. изменилась на 0,023 % [1], поэтому функцию семей-мигрантов зададим как

На рисунке 1 приведем решение и(х,0 оптимизационной системы (6).

На рисунке 2 приведем нормированное решение и(х,0 оптимизационной системы (6) в последний момент времени, заданное распределение и*(х,0 в последний момент времени и нормированное решение иЛх,() уравнения (1) в стационарном случае. По графикам видно, что по сравнению со стационарным состоянием, демонстрирующим сложившуюся к 2016 г. ситуацию, аргумент функции распределения семей по накоплениям и(х,0 в точке максимума сдвинулся с 2,68 прожиточных минимумов вправо и составил 6,71 прожиточных минимумов.

0 5 10 15 20 25 30

х

Рисунок 1. График функции и(х^) по временным срезам

0,11 0,1 0,09 0,08 0,07 0,06 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01 0

0 5 10 15 20 25 30

х

Рисунок 2. Графики функций и(х,12), и(х,12), шШ(х)

1 1 1 I 1

........и stationary __и* (Г = 12) и (Г = 12)

гЧ

•Л \

Л\ \

/ ' / - / / \ \ ^ \ \

/ / \

7 / - / \ \

ч N— —

На рисунке 3 приведем график функции ирго^(Г) оптимального управления распределения семей с минимальными накоплениями. Она показывает, по какому закону должна уменьшаться доля семей

2 4

8 10

12

Рисунок 3. График функции иртр(()

0

0

6

кластера, имеющих минимальными накоплениями с течением времени. Как видно по графику, доля семей кластера, имеющих минимальные накопления должна быть сведена за год к нулю.

Значение параметра а при решении оптимизационной системы (6) подобрано эмпирически: а = 10.

Значение целевого функционала (5) при таком решении составило:

А(ы,иргор1)= <ЬЛ+ а^\иргор,{^ Л = 0,40751 + 10-0,00094 = 0,41688

Таким образом, обеспечивая уменьшение доли семей с минимальными накоплениями в кластере социально-уязвимых слоев населения по полученному оптимизационному закону, отраженному на рисунке 3, с помощью, например, адресной финансовой поддержки нуждающихся, мы добьемся, чтобы у основной массы этих семей накопления возросли с 2,68 до 6,71 прожиточных минимумов.

Заключение

В работе была сформулирована и численно решена задача оптимального управления для системы распределения населения по накоплениям. Рассматривался кластер социально-уязвимых слоев

населения (среднедушевой доход меньше прожиточного минимума). Параметры модели были определены на основе статистических данных по Пермскому краю за 2016 г. и экспертных оценок.

Управляя долей семей с минимальными накоплениями требовалось сместить распределение семей вправо по оси накоплений - увеличить уровень накоплений большинства семей кластера с 2,68 до 10 прожиточных минимумов. Мы определили оптимальный закон, согласно которому необходимо свести к нулю число семей с минимальными накоплениями за год. Этого можно добиться благодаря программам адресной финансовой помощи нуждающимся, снижению налоговой ставки по доходу и компенсации расходов на жизненно-необходимы товары и так далее - меры реализации этого закона для модели несущественны.

Тогда, как показывают наши расчеты, накопления большинства семей кластера к концу года будут составлять 6,71 прожиточных минимумов.

В заключение отметим, что региональная социально-экономическая политика использует традиционные инструменты, ориентированные на управление затратами. Применение методологии оптимального управления распределенными системами может помочь руководству региона повысить результативность управления им.

Библиографический список

1. Пермский край в цифрах. 2018: краткий статистический сборник / Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики по Пермскому краю. Пермь. 2018.

2. Крысова Е.В., Шатров А.В. Методы стохастической динамики в математическом моделировании социально-экономических процессов // Математический вестник педвузов и университетов Волго-Вятского региона. 2006. № 8.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3. Матовников М.Ю. Сберегательная активность населения России // Деньги и кредит: информационно-аналитические материалы. 2015. № 9.

4. Оруджев Э.Г., ГюльмамедоваГ.А. О смешанных задачах на конечном пространстве накоплений // Актуальные проблемы экономики. 2011. № 11.

5. Чернавский Д.С., Попков Ю.С., Рахимов А.Х. Математические модели типологии семейных накоплений // Экономика и математические методы. 1994. Т. 30. Вып. 2.

6. Kitamura Y., TakayamaN., AritaF. Household savings and wealth distribution in Japan. In Life Cycle Savings and Public Policy: A Cross-National Study of Six Countries / ed. А. Borsch-Supan. San Diego, 2003.

7. Jantti M., Sierminska E., Van Kerm P. Modelling the joint distribution of income and wealth // IZA Discussion Papers. 2015. № 9190.

В.П. Первадчук

доктор физико-математических наук, профессор заведующий кафедрой прикладной математики Пермский национальный исследовательский политехнический университет E-mail: [email protected]

Д.Б. Владимирова

кандидат физико-математических наук, доцент доцент кафедры прикладной математики Пермский национальный исследовательский политехнический университет E-mail: [email protected]

П.О. Деревянкина

аспирант

Пермский национальный исследовательский политехнический университет E-mail: [email protected]

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.