Численное исследование взаимодействия сверхзвуковой струи с цилиндро-конической преградой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Т о м X

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

197 9

№ 3

УДК 518:517.9:533.7

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ СВЕРХЗВУКОВОЙ СТРУИ С ЦИЛИНДРО-КОНИЧЕСКОЙ

ПРЕГРАДОЙ

В. И. Погорелое

Нецентральная разностная схема применяется для расчета взаимодействия сверхзвуковой струи, истекающей из кольцевого сопла, с осесимметричным телом, представляющим собой комбинацию цилиндра и конуса. Установлена структура течения, содержащего внутренние ударные волны, а также исследовано влияние основных газодинамических параметров на форму границы струи и распределение давления по поверхности тела.

1. Рассмотрим осесимметричную сверхзвуковую струю, истекающую из кольцевого сопла шириной Л, на оси симметрии которого установлен цилиндр радиуса г0, переходящий на расстоянии хк от выходного сечения сопла в конус с полууглом раствора ß (рис. 1). Радиус внутренней кромки сопла гв всегда больше радиуса цилиндра и поэтому в замкнутой области, ограниченной плоскостью выходного сечения сопла, поверхностью цилиндра и внутренней поверхностью струи, образуется донное течение, которое в настоящей работе не рассматривается. Струя истекает в неподвижную окружающую среду с давлением рпричем в дальнейшем считается, что здесь реализуется режим недо-расширения, когда степень нерасчетности истечения nA=pAjpoa больше единицы.

Давление в донной области ра, а следовательно, и степень нерасчетности истечения пв = рв1рЛ, определялось по известному числу М в выходном сечении сопла на основании данных работы [I], а для устранения некоторой неопределенности в оценке рА расчеты в каждом из вариантов проводились при нескольких значениях степени нерасчетности пв. При этом рассматривались только такие соотношения радиусов цилиндра и внутренней кромки сопла, когда донная область существует и всегда замыкается на цилиндре, а поток в выходном сечении сопла параллелен оси симметрии и имеет постоянное давление, т. е. Ра=РВ-

Для решения поставленной задачи использовалась нецентральная разностная схема Мак-Кормака [2, 3], которая на гладких решениях имеет второй порядок точности и позволяет вести сквозной счет без выделения поверхностей разрыва, образующихся во внутренних областях течения. Возможность проведения сквозного счета с меньшими амплитудами колебаний параметров на поверхностях разрыва по сравнению с другими схемами второго порядка точности, а также простота и экономичность схемы позволили осуществить ее практическую реализацию в ряде сложных газодинамических задач. Однако до последне-

Рис. 1

го времени круг этих задач ограничивался, главным образом, проблемами внешнего обтекания тел. В то же время при помощи разностной схемы первого порядка точности [4], [5] решался и ряд задач о течении в сверхзвуковых струях.

Целью настоящей работы является исследование возможности использования нецентральной разностной схемы для сквозного расчета течения в сверхзвуковой полуограниченной струе, содержащей внутренние ударные волны, которые пересекаются и взаимодействуют друг с другом.

Эта схема успешно использовалась ранее [6] для расчета пространственного течения в свободной сверхзвуковой струе, однако решению рассматриваемой здесь задачи сопутствуют некоторые особенности, игнорирование которых может затруднить проведение расчетов и на которых следует остановиться особо.

2. Дивергентные уравнения газовой динамики для совершенного нетеплопроводного газа с постоянной энтальпией торможения во всей области течения записывались в цилиндрической системе координат х, г с началом в точке пересечения оси цилиндра и плоскости выходного сечения сопла. Рассматриваемая область, которая в меридиональном сечении ограничена слева выходным сечением сопла, вверху — образующей внешней границы струи, а внизу — образующей внутренней границы струи и телом, преобразовывалась в единичную полосу, в которой строилась разностная сетка с постоянным шагом по радиальной координате, а параметры потока в узлах сетки определялись шагами по осевой координате х, начиная от выходного сечения сопла.

В уравнениях газовой динамики проекции скорости потока и, V на оси х, г и полная скорость XV относились к максимальной термодинамической скорости, давление р и плотность р — к соответствующим значениям в критическом сечении сопла, а линейные размеры — к половине его ширины, т. е. к Л/2.

Первая особенность разностной схемы, сопутствующая решаемой в настоящей работе задаче, связана с выбором направления, в котором берутся разностные отношения на первом шаге (предикторе) и на втором (корректоре). Установлено, что в области ударной волны, распространяющейся от тела, в предикторе необходимо брать левые разностные отношения, а в корректоре — правые, и наоборот, если ударная волна распространяется к телу.

Правильный выбор? направления разностных отношений в схеме Мак-Кор-мака позволяет существенно уменьшить нежелательные колебания на поверхностях разрыва, на что указывалось и при решении задач о внешнем обтекании тел [2, 3], а в работе [7] предпринята попытка теоретического обоснования этого условия на примере простейшего нелинейного уравнения.

Другая особенность разностной схемы возникает при расчете граничных точек, расположенных на внутренней и наружной поверхностях струи, где давление, плотность и полная скорость потока постоянны. Здесь разностные отношения в предикторе и корректоре берутся в одну сторону: на внутренней границе — влево по радиальной координате, а на внешней — вправо. В процессе расчетов установлено, что при пА > 20 в точках, предшествующих внешней границе струи, возникают сильные колебания решения, которые затрудняют проведение расчетов. Подробный анализ причин возникновения этих колебаний показал, что принятый способ вычисления параметров в граничных точках разностной сетки приводит к нарушению условия консервативности разностной схемы. Источником колебаний служила разность потоков на общей границе двух соседних ячеек разностной сетки. Для устранения этой разности потоков в узле, предшествующем граничному, разностное выражение, соответствующее коррек-

тору, модифицировалось путем введения в его правую часть дополнительного слагаемого. И, наконец, в граничных точках, соответствующих телу — цилиндру или конусу, использовались левые разностные отношения на первом и втором шагах расчета вместе с условием непротекания потока, а затем производилось окончательное уточнение газодинамических параметров по схеме [3], которая успешно использовалась и при решении задач о внешнем обтекании тел сверхзвуковым потоком.

Построенная с учетом указанных особенностей разностная схема позволяет полностью определить параметры течения и ударные волны без их явного выделения, однако в тех областях течения, где наблюдается значительное изменение параметров, возможно возникновение колебаний решения, которые ограничены и затухают по мере удаления от них. Для подавления этих колебаний в разностную схему вводилась искусственная вязкость путем периодического слабого сглаживания газодинамических комплексов, причем во внутренних точках использовалось пятиточечное, а в приграничных точках разностной сетки — трехточечное сглаживание. Отметим особо, что отсутствие сглаживания не препятствует проведению расчетов и введено здесь в разностную схему лишь для полного подавления колебаний газодинамических параметров.

3. Расчеты проводились на ЭВМ по программе, составленной на языке FORTRAN-IV, а время счета типичного варианта для сетки с числом узлов К = = 40 по радиальной координате до осевого сечения с координатой х = 32 не превышает 30 минут. Исследование проводилось для следующего диапазона изменения основных параметров: числа М в выходном сечении сопла — 1,6<!МаС4; показателя адиабаты— 1,67; степени нерасчетности истечения на внеш-

ней кромке сопла — 5 <ил < 100; радиуса цилиндра — 1 < г0 < 100; расстояния до конуса — 5<;л:кС20 и полуугла раствора конуса — 10° < ß < 25°. На рис. 1 построена типичная структура течения, образующаяся в полуограниченной сверхзвуковой струе, распространяющейся вдоль поверхности цилиндро-кони-ческого тела при Ма = 3; пА = 20; пв = 5,25; * = 1,4; ß = 10°; г0 = 7. Штрихпунк-тирными линиями на рис. 1 построены внутренняя и внешняя границы струи, а тонкими сплошными — ударные волны, которые построены путем плавного соединения точек сечений, в которых наблюдался локальный экстремум градиентов газодинамических параметров. Здесь же нанесено несколько профилей статического давления в поперечных сечениях рассматриваемой полуограниченной струи, которые хорошо иллюстрируют характер перестроения течения, в котором наблюдаются внутренние ударные волны. Нижний висячий скачок уплотнения 1 взаимодействует с присоединенной ударной волной 3, возникающей в точке встречи внутренней границы струи с цилиндром, с образованием интерференционной ударной волны 4. В точке пересечения ударных волн возникают еще тангенциальный разрыв и волна разрежения или скачок уплотнения в зависимости от параметров приходящих скачков уплотнения. Разностная схема не позволяет установить подробные детали течения в этой области, однако о существовании волны разрежения или скачка уплотнения можно косвенно судить по характеру изменения статического давления на теле вблизи этой области. Так, например, на основании графиков статического давления, приведенных на рис. 2, можно предположить, что при Ма = 2,4 (кривая 2) на тело приходит скачок уплотнения и здесь возникает второй локальный максимум давления, а при

7 —¡азы-1-—-1-1-1_i_

О Ч- 8 12 1ô 20 24 28 x

Рис. 3

Рис. 4

OL) S)

Рис. 5

Ма = 1,6 (кривая 1) на тело приходит волна разрежения. Увеличение числа М в выходном сечении сопла снижает уровень статического давления на теле, которое резко уменьшается в тех областях, где поток ускоряется. Графики на рис. 2 построены при следующих исходных данных: х=1,4; пА =20; р =10°; г0 = 7; хк = 10; Ма = 1,6 (пв = 2,25) — кривые /; Ма = 2,4 (пв = 3,7) — кривые 2; Ма = = 3(/гв=5,25)— кривые 3. Что касается показателя адиабаты то рост его, как и ожидалось, увеличивает уровень давления на теле и уменьшает поперечные размеры струи. Соответствующие графики приведены на рис. 3, где Ма = 3; пА = 10; /¡в = 5,25; ¡5= 10°; 7 — V. = 1,67; 2 —х= 1,4; 3-%=1,25; 4 — *= 1,15, и не требуют дополнительных комментариев.

Степень нерасчетности истечения пА на внешней кромке сопла не влияет на распределение давления по поверхности тела, о чем свидетельствует график, построенный на рис. 4, а, где Мв = 2,4; * = 1,4; пв = 3,7; [5 = 10°; 1 — пА — 5; 2 — пд= 10; 3—пА=30; 4—пА=100, но с увеличением этой степени нерасчетности возрастают поперечные размеры струи. В то же время степень нерасчетности истечения пв на внутренней кромке сопла не влияет на поперечные размеры струи и является только определяющей для уровня статического давления на поверхности цилиндра. На рис. 4, б построены границы струи и профили статического давления на теле при Ма = 2,4; х = 1,4; пА = 20; г0 = 7; л:к=10; 3=10° и 1 — пв = 6,7; 2— пв = 5,25; 3 — пв = 3,7; 4 — пв = 2,25. Эти графики и аналогичные им, полученные при других исходных данных, позволяют утверждать, что погрешности в определении давления в донной области влияют в основном на распределение статического давления по поверхности близкой к соплу части тела.

Влияние полуугла раствора конуса ¡3 и радиуса цилиндра г0 иллюстрируется графиками, построенными на рис. 5. На рис. 5, а, где Ма = 4; х = 1,4; пА = 20; пв — 6,7; / — р = 15°; 2— р = 20°; 3— р 25°. Угол р определяет величину давления в точке пересечения цилиндра и конуса, где образуется присоединенный скачок уплотнения. В дальнейшем давление на конусе резко падает и практически постоянно для всех значений р.

О влиянии радиуса цилиндра г0 на форму внешней границы струи можно судить на основании графиков на рис. 5, б (Мд = 2,4; пА = 20; пв = 3,7; т. = 1,4; Р = 20°; 1 — г0 = 1; 2—г0— 15; 3 - г0 = 30; 4 — г0= 100). Можно отметить только частичное совпадение границ струй в области, примыкающей к выходному сечению сопла, и дальнейшее их расхождение, что является очевидным следствием необходимости использования ширины струи в качестве характерного размера при оценке степени приближения рассматриваемого течения к плоскому, при котором отсутствуют эффекты осевой симметрии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Чжен П. Отрывные течения, т. 3, М., .Мир", 1973.

2. Ku tier P., Lorn ах Н. Shock-capturing, finite-difference ар-proack to supersonic flows. .J. Spacecraft and Rockets", vol. 8, N 12, 1971.

3. К и t I e r P., Warming R. F.,Loraax H. Computation of space shuttle flowfields using noncentered finite — difference schemec. „А1АА J.", vol. 11, N 2, 1973.

4. И'в a h о в M. Я., К р а й к о А. Н., Михайлов Н. В. Метод сквозного счета для двумерных и пространственных сверхзвуковых течений. „Ж. вычисл. матем. и матем. физ.", т. 12, № 2, 1972.

5. Благосклонов В. И., И в а н о в М. Я. Алгоритм и программа расчета двумерных сверхзвуковых течений идеального газа. Труды ЦАГИ, вып. 1660, 1975.

6. Погорелов В. И., Щербанина Г. Б. Особенности истечения сверхзвуковой струи из сопла с косым срезом. „Изв. АН СССР, МЖГ", 1977, № 4.

7. Le rat A. et Ре у ret R. Sur l'origine des oscillations apparaissant dans les profilles de choc calculés par des méthodes aux différences. „С. R. Acad. Sci.". Paris, A, N 10, 1973.

Рукопись поступила 2l\lll 1978 г.