Численное исследование переноса лазерного оптического излучения в высокодисперсных порошковых средах Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 621.373.826

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ПЕРЕНОСА ЛАЗЕРНОГО ОПТИЧЕСКОГО ИЗЛУЧЕНИЯ В ВЫСОКОДИСПЕРСНЫХ ПОРОШКОВЫХ СРЕДАХ

КОСТЕНКОВ С. Н., ХАРАНЖЕВСКИЙ ЕВ.

Удмуртский государственный университет, 426034. г. Ижевск, ул. Университетская, 1

АННОТАЦИЯ. Представлены результаты математического моделирования переноса энергии излучения в пористых порошковых средах, облучаемых лазером. Компьютерная модель основана на решении уравнения Гельмгольца. Показано, что распределение интенсивности лазерного излучения по глубине порошкового слоя носит экспоненциальный характер. Для дисперсных порошковых сред установлены зависимости коэффициента затухания энергии электромагнитных волн от длины волны лазерного излучения, коэффициента отражения, диаметра частиц и плотности насыпки порошка.

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: лазерное облучение, перенос излучения, порошковые среды, коэффициент затухания, математическая модель.

ВВЕДЕНИЕ

Лазерное воздействие на порошковые среды используется во многих процессах, среди которых можно выделить семейство технологий селективного лазерного спекания/плавления, которое применяется для изготовления деталей методом послойного спекания разнородных порошков. Экспериментальный поиск оптимальных параметров лазерной обработки с целью достижения заданных значений качества изделий затруднен наличием большого числа управляющих параметров процесса, среди которых большое влияние оказывают энергетические характеристики лазерного излучения, дисперсность порошков, а также многочисленные морфологические параметры частиц [1]. В связи с этим задача компьютерного моделирования процессов переноса энергии лазерного излучения в порошковых средах является актуальной. Для сплошной металлической поверхности, воздействие лазерного излучения можно учесть в виде потока тепла на границе вакуум-металл, такой подход не применим к описанию действия лазерного излучения на пористые порошковые среды. Так, например, в работе [2] экспериментально доказано, что лазерное излучение вследствие дифракционных эффектов проникает в область геометрической тени, а распределение мощности прошедшего излучения по глубине порошкового слоя подчиняется закону Бугера. На распределение энергии лазерного излучения при прохождении порошковой среды оказывают влияние такие факторы как наличие пустот и пор, фраунгоферова дифракция, интерференция, взаимодействие с материалом частицы. Результаты расчетов [3] продемонстрировали, что от коэффициента у затухания лазерного излучения в среде зависит глубина к зоны спекания дисперсных порошков, как к ~ 1/у. Математическая формулировка прохождения излучения в сильно разбавленных средах решена в теории дифракции Ми [4, 5], уравнения которой получены при рассмотрении дифракции излучения на изолированных полидисперсных частицах. Подробное описание рассеяния излучения плотными рассеивающими средами встречает определенные трудности [6]. Приближения же геометрической оптики для описания рассеивания излучения могут быть неприменимы в случае сопоставимых значений характерного размера частиц порошка с длиной волны лазерного излучения. Среди существующих подходов к описанию транспорта энергии в дисперсной порошковой рассеивающей среде, в которой излучение проникает через поры, можно выделить подход, основанный на использовании уравнений транспорта энергии излучения для многофазной среды. Впервые система интегро-дифференциальных уравнений этой модели получена в работах Консалви [7], в которой каждое уравнение характеризует рассеяние излучения отдельной фазой среды, имеющей свои характеристики рассеяния. Данные уравнения являются следствием из теории Ми. Применение этой модели для расчета переноса лазерного излучения в порошковой среде с металлическими частицами,

подробно рассмотрено в работах Гусарова [8, 9, 10]. Было показано, что порошковая среда с непрозрачными частицами может быть аппроксимирована эквивалентной гомогенной поглощающе-рассеивающей средой, а интенсивность излучения в точке определяется вкладами от непосредственного проникновения излучения от источника с учетом затухания и от рассеяния излучения всеми остальными точками пространства. Выбор эффективных параметров рассеяния/поглощения порошковой средой определяет основные трудности использования данной модели. Обоснованный выбор этих параметров может быть осуществлен для случая, когда размер непрозрачных частиц порошка многократно превышает длину волны лазера. В соответствии с теорией эффективной гомогенной среды [9], приближения геометрической оптики позволяют получить выражение для коэффициента ^затухания излучения для монодисперсных сферических частиц с диаметром ^

г = (1)

2(1 -р)й

где р - плотность насыпки порошка (доля от плотности сплошного материала). Важным вопросом для исследований является применимость выражения (1) для порошковых сред в которых характерный размер частиц сопоставим с длиной волны лазера.

Целью данной работы является создание компьютерной модели, основанной на численном решении уравнений, полученных на основе системы уравнений Максвелла, проведение численных расчетов в 2D гетерогенной двухфазной среде и установление зависимостей параметров взаимодействия лазерного излучения с высокодисперсными порошковыми средами от длины волны лазерного излучения, коэффициента отражения, диаметра частиц и плотности насыпки порошка.

УРАВНЕНИЯ МОДЕЛИ

Распространение электромагнитных волн в среде, поглощение излучения металлами, процессы рассеяния, дисперсии и интерференции световых волн описываются в рамках положений классической электродинамики. Подробное внимание вопросам взаимодействия лазерного излучения с веществом рассмотрено в работах Либенсона [11]. Решение системы уравнений Максвелла для однородной изотропной среды, обладающей проводимостью и

свободными носителями заряда, приводит к телеграфному уравнению (2) для Е - вектора напряженности электрического поля в электромагнитной волне. В проводящих металлических средах коэффициенты этого уравнения можно представить в комплексном виде, что приводит к комплексному показателю преломления среды. Решением телеграфного уравнения

V2 Е-^еЁ-!.-Мо — = 0 (2)

дг2 дг

является волновой процесс, при этом затухание электромагнитной волны в металле определяется членом с первой производной по времени. Учитывая малые размеры области, заполненной порошком, и высокую скорость распространения лазерного излучения, распределение энергии в области после включения импульса лазера быстро приходит к стационарному состоянию. Тогда решение телеграфного уравнения можно представить в виде произведения временной и координатной частей, независимых друг от друга:

Е = и ■ ехр[-шг ], (3)

где и - координатная часть уравнения независимая от времени. Подставляя решение (3), в уравнение (2) получим уравнение для сплошных сред вида:

V2 и + k2 и = 0, (4)

которое является уравнением Гельмгольца и описывает распространение волн в упругих средах. Здесь к - волновое число, являющееся действительной величиной при

распространении волн в вакууме или диэлектриках (к = 2я/Л) и комплексной величиной при распространении волн в проводящих средах (например, в металлах). Таким образом, можно перейти к решению уравнения (4) для стационарных состояний, что значительно сокращает требуемые вычислительные ресурсы при проведении численных расчетов.

Уравнение (4) справедливо во всех внутренних точках моделируемой среды, но теряет смысл на границах раздела вакуум-металл, где параметры среды и, следовательно, характеристики электромагнитного поля меняются скачкообразно. Теоретическое описание явления взаимодействия лазерного излучения с металлами подробно изложено в работе [11]. При прохождении электромагнитной волны вглубь металла наблюдается быстрое затухание амплитуды колебаний, за время порядка нескольких фемтосекунд. Это явление называется скин-эффектом. Глубина ^ скин-слоя, в котором излучение затухает практически полностью, составляет для металлов величину несколько нанометров при длине волны в микрометровом диапазоне. Такое значение глубины скин-слоя объясняет высокие отражательные способности металлических поверхностей. Решение уравнения (2) с учетом граничных условий позволяет получить выражение для глубины скин-слоя и вычислить коэффициент отражения от металлической поверхности при заданной длине волны излучения и проводимости металла. Однако непосредственная численная реализация вычислительной схемы на основе телеграфного уравнения требует создания вычислительной сетки вблизи границы раздела вакуум-металл с шагом около 0,1 нм, что создаёт значительные вычислительные трудности при реализации модели и необходимо использование супервычислительных машин.

Упрощение вычислительной процедуры может быть достигнуто, если принять допущение, что коэффициент отражения не зависит от угла падения излучения на поверхность металла. В этом случае значение направленного коэффициента отражения совпадает со значением полусферического коэффициента отражения Я. Тогда физические явления при взаимодействии электромагнитного излучения с поверхностью металла связаны с зеркальным отражением лазерного излучения поверхностью металла с коэффициентом отражения Я. При этом наблюдается сдвиг фазы отраженной волны на угол, определяемый свойствами вещества. Для диэлектриков этот угол равен п, что соответствует оптической разности хода Х/2 вследствие отражения волны от более плотной оптической среды.

Наиболее просто получить выражения для граничных условий на границе вакуум-диэлектрик можно в одномерном пространстве. Представим координатную часть и волны в виде суперпозиции падающей и отраженной волн:

и = и1 ехр[гкх] + и2 ехр[- г(кх + п)], (5)

где и 1, и 2 - амплитуды падающей и отраженной волн соответственно.

Первый член правой части выражения (5) соответствует волне, распространяющейся вдоль оси х, второй член выражает обратную, отраженную волну с учетом сдвига фаз на угол п. При отражении от поверхности амплитуды этих волн связаны выражением

и 2 =4ки1. Продифференцируем функцию и по нормали п к металлической поверхности. Так как нормаль выбирается всегда направленной извне замкнутой поверхности, то в одномерном случае производная по нормали равна производной по координате х, взятой с обратным знаком:

ди ди

(6)

дп дх

Тогда, дифференцируя выражение (5), можно получить:

ди ,тг 2гкл1яи ехр(-гп)

-+ гки =-=-^-^. (7)

дп 1 + >/Я ехр(- гп)

Данное выражение справедливо для границы раздела вакуум-диэлектрик в одномерном пространстве. Нетрудно показать, что для пространства с размерностью два и более выражение (7) приходит к виду:

п-Уи+гки =-. (8)

1 + V к ехр(- гп)

Аналогично можно получить выражение граничного условия для источника излучения с единичной амплитудой на облучаемой лазером границе порошковой области:

n-VU + ikU = 2ik , (9)

для абсолютного поглощения излучения (R = 0):

п-У и+ гки = 0 (10)

и для зеркального отражения излучения с коэффициентом К = 1 (абсолютное отражение):

n-V U = 0. (11)

Таким образом, в данной работе предложен способ моделирования транспорта энергии излучения в порошковой среде с непрозрачными диэлектрическими частицами, основанный на решении уравнения (4) с граничными условиями (8) - (11), позволяющий исключить из рассмотрения процессы, протекающие в глубине частицы, что значительно снижает требования по шагу вычислительной сетки.

Получим теперь граничные условия для моделирования транспорта энергии лазерного излучения в порошковой среде с металлическими частицами. Лазерное излучение, падающее на металлический порошковый слой, представляет собой электромагнитные волны, локализованные вблизи поверхности раздела двух сред и распространяющиеся вглубь металлической среды. Интенсивность электромагнитных волн быстро падает в направлении, перпендикулярном поверхности раздела. Электромагнитная падающая волна может быть поляризованной в общем случае эллиптически или вообще может быть неполяризованной, однако любое деполяризованное лазерное излучение можно представить как суперпозицию двух некогерентных линейно поляризованных во взаимно перпендикулярных направлениях волн. Если поляризация перпендикулярна плоскости падения, такие колебания называются s-волной, а с поляризацией параллельной плоскости падения ^-волной. Для деполяризованного излучения интенсивности s- и ^-компонент в среднем одинаковы по величине. Рассматривая уравнения гармонических волн совместно с граничными условиями на границе воздух-металлический порошок, с учетом закона преломления получаются формулы Френеля для коэффициента отражения по амплитуде [13 - 15]:

n,cosO- n2cosen n2cosd- n,cos#n „„.

rs = —-2--, rs = —-1--, (12)

s n cos в + n2 cos в0 ' s n2 cos в + n cos в0 '

квадрат которого, в свою очередь, дает коэффициент отражения по потоку энергии волны:

rs2 = Rs, r2p = Rp. (13)

Особенности отражения лазерного излучения от проводящих сред, как было уже указано, связаны с наличием в металлах свободных электронов. Образуется сильная отраженная волна, которая зависит от проводимости вещества, комплексного показателя преломления проводящей среды. Рассматривая отраженную волну в комплексной форме записи, мы получим амплитудные коэффициенты отражения:

rs = \rs\ехР(Р), rp = \rp\ехр(ч). (14)

При отражении от слоя металлического порошка s- и ^-компоненты испытывают дополнительный сдвиг фаз [13 - 15], рассчитываемый по формулам, полученным с использованием уравнения (14):

Чsin2в-n21 0 fvsin2в-n2 Л , рр = 2arctg

Ps = 2arctg

cose

n cose

V У

(15)

где 0 - угол падения на границу вакуум-металл, п = п - гх - комплексный показатель преломления проводящей среды. Общее выражение для комплексного показателя преломления в металлах вводится в полуклассической теории Друде [17 - 22], в ней

математически описано распространение электромагнитных волн в проводниках. На основе формализма Друде, рассматривая электромагнитные волны на границе металл-воздух, используя равенство:

п = ^а (а), (16)

подставляя в него аналитическую зависимость вс(ш), получаем формулу для расчета

комплексного показателя преломления. Для конденсированных проводящих сред

взаимодействие среды с электромагнитными волнами (условно говоря, оптические свойства)

определяется следующей комбинацией статистической диэлектрической проницаемости,

поляризуемости и проводимости среды [13 - 16]:

( \ „ 4то „„.

ес = £(»)+ 4паа +-. (17)

а

Подставим в данное выражение проводимость и поляризуемость:

№2у Ш2

а = ~Г~2-Гр а =--Г~2-Г\. (18)

та +у ) та +у)

Учитывая, что в высокочастотном пределе диэлектрическая проницаемость вакуума

равна единице (е (ю) = 1), приходим к выражению:

22 а гуа

^ = 1 —Г+Ч + м 21, О9)

а +у а(а +у

где т - эффективная масса электрона в твердом теле, N - концентрация свободных

электронов, а2р - резонансная частота, у - частота столкновений электронов с фононами и

другими электронами и дефектами. Формула (19) связывает макроскопическую характеристику среды с микроскопическими характеристиками, показывает, что оптические свойства проводящих сред зависят от этих параметров. Производя аналитические расчеты с использованием формул (15) и (19) получаем, зависимость сдвига фаз от угла падения для ¿•-компоненты и ^-компоненты отраженной волны от металлического порошка. Диапазон, к которому можно условно отнести частоты ю, соответствует по длине волны диапазону равному 1 мкм. В оптике эту область спектра называют ближним инфракрасным диапазоном. Как показывают результаты расчетов для ¿-компоненты, сдвиг фазы приближается к углу п при отражении, а для ^-компоненты сдвиг фазы практически равен нулю. Тогда суммарный сдвиг фазы для отраженного лазерного излучения, принимая во внимание результаты для взаимно перпендикулярных и ^-компонент, будет равен п/2. Учитывая данный факт, для процесса численного моделирования можно вывести граничные условия на границе раздела сред вакуум-металл в дифференциальном виде. Получить выражение для граничных условий можно, представив координатную часть волновой функции в виде суперпозиции падающей и отраженных s- и р-волн, делая математические преобразования, приходим к виду граничных условий со сдвигом фазы п/2:

^ ^ гк 2л/Яи ехр[- г — |

п-Уи + гки =-^-п^ . (20)

1 + л/~Я ехр!1

Полученное граничное условие описывает взаимодействие деполяризованного лазерного излучения с поверхностью металлической частицы. Используя это условие возможно проведение численного моделирования методом конечных элементов процесса взаимодействия лазерного излучения с металлическими ультрадисперсными порошками. Таким образом, для среды с непрозрачными непроводящими частицами уравнение Гельмгольца решается с граничным условием (8), а для металлических частиц с граничным условием (20).

Адекватность модели проверялась численным моделированием классических физических опытов по дифракции и интерференции света, для которых известны

аналитические решения, с различными коэффициентами отражения. Отклонение результатов численного моделирования от аналитических решений не превышало 0,4 %.

Численная модель была реализована в коммерческом вычислительном пакете Comsol MultiPhysics 3.5а, предназначенном для решения физических и инженерных задач. Стационарное уравнение (4) для поставленной задачи было реализовано методом конечных элементов средствами Comsol. Геометрия расчетной области для дисперсного порошка и расчетная сетка вблизи поверхности металлической частицы показаны на рис. 1.

СЬ

О 10 20 30 40 50 60 мкм

Гъ

0.2

а)

0 10 20 30 цт

^3

б)

в)

Рис. 1. Расчетная область, геометрия и граничные условия: а) монодисперсного порошка, б) композитного порошка, в) вид расчетной сетки

Вследствие того, что в двумерном случае плотность р насыпки является отношением площади, занятой частицами, к площади расчетной области, частицы, при случайном распределении, расположены в некотором удалении не касаясь друг друга. Размер расчетной области принимался 60*50 мкм и 30*50 мкм. Расчетная сетка составлена из элементов треугольной формы. Максимальное значение шага вычислительной сетки составляло 0,1 мкм. В расчетной области содержалось до 106 элементов сетки.

На границах расчетной области задавались выражения: на границе О1 выражением (9) задавался источник электромагнитной волны единичной амплитуды; на боковых границах О2 использовалось выражение (11), соответствующее полному отражению волны от стенок; на границе О3 задавалось условие для абсолютного поглощения волны (10). На границах раздела сред вакуум-поверхность непрозрачного диэлектрика О4 задавалось условие (8), соответствующее отражению с коэффициентом Я и сдвигу фазы отраженной волны на угол п. Задаваемое граничное условие (8) и сдвиг фазы п могут быть использованы для моделирования среды с непрозрачными частицами из диэлектриков, оксидов металлов, керамики и полимеров. В случае металлических частиц вместо условия (8) используется условие (20).

РЕЗУЛЬТАТЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ОБСУЖДЕНИЕ

В настоящей работе проведено 2D численное моделирование транспорта энергии лазерного излучения, как для модельных порошковых сред, так и для порошковой среды, параметры которой соответствуют физическому эксперименту, описанному в работе [3]. Модельные монодисперсные порошковые среды состояли из одинаковых сферических частиц, задаваемых в 2D пространстве бесконечными параллельными цилиндрами. Полидисперсные композитные порошковые среды представляли набор гибридных элементов из сферических частиц разного диаметра. Моделирование в этих средах выполнялось с целью определения коэффициента у затухания излучения в зависимости от длины волны Я излучения, коэффициента Я отражения и диаметра й частиц, случайно расположенных в расчетной области с различной плотностью р насыпки.

В общем случае коэффициент затухания является функцией диаметра d частиц порошка, плотности р насыпки порошка (в единицах от плотности сплошного материала), коэффициента Я отражения на границе частиц, и длины X волны электромагнитного излучения:у = f^,р,Я,Я). Установление вида этой зависимости является одной из целей данного исследования. На рис. 2 показано распределение амплитуды колебаний при проникновении излучения с Я = 1 мкм вглубь порошковой зоны с диаметром частиц 3 мкм при плотности р = 0,28.

а) б)

Рис. 2. Результаты моделирования распространения лазерного излучения в порошковой среде.

На плоскости приведено распределение амплитуды волны (левая шкала), по вертикали приведено усредненное по ширине расчетной области значение интенсивности электромагнитной волны (правая шкала): а) монодисперсного порошка, б) композитного порошка

Видно, что излучение проникает в область геометрической тени. Зависимость интенсивности электромагнитных волн от глубины проникновения в порошковую область изображена на границе области на рис. 2, а также на рис. 3 в логарифмической шкале. Усредненная по ширине области интенсивность в относительных единицах вычислялась на основе функции и согласно выражения I = Re(U)2 + 1т(и)2. В работе использовалось известное соотношение между интенсивностью электромагнитной волны и амплитудой вектора напряженности I ~ Е2. Рис. 3 демонстрирует экспоненциальный характер затухания интенсивности излучения в порошковом слое из композитного материала, то есть поведение кривой ¡(И) соответствует закону Бугера с постоянной затухания у .

-41-----

Ю 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 Глубина, мкм

Рис. 3. Зависимость интенсивности электромагнитной волны от глубины проникновения в порошковый слой из композитного материала. Интенсивность усреднялась по ширине расчетной области

Численные расчеты с модельными композитными порошковыми средами позволили установить, что зависимость коэффициента затухания от диаметра диэлектрических частиц

имеет гиперболический вид и соответствует выражению УрКЯ(3) =05 (рис. 4, а). Этот

результат подтверждает справедливость приближений геометрической оптики. Согласно этому приближению для плотности порошковой среды 28 % коэффициент у определяется как 0,58/3. Используя граничное условие (20) со сдвигом фазы п/2 для расчетной среды с металлическими частицами, получили зависимость коэффициента затухания от диаметра

частиц в виде функции урКЛ(3) = —34 (рис. 4, б), т.е. в среде с металлическими частицами

с1

коэффициент затухания излучения больше, чем в среде с диэлектриками.

у, мкм" < к

0,6

0,5 0,4 0,3 0,2 0Д 0

0 4 8 12 16 20 24 28 32 4 мкм

у, мкм 1,4 ^ 1,3 1,2 1,1 1

0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0

14 16 d, мкм

а)

б)

Рис. 4. Зависимость коэффициента затухания лазерного излучения от диаметра частиц порошковой среды:

а) непрозрачные диэлектрики; б) металлические частицы

Важным результатом численного моделирования является получение зависимости коэффициента затухания у от плотности р модельной порошковой среды уёкя(р) при

различных 3 В результате численных расчетов был установлен вид функции уакя(р) и

было показано, что функция УКх(3, р) может быть представлена в виде

Укл(3,р) = уркя((})ус1кя(р). Как видно на рис. 5, коэффициент затухания растет с

повышением плотности насыпки и уменьшается при увеличении диаметра 3 частиц.

Точками на графиках показаны результаты численного моделирования. Плавные

линии на рис. 5, а соответствуют аппроксимации функцией укл(<$,р) = —\Р—г, которая

23 (1 - р)

совпадает с формулой (1) для порошковых сред с диэлектрическими частицами. Для сред с металлическими частицами (рис. 5, б) функция имеет вид:

3 р

Ук,

№, р) = -

33/21 -р

(21)

Результаты для функции укл(3,р) были получены при постоянном значении длины

волны лазерного излучения X = 1 мкм и коэффициента отражения К = 0,7.

Одним из важных параметров, определяющим эффективность поглощения лазерного излучения гетерогенной средой, является коэффициент К отражения излучения поверхностью каждой из частиц. С использованием приближения о независимости коэффициента отражения от угла падения получены результаты зависимости коэффициента у затухания от К при различных значениях параметров р и 3 На рис. 6 приведены результаты, характеризующие данную зависимость.

0

2

4

6

8

у, мкм

0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 р

а)

0

0,1

0,4 0,5

0,2 0,3

б)

Рис. 5. Зависимость коэффициента затухания лазерного излучения от плотности моделируемой порошковой среды для различных диаметров d сферических частиц: а) непрозрачные диэлектрики; б) металлы

0,6

у, мкм 1,00 ^

0,90

0,80

0,70

0,60

0,50

0,40

0,30

0,20

0,10

0,00

-1

d = 1 мкм

у, мкм

I

0,5 0,4 0,3 0,2

-1

d = 3 мкм

0,1

0,2

0,4

0,6

0,8

0,0.

0,2

0,4

0,6

0,8

R

а)

б)

Рис. 6. Зависимость коэффициента затухания излучения для частиц порошковой среды с различным диаметром d при постоянной длине волны от коэффициента отражения: а) для непрозрачных диэлектриков; б) для металлов

Точками на графиках показаны результаты расчетов, плавные линии соответствуют аппроксимирующим функциям. Как видно из рис. 6, а, в случае непрозрачных диэлектрических частиц с увеличением коэффициента отражения вначале наблюдается линейное уменьшение коэффициента затухания, но при некотором пороговом значении Я происходит переход к нелинейной кривой. В диапазоне Я от 0 до 0,8 результаты вычислений

0 9

могут быть аппроксимированы функцией уЯ рЯ(Я) = с1 (1 - 0,7Я) , где коэффициент с1 = —.

d

Следует отметить, что коэффициент затухания не обращается в ноль при значении

р

0

1

0

коэффициента отражения Я = 1. Таким образом, экспоненциальное затухание энергии лазерного излучения связано не только с её поглощением поверхностью частиц, но и с потоком диффузно отраженного излучения порошковой средой в целом. Полученный вид зависимости уЯ рЯ (Я) позволил установить, что вид этой функции определяется только

параметром Я. Это означает, что искомую функцию уЯ(<,р,Я) можно представить в виде

произведения независимых функций: УЯ(<,р,Я) = урЯ Я(<)уйЯ я(р)ул р Я(Я). Итоговая

зависимость коэффициента затухания от параметров порошковой среды с непрозрачными диэлектрическими частицами при постоянной длине волны X = 1 мкм имеет вид:

П(<,р,Я) = 2,6(1-М1т-рр. (22)

а 1 -р

Для металлических частиц функция уарЯ(Я) является нелинейной во всем интервале

значений коэффициента отражения, что показано на рис. 6, б. Результаты вычислений представлены следующей функцией:

0,32(1 + Я - 2Я2), при <а = 3 мкм У а ,р,Я( Я ) = ] 0,12 (1 + 0,8Я - 1,3Я2), при < = 6 мкм (23)

0,08 (1 + 0,2 Я - 0,7 Я2), при < = 12 мкм

Как видно из выражения (23), вид функции сильно изменяется при различных значениях диаметра частиц в порошке, что позволяют сделать вывод, что, в отличие от диэлектрических частиц, искомую функцию УЯ(<,р,Я) нельзя представить в виде произведения независимых функций: уЯ(<,р,Я) Ф урЯ Я(<)уйЯ я(р)ул рЯ(Я) . Также видно,

что для крупных частиц коэффициент затухания практически не зависит от Я и график зависимости уЛрЯ(Я) может быть представлен горизонтальной прямой, что соответствует

предельному переходу к геометрической оптике.

Один из важнейших параметров, устанавливающий характеристики взаимодействия лазерного излучения с высокодисперсными порошковыми средами, является длина волны Я. На рис. 7 показана зависимость коэффициента затухания у от длины волны X излучения для сред с плотностью р = 0,28 с различными диаметрами < частиц. Если для непрозрачных диэлектриков с увеличением длины волны наблюдается непрерывный экспоненциальный рост коэффициента затухания (рис. 7, а), то для металлов вид функцииуйрЯ(Я) сильно

изменяется (рис. 7, б) и для случая, когда диаметр частиц много больше длины волны, можно отметить, что у практически не зависит от X, что является предельным переходом к геометрической оптике.

На графике (рис. 7, а) точками приведены результаты численного моделирования в средах с диэлектрическими частицами, а сплошные линии соответствуют аппроксимирующим функциям вида:

^ (Я)=°гЧ0'6Я) (24)

С граничными условиями для металлических частиц (рис. 7, б) аппроксимирующие функции имеют выраженный максимум, положение которого определяется диаметром частиц как Хтах = С. Результирующая зависимость имеет вид:

6,4 (_ <

я4< ехр I Яу

Видно, что в обоих случаях функции уарЯ(Я) зависят от двух параметров:

Я.

Ус,р,Я (Я) = Т^ехР I- <1. (25)

Уйрк(Я) = 11 Я,— I. Это означает, что искомая функцияу(й,р,Я,Я) не может быть

представлена как произведение функций независимых переменных, т.е. у(3,р,К,Л) ^уЛ(3,р,К)-ус1рЛ(у) и, поэтому возникает необходимость устанавливать вид

функции уя (3, р, К) для конкретного значения длины волны лазерного излучения, при этом должны быть получены выражения вида (22) или (23), (21).

а) б)

Рис. 7. Зависимость коэффициента затухания лазерного излучения для частиц порошковой среды с различным диаметром d от дины волны излучения: а) непрозрачные диэлектрики, б) металлы

В реальных порошках сферическая форма частиц встречается часто, однако, сами частицы имеют распределение по диаметру. Согласно теории эквивалентной гомогенной поглощающе-рассеивающей среды [9] распространение излучения в среде с полидисперсными частицами соответствует уравнению:

Р = Рь ехр(-ОЛ), (26)

при этом эффективный показатель затухания энергии излучения в среде определяется выражением:

п

О = £ /,у, , (27)

/=1

где Л - доля фазы с /-м набором параметров; у/ - коэффициент затухания, рассчитанный для каждой фазы в отдельности по значениям ръ

Прямой численный расчет полидисперсных сред с количеством фаз п = 3 полностью подтвердил данное предположение. Затухание интенсивности лазерного излучения в полидисперсных диэлектрических средах различной плотности (рис. 8.) соответствует уравнению (27), в котором значение у/ для каждой из фаз задавалось выражением (22). На рис. 8 зависимость N соответствует моделируемой области, содержащей одинаковое количество частиц с разными диаметрами а зависимость соответственно, -моделируемой области в случае, когда содержится разное число частиц с задаваемое так, чтобы частицы составляли одинаковый вклад в удельную поверхность порошка. Точки на графиках соответствуют результатам численного моделирования, сплошные линии - расчет по формуле (27).

Таким образом, при моделировании теплопереноса в ходе лазерной обработки порошковых сред можно рассматривать порошковую среду как квазисплошную с объемным источником энергии лазерного излучения, определяемым через уравнения (21 - 23), (26),

(27). Вследствие того, что излучение проникает в порошковую среду через поры и пустоты, то в целом порошковый слой будет поглощать большую долю энергии падающего лазерного излучения, чем в случае сплошной поверхности. Поэтому актуальной задачей данной работы являлось численное исследование зависимости поглощательной способности порошковой средой в целом от параметров порошковой среды. Результаты компьютерного моделирования подтверждают, что в отличие от сплошной среды, где поглощение средой А определяется выражением А = 1-Я (прямая линия на рис. 9), эффективность поглощения порошковой средой тем выше, чем меньше отношение что для примера показано вертикальной линией на рис. 9 вблизи значения Я = 0,8. Это позволяет сделать вывод, что более дисперсные среды поглощают свет эффективнее.

О, мкм-1

Рис. 8. Зависимость эффективного коэффициента П затухания лазерного излучения от плотности моделируемой полидисперсной порошковой среды с непрозрачными диэлектрическими частицами

Рис. 9. Зависимость доли поглощенной энергии А порошковым слоем в целом от коэффициента отражения материала Я частиц для различных отношений d/l

Для проверки адекватности модели проводилось сравнение результатов расчетов с экспериментом. В работе [3] экспериментально установлена зависимость интенсивности прошедшего излучения от толщины порошкового композитного материала Fe-10%Ni. Порошок представляет собой сферические частицы карбонильного железа, в несплошной никелевой оболочке. Плотность насыпки порошка составляла 28 % от теоретической плотности сплошного материала. Способ получения этого порошка описан в работе [12]. В физическом эксперименте [3] использовался иттербиевый оптоволоконный лазер с длиной волны 1,065 мкм. Коэффициенты R отражения от поверхности железа и никеля принимались равными 0,7. Выбор такого значения коэффициента обоснован в работе [11]. Результаты расчетов показывают, что распределение интенсивности излучения зависит и от формы частиц, вследствие различной эффективности рассеяния излучения. В физическом эксперименте было зарегистрировано значение у = 0,11 мкм-1 [3], тогда как результаты численных расчетов дают значение для полидисперсного композитного порошка из непрозрачного диэлектрика у = 0,17 мкм-1, для металлических частиц у = 0,187 мкм-1, а для монодисперсного порошка у = 0,13 мкм-1,таким образом, результаты 2D расчета показывают хорошее согласование с экспериментом.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Пространственное распределение энергии излучения в дисперсной среде с металлическими частицами рассчитано с использованием модели, принимающей во внимание волновую природу распространения света, уравнения которой получены на основе уравнений Максвелла. На основе 2D численных расчетов получено подтверждение экспоненциального характера распределения энергии лазерного излучения в объеме порошкового слоя, обнаруженного ранее экспериментально. Распределение энергии соответствует закону Бугера, который изначально был получен для оптически прозрачных гомогенных сред, но его применение обосновано детальным рассмотрением распространения излучения сквозь пустоты в порошковой среде и возникновением явлений дифракции и рассеяния света на частицах порошка. Эффективность проникновения лазерного излучения в среду определяется плотностью порошка, размером и морфологией частиц, длиной волны лазерного излучения и коэффициентом отражения от поверхности. Статистическая обработка данных позволила получить аналитическое выражение, определяющее вид зависимости коэффициента затухания от этих параметров. Важным результатом численных расчетов является полученное хорошее согласование, как с экспериментом, так и с моделью эффективной гомогенной среды, однако, в данной работе впервые получен вид распределения энергии излучения при сопоставимых значениях длины волны лазерного излучения и диаметра частиц порошка. Также показан переход к приближениям геометрической оптики для оценки параметров, определяющих эффективность поглощения излучения средой при условии, когда диаметр частиц много превышает длину волны излучения. Результаты исследований полезны для математического моделирования процессов тепломассопереноса при лазерном воздействии на ультрадисперсные порошковые среды.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кривилев М.Д., Харанжевский Е.В., Анкудинов В.Е., Гордеев Г.А. Управление лазерным спеканием металлических порошковых смесей // Управление большими системами. 2010. Вып. 31. С. 299-322.

2. Костенков С.Н., Харанжевский Е.И. Рассеяние и поглощение лазерного излучения при его прохождении через ультрадисперсные порошковые среды // Вестник Удмуртского университета. Физика и химия. 2011. С. 1-10.

3. Костенков С.Н., Харанжевский Е.В., Кривилев М.Д. Метод определения характеристик взаимодействия лазерного излучения с нанокомпозитными порошковыми материалами // Физика металлов и металловедение. 2012. Т. 113, № 1. С. 98-103.

4. Diermendjian D. Electromagnetic scattering on spherical polydispersions. New York : Elsevier, 1969. 260 p.

5. Дейрменджан Д. Рассеяние электромагнитного излучения сферическими полидисперсными частицами. М. : Мир, 1971. 303 с.

6. Baillis D., Sacadura J.F. Thermal radiation properties of dispersed media: theoretical prediction and experimental characterization // J. Quant Spectrosc & Radiat. Transfer. 2000. V. 67, № 5. P. 327-363.

7. Consalvi J.L., Porterie B., Loraud J.C. A formal averaging procedure for radiation heat transfer in particulate media // J. Heat Mass Transfer. 2002. V. 45, № 13. P. 2755-2768.

8. Gusarov A.V., Smurov I. Radiation transfer in metallic powder beds used in laser processing // Journal of Quantitative Spectroscopy & Radiative Transfer. 2010. V. 111, № 17. P. 2517-2527.

9. Gusarov A.V. Homogenization of radiation transfer in two-phase media with irregular phase boundaries // Phys. Rev. B. 2008. V. 77. P. 144201-144214.

10. Гусаров А.В., Перенос излучения в слоях металлических порошков при лазерном формировании // Квантовая электроника. 2010. Т. 40, № 5. С. 451-459.

11. Либенсон М.Н., Яковлев Е.Б., Шандыбина Г. Д. Взаимодействие лазерного излучения с веществом (силовая оптика). Часть 1. Поглощение лазерного излучения в веществе / под общ. ред. В.П. Вейко. СПб. : СПб ГУ ИТМО, 2008. 141 с.

12. Харанжевский Е.В., Кривилев М.Д. Лазерное спекание нанокомпозитов Fe-Ni // Физика металлов и металловедение. 2011. Т. 111, № 1. С. 54-63.

13. Канавин А.П., Мищик К.Н., Урюпин С.А. Отражение и поглощения излучения металлом с неоднородно нагретыми электронами // Квантовая электроника. 2009. Т. 39, № 9. С. 839-844.

14. Князев Б.А., Кузьмин А.В. Поверхностные электромагнитные волны: от видимого диапазона до микроволн // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Физика. 2007. Т. 2, вып. 1. С. 108-122.

15. Герасимов В.В., Князев Б.А., Рудыч П.Д., Черкасский В.С. Френелевское отражение в оптических элементах и детекторах для терагерцового диапазона // Приборы и техника эксперимента. 2007. № 4. С. 103-108.

16. Яковлев Е.Б., Шандыбина Г.Д. Методические рекомендации по выполнению практических заданий по курсу «Взаимодействие лазерного излучения с веществом». СПб. : СПб ГУ ИТМО, 2011. 184 с.

17. Сивухин Д. В. Общий курс физики. Оптика. М. : Физматгиз, 1980. 751 с.

18. Соколов А.В. Оптические свойства металлов. М. : Физматгиз, 1961. 464 с.

19. Ахманов С.А., Никитин С.Ю. Физическая оптика. М. : Наука, 2004. 654 с.

20. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М. : Наука, 1970. 855 с.

21. Савостьянова М.В. Современное состояние вопроса об оптических постоянных металлов // Успехи физических наук. 1937. Т. XVIII, вып. 4. С. 479-491.

22. Гинзбург В.Л., Мотулевич Г.П. Оптические свойства металлов // Успехи физических наук. 1955. Т. 55, вып. 4. С. 469-535.

COMPUTER SIMULATION OF LASER OPTICAL RADIATION TRANSPORT IN HIGH DISPERSIVE POWDER BEDS

Kostenkov S.N., Kharanzhevskiy E.V. Udmurt State University, Izhevsk, Russia

SUMMARY. This study presents results of computer simulation of energy transport in porous powder beds irradiated normally by laser irradiation. Computer model is based on Helmholtz equation which applicability is proved by Maxwell equation system. It is found that energy distribution in powder beds has exponential dumping and depends from dispersity and morphology of powder. Characteristics of extinction coefficient depend on wave length, reflectivity coefficient, diameter of particles and density of powder beds were established.

KEYWORDS: laser irradiation, transport of laser energy, powder beds, extinction coefficient, computer simulation.

Костенков Сергей Николаевич, доцент кафедры общей физики УдГУ, тел. (3412)91-62-41, e-mail: kneknekne@yandex.ru

Харанжевский Евгений Викторович, кандидат технических наук, доцент кафедры общей физики УдГУ, заведующий лабораторией экспериментальной физики и автоматизированного эксперимента, e-mail: eh@udsu.ru