CC BY
33
Механика деформируемого твердого тела Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (4), с. 1355-1356
УДК 539.3
ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ИЗГИБА МНОГОСЛОЙНОЙ ПРЯМОУГОЛЬНОЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ СВОБОДНОМ ОПИРАНИИ ДВУХ ПРОТИВОПОЛОЖНЫХ КРАЕВ
© 2011 г. А.В. Аристамбекова
Образовательно-научный институт наноструктур и биосистем, Саратов
aristambekovaav@mail.ru
Поступила в редакцию 15.06.2011
Рассматривается статический и вибрационный изгиб многослойной прямоугольной пластинки, составленной из N ортотропных слоев произвольной толщины. Считается, что два края пластинки свободно оперты, а два других закреплены произвольно. Предлагается численный метод решения этой задачи. Результаты численных расчетов представлены в виде таблиц и графиков.
Ключевые слова: ортотропная пластинка, изгиб, вибрация, численное решение, дискретная ортогонали-зация.
Рассматривается многослойная прямоугольная пластинка, имеющая размеры в плане axb и толщиной H. Пластинка состоит из ортотропных слоев с толщинами hk, к = 1, N (рис. 1).
Тогда для амплитудных значений искомых величин получается следующая система уравнений:
aök
dx
+ + + pk ro2~(k) = 0
dy dz (x ^ y ^ z; k = 1, N);
(1)
¥( k) = A(k)
11
d~(k) dx
+ A
(k) 12
a~(k)
+ A
(k) 13
~ (k) = A(k) V _ 44
dy
/d~(k) dw(k )Л + -
dw(k) dz
dz dy
\ У
(x ^ y ^ z; 1 ^ 2 ^ 3; 4 ^ 5 ^ 6;
~(k) ^ ~(k) ^ w(k), k = 1N).
(2)
Рис. 1
Пластинка находится под действием нагрузки интенсивности
тпх
q( x, у, 0 = p0( У )8т-ехрО'юО,
a
которая распределена по плоскости г = Н. Края x = 0, х = а предполагаются свободно опертыми, а края у = 0, у = Ь закреплены произвольно. Считается, что деформации пластинки малы и подчиняются закону Гука [1].
Для определения проекций вектора смещения и напряжений к-слоя записывается система уравнений, состоящая из уравнений движения сплошной среды и уравнений обобщенного закона Гука.
Все характеристики напряженно-деформированного состояния к-слоя будем искать в виде
/(к) (х, у, г, 0 = /(к) (х, у, г) ехр( ю ?).
Здесь через А(к) обозначены упругие постоянные, рк — плотность материала к-го слоя.
Решение уравнений (1), (2) должно подчиняться условиям на верхней и нижней плоскостях:
при г = 0
0,
(1)
0,
при z = H i~(() =.
T(i) =
0,
mnx
Ро(y)sin—^ = 0, тУР = 0;
(3)
на поверхностях контакта смежных слоев: при z = Ък
~(k) = ~(k+(),
~(k) = ~(k+()
w(k) = w(k+(),
s(k) =c(k+(),
~ (k) = ~ (k+1)
xz xz '
(4)
yk)=+() (k=i, n -1),
yz
на боковых краях х = 0, х = а, ~(к) =~(к) = 0, <~(к) =0; условия на краях у = 0, у = Ь записываются в соответствии со способом их закрепления.
a
1356
А.В. Аристамбекова
Для понижения размерности краевой задачи (1)-(4) функции ~(k~(k\ w(k) ищутся в виде:
N+1
~(k) = Hcosmn^ YU(k)(G)ft(n),
i=-1 N+1
~(k) = Hsinmn^ (k)(^)9t(П), (5) i=-1 N+1
w(k) = Hsinmn^ YW(k(П),
i=-1
где ^ = x/a, n = y/b, Z = z/H - безразмерные переменные; функции U(k), F(k) и W(k) подлежат определению, а функции fi (n), фг- (n), (n) - линейные комбинации кубических сплайнов B3,.(n), подобранные таким образом, чтобы выполнялись условия при n = 0 и n = 1. Например, в случае жесткого закрепления при n = 0 и n = 1
f (n), = Ф, (n) =Vi (n) (i = 0N), fo(n) = -45з,_1(п) + ^з,0 (n);
fi(n) = - V1(n) + 53,1 (n); f (n) = B3l (n), (i = 2,N_2);
fN _1(n) = _ B3, N+1(n) + B3, N _1(n); fN (n) = _4B3, N +1(n) + B3, N (n).
Граничные условия при ^ = 0 и ^ = 1, когда ~(k), ~(k) и W(k) определяются формулами (5),
выполняются автоматически.
Система обыкновенных дифференциальных уравнений для функций Ц(к), V® и ШК) получается из уравнений (1) и (2) после перехода к безразмерным величинам и подстановки выражений (5) методами разделения переменных и сплайн-коллокации [2]. Граничные условия для этой системы следуют из условий (3) и (4), выполнение которых также требуется в точках коллокации. Задача решается численным методом дискретной ортогонализации С.К. Годунова.
Этот метод применялся для исследования напряженно-деформированного состояния изгиба двухслойных и трехслойных пластинок. В качестве материала слоев выбраны ортотропные стеклопластики типа СВАМ. В процессе вычислений для квадратных пластинок (а = Ь = 1 м) при различных значениях толщины Н определены максимальные амплитуды прогиба при статическом изгибе и резонансные частоты в диапазоне 0 < ю < 50000 с-1.
Список литературы
1. Лехницкий С.Г. Анизотропные пластинки. М.: ГИТТЛ, 1957. 463 с.
2. Григоренко Я.М., Крюков Н.Н. Решение задач теории пластин и оболочек с применением сплайн-функций (обзор) // Прикл. механика. 1995. Т. 31, №6. С. 3-26.
THE STRESEDS-STRAINED STATE OF BENDING OF A MULTILAYERED PLATE WITH TWO SIMPLY-SUPPORTED OPPOSITE EDGES
A. V. Aristambekova
Bending and vibrations of a multilayered rectangular plate is considered. The plate is composed of N orthotopic layers of arbitrary thickness. Two opposite edges of the plate are simply supported. A numerical solution method is developed and implemented. The results are presented in a tabular form.
Keywords: orthotopic plate, bending, vibration, numerical solution, discrete orthogonalization.
