Численное исследование краевых задач нелинейной фильтрации Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.988

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

Е.Г. ШЕШУКОВ*, К.П. КУРЦЕВА**

Казанский государственный энергетический университет Казанский федеральный университет (филиал в г. Зеленодольске)

Рассмотрено решение задач безнапорной нелинейной фильтрации в трапецеидальной и прямоугольной грунтовой плотине при наличии горизонтальных слоев с различными коэффициентами: фильтрации, зоны неполного насыщения, вертикального противофильтрационного ядра, горизонтальной дрены. Дано обобщение на трехмерный случай. Предложенный сеточный метод расчета можно использовать для проведения многофакторных исследований экологических аспектов влагопереноса в реальных пористых средах.

Ключевые слова: нелинейная фильтрация, ненасыщенный грунт, влагоперенос, сеточный метод.

Введение

Интенсивное использование природных водных ресурсов, предотвращение вредного воздействия воды на окружающую среду определяют широкое строительство гидротехнических сооружений. С их помощью осуществляются те или иные водохозяйственные мероприятия, создаются водохранилища, регулируются расходы и уровни воды, осуществляется пропуск льда и наносов и т.д.

Гидротехнические сооружения бывают различного назначения и строятся в разнообразных природных условиях, в частности, выполненные из грунтовых материалов водоподпорные сооружения (плотины, дамбы) перегораживают водоток и воспринимают напор воды.

Грунтовые плотины получили широкое распространение. Для обоснования рациональных и экономичных форм и размеров плотины, ее противофильтрационных и дренажных устройств необходимо проводить соответствующие фильтрационные расчеты, которые позволяют определять потери воды через тело плотины, положение поверхности депрессии, области полного и неполного насыщения, участки высачивания и градиенты напора.

2

Пусть плотина занимает область ПеЯ ; граница дО состоит из частей , где соответствует непроницаемому основанию; 52, Бз — частям плотины в контакте с жидкостью и атмосферой, Од — неизвестная область фильтрации,

© Е.Г. Шешуков, К.П. Курцева Проблемы энергетики, 2012, № 3-4

часть границы которой - свободная граница (депрессионная кривая),

разделяющая сухую и влажную части плотины.

Фильтрация подчиняется нелинейному закону

У{ х) = —к (х,\Щ )Ук( х),

где к(х) - напор жидкости; V(х) - скорость фильтрации; к(х,|Ук|) - заданная

функция, характеризующая нелинейную связь; вид этой функции зависит от закона фильтрации.

В области фильтрации О.0 выполняется уравнение неразрывности:

ШуК (х) = 0, х . 1.Трапецеидальная перемычка

Пусть О. = ЛБСО - трапецеидальная перемычка (рис. 1) с горизонтальным непроницаемым основанием. Геометрические размеры перемычки следующие: |Л^| = 3 , |БМ| = 1, \БС\ = 1, |ЛМ| = = 1. Напор в верхнем бьефе

Н1 = 1, в нижнем - Н2 = 0,2. Считаем атмосферное давление Р = к — х2 равным нулю. Условия на депрессионной кривой :

к = х2, х е V п = 0, х е %

где п - единичный вектор нормали. На остальной части границы дО0.

Рис. 1. Трапецеидальная перемычка

Задача состоит в отыскании неизвестной области фильтрации О.0 и поля напоров к(х), х е О.0 .

Поставленная нелинейная задача решается методом фиксированной области [1].

Суть метода: исходная нелинейная краевая задача со свободной границей сводится к вариационному неравенству в фиксированной области с нелинейным оператором.

Рассматриваемая задача аппроксимируется конечно-разностной схемой на фиксированной сетке. Нелинейное сеточное уравнение в рассматриваемой

области решается методом расширенного лагранжиана (совокупность метода штрафа и метода множителей Лагранжа).

Использование лагранжиана позволяет одновременно находить как сеточные приближения к напорам, так и к скоростям фильтрации. Кроме того, определяется сеточная аппроксимация характеристической функции области фильтрации, по значениям которой строится депрессионная кривая. Седловая точка конечно-разностного расширенного лагранжиана отыскивается с помощью итерационного метода типа Удзавы [2]. Реализация каждого шага этого метода состоит в решении линейной сеточной схемы в фиксированной области и совокупности несвязанных между собой нелинейных скалярных уравнений. Последовательность линейных краевых задач решается методом верхней релаксации. Совокупность нелинейных скалярных уравнений решается методом Ньютона.

По результатам числовых расчетов на рис. 1 изображены депрессионные кривые. Сплошные линии соответствуют кривой депрессии, линиям тока и равных напоров, полученных в результате решения задачи с линейным законом фильтрации:

V = -кУй, (1)

где к - коэффициент фильтрации (расчеты проводились при к=1).

Штрихом отмечена депрессионная кривая, соответствующая квадратичному закону

г2

, , V

\УЦ = —, (2)

к

пунктиром - депрессионная кривая, соответствующая двучленному закону:

I , V V2

Уй = - + . (3)

к к2

Из рисунка видно, что депрессионные кривые фильтрационного потока с нелинейным законом расположены выше свободной границы потока с линейным законом. Общий фильтрационный расход определялся как среднее арифметическое значение для расходов, найденных по формуле

х2э

0 = Г к(х,Щ)^х2, 0

для каждого вертикального сечения, проходящего через кривую депрессии ( Х2 5 - ордината точки кривой депрессии в рассматриваемом сечении). Для закона Дарси 01= 0,2296, координаты участка высачивания (2,636; 0,364), для квадратичного закона фильтрации расход 02= 0,4194, координаты (2,48; 0,52), для двучленного закона фильтрации расход 0 3= 0,1838, координаты (2,555; 0,445).

Методом фиксированной области также проводилось решение задач при наличии различных неоднородностей в плотине.

2. Прямоугольная перемычка с горизонтальными слоями

Рассматривается прямоугольная перемычка О = ЛБСО, ширина перемычки Ь = 1. Напор в верхнем бьефе Н = 1, в нижнем — Н2 = 0,2. Тело плотины состоит из двух горизонтальных слоев с различной проницаемостью (рис.2), толщина нижнего слоя 0,45, верхнего — 0,55, коэффициент фильтрации нижнего слоя кн = 0,1, верхнего слоя - кв = 1.

Решение данной фильтрационной задачи для различных законов фильтрации отображено на рис. 2. Сплошные линии соответствуют кривой депрессии, линиям тока и равных напоров, полученных в результате решения задачи с линейным законом фильтрации (1), штрихом отмечена депрессионная кривая, соответствующая квадратичному закону (2), пунктиром - депрессионная кривая, соответствующая двучленному закону (3).

Из рисунка видно, что на границе раздела пластов ММ линии тока и линии равных напоров претерпевают излом. В случае слоистой пористой среды помимо граничных условий на границе области фильтрации существуют условия на линии раздела ее слоев, которые выражают непрерывность потока и напора при ее переходе. Из этих условий вытекает, что при переходе границы раздела составляющая скорости фильтрации по нормали к границе изменяется непрерывно, а составляющая скорости фильтрации по касательной имеет скачок. В результате чего линии равных напоров и линии тока имеют изломы.

Основной поток жидкости проходит в пласте с большей проницаемостью. Фильтрация здесь преимущественно горизонтальная. Депрессионные кривые в этом случае расположены выше, чем в задаче с однородным грунтом. Фильтрационный расход через перемычку для линейного закона (1) < = 0,166,

ордината точки высачивания Х2С'= 0,560, для закона (2) — < = 0,524, х2С = 0,637, для (3) — < = 0,122, х2С - = 0,587.

На линии раздела пластов депрессионная кривая имеет излом. Одним из важнейших условий, предъявляемых к плотинам, является уменьшение

фильтрационных расходов через плотину, поэтому второй случай с квадратичным законом фильтрации для практики неприемлем.

3. Прямоугольная перемычка с зоной неполного насыщения

Особый интерес представляет случай, когда в теле плотины находится горизонтальный слабопроницаемый пропласток. Метод фиксированной области позволяет "уловить" ненасыщенную зону, в отличие от классических моделей фильтрации с депрессионными кривыми, которые не учитывают наличие ненасыщенных зон и дают неверные результаты, по крайней мере, в окрестности расположения этих зон.

Рассматривается случай, когда в теле грунтовой плотины находится горизонтальный слабопроницаемый пропласток MNMlNl шириной 0,2 с коэффициентом фильтрации к = 0,1. Толщина нижнего слоя равна 0,375. Коэффициент фильтрации основного грунта к = 1.

Решение данной фильтрационной задачи для различных законов фильтрации отображено на рис. 3. Сплошные линии соответствуют кривой депрессии, линиям тока и равных напоров, полученных в результате решения задачи с линейным законом фильтрации (1), штрихом отмечена депрессионная кривая, соответствующая закону (2), пунктиром - депрессионная кривая, соответствующая закону (3). Из рисунка видно наличие ненасыщенной зоны в окрестности точки N1.

4. Прямоугольная перемычка с противофильтрационным ядром

В сильнопропроницаемых грунтовых плотинах применяют противофильтрационные устройства. Одним из наиболее распространенных типов грунтовых плотин являются плотины, состоящие из противофильтрационного элемента (ядра) и прилегающих к нему с двух сторон переходных зон, выполненных из более проницаемого грунта, чем материал противофильтрационного элемента.

Рассматривается задача фильтрации в прямоугольной перемычке, имеющей противофильтрационное ядро (рис. 4). Границы ядра отмечены на рисунке отрезками ММ и NN. Ширина ядра = 0,15, коэффициент

фильтрации основного материала плотины — к = 1, ядра — к2 = 0,2.

На основании числовых расчетов на рис. 4 построены кривая депрессии, линии равных напоров, линии равных расходов для линейного закона (1) (сплошные линии). Из рисунка видно, что основной перепад напоров приходится на противофильтрационное ядро. Фильтрационный расход через перемычку 0 = 0,282 , ордината точки высачивания Х2С = 0,272 . Заметим, что в случае однородного грунта 0 = 0,480 , Х2С = 0,348 , то есть участок высачивания при наличии противофильтрационного ядра существенно меньше.

Гидродинамическая сетка, соответствующая нелинейным законам фильтрации, незначительно отличается от приведенной на рис. 4 для закона Дарси. Штрихом на рисунке отмечена депрессионная кривая соответствующая закону (2), пунктиром — закону (3). Для закона (2) фильтрационный расход 0 = 0,269, ордината точки высачивания Х2С'= 0,260, для (3) — 0 = 0,168, Х2С = 0,266 .

Можно заметить, что взаиморасположение депрессионных кривых в зоне III оказывается противоположным по сравнению с зонами I, II. Здесь это связано с тем, что, как нетрудно подсчитать, при выбранных выражениях для законов фильтрации (1) — (3) соотношение усредненных фактических значений

нелинейного коэффициента фильтрации в зоне II и в зонах I, III оказывается большим для нелинейных законов, чем для линейного (соответственно для квадратичного закона больше, чем для двучленного). Таким образом, потери напора в зонах I и III относительно зоны II при нелинейных законах окажутся меньшими, чем при линейном, то есть депрессионные кривые соответствующие нелинейным законам, будут лежать в зонах I, II выше, а в зоне III — ниже, чем кривая депрессии для линейного закона фильтрации.

5. Прямоугольная перемычка с горизонтальной дреной

Для того, чтобы фильтрационный поток не выходил за наружный откос дамбы в нижнем бьефе, т.е. отсутствовал участок высачивания, в дамбе устанавливается дренаж.

Рассматривается фильтрация жидкости через плотину с горизонтальной дренажной щелью в непроницаемом основании (рис. 5). Грунт плотины — однородный. Требуется определить положение кривой депрессии, фильтрационный расход через плотину и ширину дренажной щели.

Область фильтрации ограничена прямолинейными участками: верховым откосом | AB| = 1, водоупором |AE| = 0,7, дренажной щелью EC, и криволинейной

линией депрессии BC . Напор H = 1.

На границе области фильтрации выполняются следующие краевые условия: r

h = x2, Vn = 0, x e BC; h = H, x e AB; Vn = 0, x e AE; h = 0, x e ED.

Проведенное сравнение полученных результатов для линейного закона фильтрации с точным решением задачи [3], [4] показало хорошую точность методов (погрешность составила порядка 1 — 2%).

На рис. 5 построены депрессионные кривые, линии равных напоров, линии тока. Закону Дарси V = Vh соответствуют сплошные линии, квадратичному

I I 2 I I 2

закону Vh = V — штриховые, двучленному закону Vh = V + V — пунктирные.

Фильтрационный расход и ширина дренажной щели для закона Дарси -Q = 0,617, |EC| = 0,317, для квадратичного закона - Q = 0,642, |EC| = 0,456, для

двучленного закона - Q = 0,375 , |EC| = 0,388.

6. Трехмерная задача фильтрации

Рассматривается трехмерная задача фильтрации в плотине ABCDA'B'C'D' (рис. 6). Непроницаемые откосы ABB'A' и CDD'C' расположенные под углом 45° к основанию плотины. Ширина плотины |AA' | = |DD'| = 1, длина основания плотины |AD| = |A'D'| = 1, высота плотины |BM| = 1, |BC| = |B' C| = 3. Напор в

верхнем бьефе H = 0,9, в нижнем H2 = 0,2. Фильтрация подчиняется нелинейному закону (3).

Граничные условия следующие:

h = Hb xeABCD; h = H2, xe ABCD; h = x3, Vn > 0, x e GFF'G'; V n = 0, x e ADD'A' U ABB 'A' U CDD'C'.

На депрессионной поверхности BCF'G': h = x3, Vn = 0.

Требуется определить положение свободной поверхности.

На рис. 6 ппоказана депрессионная поверхность, соответствующая закону фильтрации (3). Минимальное значение ординаты участка высачивания

приходится на середину плотины и составляет xmin = 0,4227. К откосам плотины участок высачивания приподнимается и на откосах ордината точки высачивания xmax = 0,4400 . Такое завышение к откосам характерно для всей депрессионной поверхности. Для квадратичного закона фильтрации (2) депрессионная поверхность имеет аналогичный вид, но расположена немного выше

предыдущей ( xf11" = 0,4230, x3max = 0,4840). Свободная поверхность, соответствующая закону Дарси, расположена ниже двух предыдущих ( x3min = 0,3465, x3max = 0,3610).

В результате проведенных исследований показано, что сеточный метод расчета (метод фиксированной области) позволяет изучать гидродинамические особенности влагопереноса в пористой среде при наличии различных особенностей: нелинейности течения, неоднородности среды, наличия сильно и слабопроницаемых включений. Рассмотренные в данной работе решения задач могут быть обобщены на решения профильных, плановых и пространственных фильтрационных потоков в реальных гидротехнических сооружениях и их окрестностях.

Summary

In this study we developed several solutionsforproblems of non-linear seepage through an earth dam of trapezoidal or rectangular shape. The dam is composed of horizontal layers withdifferentvalues of hydraulic conductivity function,an area of partial saturation, a vertical zone of low permeability, and a horizontal drain. Extension to the three dimensional case was presented.

The proposed numerical grid method can be used for ecological studies on moisture transport in natural porous media.

Key words: non-linear seepage, unsaturated soil, soil moisture transport, numerical grid method.

Литература

1. Курцева К.П., Лапин А.В., Шешуков Е.Г. Решение сеточными методами задачи фильтрации жидкости в плотине при нелинейном законе фильтрации.// Известия вузов. Математика. 1995. № 2, С. 47-52.

2. Resolution numerique de problemes aux limites par des methods de Lagrangien augmente // Eds. Fortin M., Glowinski R. - Paris: Dunod, 1982.

3. Нумеров С.Н. О фильтрации в земляных плотинах с дренажем на водонепроницаемых основаниях // Известия ВНИИ гидротехники. 1939. т. 25. С. 115-135.

4. Полубаринова-Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука. 1977. 644 с.

Поступила в редакцию 29 февраля 2012 г.

Шешуков Евгений Геннадиевич - д-р физ.-мат. наук, профессор кафедры математики и механики Зеленодольского филиала Казанского федерального университета. Тел.: 8(843)298-91-24, 8-904664066. E-mail: shesh039@rambler.ru.

Курцева Кира Петровна - канд. физ.-мат. наук, доцент кафедры математики и механики Зеленодольского филиала Казанского федерального университета. Тел.: 8-917-2366873.