ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ЭФФЕКТИВНОСТИ ЛАЗЕРНОЙ ЛОКАЦИИ ИСКУССТВЕННЫХ СПУТНИКОВ ЗЕМЛИ, НАХОДЯЩИХСЯ НА ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ ОРБИТАХ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ФИЗИКА ЗЕМЛИ, АТМОСФЕРЫ И ГИДРОСФЕРЫ

Численное исследование эффективности лазерной локации искусственных спутников Земли, находящихся на эллиптических орбитах

И. В. Мазаева,1,а О. Н. Гавриш,2б М. В. Лебедева2

1 Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, физический факультет, кафедра физики атмосферы. Россия, 119991, Москва, Ленинские горы, д. 1, стр. 2. 2 Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), кафедра компьютерной математики. Россия, 125993, Москва, Волоколамское ш., д. 4.

Поступила в редакцию 24.03.2021, после доработки 20.04.2021, принята к публикации 23.04.2021.

Построена математическая модель лазерной локации искусственных спутников Земли, находящихся на эллиптических орбитах. Проведенный численный анализ модели показал, что центры пятен, образуемые на поверхности Земли отраженными от ретрорефлектора ИСЗ световыми импульсами, находятся на значительных (300-1400 м) расстояниях от лазерной станции. Поэтому при локации ИСЗ, находящихся на эллиптических орбитах, необходимо приемный телескоп отделить от лазерной станции, сделать его подвижным, установив на движущуюся платформу, и двигать его за центрами пятен отраженных импульсов. Это позволит значительно увеличить дальность локации ИСЗ, так как поток световой энергии, принимаемый подвижным телескопом, в сотни раз больше потока энергии, принимаемого стационарным телескопом лазерной станции.

Ключевые слова: эллиптическая орбита, лазерная локация, центры пятен отраженных импульсов. УДК: 528.06:528.83. РЛСБ: 04.20.-q, 42.60.Jf.

ВВЕДЕНИЕ

В ряде ранее опубликованных работ (см. работы Пасисниченко М. А. с соавторами в этом журнале за 2013 и 2017 гг.) было показано, что при лазерной локации искусственных спутников Земли (ИСЗ), находящихся на круговых орбитах, происходят релятивистские эффекты, влияющие на ее результаты. Основным эффектом, отрицательно влияющим на процесс локации, является скоростная аберрация, в результате которой центр пятна, образуемого на поверхности Земли отраженным от ретрорефлекто-ра ИСЗ световым импульсом, обычно оказывается на значительном расстоянии от лазерной станции. Так как поток световой энергии по поперечному сечению отраженного импульса достаточно быстро убывает при удалении от его оси к периферии, то из-за этого на приемный телескоп лазерной станции зачастую попадает количество энергии, недостаточное для регистрации [1]. Поэтому в работах [2-10] было рассмотрено несколько способов увеличения количества световой энергии, попадающей на приемный телескоп. Одним из них было предложение отделить приемный телескоп от лазерной станции и сделать его подвижным, поместив на механическое устройство, способное под управлением компьютера двигаться вслед за центрами световых пятен по специально подготовленной площадке в окрестности лазерной станции. Проведенные расчеты показали, что для ИСЗ, находящегося на круговой орбите, этот новый способ лазерной локации позволяет увеличить принимаемую энергию от отраженного светового импульса в сотни раз. Из численных оценок (Пасисни-ченко М.А. и др., 2017) следует, что в зависимости от элементов круговой орбиты, приемный телескоп должен двигаться на удалении от лазерной станции, не превышающей одного километра и иметь скорость от 1 до 8 км/ч.

Однако существует большое число ИСЗ, которые имеют эллиптическую орбиту. Это в основном ИСЗ научного назначения, предназначенные для исследования астрофизических объектов в радио- [11] и миллиметровом [12] диапазонах, а также для исследования нелинейно — электродинамических процессов ([13] и Васильев М. И. с соавторами в этом журнале за 2018 г), происходящих в сильном мультипольном магнитном поле пульсаров и магне-таров, а также для поиска голдстоуновских бозонов в астрофизических условиях [15]. Проекция вектора скорости таких ИСЗ на направление, перпендикулярное лучу лазерной станции, в процессе локации изменяется иначе, чем в случае движения по круговой орбите. А так как именно эта проекция вектора скорости предопределяет направление движения отраженного от ретрорефлектора светового импульса, то при локации ИСЗ, находящегося на эллиптической орбите, закон движения подвижного телескопа по поверхности Земли будет отличаться от закона движения этого телескопа при локации ИСЗ, находящегося на круговой орбите. Поэтому возникает необходимость построить математическую модель локации ИСЗ, находящегося на эллиптической орбите, и на ее основе провести численное исследование эффективности лазерной локации таких ИСЗ с использованием подвижного приемного телескопа.

Этой цели и посвящена настоящая статья.

1. СУЩЕСТВЕННЫЕ УРАВНЕНИЯ И СООТНОШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Рассмотрим лазерную станцию, находящуюся на поверхности Земли в точке со сферическими координатами г = |Д0, 00, ^0}, где Д0 — радиус Земли.

В топоцентрической системе отсчета [7, 16] координаты , уд, х^ ИСЗ, движущегося по эллиптической орбите [17], имеют вид:

а Е-шаИ: ingamazaeva@physics.msu.ru б E-mail: gavrish.o@gmail.com

(С, ¿(С)) = а{ [COS ф COs(Qt + ф0 — ф) + sin ф cos 0 sin(nt + ф0 — ф)] cos 00 —

— sin ф sin 0 sin 0o } (cos С — e) — a\J (1 — e2) {[ sin ф cos(0¿ + фо — ф) —

— cos Ф cos 0 sin(Qt + фо — ф)] cos 00 + cos ф sin 0 sin 00 } sin С,

yS(С, ¿(С)) = a(cosС — e) [sinфcos 0cos(0¿ + ф — ф) — cosф sin(Q¿ + ф — ф)] +

+ a^/(1 — e2) [ sin ф sin(Qt + ф0 — ф) + cos ф cos 0 cos(0¿ + ф — ф)] sin С, zS(С, ¿(С)) = a{ [cos фcos(0¿ + ф0 — ф) + sinф cos0sin(0¿ + ф — ф)] sin00+

+ sin ф sin 0 cos 00} (cos С — e) + a^/ (1 — e2) {[ cos ф cos 0 sin(0¿ + ф — ф) —

— sin ф cos(0¿ + ф0 — ф)] sin 00 + cos ф sin 0 cos 00} sin С — Д0,

(1)

где 0 = 7.3 • 10-5 рад/с — угловая частота вращения Для снижения искажений, вносимых земной ат-

Земли; 0 — наклонение орбиты; ф — долгота восхо- мосферой, лазерная локация производится, только

дящего узла; ф — угловое расстояние перигея орбиты если ИСЗ находится выше 20° над линией местного

от узла; С — безразмерная переменная, называемая горизонта. В топоцентрической системе отсчета это

эксцентрической аномалией; a — большая полуось соответствует условию

эллипса; e — его эксцентриситет. _

Время ¿, входящее в выражения (1), связано [17] .S ^ Jж2 + y2 + z2 • sin20°. (4)

с эксцентрической аномалией С соотношением

T К числу существенных уравнений нашей модели

¿(С) = T0 +--[С — e sin С], необходимо добавить еще и условие отражения ла-

2п зерного импульса от ретрорефлектора.

где T0 — постоянная интегрирования, имеющая В геоцентрической невращающейся системе отсче-

смысл момента времени, в который ИСЗ находился та это условие требует, чтобы на ретрорефлекторе

в перигее, T = 2n^a3/(GM) — период обращения ИСЗ вектор скорости отраженного светового им-

ИСЗ по орбите, GM = 3.98603 • 1014 м3/с2 — пульса Vref был связан с вектором скорости ИСЗ

произведение гравитационной постоянной на массу vs и вект°р°м скорости светового импульса V(ph),

Земли [18, 19]. испущенного лазерной станцией, соотношением

В топоцентрической системе отсчета световые импульсы распространяются по лучам, которые можно Vref = 2VS — V(ph) — 2(V(ph) Vs)V(ph)/c +

найти из уравнений: + O(Vf/c2)V(ph). (5)

x — 2Ky/cos00 — К2[xcos 00 + (z + ^0)sin00] cos00 = 0, Используя эти уравнения, построим математическую

y + 2К[x cos 00 + Z sin 00] — К2y = 0, модель лазерной локации ИСЗ, движущегося по

2 эллиптической орбите. z — 2Ky sin 00 — К2[x cos 00 + (z + R0) sin 00] sin 00 = 0,

x2 + y2 + Z2 — 2K{x y cos 00— 2. ДВИЖЕНИЕ СВЕТОВОГО ИМПУЛЬСА К ИСЗ

—y[x cos 00 + (z + R0)sin 00] + z y sin 00} + Предположим, что при некотором значении С = Сь

2 2 2 световой импульс был послан с лазерной станции

+К2^ [xcos 00 + (z + R0) sin 00]2 + y2f = 1, T/fiQ F . .

L j в сторону ИСЗ и при некотором значении С = Сг

(2)

попал на его отражатели. Моменты времени ¿ь и ¿г,

где К = ^ а точка обозначает производную по соответствующие значениям СЬ и Сг, могут быть x0 = c¿

x = найдены из выражений:

Решение этих уравнений для пучка лучей, выходящего при t = t0 из некоторой точки, имеет вид: , „ , T .

¿ь = T + 2П [Сь — e sin Сь],

x = {[a1 + c(t — ¿0)nx] cos[0(t — ¿0) + ^0]+ t (6)

+ [a2 + c(t — ¿0)ny ]sin[0(t — ¿0) + ^0]} cos 00— ¿г = T° + 2П[Сг — e sin Сг ].

— [a,3 + c(¿ — ¿0)nz] sin 00, -,7 , ,

L 3 v 0 zJ 0 Уравнение для пучка лучей при ¿ = ¿ь, выходящих

y = [a2 + c(¿ — ¿0)ny]cos[0(¿ — ¿0) + ф0]— из лазерной станции (из точки x = y = z = 0),

— [a1 + c(¿ — ¿0)nx]sin[fi(¿ — ¿0) + ф0], (3) может быть получено из соотношений (3), если

положить в них ¿0 = ¿ь, a1 = R sin 00 cos ф0,

z = [a3 + c(¿ — ¿0)nz] cos 00 — Д0+ a2 = Д0 sin 00 sin ф0, a3 = Д0 cos 00:

+ {[a1 + c(¿ — ¿0 )пж ]cos[0(¿ — ¿0) + ^0] +

+ [a2 + c(¿ — ¿0)ny ]sin[0(¿ — ¿0) + ^0]} sin 00, xL(¿) = R sin 00 cos M cos0(¿ — ¿ь) — 1 +

r i + c(¿ — ¿ьn cos[Q(¿ —¿ь) + +

где a1, a2, a3 и единичный вектор n = {nx, ny, nz} 4 l L x L J

являются константами интегрирования системы [ ]

FF + % sin — ¿ь) + ф0 cos00 — nz sin00^, (7.1)

уравнений (2). y L J. J

yL(t) = -До sin 0о sinQ(t - íb)-

- c(t - tb) nx sin [n(í - tb) + уо] -

- ny cos [Q(t - tb) + уо] , (7.2)

zL(t) = Д0sin2 0о[cosQ(t - tb) - 1] +

+ c(t - tb){ nx cos [Q(í - tb) + уо] + + ny sin [Q(t - tb) + уо] sin 0о + nz cos 0о|. (7.3)

Выберем из пучка лучей (7) луч, при £ = £r проходящий через точку пространства, в которой в этот момент времени находится ИСЗ. Тогда вектор n и эксцентрицеская аномалия £r могут быть найдены из уравнений:

XL (ír ) = XS(£r , tr ), yL (tr ) = ys(£r, tr ), ZL (tr ) = Zs (£r, ír ).

Разрешим эти уравнения относительно nx, ny и nz:

ЗГт{ xs (£r )cos 0о-

- До sin 0о

c(tr - tb) cos[Q(tr - tb)] - 1

x cos[Q(tr - tb) + уо] -

+ zs 1

(£r) sin 0о}:

ys (£r)+

c(tr - tb)

+До sin 0о sin[Q(tr - tb)] sin[Q(tr - tb) + уо], 1

c(tr - tb)

Xs (£r )cos 0о -

(8)

-До sin 0о

cos[Q(tr - tb)] - 1

+ zs 1

(£r) sin 0о}:

ys (£r)+

x sin[Q(tr - tb) + Уо] + ,, . s c(tr - tb)

+До sin 0о sin[Q(tr - tb)] cos[Q(tr - tb) + Уо],

[zs (£r ) cos 0о - Xs (£r ) sin 0о]

nz = -----.

c(tr - tb)

Так как вектор n является единичным, то, подставив соотношения (8) в уравнение nX + nyy + ni = 1, получим трансцендентное уравнение относительно £r:

c2T2 2 {£r - £b - e[sin £r - sin £b)]} =

= Д - 2аДо (cos £r - e) { cos 0о sin 0 sin -0+ + sin 0о[cos — cos(Qtb + Уо - y)+ + cos0sin — sin(Qtb + уо - у)]}-- 2аДо \/1 - e2{ cos 0о sin 0 cos —-- sin 0о[зт — cos(Qtb + уо - у)- cos 0 cos — sin(Qtb + уо - у)]} sin£r+

+ а2[1 - ecos£r]2, (9)

где tb определяется первым из соотношений (6).

Уравнение (9) может быть решено численно относительно £r. Тогда из второго соотношения (6) несложно найти и tr.

3. ЗАКОН ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ОТРАЖЕННОГО СВЕТОВОГО ИМПУЛЬСА

Центр отраженного от ретрорефлектора светового импульса будет распространяться к Земле по лучу, касательный вектор к которому в точке отражения совпадает с вектором V(ref), заданным выражением (5). Так как это выражение выведено в невращающейся геоцентрической системе отсчета, то преобразуем к этой системе отсчета и необходимые для дальнейшего формулы.

Учтем, что декартовы координаты X, Y и Z невращающейся геоцентрической системы отсчета связаны с декартовыми координатами x, y и z топоцентрической системы отсчета соотношениями:

X = [x cos 0о + (z + До) sin 0о] cos(Qt + уо)-

-y sin(Qt + уо), Y = [x cos 0о + (z + До) sin 0о] sin(Qt + уо)+ +y cos(Qt + уо), Z = -xsin 0о + (z + До) cos 0о.

Подставляя в эти соотношения уравнение (7) для луча, выходящего из лазерной станции при £ = £b, а при £ = £r проходящего через отражатель ИСЗ, найдем уравнения этого луча в не вращающейся геоцентрической системе отсчета:

Xl = До sin 0о cos(Qtb + уо)+ +c(t - tb)[nx cos Шь - ny sin Шь],

Yl = До sin 0о sin(Qtb + уо) + +c(t - tb)[nx sin Шь + ny cos Шь], Zl = До cos 0о + c(t - tb)nz,

где компоненты вектора n определяются формулами (8).

Дифференцируя эти выражения по времени и положив в полученных выражениях t = tr, найдем компоненты вектора скорости центра светового импульса Vph, приходящего на отражатель:

Vph,x = c[nx cos Шь - ny sin Шь], Vph,Y = c[nx sin Шь + ny cosQtb], (Ю)

Vph,z = cnz.

Выразим декартовы координаты X, Y и Z не вращающейся геоцентрической системы отсчета через декартовы координаты xorb, yorb и zorb орбитальной системы отсчета:

X = xorb [ cos — cos у - sin — sin у cos 0] -- yorb [ sin — cos у + cos — sin у cos 0 + zorb sin 0 sin у, Y = xorb [ cos — sin у + sin — cos у cos 0 + + yorb [ - sin — sin у + cos — cos у cos 0 - zorb sin 0 cos у, Z = [xorb sin — + yorb cos — sin 0 + zorb cos 0.

Отсюда несложно получить закон движения ИСЗ по эллиптической орбите в невращающейся геоцентри-

n

y

ческой системе отсчета:

XS(С) = a[cos С — e] [ cos ф cos ф — sin ф sin ф cos 0 —

a 1 — e2 sin С [ sin ф cos ф + cos ф sin ф cos 0,

YS(С) = a[cos С — e] [ cos ф sin ф + sin ф cos ф cos 0 +

+ aV 1 — e2 sin С [ — sin ф sin ф + cos ф cos ф cos 0],

ZS(С) = a{ [cos С — e] sin ф + \/1 — e2 sin С cos ф} sin 0.

Дифференцируя эти выражения по времени, используя соотношение d/d¿ = и полагая в полученных выражениях С = Сг, найдем компоненты скорости ИСЗ в момент отражения светового импульса:

т/ 2na sin Сг [ , ...

VSx = — -— L cos ф cos ф — sin ф sin ф cos 0 —

Решая это квадратное уравнение относительно и выбирая меньший из корней, получим

c¿f = — -

XS (Сг )Vref,x + YS (Сг )Vref,y + ZS (Сг )Vref,z

[Xs (Сг )Vef,x + YS (Сг ) Vref,y + Zs (Сг )Vref,z ]

+ R — XS (Сг ) — YsU ) — ZS (Сг )

+

1/2

T (1 — e cos Сг) 2na%/1 — e2 cos Сг r .

T (1 — e cos Сг)

2na sin Сг Sy = — T (1 — e cos Сг) 2na%/1 — e2 cos С

[sin ф cos ф + cos ф sin ф cos 0,

Найдем теперь декартовы координаты центра пятна на поверхности Земли в топоцентрической системе отсчета x = x(¿f), y = y(¿f), z = z(¿f). Так как координаты x, y, z связаны с координатами X, Y и Z соотношениями

x = Xcos(0¿ + ^0) + Ysin(0¿ + ^0) cos00 — Zsin00, y = —X sin(0¿ + ^0) + Y cos(0¿ + ^0),

[cos ф sin ф + sin ф cos ф cos 0] + z = X cos(0¿ + ф0) + Y sin(0¿ + ф0)

sin 00 +

+

Vsz

T (1 — e cos Сг)

2na sin Сг sin ф sin 0

+

T (1 — e cos Сг)

— e2 cos Сг cos ф sin 0 T (1 — e cos Сг) .

[ — sin ф sin ф + cos ф cos ф cos 0,

+

+ Z cos 00 — r0,

то, полагая в них X = Х^, У = У^, ^ = t = и учитывая равенства (12), получим требуемые выражения:

x = x(¿f), y = y(¿f), z = z(¿f).

(13)

(11)

Подставляя выражения (10) и (11) в соотношение (5), получим вектор скорости отраженного светового импульса в невращающейся геоцентрической системе отсчета.

В этой системе отсчета отраженный световой импульс движется прямолинейно со скоростью Поэтому закон движения центра светового импульса после отражения имеет вид

= Х8(£г ) + (* - ¿г )Уге!.х, = У(£г) + (* - ¿гЖе^у, (12)

= Я, (£г ) + (* - ¿г

Расстояние р от лазерной станции до центра пятна, образованного отраженным от ИСЗ световым импульсом, может быть найдено из выражения:

р2 = x2(¿f) + y2(¿f)+ z2(¿f).

(14)

где

XS (Сг) = a[cos Сг — e] [ cos ф cos ф — sin ф sin ф cos 0 —

— a,\J 1 — e2 sin Сг[ sin ф cos ф + cos ф sin ф cos 0 , YS (Сг) = a[cos Сг — e] [ cos ф sin ф + sin ф cos ф cos 0 +

+ a\J 1 — e2 sin Сг[ — sin ф sin ф + cos ф cos ф cos 0]

ZS (Сг) = a{ [cos Сг — e] sin ф + \J 1 — e2 sin Сг cos ф} sin 0.

Время ¿f достижения центром светового импульса поверхности Земли может быть найдено из условия

xl (¿f) + YL(¿f) + Z2 (¿f ) = R.

Так как при всех вычислениях мы пренебрегаем слагаемыми, пропорциональными Vj/c2 ~ 10-10, то это условие принимает вид:

c2(¿f — ¿г )2 + 2(¿f — ¿г )[Xs (Сг )Vref,x +

+ Ys (Сг )Vref ,y + ZS (Сг )Vref,z +

+ XS (Сг) + Ys2(^ ) + ZS (Сг) — R = 0.

Таким образом, математическая модель построена и можно приступать к исследованию закономерностей, возникающих при лазерной локации ИСЗ, находящегося на эллиптической орбите.

4. ЧИСЛЕННЫЙ АНАЛИЗ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ

Для исследования эффективности лазерной локации искусственных спутников Земли, находящихся на эллиптических орбитах, проведем расчет величины расстояния р от лазерной станции до центра пятна, образованного отраженным от ИСЗ световым импульсом, в зависимости от времени посылки импульса к ИСЗ.

Для проведения этого исследования в качестве лазерной станции была выбрана высокоширотная станция «Менделеево-2», расположенная в точке с координатами 56.0267° северной широты, 37.2234° восточной долготы. Высота станции над геоидом 229 м.

Кроме того, были выбраны два ИСЗ, обращающиеся по эллиптическим орбитам. Первый из них «ОаН1ео-201», имеющий эксцентриситет е = 0.158, наклонение в = 50°, высота перигея 17000 км, высота апогея — 26210 км. Период обращения спутника составляет 12.94 ч. Долгота восходящего узла ^ и угловое расстояние перигея орбиты от узла ф для наших расчетов являются несущественными

c

2

2

c

2200 2000Н 1800 1600 -s 1400-d1200 -1000800600400

0

п—г 4

п—г 12

И-г

16 t, ч

1-1-1-г

20 24

28

~г 32

Рис. 1. Расстояние между лазерной станцией и центрами пятен, образуемыми на поверхности Земли отраженными от ретрорефлектора ИСЗ GaШeo-201 световыми импульсами

1400 1200 1000 d 800 600 400 200

1—ГЛ—ГЛ—I—ГЛ—I—ГЛ—I—ГЛ—I—ГЛ—I—ГЛ—ГЛ—I—ГЛ—г

8 14 20 26 32 38 44 50 54 Т, ч

Рис. 2. Расстояние между лазерной станцией и центрами пятен, образуемыми на поверхности Земли отраженными от ретрорефлектора ИСЗ ЬЯЕ световыми импульсами

параметрами, так как простым изменением начала отсчета времени или начала процесса лазерной локации они могут быть изменены. Для определенности будем считать, что ^ = ф = 0.

Численный анализ показал (рис. 1), что при локации ИСЗ «Galileo-201» центры пятен, образуемые на поверхности Земли отраженными от ретрорефлектора ИСЗ световыми импульсами, находятся на значительных (300-1400 м) расстояниях от лазерной станции.

Другим космическим аппаратом, выбранным для исследования величины расстояния между центрами пятен, образуемыми на поверхности Земли отраженными от ретрорефлектора световыми импульсами, и лазерной станцией (рис. 2), был высокоапогей-ный ИСЗ ЬИЕ. Его орбита имеет эксцентриситет е = 0.73, большую полуось а = 24525 км, наклонение в = 28.49°. Период обращения спутника составляет 10.62 ч.

При локации ИСЗ ЬИЕ эти расстояния имеют тот же порядок величины, что и при локации ИСЗ «Galileo-201». Численный анализ также показал, что сеансы лазерной локации ИСЗ, находящихся на эллиптических орбитах, являются более редкими событиями, чем сеансы локации низкоорбитальных ИСЗ. Это является не только следствием условия (4), но и тем обстоятельством, что локацию проводят, когда лазерная станция находится на ночной стороне Земли (эти промежутки времени на рисунках отмечены серым цветом), иначе отраженный от ИСЗ световой импульс невозможно зарегистрировать на фоне светящегося неба.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Проведенное исследование показало, что центры пятен, образуемые на поверхности Земли отраженными от ретрорефлектора ИСЗ световыми импульсами, находятся на значительных (300-1400 м) расстояниях от лазерной станции. Расстояние между лазерной станцией и центрами пятен, образуемыми на поверхности Земли отраженными от ретрорефлекторов ИСЗ, находящимися на эллиптических орбитах, оказывается больше соответствующего расстояния при локации ИСЗ, находящихся на круговых орбитах (Пасисниченко М.А. и др. 2017 г).

Так как поток световой энергии по поперечному сечению отраженного импульса достаточно быстро убывает при удалении от его оси к периферии (см. рис. 1 в вышеназванной работе), то на приемный телескоп лазерной станции попадает значительно меньшая энергия, чем на подвижный телескоп, который движется за центрами пятен. Поэтому при локации ИСЗ, находящихся на эллиптических орбитах, необходимо приемный телескоп отделить от лазерной станции, сделать его подвижным, установив на движущуюся платформу, и двигать его за центрами пятен отраженных импульсов. Координаты центров этих пятен на поверхности Земли для каждого отраженного импульса могут быть найдены по формулам (13).

Это позволит значительно увеличить дальность локации ИСЗ, так как поток световой энергии, принимаемый подвижным телескопом, в сотни раз больше потока энергии, принимаемого стационарным телескопом лазерной станции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кокурин Ю.Л. // Квантовая электроника. 2003. 33, № 1. С. 45.

2. Wegener H, Muller V., Heinzel G, Misfeldt M. // Journal of Spacecraft and Rockets. 2020. 57, N 6.

3. Manuel Salvoldi, Daniel Choukroun // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2019. 42, N 12. P. 2700.

4. Mark L. Psiaki // Journal of Guidance, Control, and Dynamics. 2019. 42, N 12. P. 2576.

5. Денисова И. П., Костиков Ю.А., Лебедева М.В., Пасисниченко М.А. // Информационные технологии. 2018. 24, №9. C. 573.

6. Денисов М. М., Денисова И. П., Пасисниченко М.А. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2016. 21, №4. С. 3.

7. John J. Degnan // Brief Introduction to Two-Way Transponder Technique for Ranging and Time Transfer, Proceedings of the 17th International Workshop on Laser Ranging. Bad Koetzting. Germany. May 16-20. 2011. P. 199.

8. McGarry J., Clarke Ch, Mao D, Torrence M. // The First ILRS Laser Transponder Mission: Laser Ranging to NASA's Lunar Reconnaissance Orbiter. Proceedings of the 17th International Workshop on Laser Ranging. Bad Koetzting. Germany. May 16-20. 2011. P. 204.

9. Vasiljev V. P., Sadovnikov M. V., Sokolov A. L., Shargorodsky V. D. // New types of corner cube reflectors with various coatings. Proceedings of the 17th International Workshop on Laser Ranging. Bad Koetzting. Germany. May 16-20. 2011. P. 213.

10. Мурашкин В. В., Садовников М.А., Соколов А. Л., Шаргородский В. Д. // Электромагнитные волны и электронные системы. 2011. 16, №3. С. 47.

11. Кардашев Н.С. //УФН. 2009. 179, №11. С. 1191.

12. Кардашёв Н.С., Новиков И. Д., Лукаш В.Н. и др. // УФН. 2014. 184. С. 1319.

13. Васильев М.И., Гапочка М.Г., Денисова И. П., Кеч-кин О. В. // Вестн. Моск. ун-та. Физ. Астрон. 2018. №5. С. 12. (Vasiliev M.I., Gapochka M.G, Denisova I. P., Kechkin O. V. // Mosc. Univ. Phys. Bull. 2018. 73, N 5. P. 457.)

14. Abishev M.E., Denisov V.I., Denisova I. P., Kechkin O. V. // Astroparticle Physics. 2018. 103. P. 94.

15. Денисова И. П. // Известия вузов. Математика. 2020. №11. С. 81. (Denisova I.P. // Russian Mathematics. 2020. 64. P. 73).

16. Клепко В. Л., Александров А. В. Системы координат в геодезии. Екатеринбург: Издательство ЕГГУ, 2011.

17. Дубошин Г.Н. Небесная механика. М.: Наука, 1968.

18. Жарков В. Н., Трубицин В. П. Физика планетных недр. М.: Наука, 1980.

19. Подобед В. В., Нестеров В. В. Общая астрометрия. М.: Наука, 1982.

Numerical Analysis Study of the Effectiveness of Laser Ranging for Artificial Earth Satellites in Elliptical Orbits

I.V.Mazaeva1a, O.N. Gavrish2b, M.V.Lebedeva2

1Department of Atmosphere, Faculty of Physics, Lomonosov Moscow State University. Moscow 119991, Russia. 2Department of computer mathematics, Moscow Aviation Institute (National Research University). Moscow 125993, Russia.

E-mail: a ingamazaeva@physics.msu.ru, bgavrish.o@gmail.com.

A mathematical model of laser ranging of artificial Earth satellites (AES) located in elliptical orbits, has been built. The carried out numerical analysis of the model showed that the centers of the spots formed on the Earth's surface by AES light pulses reflected from the retroreflector, are located at significant distances, in the range of 300 to 1400 meters, far from the laser station. Therefore, when AES in elliptical orbits are being ranged, it is necessary to separate the receiving telescope from the laser station, make it movable by placing it on a moving platform, and move it, following the centers of the reflected pulse spots. This enables to significantly increase the distance of AES ranging, since the light energy flux received by a moving telescope is hundreds of times greater than the flux of energy received by the stationary telescope of the laser station.

Keywords: elliptical orbit, laser ranging, centers of reflected impulses spots. PACS: 04.20.-q, 42.60.Jf. Received 24 March 2021.

English version: Moscow University Physics Bulletin. 2021. 76, No. 4. Pp. .

Сведения об авторах

1. Мазаева

2. Гавриш

3. Лебедева