Научная статья на тему 'ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕНЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ СРЕДЫ'

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕНЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ СРЕДЫ Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
96
19
Читать
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Журнал
Вестник МГСУ
ВАК
RSCI
Область наук
Ключевые слова
МЕТОД КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ / ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ / НЕЛИНЕЙНАЯ ЗАДАЧА / ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ / СТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА / НЕСТАЦИОНАРНАЯ ЗАДАЧА / АЛГОРИТМ РЕШЕНИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Сидоров Владимир Николаевич, Примкулов Алим Махмудович

Введение. Рассмотрен случай задачи теплопередачи, при котором теплотехническая характеристика среды не является постоянной величиной и зависит от своей температуры. В частности, проанализирована ситуация, когда данная зависимость линейна. В рамках поставленной задачи предложено развитие расчетных соотношений для численно-аналитического решения стационарной и нестационарной задач теплопроводности. Материалы и методы. Рассматриваемое пространство переведено в математическую модель с использованием метода конечных элементов, в котором учитывается предложенная нелинейность. Решение задачипо временной переменной в нестационарной постановке определяется аналитическим методом, для чего выведены соответствующие расчетные формулы. Полученные нелинейные задачи решены как методом Ньютона, таки методом Пикара. Результаты. Для проверки предложенных расчетных соотношений решена практическая нестационарная задача на примере многослойной стены. В качестве граничных условий использованы функциональные зависимости. Граничные условия имеют второй род, т.е. в виде производных температур первого порядка. Нелинейная задача решена двумя различными методами, которые дали идентичные результаты. При расчете нелинейных задач этими способами была возможность сравнить эффективность метода Ньютона и метода Пикара для рассматриваемой задачи. Оба метода дали результат при одинаковом количестве итераций. Приведены алгоритмы расчета поставленной задачи. Использовалась расчетная среда MatLab, в которой применены данные алгоритмы. Выводы. Предложенная методика позволяет решать связанные задачи теплопроводности в многослойных ограждающих конструкциях, в которых связанность физических процессов передается за счет переменной характеристики среды. Принятая в расчете многослойность в более общей постановке задачи означает неоднородность среды, что, в свою очередь, дает возможность решать задачи с большим количеством слоев с различными характеристиками. Расчеты по предложенной методике позволят с обоснованной достоверностью рассчитывать теплопотери через ограждающие конструкции.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Сидоров Владимир Николаевич, Примкулов Алим Махмудович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
Предварительный просмотр
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

SEMI-ANALYTICAL SOLUTION TO STEADY-STATE AND TRANSIENT HEAT TRANSFER PROBLEM WITH VARIABLE CONDUCTIVITY PROPERTIES OF THE DOMAIN

Introduction. Present paper studies the case of heat transfer problem where the conductivity property of the domain is not a constant value but varies depending on its temperature. In particular, a conductivity that linearly dependent onthe temperature is reviewed. A semi-analytical formulation is developed and proposed to solve steady-state and transient types of these kinds of heat transfer problems. Materials and methods. The domain is mathematically modeled by using finite element method where non-linearity property of the problem has been incorporated. For time-dependent (transient) case, the temporal solution has been achieved by analytical methods wherefore all necessary formulation has been derived. Non-linear equations have been solved by both Newton and Picard methods. Results. In order to proof check, the proposed calculations a wall with three layers has been calculated by using the proposed transient problem formulation. The derivative boundary conditions at the faces of the wall are given as the functions of time. Non-linearity has been solved by two different methods that gave the identical results. Having solved the non-linearity by these two methods, allowed to compare the efficiency of Newton method versus Picard method. Both methods reached the solution with the same number of iterations. The paper proposes the algorithms for solving the problems. The authors have used MatLab environment to implement those algorithms. Conclusions. Proposed formulation solves coupled heat transfer problems in multi-layered exterior walls. Multi-layered calculation ability allows to cover all non-homogeneous cases of the computation domain. The formulation solves the heat loss problems through the multi-layered walls with due and reliable accuracy.

Текст научной работы на тему «ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕНЕСТАЦИОНАРНОЙ ЗАДАЧИ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ С ПЕРЕМЕННЫМИ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИМИ ПАРАМЕТРАМИ СРЕДЫ»

НАУЧНАЯ СТАТЬЯ / RESEARCH PAPER УДК 004.9

DOI: 10.22227/1997-0935.2023.5.685-696

Численно-аналитическое решение нестационарной задачи теплопроводности с переменными теплофизическими параметрами среды

Владимир Николаевич Сидоров, Алим Махмудович Примкулов

Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет

(НИУ МГСУ); г. Москва, Россия

АННОТАЦИЯ

Введение. Рассмотрен случай задачи теплопередачи, при котором теплотехническая характеристика среды не является постоянной величиной и зависит от своей температуры. В частности, проанализирована ситуация, когда данная зависимость линейна. В рамках поставленной задачи предложено развитие расчетных соотношений для численно-аналитического решения стационарной и нестационарной задач теплопроводности. Материалы и методы. Рассматриваемое пространство переведено в математическую модель с использованием метода конечных элементов, в котором учитывается предложенная нелинейность. Решение задачи по временной переменной в нестационарной постановке определяется аналитическим методом, для чего выведены соответствующие расчетные формулы. Полученные нелинейные задачи решены как методом Ньютона, так и методом Пикара.

Результаты. Для проверки предложенных расчетных соотношений решена практическая нестационарная задача на примере многослойной стены. В качестве граничных условий использованы функциональные зависимости. Граничные условия имеют второй род, т.е. в виде производных температур первого порядка. Нелинейная задача решена двумя различными методами, которые дали идентичные результаты. При расчете нелинейных задач ^ е этими способами была возможность сравнить эффективность метода Ньютона и метода Пикара для рассматри- ¡я О ваемой задачи. Оба метода дали результат при одинаковом количестве итераций. Приведены алгоритмы расчета з j поставленной задачи. Использовалась расчетная среда MatLab, в которой применены данные алгоритмы. С р

Выводы. Предложенная методика позволяет решать связанные задачи теплопроводности в многослойных ограж- 3 ^ дающих конструкциях, в которых связанность физических процессов передается за счет переменной характеристи- S т ки среды. Принятая в расчете многослойность в более общей постановке задачи означает неоднородность среды, с У что, в свою очередь, дает возможность решать задачи с большим количеством слоев с различными характеристика- • . ми. Расчеты по предложенной методике позволят с обоснованной достоверностью рассчитывать теплопотери через ° S ограждающие конструкции. h N

< i

КЛЮЧЕВЫЕ СЛОВА: метод конечных элементов, теплопроводность, нелинейная задача, численно-аналитическое o 9 решение, стационарная задача, нестационарная задача, алгоритм решения u —

n °

a 3

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ: Сидоров В.Н., Примкулов А.М. Численно-аналитическое решение нестационарной задачи o < теплопроводности с переменными теплофизическими параметрами среды // Вестник МГСУ. 2023. Т. 18. Вып. 5. < р С. 685-696. DOI: 10.22227/1997-0935.2023.5.685-696 О П

Автор, ответственный за переписку: Алим Махмудович Примкулов, a.primkulov@prodim.ru.

n м d -

Semi-analytical solution to steady-state and transient heat transfer problem with variable conductivity > 0

properties of the domain

_ о

cd cd

Vladimir N. Sidorov, Alim M. Primkulov .

Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); o O

Moscow, Russian Federation | 1

<D

00

ABSTRACT n B

T

Introduction. Present paper studies the case of heat transfer problem where the conductivity property of the domain ^ ^ is not a constant value but varies depending on its temperature. In particular,

the temperature is reviewed. A semi-analytical formulation is developed and proposed to solve steady-state and transient q q

types of these kinds of heat transfer problems. i,,

Materials and methods. The domain is mathematically modeled by using finite element method where non-linearity property 2 2 of the problem has been incorporated. For time-dependent (transient) case, the temporal solution has been achieved by

analytical methods wherefore all necessary formulation has been derived. Non-linear equations have been solved by both 3 3 Newton and Picard methods.

© В.Н. Сидоров, А.М. Примкулов, 2023

Распространяется на основании Creative Commons Attribution Non-Commercial (CC BY-NC)

Results. In order to proof check, the proposed calculations a wall with three layers has been calculated by using the proposed transient problem formulation. The derivative boundary conditions at the faces of the wall are given as the functions of time. Non-linearity has been solved by two different methods that gave the identical results. Having solved the non-linearity by these two methods, allowed to compare the efficiency of Newton method versus Picard method. Both methods reached the solution with the same number of iterations. The paper proposes the algorithms for solving the problems. The authors have used MatLab environment to implement those algorithms.

Conclusions. Proposed formulation solves coupled heat transfer problems in multi-layered exterior walls. Multi-layered calculation ability allows to cover all non-homogeneous cases of the computation domain. The formulation solves the heat loss problems through the multi-layered walls with due and reliable accuracy.

KEYWORDS: finite element method, heat conduction, non-linear problem, numerical-analytical solution, steady-state problem, non steady-state problem, solution algorithm

FOR CITATION: Sidorov V.N., Primkulov A.M. Semi-analytical solution to steady-state and transient heat transfer problem with variable conductivity properties of the domain. Vestnik MGSU [Monthly Journal on Construction and Architecture]. 2023; 18(5):685-696. DOI: 10.22227/1997-0935.2023.5.685-696 (rus.).

Corresponding author: Alim M. Primkulov, a.primkulov@prodim.ru.

W (0

N N

О О

N РЧ

líf 10 ¡É ф U 3

> (Л

с и

to eg

. г

во щ

и

ф ф

о í¿

о

о о

СО <г ™ §

(Л "

« Ü ся с

£= о

CL ° ^ с ю о

со « о Е

СП ^ т- ^

И «Я

ВВЕДЕНИЕ

Рассматривается решение задачи теплопроводности с изменяющимися во времени теплофизически-ми характеристиками теплопроводящих материалов в зависимости от значений искомой функции температуры. На практике данные изменения наблюдаются в теплопроводящих материалах, например при экстремально высоких перепадах температуры, приводящих к существенным изменениям их теплофизических характеристик. Эти изменения в свойствах материалов могут также происходить под влиянием сопутствующих физических процессов, например, таких как па-ропроницание, т.е. образование конденсата, который, в свою очередь, аккумулируясь в материале среды, трансформирует ее теплофизические характеристики [1]. Последнее явление может быть численно смоделировано подходами, приведенными в настоящей статье. Рассмотренный подход интересен и тем, что является примером решения прикладной инженерной задачи с использованием численно-аналитических математических методов [2, 3], когда изменение значений искомой функции по одной из переменных определяется аналитически, по другой — численно [4].

МАТЕРИАЛЫ И МЕТОДЫ

Общая формулировка задачи

Приведем формулировку и численно-аналитическое решение на примере одномерных в пространстве стационарной и нестационарной задач теплопроводности. Общий вид уравнения, описывающего процесс распространения тепла в одномерном пространстве и времени, имеет следующий вид [5-7]:

V(a(х, í)V<p)+f(x, t) = 5ф!8t,

(1)

где a(x, t) =

X(x, t)

P(x, t)Cp (x, t)

характеристика (температуропроводность) среды; Х(х, /), р(х, Г), с (х, 0 — соответственно теплопроводность, плотность и теплоемкость материала, кото-

рые могут быть переменными как в пространстве, так и во времени, т.е. характеризовать нестационарную, неоднородную теплопроводящую среду. В составе алгоритма метода конечных элементов (МКЭ) изменение параметра а по пространственной переменной х учитывается в процедуре построения расчетных сеток, т.е. построения расчетной модели, как ансамбля КЭ. В пределах каждого КЭ в линейной задаче значения а считаются постоянными по его локальной координате (далее в обозначениях зависимость а от х опускается); Дф= д2<р/дх2; ф = ф(х, ^ искомая функция температуры; /(я:,г) = Цх, 0/(р(*> 0ср(х, 0); ^(х, ^ — удельная мощность (плотность) теплопоступлений/теплопо-треблений от тепловых источников; х, t — пространственная и временная переменные; дф/дt — изменение искомой функции во времени.

Согласно условию поставленной задачи, рассмотрим параметр а, характеризующий теплофизи-ческие характеристики среды, зависимым от температуры, т.е. от искомой функции [8]:

а = а(ф). (2)

Тогда уравнение (1) примет следующий вид: У(а(ф)Уф)+/(х,0 = 5ф/5^ (3)

Такое уравнение является нелинейным. К примеру, в работе [9] получено решение уравнения (3) методом Галеркина с использованием конечно-элементной аппроксимации.

Метод решения нелинейной связанной задачи теплопроводности методом конечных элементов

Стационарная задача

Стационарная задача является частным случаем уравнения (3), при котором слагаемое дф^ = 0:

У(а(ф)Уф)+/(х,0=0.

(4)

— теплотехническая

Решение задачи (4) методом Галеркина сводится к решению следующего уравнения [4]:

Ь

Я = -|Щх)(У(а(ф)Уф) + /(х,0)<& = 0, (5)

где R — остаточная функция; L — длина одномерного пространства, в пределах которого рассматривается задача теплопроводности; Ж(х) — «взвешивающая» функция, зависящая от х (далее обозначается как Ж).

В соответствии с алгоритмом МКЭ задача рассматривается в одномерном конечномерном пространстве, обозначим его £, которое на его отрезке длиной L представляется множеством точек (узлов) с координатами (х0), (х1), (х2) ... (х) ... (х^+ 1). Узлы делят отрезок Ь на конечное количество участков (КЭ) Е, Е, Е, ... Е,, ... Еы с концевыми координатами

(*о>*1)> (,х1'х2^'

{Х2' Хз) ••• (Х1-1> Хг) ■■■ {ХЫ> ХИ+1)' где N — количество элементов в одномерном пространстве (рис. 1).

Одномерное пространство L One dimensional С space

динаты х линейно, второе слагаемое интеграла (7) принимает следующий вид [10]:

if(.)) fie(x, t) ГLe) У í 2 U(e)

(8)

где Ь(е) — длина элемента Е.

Следует отметить, что второе слагаемое присутствует в формуле (7) при наличии источников тепла, выделяющих (или поглощающих) тепловую энергию внутри элементов. Рекомендуется размещать в местах действия таких источников (потребителей) тепла узлы, в этом случае функция /(х, Г) будет участвовать в уравнении (4) в качестве свободного слагаемого.

Первый интеграл в выражении (7) требует отдельного рассмотрения:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

J W(e) V(a(9)V9(e) )dx--

x

xi+1

■■- J W(e) Va(9)V9(e)dx -

xi+1

J W(e) а(ф)Аф( e) dx.

(9)

X0 X1 X2 X3

Рис. 1. Деление отрезка L на элементы: N — количество элементов; E , E , E2 ... EN — конечные элементы с концевыми координатами (x0, x1), (x1, x2), (x2, x3) . (xN xN + j) Fig. 1. Division of segment L into elements: N — number of elements; E0, E, E2 ... EN—finite elements with end coordinates (x0, (x1, x2), (x2, x3) ... (xn, XN + j)

Остаточная функция R, представляющая уравнение (5) и сводящаяся к нулю, состоит из двух слагаемых:

Ь Ь

-[жУ ((ф)Уф)с1х - [ж/(х, г)Лс = 0, (6)

0 0

а в пределах произвольного элемента Е е дискретного пространства £:

Я(е) =-| IVм V (а(ф)Уф(е)) ¿х -х " (7)

- Г)<3х=0,

ъ

где верхний индекс (е) обозначает соответствующую функцию в пределах элемента Е . Для случая, когда в пределах элемента Е дискретного пространства £ изменение функций Ж, / ф в направлении ор-

Второй член правой части выражения (9) вычислим интегрированием по частям:

V (((е) а (ф)Уф( е)) = V [а (ф)Уф( е)) Щ(е) + + (е) (a(ф)Vф(е)) = Va(ф)Vф(е) е) + + Щ(е)а(ф)Дф(е) +VW¡(е) (а(ф^ф(е))

или

W(e) а(ф)фе) =V(W(e) а(ф)Уф(е) )--Va(^}V(p(e)Wi(e) -VWi(e) (<я(ф^ф(е)).

Тогда он примет вид:

Xz+1 Xz'+1

-JW(e)а(ф}Дф(е)dx = J -(v(((e)а(ф}Уф(е))--Уа(ф)Уф(еW(e) -VW(e) (а(ф)Уф(е)))dx;

xi+1

- J W{e)a(ф)Аф(e)dx = - e) а(ф) Уф(e) +

xi+1 xi+1 + JVa(ф) Уф(е)Щ(е) dx + JvW(e) а(ф)Уф( e) dx.

(10)

(11)

(12)

Первое слагаемое правой части формулы (12), как правило, игнорируется или используется для задания граничных условий второго рода в виде первой производной от функции ф. Если мы также ее опустим, тогда выражение (9) примет вид:

e е

(D (D

t О

is

G Г

S С

0 со

n (Л

ü 2 y 1

J со

^ I

n о о

3 (

01 n

Q

CO CO

о

n a 0

2 66 A ®

о о

c о

ф )

ü ® «

л ' Ю DO ■ т

(Л у с о (D X 01 01

2 2 О О 10 10 U W

j

E0 E2

E

N

>X

X,-1 Xt

XX

N N+1

= -|^(е)Уа(ф)Уф(е)йЬс +

х1+1 хм

■ | Уа(ф)Уф(е)^(е)<£с+ |у^(е)а(ф)Уф(<0<£с

Аналогичным образом вычисляем интеграл для

функции :

■4+1

-¡И$ам(<р)АфмАс2-

ч

.(«Л

(е) 4>г + £(е)

ф,.+

Ф<+1 +

V У

(22)

Фш-

или

о о

N N

О О

N РЧ

10 и!

¡г <и

и 3

> (Л

с и

2 ""„

Ш 09

. г

00 щ

л

<и ф

о ё —' ^

о 1!

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

я = ™ . I

ОТ "

Л

ся с

£= о

£ ° ^ с

ю о & «

о Е

СП ^ т- ^

£

ОТ О

С «Я ■8

"1+X г+1

-[И*0У(а(ф)Уф(е))) = а(ф)Уф(е)¿х. (13)

Для вычисления интеграла правой части формулы (13) необходимо определить зависимость между функцией а и искомой ф. Предположим, что в пределах элемента Е данная зависимость линейна и имеет следующий вид:

а (ф) = ф + а( юстоянн:

му МКЭ [4], запишем:

(14)

где а[е), а{р — некие постоянные. Следуя алгорит-

Щ(е> =

Эф'

(е)

дх

хм - -X X -X;

- Х1 Х1+1 ~Х1

дЩ(е> дх 1 —

1

дх

' -1

О °}г;

{О 1}г;

(15)

(16)

(17)

(18)

(19)

Х-,, X

,(<0 Л!+1

х-х,

¿е)

Ф,+«Г Л= (20)

2 а« 2

И1е) 2 Ь(е) Ь(е) Подставим формулу (20) в выражение (13):

■ | V (а(ф) Уф(е) =

м

4)1 + £(е)

ч

Ф, -

(21)

/

Фш-

Представим выражения (21) и (22) в матричной форме:

"1+1

,(<о

21}

Ф|+1'

я,

(<0

о«

Ф'' ¿(<0 ¿(<о Ф'+1 + ¿(<0

Ф,. I (23) Ф,+ь

Итоговая матричная запись остаточной функции для отдельного элемента пространства £ с учетом выражений (8) и (23):

Ф,-Ф.-ы

и.) Ь (24)

где

[^(ф)] =

»

—-—(р. н—-— 21^ Ь(е)

2£(е)

Ф,Ч1

2Х(е)

а'}' а(ке) Ду

Ф' _ ¿м 2^") Ф'41 +

(25)

является нелинейной матрицей теплопроводности для элемента Ее с концевыми координатами (х,, х(+1).

При ак = 0 формула (25) принимает вид, как для линейного одномерного элемента [4]:

Используем формулы (15)-(19) для вычисления интегралов в выражении (13):

1

Г V (ф)Уф<е)б£х:=-———у(-ф,. + Ф|+1) х

1+\ *1

а?

¿е)

¿е) ¿е)

а(е) а(е)

(26)

И остаточная функция для концевых узлов элемента Е принимает вид:

1\е)

= [^>(Ф)]|срФ11|-{/^}. (27)

Для быстрой сходимости решения нелинейной задачи важно принять значения распределения температуры на отрезке Ь в первом приближении максимально близкими к точному решению. В предложенных алгоритмах данные значения рекомендуется принять по результатам, получаемым при решении линейной стационарной задачи теплопроводности, т.е. используя только выражение (26) для формирования матрицы теплопроводности.

Построение глобальной матрицы теплопроводности

Формирование глобальной матрицы в нелинейной стационарной задаче для ансамбля КЭ пространства £ осуществляется так же, как и для линейной задачи.

Используя матричное представление:

0 0

0

0

. N+1 . 0

[Ка (Ф)]{Ф} - {^} = {0}.

У(а(<р)У<р) + /(х, I) = X

ы

Л ' ?и

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

3 6 6 3

дф, Ы

дг

(33)

ф,-Ф,Ч1

где

матрица констант;

Ф/

Ф/+1

вектор

(28)

уравнение (4) может быть представлено в виде системы нелинейных алгебраических уравнений, образуемой при приравнивании остаточной функции к нулю, которая в матричной форме может быть представлена в следующем виде:

(29)

первых производных по времени в концевых узлах элемента Е.

е

Добавим выражение (33) в уравнение (27):

Используя принцип, описанный в разделе «Построение глобальной матрицы теплопроводности», формируем глобальную матрицу теплопроводности и полученные уравнения для остаточных функций приравниваем нулю:

{Щ = [[ (ф)] {ф} -{^ }+[Кх ]{ф} = {0} (35)

Нестационарная задача

Уравнение теплопроводности в одномерном пространстве для нестационарной задачи (3) отличается от стационарной (4) наличием составляющей, учитывающей изменение искомой функции температуры во времени, и которая не равна нулю дф/дt ф 0.

Для получения общего решения перепишем уравнение (3) в следующем виде:

или

где

{ф}=[Са(Ф)]{Ф} + { Р },

[(Ф)] = -[К,] [(Ф)]; {Р }=~[К,]{ ^}.

(36)

(37)

(38)

(30)

где X — некий коэффициент, который иногда называют коэффициентом замедления. Действительно, при переносе его в левую сторону уравнения он становится делителем для а, тем самым «замедляя» передачу тепла.

По аналогии с уравнением (5) запишем выражение (30) в интегральном виде для решения методом Галеркина:

Я = (х) ^У(а(ф)Уф ) + / (х, Ц - X ^х = 0. (31)

В данном выражении (31) дополнительно появляется слагаемое:

(32)

Ниже приведена матричная форма вычисления интеграла (32), основанная на технике МКЭ [10]:

Матричное уравнение (36) представляет собой дискретный аналог системы нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка.

Решение системы нелинейных уравнений методом Ньютона

Стационарная задача

Как было показано выше, стационарная задача теплопроводности с нелинейными характеристиками теплопроводящей среды может быть представлена в матричном виде системой уравнений (29). Данная система состоит из нелинейных алгебраических уравнений второй степени. Для ее решения применим метод Ньютона [11], представленный в известной матричной форме метода Ньютона -Рафсона [9].

Суть метода состоит в последовательном приближении к точному решению системы с использованием так называемой касательной матрицы (матрицы Якоби).

Представим уравнение (29) в следующем виде:

е е

® ф

¡Я с

о Г

М С

о со

п СО У 1

о со

и-

^ I о

з (

о;?

о п

о

о

(39)

со со

§ 3 §

Г 6 о о

С О

§ ) [[ ® «

л '

ю п ■ г

И □ (Л У С о Ф X „01 „01

2 2 О О 2 2 Ы Ы

где

{к (Ф)} = [к (Ф)]{Ф}.

(40)

Если в первом приближении значения элементов вектора узловых значений температуры {Ф} принять равными:

метода Ньютона - Рафсона, в данном случае первой. Тогда во втором приближении значения иско-могут быть вычислены следу-

{Ф<1>}={Ф<11

.<1> ф<1>

Ф'

,<1>

Ф

,<1>

(41)

где индекс <1> — номер итерации (приближения)

мого вектора |ф<2>} ющим образом:

{К (Ф® )} « {К (Ф(1>)} + |>® ] {дФ(1>} = , (42)

где [ КТ ] — глобальная касательная матрица или матрица Якоби, построенная на первом шаге итерации:

[ К1] =

дк1 ((ф(1>}) дк1 ((ф(1>}) дк1 ((ф(1>})

5Ф,

дФ,

дФ,

дК2 ((ф(1>}) дК2 (}) - дК2 ((ф(1>})

дФ,

дФ2

дФЛ

дКм+1 ( }) дКм+1 ((ф® }) - дКм+1 ( })

дФ1

дФ,

дФ,

(43)

о о

N N

О О

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

N РЧ

10 и!

¡г <и

и 3

> (Л

с и

2 ""„

Ш 09

. г

вО щ

¡1

Ф <и

О ё

о

о о

СО <г ™ §

(Л "

« Л

ся

С

£= о

£ ° ^ с

ю о & «

о Е

СП ^ т- ^

С «Я "8

При этом корректировка к первому приближению может быть вычислена из выражения (42) по матричной формуле:

{дФ^Н^^М^)}).

(44)

Тогда значения искомого вектора {Ф} во втором приближении:

Ф<2> } = {Ф

дФ

(45)

или в более общей записи (в i-м приближении):

(ф<м \ = /ф< о \ + /дф«

(46)

Итерационные вычисления продолжим до тех пор, пока получаемые значения корректировок векто-

ра |Ф

и+1) I

в относительном выражении продолжают

превышать величину допускаемой ошибки. Относительная корректировка или относительная ошибка может быть рассчитана по следующей формуле:

£< й =.

I ^ ) _ ||АФ0

1 +(ф« )2 1 + ||Ф«1

(47)

Очевидно, ошибка на текущей i-й итерации вычисляется как сумма квадратов приращений {Дф< й} в этой итерации, отнесенная к сумме квадратов значений вектора {ф й} в этой итерации. Единица в знаменателе (47) добавлена во избежание возможного деления на ноль. После каждого приближения по выражению (47) вычисляется ошибка е и, когда она не превысит установленный лимит, расчет можно считать выполненным.

Теперь рассмотрим глобальную касательную матрицу более детально. Для ее определения про-

дифференцируем формулу (25) по выражению (43), получим касательную матрицу для отдельного элемента:

4^е)(Ф)]

с1<р

4%+а

аГФ,+а

(«о

г(е)

(<0 ЯМП

7

¿е)

• (48)

Используя путь, описанный в разделе «Построение глобальной матрицы теплопроводности», а также выражение (48), можно формировать глобальную касательную матрицу [К'' ] . Как видно из формулы (48), она зависит от значений функций. Это означает, что, например, выражение (44) может быть написано в следующем виде:

{дф<» } = [[ (ф<>>)]-> (}-{К(ф<>>)}) (49) или в общем виде:

,</>1 _

= [КТ (ф<'>)]"' — ^кк(<ф>)}). (50)

Алгоритм решения стационарной задачи Предлагаемый алгоритм решения стационарной одномерной задачи теплопроводности с переменным коэффициентом теплопроводности, описываемым уравнением (4), следующий.

Шаг 1. Одномерное пространство £, в котором решается задача, представляется конечным множеством точек (узлов), делящих отрезок L теплопро-водящей среды на Ы-е количество элементов. В результате получаем расчетную модель, собранную из N элементов, каждый из них со своей длинной L(e), координатой начала элемента х. и координатой его конца х...

Шаг 2. Для каждого элемента в матричном виде вычисляются функции теплопроводности (25), вектор (8), характеризующий влияние возможного источника тепла. Также строятся матрицы теплопроводности (26) для определения узловых значений температуры на первом приближении.

Шаг 3. Используя методику, изложенную в разделе «Построение глобальной матрицы теплопроводности», все матрицы и векторы элементов собираются в глобальные (26) для расчетной модели.

Шаг 4. Значения температуры на первом приближении для быстрой сходимости метода Ньютона - Рафсена рекомендуется принять по результатам решения стационарной линейной задачи теплопроводности с постоянными значениями элементов матрицы теплопроводности (26). Для этого необходимо решить систему линейных алгебраических уравнений:

Ф Ыса ]{Ф}+{Г

ного момента времени t = ^ тогда выражение (53) можно представить в следующем виде:

я({ф(1>}) = е^М]'" {фо}+

(54)

при котором остаточная функция Я||ф(1>вероятнее всего, не будет равна нулю. Необходимо найти такие значения элементов вектора |фй |, при которых выражение (54) стало бы тождеством. По аналогии со стационарной задачей можем утверждать [15, 16], что:

д({ф('+1>}) =/г({ф<г>})+^({ф<1>}){дФ<1>}, (55) Я (1Ф+1> 11 Я ((Ф<'> Л — ■

(51)

где [Кд] — глобальная матрица теплопроводности, построенная по формуле (26), вектор ^} принимается как и в выражении (29).

Шаг 5. По вычисленным значениям температуры определяются матрицы теплопроводности (25) и касательные матрицы элементов (48), которые собираются в глобальные матрицы по методике, изложенной в разделе «Построение глобальной матрицы теплопроводности». По матричной формуле (50) устанавливается корректировка узловых значений температуры {ДФ®} на текущем ,-м приближении.

Шаг 6. По формуле (46) корректируется вектор узловых значений температуры.

Шаг 7. С помощью выражения (47) рассчитывается ошибка и сравнивается с допустимым значением. Если ошибка на очередном итерационном шаге становится менее ее установленного допустимого значения, расчет считается законченным, если превышает, то с уточненными узловыми значениями температуры возвращаемся к шагу 5.

Нестационарная задача

Матрица [С (Ф)] в матричном уравнении (36) нелинейная. Если бы данная матрица не была зависима от Ф, уравнение (38) имело бы вид:

где ф /), ф I) — значения функции (54) для соответственно ,+ 1-го и ,-го приближений; ЯТ Цф| — глобальная касательная матрица для 1-го приближения; |дФ(,> | — корректировка принятых значений для ,-го приближения.

Предполагая для выражения (55) ^{ф<,+1>}| = {0}, получим следующее выражение для расчета корректировки {дф(й}:

дФ(й } = - Я НФ

Я ЙФ('

(56)

Касательная матрица на ,-м шаге итерации по аналогии со стационарной задачей может быть вычислена следующим образом:

* (("))-тк ( ((11))

(57)

или

¿с«>о}+

>' ¿{Ф}

(58)

(52)

можно было бы использовать аналитическое решение этой системы уравнений [4, 12-14]:

Продифференцируем правую сторону уравнения (58) по {Ф}. Сначала:

¿{Ф}

^ (К {Фо

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

(59)

Для вычисления формулы (59) разложим функ-

{Ф(0}=е[с"1' {Ф0}+/е[с'](,ч) ^ (0}^, (53) цию в ряд Тейлора:

где {Ф0} — начальные значения искомой функции в узлах элементов в момент t = 0.

Предположим, что у нас есть значения искомого вектора в первом приближении | Ф^1 > для задан-

тг 2!

, №1 , 'Лс.Г ,

(60)

е е

® ф

¡Я с

О Г М С

со со

о СО

и -

^ I

п ° »8

О СЛ

О

о

СО СО

о

3!

4!

О ю ш ё

> 6 О О

о О

ф ) [[ ® «

л '

ю п ■ г

(Л п (Л у с о Ф Ж „01 „01

О О 10 10 ы ы

О О

N N

О О

N РЧ

10 10

¡г <и

и 3

> (Л

с и

2 ""„

Ш 09

. г

во щ

л

Ф ф

о ё —' ^

§ 1! Я =

™ . I

ОТ "

41 Л

ся

С

£= о

£ ° ^ с

ю о & «

о Е

СП ^ т- ^

£

ОТ О

С «Я ■8

тогда

¿[е.] ¿{ф}

1 ¿{Ф} 2!

£?{ф} 3!

'/[С. Г

, 'ЖГ , '/[с.Г ,

2!

VIе-].

3!

4!

¿{Ф}

й{ ф}

в этом случае

¿да

кГ))}

' </{ф}1 °>

а

¿{Ф}

¿{Ф}

Дифференциал третьего члена Я (| Ф[) в формуле (58):

¿{Ф}

({ф(,>}) = [Л,

[ (Ф) ] = ~[Кх ] [К (Ф) ]. В этом случае:

Для отдельного элемента:

а

¿{ф}

([^>(ф)]{Ф^}) =

" а(е) "к а1е) "к

2 £(е) 2Ь(е)

4е) 4е)

1 2£е) 2£(е>

(61) где

ф.

Ф.Ч10

(67)

[ #е) ] =

4е) «Iе)

21( е) 2 1(е)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

«Iе) )

2Ь(е) 2 Ь(е)

(68)

Учитывая формулу (33), можем вычислять для каждого элемента матрицу [-^¡^ ] и соответственно касательную матрицу. Далее по методике, изложенной в разделе «Построение глобальной матрицы теплопроводности», остается собрать их в глобальные касательную матрицу и матрицу и вычислить производную а[Са ]/^{Ф}:

(62)

а [с ]/а {Ф} = [кх / [кт /

(69)

По аналогии вычислим производную второго слагаемого правой части выражения (61):

Подставляя полученные выражения (62)-(64) и (69) в (58), получим расчетную формулу для вычисления элементов касательной матрицы нестационарной нелинейной задачи:

+

(63) +}(,,-^^Л^ПХгНР [Л-

(70)

(64)

Алгоритм решения нестационарной задачи Предлагаемый алгоритм на примере решения одномерной нестационарной задачи теплопроводности с переменным коэффициентом температуропроводности, описываемым уравнением (3) или в более полном виде, следующий:

где [/] — единичная матрица.

аГс1, ,

Теперь вычислим —К Согласно выра-

¿{Ф} 1

жению (37) с учетом формулы (25) в глобальных матрицах можем написать:

от

(71)

(65)

(66)

Шаг 1. Задача формулируется в одномерном пространстве £, на отрезке длиной Ь, в конечном количестве точек (узлов) конечно-элементной сетки. Узлы делят рассматриваемый отрезок Ь тепло-проводящей среды на N-е количество элементов. Таким образом, расчетная модель собрана из N КЭ, каждый из них со своей длиной Ь(е), координатой начала элемента х. и координатой его конца х.+1, где I — здесь порядковый номер узла КЭ.

Шаг 2. Для каждого элемента вычисляются матрица теплопроводности (25), вектор воздействий источников тепла (8) и касательная матрица (68).

Шаг 3. Используя методику, приведенную в разделе «Построение глобальной матрицы теплопроводности», полученные матрицы и векторы ансамбля КЭ собираются в глобальные матрицы и векторы расчетной модели (28). С использованием выражений (37) и (38) вычисляются матричные функции [Са(Ф)], {Р }.

Шаг 4. Значения температуры для момента времени t = td в первом приближении |фй} рекомендуется принять по результатам решения линейной нестационарной задачи теплопроводности с постоянными значениями параметров теплопроводности с использованием формул (26) и (53).

Шаг 5. Вычисляются касательная матрица Ят ({ф(д }) по формуле (70) и функция Я {{ф<й })

по выражению (54) или (72) с использованием зна-

(фй)

чений

* «ф< г> О

и

- О

, „Iе-"О' (ф

о

[Ка ('> )]{ф(г+1) }- } = {0};

для нестационарной задачи используется аналитическое решение:

ф('-+1> 1=е

и

\фп

РЕЗУЛЬТАТЫ ИССЛЕДОВАНИЯ

Авторы статьи с использованием предложенных формул разработали расчетную программу в среде Ма1ЬаЬ, в которой реализовали вышеприведенные алгоритмы расчета и получили положительные результаты. Так, на рис. 2 показаны результаты расчета многослойной стены со следующими переменными характеристиками теплопроводности в Вт/(м-°С): • кирпичная стена:

а = -0,0001ф + 2,5000;

• утеплитель:

а = -0,0109 ф + 0,3268.

(75)

(76)

(К »>(0К _{ф« }. (72)

Шаг 6. С помощью формулы (56) рассчитывается корректировка значений температур.

Шаг 7. По формуле (47) вычисляется ошибка, которая сравнивается с допустимым значением. Если ошибка менее установленного допустимого значения, расчет считается завершенным, если ошибка еще превышает допустимое значение, тогда с уточненными узловыми значениями температуры матричной операции (56) возвращаемся к шагу 5.

Решение системы нелинейных уравнений методом Пикара

Альтернативно методу Ньютона для решения системы нелинейных уравнений (29) стационарной задачи и выражения (54) нестационарной задачи можно использовать метод Пикара, описанный в работах [9, 17]. Данный метод предполагает последовательно подставлять каждое предыдущее значение искомой функции в соответствующее уравнение, тем самым линеаризировать его для расчета следующего приближения, т.е. для стационарной задачи используется численное решение:

Обе зависимости (75), (76) подразумевают уменьшение теплопроводности с повышением температуры и увеличение при понижении температуры. Прочие исходные данные, использованные в расчете, следующие:

• толщина внутреннего кирпичного слоя: 0,167 м;

• толщина внешнего кирпичного слоя: 0,167 м;

• толщина утеплителя: 0,166 м. Изменение по времени t температуры воздуха

внутри помещения, с которой контактирует внутренний кирпичный слой стены, °С:

0 = 20+2вш^я |.

(77)

Изменение по времени t температуры воздуха снаружи, с которой контактирует внешний кирпичный слой стены, °С:

Гвр(0 = -20+5сов

(78)

Граничные условия второго рода в модель включаются согласно закону Ньютона [18]:

-а(Ф)^=А(Гвв(0-Ф1),

(79)

где Ф1 — температура в первом узле отрезка Ь, находящемся на внутренней поверхности стены:

(80)

(73)

(74)

где Ф ы+1 — температура в Ж+1-м узле пространства отрезка Ь, находящемся на внешней (уличной) поверхности стены. Коэффициент конвекционной теплоотдачи h как для внутренней, так и наружной поверхности стены h = 0,8 Вт/(м2-°С).

Включение выражений (79) и (80) в состав конечно-элементной модели выполняется с использованием опущенного в формуле (12) члена. Действие теплового потока происходит на первый узел, где модель контактирует с внутренней средой, заданной формулой (77), и на последний узел,

е е

® ф

¡Я с

и н

О Г

М С

О

п СО

1 ф У 1

О со

и--

^ I

О ° О ф

=! ( о;?

о п

о

СО СО

о

О ю ш ё Ф66 > 6 О О

о О

ф )

Ф п

л '

ю ■

(Л □ Л У С О Ф Ж 01 01 22 о о 10 10 ы ы

О О

N N

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

О О

N РЧ

líf 10 ¡É (V U 3

> (Л

с и

ta од

. г

00 Щ

И

<U ф

O í¿

o

o o

СО <r ™ §

со "

Ü СЯ

С

£= O

cC °

с

Ю O

S Ц

o E en ^

со от

С W

i! El

Ф Ф

ta >

где модель контактирует с наружной средой, заданной в выражении (78). Соответственно в первое и последнее уравнение системы (35) необходимо добавить следующие члены.

В первое уравнение (соответствующее узлу 1) с учетом выражений (15) и (79):

-И?4 а(ф)Уф<е»Г2 = -Щт а(ф) ^

dx

= -АГ1В(0 + АФ1

(81)

или

А О О О

[+ №„(')

Ф.

О

(82)

где [к« ] =

А 0 0 0

— дополнительная матрица эле-

[ ^ ];

— дополнительный век-

= -hTKp(t) + h<bN+]

dx

XN+1

(83)

или

0 0 0 h

Ф

N

Ф

N+1

Ф Ф,

0

-hT^t)

(84)

где

[*¡?] =

0 0 0 A

— дополнительная матрица эле-

мента Е1, учитывающая влияние внутренней температуры, добавляется к матрице теплопроводности

Г-АГИ(01 0

тор теплового источника элемента Е1, учитывающий влияние внутренней температуры. Добавляется к вектору {/(1)}.

Аналогично рассчитываем дополнительные компоненты последнего узла модели:

мента Е^, учитывающая влияние внутренней температуры. Добавляется к матрице теплопроводности

-ИТ (г)} — дополнительный

вектор теплового источника элемента Е№ учитывающий влияние внутренней температуры. Добавляется к вектору {/("' }•

За начальные условия для нелинейной задачи взято решение линейной нестационарной задачи с тем-

пературопроводностью, рассчитанной для ф = 20 °С. Линейная нестационарная задача, в свою очередь, решалась с начальными условиями, имевшими вид кусочно-линейного распределения температуры по всей толщине стены со значением +20 °С на внутренней поверхности и -20 °С на наружной.

40 30 20 10 0 -10 -20 -30 -40

-0,1 0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 Рис. 2. Распределение температуры в пределах стены, рассчитанное различными методами: 1 — задача в линейной постановке; 2 — задача в нелинейной постановке, решенная методом Пикара; 3 — нелинейная задача, решенная методом Ньютона

Fig. 2. Temperatura distribution throughout the wall structure: 1 — linear problem; 2—non-linear problem linearized by Picard Method; 3 — non-linear problem solved by Newton Method

Как видно из полученных графиков, методы Ньютона и Пикара дали идентичные результаты. Согласно принятому закону изменения теплопроводности (75), (76) чем холоднее конструкция, тем выше ее теплопроводность. Это привело к ухудшению изоляционных характеристик стены, что, в свою очередь, вызвало уменьшение температуры на внутренней поверхности стены.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложенная в настоящей статье методика позволяет решать стационарную и нестационарную задачи теплопроводности с переменными характеристиками теплопроводящей среды. Потенциал МКЭ дает возможность включать в расчет различные прочие физические явления, такие как конвекция, перенос тепла [19, 20]. Аналитическая часть для временной переменной позволяет выполнять расчет сразу для заданного момента времени. Предложенный алгоритм численно-аналитического решения нелинейной задачи представляется довольно эффективным. В рассмотренном примере решения нелинейной нестационарной задачи количество итераций не превышало трех. Рассмотренный алгоритм реализует численно-аналитическое решение нелинейного параболического дифференциального уравнения в частных производных второго порядка и может быть использован для решения ряда инженерных задач, описываемых данным уравнением.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ

1. Koniorczyk M., Grymin W. Influence of the thermal conductivity and ambient temperature uncertainty on the heat losses through the external wall // Buildings. 2021. Vol. 11. Issue 3. P. 84. DOI: 10.3390/buildings11030084

2. Сидоров В.Н., Ахметов В.К. Математическое моделирование в строительстве : учебное пособие. М. : Изд-во АСВ, 2007. 336 с.

3. Walder O. Mathematical methods for engineers and geoscientists. Springer Berlin, Heidelberg, 2008. DOI: 10.1007/978-3-540-75301-8

4. Золотое А.Б., Акимов П.А. Практические методы расчета строительных конструкций. Численно-аналитические методы. М. : Изд-во АСВ, 2006. 208 с.

5. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М. : Высшая школа, 1967. 600 с.

6. Fang W., An Z., Yu T., Bui T.Q. Analysis of unsteady heat transfer problems with complex geometries using isogeometric boundary element method // Computers, Materials & Continua. 2020. Vol. 62. Issue 2. Pp. 929-962. DOI: 10.32604/cmc.2020.05022

7. Forsberg C.H. Heat transfer principles and applications. London : Academic Press, Elsevier Inc., 2020.

8. Khebchareon M., Pany A.K., Pani A.K. An H1-Galerkin mixed finite element method for identification of time dependent parameters in parabolic problems // Applied Mathematics and Computation. 2022. Vol. 424. P. 127045. DOI: 10.1016/j.amc.2022.127045

9. Bhatti M.A. Advanced topics in finite element analysis of structures: With Mathematica and MATLAB Computations. New York : John Wiley & Sons, 2006.

10. SegerlindL.J. Applied finite element analysis. New York : John Wiley & Sons, 1984.

11. Langtangen H.P., Mardal K.A. Introduction to numerical methods for variational problems // Texts

Поступила в редакцию 11 января 2023 г. Принята в доработанном виде 20 апреля 2023 г. Одобрена для публикации 20 апреля 2023 г.

Об авторах: Владимир Николаевич Сидоров — доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой информатики и прикладной математики, член-корреспондент РААСН; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; Scopus: 39161892000, ResearcherID: C-3057-2018, ORCID: 0000-0001-8812-80; SidorovVN@mgsu.ru;

Алим Махмудович Примкулов — аспирант кафедры информатики и прикладной математики; Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет (НИУ МГСУ); 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26; SPIN-код: 8274-5450, ORCID: 0000-0003-2583-0281; a.primkulov@prodim.ru.

Вклад авторов:

Сидоров В.Н. — научное руководство, идея, обработка материала, доработка текста, итоговые выводы. Примкулов А.М. — сбор материалов и их обработка, вычисления, написание исходного текста. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.

REFERENCES

in Computational Science and Engineering. 2019. DOI: 10.1007/978-3-030-23788-2

12. O'NeilP.V. Advanced engineering mathematics. Boston : PWS Publishing Company, 1995.

13. Brunton S.L., Kutz J.N. Machine learning, dynamical systems and control. New York : Cambridge University Press, 2022.

14. Мацкевич С.М., Сидоров В.Н. Нестационарная задача теплопроводности в операторном виде и ее численно-аналитическое решение // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014. Т. 10. № 3. С. 176-183.

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

15. Reddy J.N. An introduction to nonlinear finite element analysis: with applications to heat transfer, fluid mechanics, and solid mechanics 2nd edition. Oxford : Oxford University Press, 2015.

16. Лобанов А.И., Петров И.Б. Математическое моделирование нелинейных процессов. М. : Изд-во Юрайт, 2017.

17. Cassel K.W. Variational methods with applications in science and engineering. Cambridge University Press, 2013. DOI: 10.1017/CBO9781139136860

18. Carey V.P. Liquid-vapor phase-change phenomena. CRC Press, 2020. 730 p. DOI: 10.1201/9780429082221

19. Зубарев К.П. Использование дискретно-континуального подхода к решению уравнения нестационарного влагопереноса в многослойных стенах зданий // International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2021. Т. 17. № 2. С. 50-57. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-2-50-57

20. Тарасик В.П. Математическое моделирование технических систем. Минск : Новое знание, 2013. 584 с.

e е

(D (D t О

i G Г

S С

0 со

n CO

1 i У 1

J to

u-

^ I

n о

i 3 о

=! ( n

q

CO CO

о

1. Koniorczyk M., Grymin W. Influence of the thermal conductivity and ambient temperature uncertainty

on the heat losses through the external wall. Buildings. 2021; 11(3):84. DOI: 10.3390/buildings11030084

n i

r 6

о о

С О

ф )

[r

® 8

л '

. DO

■ т

s У с о <D X 01 01

2 2 О О 2 2 W W

О О

N N

О О

N РЧ

líf 10 ¡É (V U 3

> (Л

с и

to eg

. г

во щ

и

ф ф

О ё

о

о о

СО <г ™ §

(Л "

41 ü

ся

С

£= О

CL ° ^ с ю о

ел ¡I о Е

СП ^ т- ^

2. Sidorov V.N., Akhmetov V.K. Mathematical modelling in Construction : tutorial. Moscow, Publishing House ASV, 2007; 336. (rus.).

3. Walder O. Mathematical Methods for Engineers and Geoscientists. Springer Berlin, Heidelberg, 2008. DOI: 10.1007/978-3-540-75301-8

4. Zolotov A.B., Akimov P.A. Applied Structural Analysis. Semi-analytical methods. Moscow, Publishing House ASV, 2007; 208. (rus.).

5. Lykov A.V. Heat transfer theory. Moscow, High Education, 1967; 600. (rus.).

6. Fang W., An Z., Yu T., Bui T.Q. Analysis of unsteady heat transfer problems with complex geometries using isogeometric boundary element method. Computers, Materials & Continua. 2020; 62(2):929-962. DOI: 10.32604/cmc.2020.05022

7. Forsberg C.H. Heat Transfer Principles and Applications. London, Academic Press, Elsevier Inc., 2020.

8. Khebchareon M., Pany A.K., Pani A.K. An H1-Galerkin mixed finite element method for identification of time dependent parameters in parabolic problems. Applied Mathematics and Computation. 2022; 424:127045. DOI: 10.1016/j. amc.2022.127045

9. Bhatti M.A. Advanced Topics in Finite Element Analysis of Structures: WithMathematica andMATLAB Computations. New York, John Wiley & Sons, 2006.

10. Segerlind L.J. Applied Finite Element Analysis. New York, John Wiley & Sons, 1984.

11. Langtangen H.P., Mardal K.A. Introduction to numerical methods for variational problems. Texts in

Received January 11, 2023.

Adopted in revised form on April 20, 2023.

Approved for publication on April 20, 2023.

Bionotes: Vladimir N. Sidorov—Doctor of Technical Sciences, Professor, Head of the Department of Computer Science and Applied Mathematics, member of Russian Academy of Architecture and Construction Sciences; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; Scopus: 39161892000, ResearcherID: C-3057-2018, ORCID: 0000-0001-8812-80; SidorovVN@mgsu.ru;

Alim M. Primkulov — postgraduate student of the Department of Computer Science and Applied Mathematics; Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU); 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; SPIN-code: 8274-5450, ORCID: 0000-0003-2583-0281; a.primkulov@prodim.ru.

Contribution of the authors:

Vladimir N. Sidorov — scientific guidance, general review and editing, final conclusions. Alim M. Primkulov — materials gathering and their analyzing, calculations, text preparation. The authors declare no conflict of interest.

Computational Science and Engineering. 2019. DOI: 10.1007/978-3-030-23788-2

12. O'Neil P.V. Advanced Engineering Mathematics. Boston, PWS Publishing Company, 1995.

13. Brunton S.L., Kutz J.N. Machine Learning, Dynamical Systems and Control. New York, Cambridge University Press, 2022.

14. Matskevich S.M., Sidorov V.N. Unsteady-state heat conduction transfer problem in operator form and it's solving using discrete-analytic method. International Journal for Computational Civil and Structural Engineering. 2014; 10(3):176-183. (rus.).

15. Reddy J.N. An Introduction to Nonlinear Finite Element Analysis: with applications to heat transfer, fluid mechanics, and solid mechanics 2nd edition. Oxford, Oxford University Press, 2015.

16. Lobanov A.L., Petrov I.B. Mathematical Modeling of Non-linear Processes. Moscow, Yurait Publishing House, 2017. (rus.).

17. Cassel K.W. Variational Methods with Applications in Science and Engineering. Cambridge University Press, 2013. DOI: 10.1017/CB09781139136860

18. Carey V.P. Liquid-Vapor Phase-Change Phenomena. CRC Press, 2020; 730. DOI: 10.1201/9780429082221

19. Zubarev K.P. Using discrete-continuous approach for the solution of unsteady-state moisture transfer equation for multilayer building walls. International Journalfor Computational Civil and Structural Engineering. 2021; 17(2): 50-57. DOI: 10.22337/2587-9618-2021-17-2-50-57 (rus.).

20. Tarasik V.P. Mathematical Modeling of Technical Systems. Minsk, Novoe znanie, 2013; 584. (rus.).

со

CO

С W

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.