Численно-аналитический метод решения задач оптимального управления Текст научной статьи по специальности «Математика»

Решетневские чтения

Задание усложнялось тем, что на модель накладывалось следующее условие: достижение задающего воздействия с учетом стремления к минимуму функции стоимости. Обучающая выборка при проведении исследования отсутствовала, поэтому использовался алгоритм адаптации при активном накоплении информации.

Желаемый выход был достигнут достаточно быстро, но при этом управление моделью продолжилось, пока не был достигнут стоимостной минимум.

Проведенные исследования показывают довольно хорошее качество работы данной непараметрической модели.

Библиографический список

1. Медведев, А. В. Элементы теории непараметрических систем управления / А. В. Медведев // Актуальные проблемы информатики, прикладной математики и механики. Ч. III. Информатика. Новосибирск ; Красноярск : Изд-во СО РАН, 1996. С. 87-112.

A. S. Orlova

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk ABOUT CONTROL ALGORITHM WITH LAG

Some problems of discrete-continuous processes modeling are considered. The main emphasis is either in the processes and objects modeling in condition of non-parametric uncertainty or in the case when the problem of identification is not in limits of parametric and non-parametric theory.

© Орлова А. С., 2009

УДК 517.977.5

В. А. Охорзин

Сибирский государственный аэрокосмический университет имени академика М. Ф. Решетнева, Россия, Красноярск

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ

Рассматривается численно-аналитический метод решения задач управления в среде МаШСЛБ

Современные вычислительные среды позволяют использовать как символьные, так и численные вычисления. При нахождении решений задач оптимального управления часто приходится проводить громоздкие символьные вычисления при сведении задачи оптимального управления к двухточечной краевой задаче. Целью данной работы является автоматизация решения задачи оптимального управления с помощью вычислительной среды МаШСАБ, для которой исходными данными служит только постановка задачи.

Пусть задана система дифференциальных уравнений

dx|dt = /(х, и, t), х е Ят, и е Я", t е [?п, tk ],

х$п) = х", ) = хк, (1)

где х - состояние системы; и - управление; t - время; tn, ^ - начальное и конечное время.

lk

I = J F(x, u)dt

® min.

u

(2)

Для решения этой задачи составляют гамильтониан [1]

Н = -Р(х, и) + (р • /(х, и, t)) (3)

и удвоенную систему двухточечной краевой задачи оптимального управления

dx|dt = /(х, и, t), dp|dt = -дН/дх, (4)

дН/ди = 0 ® и0(х, р). (5)

Используя выражение (5), исключают функцию управления и^) из уравнений (4).

Приведем реализацию алгоритма на примере нелинейной нестационарной системы второго порядка. Правые части дифференциальных уравнений (1), временной интервал, начальное и конечное состояние имеет следующую запись в системе МаШСАБ (операторы набраны прямым шрифтом):

f(t,x):=

" 1+x1 " T "2"

5 tn:=0 tk:=1 xn: xk:

t • X0 + u 0 3

.(6)

Математические методы моделирования, управления и анализа данных

Подынтегральная функция в критерии оптимальности (2)

Р(х,и):= (2 • х0)2+х2+и2. (7)

Следующие три оператора определяют структуру оптимального управления исходя из условия стационарности гамильтониана (5):

Ро

_ Р _

H(x,u,p):= -F(x,u)+

f(t,x) ®

®(u+t• x2)• p,+ (x,+1)• p0- (2• x0)2-u2-x2

dHu:=—H(x,u,p) uopt:=dHu solve,u ® — du 2

H:=H(x,u,p) substitute, x0 =x0, x1 =x1 ® ® u • p1+x1 • p0-(2 • x0 )2 -u2 -x12 +t • x02 • p1 +p0.

Вычисляя частные производные дИ/dxk аналогичным образом, получим операторы MathCAD, определяющие начальные условия для сопряженных переменных p:

"0"

v:=

0

x:=stak(xn,v) f1(tn,v):=stak(xn,v) f2(tk,x):=

x0-xk0

xj-xkj

a:=sbval(v,tn,tk,Fp,f1,f2)=

-27.631 -9.994

Интегрируя численно задачу Коши с известными начальными условиями на левом конце, получаем решение задачи оптимального управления (см. рисунок).

Имея соответствующую программу, пользователю необходимо для конкретной задачи с системой второго порядка набрать только условия задачи: правые части дифференциальных уравнений, интервал времени, начальные и конечные

условия, а также критерий оптимальности (операторы (6), (7)). Далее вычисления как символьные, так и численные пройдут автоматически. Следует иметь в виду, что далеко не каждая задача может быть решена предложенным способом.

оптимальное управление

I «и 3

с * *■ •

С -2

1 - • ссор ОСТЬ

-

II 1 1 1

0.2

04 Об

»¡Л

С .8

время

Процесс в динамической системе (6) с оптимальным управлением

Первая трудность связана с тем, что программа символьного решения solve может не найти точного решения (5), особенно тогда, когда его нет. В этом случае придется искать решение

уравнения дИ = 0 ® u0(x, p) численно. Вторая

ди

особенность заключается в трудности решения краевой задачи методом пристрелки программой sbval. В этой программе происходит минимизация ошибки между требуемым и текущим положением системы в конечный момент времени за счет подбора начальных условий для сопряженных переменных р. Решение такой задачи часто зависит от выбора начальных значений v.

Библиографический список

1. Охорзин, В. А. Прикладная математика в системе MathCAD : учеб. пособие / В. А. Охорзин. СПб. : Лань, 2009.

V. A. Okhorzin

Siberian State Aerospace University named after academician M. F. Reshetnev, Russia, Krasnoyarsk

NUMERICALLY-ANALYTICAL DECISION OF OPTIMAL CONTROL PROBLEM

The numerically-analytical method of the decision of optimal control problems by the nonlinear systems described by the ordinary differential equations, in computing MathCAD environment is considered

© Охорзин В. А., 2009

5