ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК: 517.946

MSC2010: 81U40, 35P25, 31C20, 45F15

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ РЕШЕНИЯ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ ШРЕДИНГЕРА © А. А. Рейимберганов, И. Д. Рахимов

ургенчский государственный университет факультет физики и математики

14, Х.Алимджана, 220100, Хорезм, Узбекистан e-mail: [email protected], [email protected]

Numerical-analytical solutions of the nonlinear Schrodinger equation.

Reyimberganov A. A., Rakhimov I. D.

Abstract. The main aim of the work is to study the numerical solutions of the focusing nonlinear Schrodinger (NLS) equation. The initial-value problem for the NLS equation

iut + 2|u|2u + uxx = 0, u(x, 0) = uo(x)

is solved numerically using the method inverse scattering transform. Here the function uo(x) possesses the required smoothness and tends to its limits sufficiently rapidly as x ^

Soliton theory provides effective methods to solve nonlinear evolution partial differential equations. The inverse scattering transform method is particularly powerful in constructing soliton solutions.

The inverse scattering transform method to solve the initial-value problem for the NLS equation is based on the spectral analysis of the Zakharov-Shabat system and is described in terms of the following three steps: first, solve the direct scattering problem for a Zakharov-Shabat system with initial potential uo(x); second, finding evolution of scattering data; third, solve the inverse scattering problem for the time evolved scattering data to arrive at the solution u(x, t).

The inverse scattering problem for Zakharov-Shabat system is reduced to a system of two integral equations the so-called system of Gelfand-Levitan-Marchenko (Marchenko) integral equations. This means solving the coupled system of Marchenko integral equations, associated to the scattering data.

In some cases, analytical solution cannot be found for this system of integral equations. For example, in a non-reflective case. Therefore, we must apply the numerical methods for obtaining at least the approximate solutions of the system of Marchenko integral equations.

By M.C.De Bonis and G.Mastroianni [17] applied Nystrom method for solving systems of Fredholm integral equations on the real semiaxis. They proved that this method is stablite and convergent, and applied a specific application to an inverse scattering problem for the Schrodinger equation.

In the work A. Arico, G.Rodriguez, S.Seatzu [18] is shown system of Marchenko integral equations can be reduced to a linear system of algebraic equations. Using structured-matrix techniques the time evolved system of Marchenko integral equations is solved to arrive at the solution to the NLS equation.

In this work, we have used a numerical method to obtain approximate solutions to the system of Marchenko integral equations, in the cases when the corresponding system has simple and multiple eigenvalues. It is clear that to get the best approximating solutions of the given systems, the truncation degree Nx must be chosen large enough. The results are compared with the exact solution by using computer simulations.

Keywords: Nonlinear Schrodinger equation (NLS), inverse scattering problems, numerical methods, integral equations.

Введение

Многие физические задачи о нелинейных волнах описываются математическими моделями, представляющими нелинейные дифференциальные уравнения в частных производных, имеющие специальные частные решения — солитоны. Значительное место в теории солитонов отводится комплексным нелинейным уравнениям, например, нелинейному уравнению Шредингера (НУШ):

iut + 2A|u|2u + uxx = 0, Л = const. (1)

Уравнения (1) называются самофокусированными при Л > 0 и дефокусирован-ными при Л < 0. Аргументы x и t обозначают, соответственно, пространственную и временную переменную. Здесь i = у/— 1, u(x, t) является комплексной функцией и определяется по всей вещественной прямой.

Численное моделирование и аналитические модели НУШ играют важную роль в оптимизации конструкции оптических систем связи. Они помогают понять основные физические явления ультракоротких импульсов в нелинейной и дисперсионной средах. Поэтому, исследование такого рода уравнений и поиски методов поиска их частных решений представляют большую практическую ценность и значимость.

Методом обратной задачи рассеяния [1], вариации и возмущения [2] можно получить аналитические решения нелинейного уравнения Шредингера при некоторых особых начальных и граничных условиях.

Труднее найти аналитическое решение НУШ, поэтому важно изучить теорию численного решения этого уравнения. Методы нахождения численного решения НУШ были исследованы многими авторами. Например, изучены методы конечных

разностей [3, 4], метод квазиинтерполяционной схемы [5], метод квадратичной В-сплайн схемы с конечным элементов [5], метод конечных разностей с расщепленным шагом и метод псевдоспектральной коллокации [7, 8], метод экспоненциального сплайна [9], методы сплайна [10, 11].

Нелинейные уравнения Шредингера принадлежат к классу дифференциальных уравнений интегрируемых методом обратной задачи рассеяния для оператора типа Дирака. Это было показано в работах В. Е. Захарова и А. Б. Шабата [12], Л. А. Тахтаджяна и Л. Д. Фадеева [13], М. Абловица, Д. Каупа, А. Ньюлла и Х. Сегура [14].

Метод обратной задачи рассеяния состоит из следующих трех этапов: 1) решить прямую задачу рассеяния для связанной системы Захарова-Шабата при заданных начальных данных для получения данных рассеяния; 2) нахождения эволюции данных рассеяния; 3) решить соответствующую обратную задачу рассеяния, чтобы прийти к решению.

Обратная задача рассеяния сводится к системе двух интегральных уравнений — системе интегральных уравнений Марченко. В не безотражательном случае аналитическое решение не может быть найдено для этой системы интегральных уравнений. Для получения хотя бы приближенных решений системы интегральных уравнений Марченко, необходимо применять численные методы.

Цель данной статьи — предложить метод нахождения численных решений нелинейного уравнения Шредингера с помощью обратной задачи рассеяния.

1. Необходимые сведения из теории рассеяния

Рассмотрим линейную систему дифференциальных уравнений

У1х + = п(х)У2, Ъ2х - V2 = -П*(х)У1

на всей оси (—то < х < то) с потенциалом и(х), удовлетворяющей условию

{

L = г( dX -Ф)\

\ -«-и -dX

(2)

У (1 + |x|) |«(x)| dx < то. (3)

C помощью оператора

систему уравнений (2) можно переписать в виде Lv = £v, где v = (v1,v2) .

При условии (3) система уравнений (2) обладает решениями Йоста со следующи-

ми асимптотиками

)

3-г£х

-

)

> при х ^ — то,

ф ф

0 1 1 0

эг£х

э-г^х

(4)

> прих ^ то.

(5)

Отметим, что (р не является комплексным сопряжением к (.

При выполнении условий (3) такие решения существуют и определяются асимптотиками (4) и (5) однозначно. При действительных £ пары вектор-функций {((х,£), (р(х,£)} и {ф(х,£), ф(х,£)} являются парами линейно независимых решений для системы уравнений (2), поэтому

{

( = а(£)ф + Ь(£)ф, ( = —Р(£ )ф + Ь(£ )ф.

Легко заметить, что справедливо следующее равенство

о(£) = № {(, ф} = (1ф2 — (2ф1,

кроме того, при действительных £ выполняется равенства

а(£ )а(£) + Ь(£)Ь(£ ) = 1.

(6)

(7)

(8)

Функция а(£) (а(£)) допускает аналитическое продолжение в верхнюю (нижнюю) полуплоскость 1т£ > 0 (1т£ < 0). При |£| ^ то, 1т£ > 0 функция а(£) обладает асимп-

тотикой а(£) = 1 + О . Функция а(£) (р(£)) может иметь в полуплоскости 1т£ > 0 (1т£ < 0) только конечное число нулей £к, к = 1, 2, ..., N (£, к = 1, 2, ..., Щ . Нули £к (рк) функций а(£) (а(£)) соответствуют собственным значениям оператора Ь в верхней (нижней) полуплоскости. Кроме того, оператор Ь может иметь кратные собственные значения. Как показано в работе [15] оператор Ь может иметь спектральные особенности, которые лежат на непрерывном спектре. Непрерывный спектр оператора Ь заполняет вещественную ось, т.е. аезз (Ь(£)) = (—то, то). Предполагаем, что оператор Ь не имеет спектральных особенностей.

0

Функции

д3

ф3(х, Ск) = д^Ф(х, С) , 5 = 1,— 1

называются присоединенными функциями к собственной функции ф(х, Ск). Аналогично определяются присоединенные функции к собственной функции ф(х, Ск). Собственные и присоединенные функции удовлетворяют уравнениям

(ь — Ск I )ф3(х, Ск ) = #3-1(х, Ск), ф0(х, Ск) = ф(х, Ск), к = 1, 2,..., Ж, 5 = 0, 1, ..., тк — 1.

Согласно определению собственных и присоединенных функций существует так называемая цепочка нормировочных чисел {хк, хк,..., Х^-1} и имеют место соотношения

1!

ф1 (x,&) = Y1 xk— и^Ф" (x, £k), k = 1, 2,..., N, l = 0, 1,..., mk - 1.

v=0 '

Определение 1. Набор величин

я(0) = {Г+ (С) = , Ск, хк, С е Я1, 1т Ск > о, к = =0,тк — 1}

называется данными рассеяния для системы уравнений (2).

Прямая задача рассеяния состоит в определении данных рассеяния по потенциалу и(х), а обратная — в восстановлении по данным рассеяния потенциала и(х) уравнения (2).

Для функции ф справедливы следующие интегральные представления

х

ж

0

01

ф = x + K (x,s) ei?sds, (9)

1

где К (х, в) являются двухкомпонентными векторами, т. е

К1 (х, в)

( Ki (х, s) \ (x,s) J .

K (x,s)= , K ( )

K2 (x, S)

В представлениях (12) ядра К (х, в) не зависят от С и связаны с и(х) с помощью равенств

и(х) = —2К1 (х, х) . (10)

Ядра К (х, в) при у > х являются решением интегральных уравнений Марченко (Гельфанда-Левитана-Марченко)

К2*(х,у) + у К1 (х, в + х)Р(в + х + у)^ = 0,

0 „ (11)

- К1<х,у) + г ><х + у) + / К5(х,. + х)р •(. + х + у)* = 0,

0

где

N тк-1

Р(х) = - I г(£)е^£ — г £ £

1

Атк-V— 1

к=1 v=0

1 dV V! ^

(* — £к )тк ( а(^)

2 = Ск

2. Методология

Рассмотрим уравнения (1) при начальном условии

и(х, 0) = и0(х), х е Я. (12)

Здесь начальная функция и0(х) является достаточно гладкой и удовлетворяет условию (3).

Как показано в работе [16] при Л > 0 существует аналитическое односолитонное решение уравнения НУШ в виде

и(х,£) = г(2а(х—?)+г)вееЬ(2в (х — £)),

2

где £ = —4ав£ + £о, ^ = 2а£ + 4(а2 — в2)£ + 50 и а, в, £о, — действительные числи.

Если функция и(х, £) является решением уравнения (1), удовлетворяющим начальному условию (15), то данные рассеяния несамосопряженного оператора Ь с потенциалом и(х, £) меняются по £ следующим образом:

а(£,*)= а(£, 0), г(£,£) = г(£, 0)е4^, (1т£ = 0), (13)

тк (£)= тк (0), £к (£) = £к(0), (14)

X (t) = X (0)e4i^,

xk(t) = Xk(0)e4^ + 8i£fc xk (0)e4i^t,

xk(t) = xk(0)e4i?2i + 8i£fc xk(0)e4i?2it + 8ixk (0)e4i^t2, xk (t) = xk (0)e4iC2i + 8i£fc xk (0)e4i?2 4t + 8ixk (0)e4i^t2,

(15)

хк (£) = хк (0)е4^ + 8г£к хк— 1(0)е4^2 ^ + 8гХк-2(0)е4г?2 V,

к =1, 2, ...,Щ, 1 = 3,4, ..., тк — 1. Во первых, применяя алгоритм метода прямой задачи рассеяния для системы уравнений (1), находим данные рассеяния при заданной начальной функции и0 (х). Далее, на основании уравнений (16)-(18), находим данные рассеяния при £ > 0. Прежде всего, вычислим функцию Р(х, £) через данными рассеяния:

F(x,t) = R(x,t) - > ^ xmfc-v-i(t)

N mk-1

£ xk

k=1 v=0

1 dv v! dzv

(z - &)mk ( a(z)

z=Cfc

где

Я(х,£) = £ (г(£)е—4г?4

Система интегральных уравнений Марченко решается с помощью численного метода, учитывающего специальную структуру ядра. В этой работе используется метод Нистрома [17, 18], а интегралы вычисляются с помощью квадратурной формулы Симпсона на основании сетки X = |хк = а + кк, к = Ь-а , к = 0,1,..., Щх|. Ядра интегральных уравнений зависят от в + х и в + х + у. Поэтому мы получаем точки сетки в виде

= — 1)т, вк+ = хк + ^ , ак+'+р = вк+ + вр+к , (16) ак+р = хк + вр+к, к = 1,2,..., Щх, . = 1, 2,..., Щ.

Мы используем квадратурную формулу Симпсона на точках сетки для аппроксимации интегралов. В точках сетки (19) ядра интегральных уравнений удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

Ny

K2*(xk, вк+p) + djKi(xk, вк+j)F(ak+j+p) = 0,

/ у -"]

j=i

Ny

(17)

K2*(xk,^k+j)F*(«k+j+p) - Ki(xk,ek+p) = -F*(«k+p),

j=i

где {й}^ = — {1,4,2,4,..., 1}, т — шаг сетки. 3

Перепишем системы линейных алгебраических уравнений (17) в виде

ч НБ ^2 0

Н *Б -1му к1 -/ЛГу

с помощью матрицы Б = diag{dj• }^=У1, 1ыу = 1}^==!,

Л у

и неизвестные вектор-столбцы

Система (18) может быть представлена следующим образом

{

(БН *БНБ + Б)^ = /у, к2 = -НБк.

(18)

(19)

(20)

Здесь матрица БН*БНБ+Б является симметричной и положительно определенной, так что систему можно легко решить методом сопряженного градиента. Квадратная матрица Н порядка N х N называется матрица Ганкела, так как (Н)^ = ^).

Заметим, что как приведены равенства (13) и (20) решение и(х,£), которое мы хотим получить, связано с компонентом к1.

3. Численный эксперимент

3.1. В безотражательном случае. Выбираем значения параметров N. = 100, т = 0.1 для отрезка [-5, 5]. Пусть данные рассеяния {г(£, 0) = 0, (0) = г, х0(0) = 1} при £ = 0. Используя формулы (16)-(18), получим данные рассеяния {г(£, £) = 0, £].(£) = г, Хо(£) = е-4г4} при £ > 0. В этом случае функция

и(х,£) = -2е4й5ее^2ж

является точное односолитонное решение уравнение (1).

График, соответствующий численному решению для исходных данных рассеяния в разных значениях времени (£ = 0.5, £ = 0.6, £ = 0.7, £ = 1) на отрезке [-5, 5], показан на рисунке 1.

Пусть данные рассеяния {г (£, £) = 0, £].(£) = г, Хо(£) = е-4г4, х1(£) = (г + 2г£)е-4г4}, то, решая обратную задачу рассеяния,ый получаем точное решение в виде

(х + £ + 1)е-6х+4й - (х + ¿)е-2х+4й

и(х,£) = -16

1 + (16х2 + х(16 + 32£) + (16£2 + 16£ + 6))е-4х + е-8х'

Рис. 1. Вещественная часть численного и аналитического решения нелинейного уравнения Шредингера

На рисунке 2. приведен график, соответствующий численному и аналитическому решениям для исходных данных рассеяния в разных значениях времени (£ = 0.5, £ = 0.6, £ = 0.7, £ = 1) на отрезке [—5, 5].

Рис. 2. Вещественная часть численного и аналитического решений нелинейного уравнения Шредингера.

3.2. В отражательном случае. Значения параметров выбираем N. = 100, т = 0.1 для отрезка [-5, 5]. Пусть |г (£) = , ^1(0) = г, Хо(0) = 1|. Используя формулы

(16)-(18), получим {г (£,*) = ^, Ш = г, Хо(£) = е-4й}.

График соответствующий численному решению для исходных данных рассеяния в разных значениях времени (£ = 0.5, £ = 0.6, £ = 0.7,£ = 1) на отрезке [-5, 5] показан на рисунке 3.

Рис. 3. Вещественный часть численного решения нелинейного уравнения Шредингера

Пусть {г (£,*) = ^, Ш = г, Хо(£) = е-4й, Х1(£) = (г + 2г£)е-4й}.

Для

этого случая на рисунке 4. приведен график соответствующий численному решению для исходных данных рассеяния в разных значениях времени (£ = 0.1, £ = 0.5, £ = 0.6, £ =1) на отрезке [-5, 5].

t=0.7 A -Численное решение

\ /

Рис. 4. Вещественный часть численного решения нелинейного уравнения Шредингера.

Заключение

В данной работе был использован численный метод получения приближенного решения системы интегральных уравнений Марченко. Понятно, что для получения наилучших аппроксимирующих решений для данных систем, степень усечения N должна быть выбрана достаточно большой. Рассмотренные примеры иллюстрируют возможности и надежность рассмотренного в работе метода. Полученные предложенным методом решения имеют достаточно высокую точность.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. HASEGAWA, A., MATSUMOTO and M., KATTAN, PI. (2000) Optical Solitons in Fibers. 3rd ed.New York: Springer-Verlag.

2. BRANDT-PEARCE, M., JACOBS, I., and Shaw, JK. (1999) Optimal input Gaussian pulse width for transmission in dispersive nonlinear fiber. Journal of the Optical Society of America B. 16. p. 1189-1196.

3. TAHA, T. R. and ABLOWITZ, M. J. (1984) Analytical and Numerical Aspects of Certain Nonlinear Evolution Equations. II. Numerical, Nonlinear Schrodinger Equation. Journal of Computational Physics. 55. p. 203-230.

4. ZHANG, L. (2005) A High Accurate and Conservative Finite Difference Scheme for Nonlinear Schrodinger Equation. Acta Mathematicae Applicatae Sinica. 28. p. 178-186.

5. DUAN, A., and RONG, F. A. (2013) Numerical Scheme for Nonlinear Schrodinger Equation by MQ Quasi-Interpolatin. Engineering Analysis with Boundary Elements. 37. p. 89-94.

6. DAG, I. (1999) A Quadratic B-Spline Finite Element Method for Solving Nonlinear Schrodinger Equation. Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 174. p. 247-258.

7. DEHGHAN, M., and TALEEI, A. (2010) A Compact Split-Step Finite Difference Method for Solving the Nonlinear Schrodinger Equations with Constant and Variable Coefficients. Computer Physics Communications. 181. p. 43-51.

8. DEHGHAN, M. and TALEEI, A. A. (2011) Chebyshev Pseudospectral Multidomain Method for the Soliton Solution of Coupled Nonlinear Schrodinger Equations. Computer Physics Communications. 182. p. 2519-2519.

9. MOHAMMADI, R. (2014) An Exponential Spline Solution of Nonlinear Schrodinger Equations with Constant and Variable Coefficients. Computer Physics Communications. 185. p. 917-932.

10. LIN, B. (2013) Parametric Cubic Spline Method for the Solution of the Nonlinear Schrodinger Equation. Computer Physics Communications. 184. p. 60-65.

11. LIN, B. (2015) Septic Spline Function Method for the Solution of the Nonlinear Schrodinger Equation. Applicable Analysis. 94. p. 279-293.

12. ZAKHAROV, V. E. and SHABAT, A. B. (1971) Exact theory of two-dimensional self-focusing and one-dimensional self-modulation of waves in nonlinear media. JETP 61, № 1. 118-1-134. p. 62.

13. FADDEEV, L. D. and TAKHTAJAN, L. A. (2007) Hamiltonian Methods in the Theory of Solitons. Springer-Verlag Берлин Гейдельберг.

14. ABLOWITZ, M. J., KAUP, D. J., NEWELL, A. C. and SEGUR, H. (1974) The inverse scattering transform-Fourier analysis for nonlinear problems. Stud. Appl. Math 53. 4. p. 249-315.

15. LJANCE, V. E. (1964) A differential operator with spectral singularities, I. Math col., 64(106). 4. p. 521-561.

16. LAM, D. L. (1984) Introduction to Soliton Theory. Moscow: Nauka.

17. BONIS, M. C. De and MASTROIANNI, G. (2009) Nystrom method for systems of integral equations on the real semiaxis. Journal of Numerical Analysis. 29. p. 632-650.

18. ARICO, A., RODRIGUEZ, G. and SEATZU, S. (2011) Numerical solution of the nonlinear Schrodinger equation, starting from the scattering data. Calcolo. (48). p. 75-88.