Численная схема, основанная на методе траекторий, для уравнения неразрывности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Прикладная математика

УДК 519.63

А. В. Вяткин, В. В. Шайдуров

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ЧИСЛЕННАЯ СХЕМА, ОСНОВАННАЯ НА МЕТОДЕ ТРАЕКТОРИИ, ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕРАЗРЫВНОСТИ*

Представлена оригинальная численная схема для одномерного уравнения неразрывности. Главной особенностью схемы, существенно отличающей ее от остальных схем, является неравенство, ограничивающее шаг по времени. Использование предложенного алгоритма позволяет в ряде задач существенно увеличить шаг по времени.

Рассмотрим уравнение неразрывности [1] с отлич- где х е [0; 1]; а г е [0; 4]. Использование традиционных численных схем [1; 2] требует выполнения условия сходимости Куранта-Фридрихса-Леви [1; 2], которое для схем первого порядка, как правило, сводит-к

ся к виду т<-:-. Для указанного теста это

ной от нуля правой частью:

Эр d(up)

- + -dt dx

= f (t, x):

(1)

где и (г, х) и /(г, х) известные на [0;Т]х[0;1] функции, такие, что

и (г, х)> 0 "(г, х)е[0; Т]х[0;1];

и (г,0) = 0 " г е [0;Т]. (2)

Пусть заданы начальные и граничные условия в виде

х)| 1=0 =Р0 (х) , Р^ х)| х=0 =Р1еЪс (О . (3)

max и (t, x) приводит к соотношению t <

h

h

100 • atctg (0,5) 46'

Однако, поскольку max

du (t, x)

dx

= 50 , то для исполь-

Чтобы найти численное решение рк задачи (1)- зования схемы (4) достаточно выполнение ограниче-

(3), сформулируем теорему.

Теорема. Пусть шаг по времени т выбран так, что

ния t< —. На рис. 1 показаны, соответственно, ре-50

| 1 I ™ шение r и погрешность (p-ph) на момент времени

max I — I < —, а шаг по оси абсцисс h определяется Kh v v^ > f

хеО ^Зх0 Т

равенством т = ск , где с - константа. Тогда решение рк, полученное по схеме

.( .а А

t = 4, вычисленные при h = 0,003125, t = —. Пусть

rf -1 írh-ldx

h

{p!}

= f (h-.; x)

7

!=0

множество решении ph, вычисленных на

где

(4) сетках с различным числом узлов N = 10 • 2", п = 0, 1,..,7 . На рис. 2 по оси абсцисс отмечено число п , а по оси ординат представлен от отноше-

A = x - h2 -t u (tk;(x - h¡2));

Bt = x + h¡2-t u (tk;(xi + h¡2)); " i = 1,...,N, сходится в сеточном аналоге [1] нормы L с первым ленное решение Ph сходится к искомои функции

ния p-ph к p-pü+1 при t = 4. Видно, что чис-

II ll^ II llij

порядком точности по h.

Для проведения вычислительного эксперимента используем следующие функции:

p(t, x) = 1,1 + sin (t • x),

u (t, x) = 100 • arctg

¡•(1 +1)'

p (t, X) с первым порядком точности по h.

Библиографические ссылки

1. Численное решение многомерных задач газовой динамики / С. К. Годунов [и др.]. М. : Наука, 1976.

2. Kundu P. K., Cohen I. M. Fluid Mechanics. 2nd ed. Elsevier Science, 2002.

Рис. 1. Численное решение ph (а); погрешность (p-ph) (б

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант № 11-01-00224-а)

б

а

Решетневскце чтения

—•— —#— —Л— —*

(3 ; ! 3 4: Ь 7

Рис. 2. Порядок сходимости

A. V. Vyatkin, V. V. Shaidurov Institute of Computational Modelling, Russian Academy of Sciences, Siberian Branch, Russia, Krasnoyarsk

SCHEME BASED ON TRAJECTORY METHOD FOR CONTINUITY EQUATION

The original numerical scheme of first accuracy order for one-dimensional continuity equation is considered. The main advantage of this scheme consists of another restriction for time step. In some cases it allows to compute numerical solution with large time steps which are too big for traditional numerical algorithms.

© Вяткин А. В., Шайдуров В. В., 2012

УДК 519.6

С. Н. Генова, В. М. Белолипецкий

Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук, Россия, Красноярск

ПРИМЕНЕНИЕ ОДНОМЕРНОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ИССЛЕДОВАНИЯ ДИНАМИКИ ВЕРТИКАЛЬНЫХ РАСПРЕДЕЛЕНИЙ ТЕМПЕРАТУРЫ И СОЛЕНОСТИ ВОДЫ В ОЗЕРАХ*

Рассматривается применение одномерной модели температурного и солевого режимов озера для исследования динамики вертикальной гидрофизической структуры водоема. Приводятся примеры расчетов для соленого озера Шира при различных сценариях погоды и изменений глубины.

Одномерная в вертикальном направлении модель соленого озера. Вертикальные распределения температуры и солености воды в глубоководной зоне в различные сезоны можно определить по одномерной модели, предложенной в работах [1; 2]. Одномерная модель для периода отсутствия ледяного покрова основывается на решении одномерных в вертикальном направлении уравнений диффузии относительно температуры и солености воды. Коэффициент вертикального турбулентного обмена определяется по формуле Прандтля-Обухова с учетом приближения Экмана. Тепловой поток на водной поверхности вычисляется по известным эмпирическим формулам.

В зимний период по вертикали выделяются слой льда, слой конвективного перемешивания и придонный слой. Для определения динамики толщины ледяного покрова применяется упрощенная модель, основанная на квазистационарном температурном режиме в затвердевшей области. В соленых озерах при обра-

зовании льда в результате кристаллизации воды высвобождается соль, формируется неустойчивая плот-ностная стратификация, приводящая к интенсивной вертикальной циркуляции и образованию слоя конвективного перемешивания. В этом слое происходит выравнивание температуры и солености. Уравнение состояния соленой воды принимается в приближении Буссинеска (плотность линейно зависит от температуры и солености воды). Предполагается, что конвективное перемешивание распространяется до такого горизонта, на котором плотность воды становится равной плотности подстилающего слоя воды. Так как в зимний период температура воды мало изменяется по глубине, то плотность воды в основном зависит от солености. С учетом этих предположений выведены расчетные формулы для определения глубины распространения конвекции и значений температуры, солености, плотности воды в конвективном слое [1; 2].

*Работа выполнена при финансовой поддержке междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН (№ 56-2012) и гранта РФФИ (№ 11-05-00552).