CC BY
25
УДК 539.3+514.4
ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДА ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОГО ВОЗМУЩЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ ПРИ РАСЧЕТЕ НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ ОБОЛОЧЕЧНОЙ КОНСТРУКЦИИ В СЛУЧАЕ ЖЕСТКОГО ЗАКРЕПЛЕНИЯ КРАЕВ ОБОЛОЧКИ
Л. В. Бессонов
Старший преподаватель кафедры прикладной информатики, Саратовский государственный университет им. Н. Г. Чернышевского, lexx@sgu.ru
В статье исследуется модель Кармана для случая прямоугольной в плане оболочечной конструкции с жестким закреплением краев. Построена ортонормированная система базисных функций, удовлетворяющих граничным условиям задачи. Решение модельной задачи получено методом В. В. Петрова — методом последовательного возмущения параметров — с использованием построенной системы базисных функций. Приведены решения с опорными промежуточными результатами для оболочечной конструкции, исполненной из катанного дюралюминия.
Ключевые слова: оболочечная конструкция, численный эксперимент, модель Кармана, метод последовательного возмущения параметров.
В работе впервые предложено использование ортонормированной системы функций, удовлетворяющей граничным условиям жесткого закрепления оболочечной конструкции, при расчёте напряжённо-деформированного состояния методом последовательного возмущения параметров [1-3]. На каждом шаге линеаризации исходной нелинейной задачи используется метод Бубнова - Галёркина, который в отличие от приводимых ранее в работе [4] вычислениях использует ортонормированную систему, удовлетворяющую граничным условиям, что позволяет повысить скорость вычислений.
Результаты вычислений говорят о том, что в случае оболочечной конструкции с жестким закреплением по краям не наблюдается потери устойчивости конструкции в целом. Стоит отметить, что ранее этот факт был теоретически получен в работе [5].
Проиллюстрируем указанный во введении метод на примере геометрически нелинейной модели Кармана для прямоугольной в плане оболочки с жёстким закреплением краёв:
БА2Ш - Ь(Ш, Е) - АкЕ = _, !д2е = -2ь(ш,ш) - АкШ,
ВШ
Ш|Г = Г|г = ^
ве Вц
= 0,
где Б — цилиндрическая жесткость, определяемая по формуле Б =
Ек3
12(1 - V2)
(1)
(V — коэффициент
ч л гг ^ В2 Е В2 Ш В2 ЕВ2 Ш В2Е В2 Ш Пуассона), А — оператор Лапласа, Ь(Ш,Е) = а 2 + ттг ~ЕТ9--2 а а а а — отражает
Ву2 Вх2 Вх2 Ву2 ВхВу ВхВу
В2
гауссову кривизну деформированной серединной поверхности оболочки, Ак = + кх
В2
уВх2 хВу2
кх
и ку характеризуют кривизну поверхности оболочки вдоль соответствующих осей, _ — величина нормальной нагрузки, Ш — функция прогиба, Е — функция усилий, Е — модуль Юнга.
На практике характеристику решений нелинейной модели (1) получают на основании решений системы нелинейных уравнений, которые получаются путём приведения уравнений (1) к безразмерному виду. Переход от системы (1) к системе уравнений в безразмерном виде осуществляется путём следующей замены переменных:
х = Ьх, у = Яу, Ш = Ит,
_ = _1 — У,
Е = ЕИ2 Е, X = 1.
к = —ЕИ4 _
ку = —у Ь2 Д2 _,
Г
Г
© Бессонов Л. В., 2015
Л. В. Бессонов. Численная реализация метода последовательного возмущения параметров
Как показано в [6], соответствующая система уравнений в безразмерном виде выглядит следующим образом:
1
12(1 - V2) _ д
дх2 ду2 1 д^
1 д4 т Л2 д^4
+ 2
д4 т л2 д4 т\ дх2ду2 ду4у
д2т д2^ + -2
д2т д2^
Л2 дх4
+2
ду2 дх2 д4 ^ Л2 д дх2ду2 ду4 у
дхду дхду
д2 ^
+ Ку "д^ + '
д2т д2т д2т д2
+ т— - Ку
(2)
т
ду2 дх2 дхду
дх2
дт дF
т = —— = ^ = —— = 0 при х = 0, х = 1. дх дх
Отметим, что в системе (2) используются те же обозначения для искомых функций и параметров, что и в системе (1). Будем считать в дальнейшем, что параметры кривизны Кх = 0, Ку = 15, коэффициент соотношения сторон Л = 2, а коэффициент Пуассона V = 0,35, что соответствует катанному дюралюминию [7].
Построим линейно независимую систему функций, определенных в области Б = [0,1] х [0,1] и удовлетворяющих граничным условиям задачи Коши (2). С этой целью введём следующую вспомогательную функцию:
ф(х,у) = (ху(х - 1)(у - 1))2.
Определим систему функций {pij(х, у)} следующим образом:
р = {р%,з (х, у) : Р1,з (х, у) = Ф(х, у)хгу3 }, г £ М+, у £ М+.
Обозначим через подмножество Р, состоящее из pij, где г = 0, к - 1, у = 0, к - 1.
Выполним процедуру понижения размерности мультииндекса. Сведём мультииндекс (г, у) системы функций к одномерному индексу т. Для этого в качестве первого элемента возьмём новую систему функций ро,о(х,у). Считая, что — квадратная матрица порядка к, будем брать угловые миноры этой матрицы, исключая из них элементы, уже находящиеся в новой системе. Таким образом, новая система образуется из серий элементов . В таблице отмечены номера серий, в которые попадают исходные элементы . Для определенности внутри серии будем упорядочивать элементы сначала по убыванию номера столбца, а затем по возрастанию номера строки. Образованную в результате систему функций с непрерывной нумерацией по одномерному индексу обозначим .
Легко видеть, что система функций является линейно независимой в области, ограниченной Г для любого произвольного целого к. Действительно, каждая функция гк представляет собой произведение двух элементов линейно независимых систем функций.
При построении приближённого решения задачи (2) ограничимся системой полиномок . Выполним процедуру понижения размерности мультииндекса для Р3 и запишем получившиеся функции системы в явном виде:
1 2 3 ■ ■ к
г ^^^
1 1 2 3 ■ ■ к
2 2 2 3 ■ ■ к
3 3 3 3 ■ ■ к
к к к к ■ ■ к
го (х, у) Г1 (х, у) Г2 (х, у) Гз (х, у) Г4 (х, у) Г5 (х, у) Г6 (х, у) Г7(х, у) Г8 (х, у)
Ро,о(х,у)
Ро,1(х,у) Р1,о(х,у) Р1,1(х,у) Ро,2(х,у) Р1,2(х,у) Р2,о(х,у) Р2,1(х,у) Р2,2(х,у)
44
ху
х4 у5
- 2х4у3
- 2х4у4
53
х5у4 - 2х5у
х5 у5 х4 у6 х5 у6
- 2х5у4
- 2х4у5
- 2х5у5
63
х6у4 - 2х6у
х6 у5 х6 у6
- 2х6у4
- 2х6у5
+ х4у2 -
+ х4у3 -
+ х5у2 -
+ х5у3 -
+ х4у4 -
+ х5у4 -+ х6у2 -
+ х6у3 -
+ х6у4 -
2х3у4 2х3у5
+ 4х3у3 + 4х3у
2х4у4 + 4х4у3 - 2х4у2
2х4у5 2х3у6 2х4у6
2х5у4 2х5у5 2х5у6
+ 4х3у4 + 4х4у3 + 4х4у4 + 4х3у5 + 4х4у5
- 2х3у2
- 2х3у3
+ х2 у4 + х2у5
+ х3у4 - 2х3у
- 2х2у3
- 2х2у4
33
- 2х4у3
- 2х3у4
- 2х4у4
52
+ х3 у5 + х2 у6
+ х3у6
+ 4х5у3 - 2х у + 4х5у4 + 4х5у5
4 4 4
+ х4у4 - 2х4у
- 2х3у4
- 2х2у5
- 2х3у5
43
- 2х5у3
- 2х5у4
+ х4 у5
+ х4у6
- 2х4у4
- 2х4у5
+ х2у2,
+ х2 у3, + х3 у2,
+ х3у3,
+ х2 у4,
+ х3у4,
+ х4 у2,
+ х4у3,
+ х4 у4.
Проведём процесс ортогонализации Гильберта - Шмидта для , а затем нормализацию построенных таким образом многочленов:
^3 = |Гт(х,у) : Гт(х,у) = где (■, ■) обозначает
Гт (х,у)
\г'т(х,у)\\ь2
т — 1
, Г0 (х, у) = Го, Гт(х, у) = Гт - ^ (Гт, Г3 )Гт (х, у) \ , (3)
3=0
1 1
/ / п(х,у)у(х,у)йхд,у / \ 0 0
(п,у) = —-.
I I у(х,у)у(х,у)йхд,у 00
(4)
Система функций М3 является ортонормированной. В формулах (3) и (4) двойной интеграл по области Б заменён на повторный по отрезкам [0; 1] соответствующих координатных осей, так как несложно видеть, что многочлены гт удовлетворяют теореме Тонелли - Фубини. Выпишем полученную систему функций в явном виде:
Г0(х, у) = 630х2у2(х - 1)2(у - 1)2, Г (х, у) = 1260УТГ(х2у3(х - 1)2(у - 1)2 - 1 х2у2(х - 1)2(у - 1)2),
2
(х, у) = 1260Тл(х3у2(х - 1)2(у - 1)2 - 1 х2у2(х - 1)2(у - 1)2),
Г 2 (х,
Гз(х,у) = 27720х3у3(х - 1)2(у - 1)2 - 13860х3у2(х - 1)2(у - 1)2--13860х2у3(х - 1)2(у - 1)2 + 6930х2у2(х - 1)2(у - 1)2,
5
Г4(х
(х, у) = 2772л/65(х2у4(х - 1)2(у - 1)2 - х2у3(х - 1)2(у - 1)2 + — х2у2(х - 1)2(у - 1)2),
5
Г(х, у) = 5544\/7Г5(х3у4(х - 1)2(у - 1)2 - х3у3(х - 1)2(у - 1)2 + — х3у2(х - 1)2(у - 1)2-
-1 х2у4(х - 1)2(у - 1)2 + 2х2у3(х - 1)2(у - 1)2 - 44х2у2(х - 1)2(у - 1)2),
5
ге(х, у) = 2772л/65(х4у2(х - 1)2(у - 1)2 - х3у2(х - 1)2(у - 1)2 + — х2у2(х - 1)2(у - 1)2),
Г7(х, у) = 5544^П5(х4у3(х - 1)2(у - 1)2 - -х4у2(х - 1)2(у - 1)2-
-х3у3(х - 1)2(у - 1)2 + 1 х3у2(х - 1)2(у - 1)2 + 22х2у3(х - 1)2(у - 1)2 - 44х2у2(х - 1)2(у - 1)2),
г8(х, у) = 792792х4у4(х - 1)2(у - 1)2 - 792792х4у3(х - 1)2(у - 1)2 + 180180х4у2(х - 1)2(у - 1)2--792792х3у4(х - 1)2(у - 1)2 + 792792х3у3(х - 1)2 (у - 1)2 - 180180х3у2(х - 1)2 (у - 1)2+ +180180х2у4(х - 1)2(у - 1)2 - 180180х2у3(х - 1)2(у - 1)2 + 40950х2у2(х - 1)2(у - 1)2.
Используем систему &3 для нахождения приближённого решения модельной задачи (2) методом Бубнова - Галёркина. Запишем систему равенств (5), полученную на основании ортогональности функций, определённых уравнениями системы (2), и функций гт(х), т = 0,..., 8:
1 1
II
00
1
1 В4 т В4 + 2
12(1 - V2) VX2 Вх4 Вх2Ву
т л о В4 т + X2
В2т В2Е
В2
т В2 Е В2 т В2Е В2Е о
___1_ 2___К___—2
Ву2 Вх2 ВхВу ВхВу у Вх2 у
Ву4 Вх2 Ву2
гт(х, у) ¿х ¿у = 0,
1 1
II
00
1 в4е в4е
+ 2—7— + X
X2 Вх4 Вх2Ву2
2 В4Е) +
Ву4) +
(5)
+
В 2 т В 2 т
В2т В2т
--Ъ К -
Ву2 Вх2 ВхВу у Вх2
Гт(х, у) ¿х ¿у = 0.
Подставив в систему равенств (5) приближённое решение в виде
88 т<9(х, у)=^2 атГт(х, у), Ед(х, у) = ЬтГт(х, у),
(6)
т=0
т=0
Л. В. Бессонов. Численная реализация метода последовательного возмущения параметров
и вычислив соответствующие двойные интегралы, получим систему 18 нелинейных алгебраических уравнений с 18 неизвестными коэффициентами разложения (6).
Более простым в плане вычислений является метод последовательного возмущения параметров, который сводит решение нелинейной системы уравнений (2) к последовательному решению ряда линейных систем уравнений. Разобьём параметр д на сумму параметров дп:
У^дп = д, где ||д„|| < 0,05.
Для получения функции прогиба и функции усилий на п-м шаге будем решать линейную систему уравнений, полученную в результате линеаризации системы (2) в точке (тп-1^п-1). Подставляя выражения
т = тп - тп 1
= 5] акгк(х), ^ = ^ - = ^ Ькгк(х)
(7)
к=0
к=0
в систему равенств
1 д4т ^ д4 + 2
12(1 - V2) V А2 дх4 дх2ду2
д2т9п-1) д2^ д2т д2^(п-1Л
ду2 дх2 ду2 дх2 /
т Л о д4т
+ А2
д2т(п-1) д2^ д2тд2^(п-1)
+2
ду4
д 2 т(П-1)Ч д 2 ^
дх2 ду2 + дх2 ду2
+
д2т д2^(п-1)
д 2 ^
- дпК
дх2
гт (х, у) ¿х ¿у = 0,
1 1
//
00
1 д4 ^ 2 д4 ^ а2 д4 А2 дх4 дх2ду2 ду4
дхду дхду дхду дхду
д2т0п 1) д2т + д2т д2т0п 1)
ду2 дх2 ду
дх2
д2 т + к д2 т дхду У дх2
гт(х, у) ¿х ¿у = 0
и вычисляя соответствующие двойные интегралы, получим систему 18 линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов ак и Ьк разложения (7). В явном виде эта система выглядит следующим образом:
228.97а0 + 65.636а2 - 16.409ае + 17.639а8 + 180.0Ь0 - 145.12Ье - 7.875 = 0,
-180.0а0 - 11.0а4 + 145.12ае + 2430.0Ь0 + 696.58Ь2 - 174.14Ье + 187.2Ь8 = 0,
1603.9а1 - 74.752аг + 180.0Ь1 - 145.12Ьг = 0,
-180.0а1 + 11.0аз - 17.737а5 + 145.12аг + 17022.0Ь1 - 793.33Ьг = 0,
65.636а0 + 6361.9а2 + 17.639ае - 165.18а8 + 180.0Ь2 - 145.12Ь8 - 3.628 = 0,
-180.0а2 + 17.737а4 + 145.12а8 + 696.58Ь0 + 67518.0Ь2 + 187.2Ье - 1753.1Ь8 = 0,
382.75аз + 7.2929а5 + 660.0Ьз = 0,
11.0а1 - 660.0аз - 17.737аг + 4062.0Ьз + 77.398Ь5 = 0,
1950.7а4 + 660.0Ь4 = 0,
-11.0а0 + 17.737а2 - 660.0а4 + 17.737а6 - 28.6а8 + 20702.0Ь4 = 0,
7.2929аз + 7007.8а5 + 660.0Ь5 = 0,
-17.737а1 - 660.0а5 + 28.6аг + 77.398Ьз + 74372.0Ь5 = 0,
-16.409а0 + 17.639а2 + 785.28аб - 83.139а8 - 145.12Ь0 + 1404.0Ьб - 3.628 = 0,
145.12а0 + 17.737а4 - 1404.0аб - 174.14Ь0 + 187.2Ь2 + 8334.0Ьб - 882.33Ь8 = 0,
-74.752а1 + 2652.3аг - 145.12&1 + 1404.0Ьг = 0,
145.12а1 - 17.737аз + 28.6а5 - 1404.0аг - 793.33Ь1 + 28148.0Ьг = 0,
17.639а0 - 165.18а2 - 83.139аб + 8173.1а8 - 145.12Ь2 + 1404.0Ь8 - 1.6714 = 0,
145.12а2 - 28.6а4 - 1404.0а8 + 187.2Ь0 - 1753.1&2 - 882.33Ьб + 86739.0Ь8 = 0.
(8)
Решая получившуюся СЛАУ (8), определим функции тк и ^к
1
В результате итерационного процесса получаем соответствующую функцию прогиба, например:
т98)(х, у) = 909.63х4у4(х - 1)2(у - 1)2 - 909.59х4у3(х - 1)2(у - 1)2 + 1155.2х4у2(х - 1)2(у - 1)2--909.57х3у4(х - 1)2(у - 1)2 + 908.85х3у3(х - 1)2(у - 1)2 - 1154.8х3у2(х - 1)2(у - 1)2+ +234.96х2у4(х - 1)2(у - 1)2 - 234.62х2у3(х - 1)2(у - 1)2 + 448.8х2у2(х - 1)2(у - 1)2.
В процессе вычислительного эксперимента было выяснено, что величина отклонений приближённых решений, полученных в результате использования системы и отличаются на величину не превосходящую 10—5. Рассматривая системы Мп и соответствующие приближённые решения нелинейной модели (2) при больших значениях п, можно заключить, что при жёстком закреплении краёв оболочечной конструкции не наблюдается потери устойчивости оболочки в целом. Этот факт был теоретически обоснован в работе [5]. Следует заметить также, что предложенная в данной работе методика нахождения функции прогиба применима не только для прямоугольных в плане оболочечных конструкций.
Библиографический список
1. Петров В. В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластин и оболочек. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1975. 118 с.
2. Кузнецов В. В., Петров В. В. Использование метода возмущённой области интегрирования при решении нелинейных краевых задач теории гибких пластин и оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1985. № 2. С. 176178.
3. Петров В. В., Овчинников И. Г., Иноземцев В. К. Деформирование элементов конструкций из нелинейного равномодульного неоднородного материала. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 1988. 160 с.
4. Шабанов Л. Е. Вопросы численной реализации метода последовательных возмущений параметров при рас-
чёте оболочечных конструкций : дис. . . . канд. физ.-мат. наук. Саратов, 2005.
5. Кузнецов В. Н. Метод последовательного возмущения параметров в приложении к расчету динамической устойчивости тонкостенных оболочечных конструкций : дис. . . . д-ра техн. наук. Саратов, 2000.
6. Бессонов Л. В. Численная реализация алгоритма спектрального критерия локальной потери устойчивости оболочечной конструкци // Исследования по алгебре, теории чисел, функциональному анализу и смежным вопросам : межвуз. сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2012. Вып. 7. С. 3-9.
7. Писаренко Г. С., Яковлев А. П., Матвеев В. В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев : Наук. думка, 1988. 734 с.
Numerical Implementation of Method of Subsequent Perturbation of Parameters for Computation of Stress-Strain State of a Shell Rigidly Fixed on the Boundaries
L. V. Bessonov
Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, lexx@sgu.ru
The Karman model for a shell rectangular in the plan with rigid fixation of the boundaries is considered. An orthonormalized system of basis functions satisfying the boundary conditions of the problem is obtained. Linearization of the problem is given and the solution is obtained by the method of subsequent perturbation of parameters due to Vladlen V. Petrov. The solutions including supporting intermediate results for the shell made of rolled duralumin are discussed.
Key words: shell, numerical experiment, the model Karman, method of sequential perturbation of a parameters.
References
1. Petrov V. V. Metod posledovatel'nykh nagruzhenii v nelineinoi teorii plastin i obolochek [Method of successive loadings in nonlinear theory of plates and shells]. Saratov, Saratov Univ. Press, 1975, 118 p. (in Russian).
2. Kuznecov V. V., Petrov V. V. Ispol'zovanie metoda vozmushchennoi oblasti integrirovaniia pri reshenii nelineinykh kraevykh zadach teorii gibkikh plastin i obolochek [Using the method of perturbed region of integration in the solution of nonlinear boundary value problems of the theory of flexible plates and shells].
Izvestiia Akademii Nauk SSSR. Mekhanika tverdogo tela, 1985, no. 2, pp. 176-178 (in Russian).
3. Petrov V. V., Ovchinnikov I. G., Inozemcev V. K. Deformirovanie elementov konstruktsii iz nelineinogo ravnomodul'nogo neodnorodnogo materiala [The deformation of the structural elements of nonlinear runmodule heterogeneous material]. Saratov, Saratov Univ. Press, 1988, 160 p.
4. Shabanov L. E. Voprosy chislennoi realizatsii metoda posledovatel'nykh vozmushchenii parametrov pri raschete obolochechnykh konstruktsii: Diss. kand. fiz.-
mat. nauk [Issues of numerical implementation of the method consistent perturbation parameters when calculating shell designs : Dr. phys. and math. sci. diss.]. Saratov, 2005. (in Russian).
5. Kuznecov V. N. Metod posledovatel'nogo vozmush-cheniia parametrov v prilozhenii k raschetu dina-micheskoi ustoichivosti tonkostennykh obolochechnykh konstruktsii : Diss. kand. tehn. nauk [The method of successive perturbations of the parameters in the application to the calculation of dynamic stability of thin-walled shell structures : Dr. techn. sci. diss.]. Saratov, 2000 (in Russian).
6. Bessonov L. V. Chislennaia realizatsiia algoritma
spektral'nogo kriteriia lokal'noi poteri ustoichivosti obolochechnoi konstruktsi [Numerical realization of algorithm of spectral criterion of local buckling of shell structures]. Issledovaniia po algebre, teorii chisel, funktsional'nomu analizu i smezhnym voprosam : mezhvuz. sb. nauch. tr. [Research in algebra, number theory, functional analysis and related issues : inter-university collection of scientific papers], Saratov, Saratov Univ Press, 2012, iss. 7, pp. 3-9. 7. Pisarenko G. S., Jakovlev A. P., Matveev V. V. Spravochnik po soprotivleniiu materialov [The reference resistance of materials]. Kiev, Naukova dumka, 1988, 734 p.
ON WEAK DISCONTINUITIES AND JUMP EQUATIONS ON WAVE SURFACES IN MICROPOLAR THERMOELASTIC CONTINUA
V. A. Kovalev1, E. V. Murashkin2, Yu. N. Radayev2
1 Moscow City Government University of Management Moscow, 28, Sretenka str., 107045, Moscow, Russia, vlad_koval@mail.ru 2National Research Nuclear University MEPhI (Moscow Engineering Physics Institute), 31, Kashirskoe shosse, 115409, Moscow, Russia, murashkin@ipmnet.ru, evmurashkin@gmail.com
3Institute for Problems in Mechanics of RAS, 101-1, Vernadskogo ave., 119526, Moscow, Russia, murashkin@ipmnet.ru, evmurashkin@gmail.com, radayev@ipmnet.ru, y.radayev@gmail.com
The present study is devoted to problem of propagating surfaces of weak and strong discontinuities of translational displacements, microrotations and temperature in micropolar (MP) thermoelastic (TE) continua. Problems of propagation of weak discontinuities in type-I MPTE continua are discussed. Geometrical and kinematical compatibility conditions due to Hadamard and Thomas are used to study possible wave surfaces of weak discontinuities. Weak discontinuities are discriminated according to spatial orientations of the discontinuities polarization vectors (DPVs). It is shown that the surfaces of weak discontinuities can propagate exist without weak discontinuities of the temperature field. Second part of the paper is concerned the discussions of the propagating surfaces of strong discontinuities of field variables in type-II MPTE continua. Constitutive relations for hyperbolic thermoelastic type-II micropolar continuum is derived by the field theory. The special form of the first variation of the action integral is used in order to obtained 4-covariant jump conditions on wave surfaces. Three-dimensional form of the jump conditions on the surface of a strong discontinuity of thermoelastic field are derived from 4-covariant form.
Key words: micropolar thermoelasticity, type-I continuum, type-II continuum, weak discontinuity, strong discontinuity, shock wave, longitudinal wave, transverse wave, compatibility condition, jump.
1. PRELIMINARY REMARKS
Problems of micropolar continua take its origin from the classical E. and F. Cosserat's paper [1]. Micropolar (MP) continuum theories include not only translational displacements but also additional degrees of freedom. These degrees of freedom are coupled with changes in reper (three directors) associated with microvolume. Such changes may be described by a rotation vector when reper associated with microvolume are rigid rotated. In contrary to conventional elasticity a continuum with microstucture is described by the asymmetric strain and stress tensors known from many previous discussions. Thus the asymmetric elastic theory is characterized by a comparatively large number of constitutive elastic constants need to be determined from the experimental observations. There are several phenomena (for example, the anomalous piezoelectric effect in quartz, the dispersion of elastic waves, as well as a number of other experimentally observed elastic properties of the pure crystals) being beyond the scope of the conventional thermoelasticity (CTE) and piezoelectroelasticity. That is why a development of complex theories seems to be actual.
The type-I micropolar thermoelastic (MPTE-I) continuum may be described in terms of field formalism, for example, from positions of the Green-Naghdi thermoelasticity (GN-theory). Now such mathematical frameworks of the thermoelastic behavior of solids are rapidly refined [2,3]. They are based on different modifications of the classical Fourier law of heat conduction. The refinements aim at derivations of hyperbolic partial differential equations of coupled thermoelasticity. Those are to
© Kovalev V. A., Murashkin E. V, Radayev Yu. N., 2015
