Численная реализация математической модели взаимодействия талого грунта с холодным раствором соли Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.63

ЧИСЛЕННАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ТАЛОГО ГРУНТА С ХОЛОДНЫМ РАСТВОРОМ СОЛИ

В, И, Васильев, В, В, Попов

Введение

В математическом моделировании процессов кристаллизации расплавов и растворов в многокомпонентных средах есть два способа описания: классическая фронтовая задача Стефана с резкой границей раздела жидкой и твердой фаз, а также математические модели с фазовым переходом в протяженной области. Классическая задача Стефана может быть использована только при моделировании процессов кристаллизации чистых веществ. Исследование процесса кристаллизации бинарных расплавов с использованием термодиффузионных моделей показало наличие определенных затруднений и противоречий при использовании фронтовой модели кристаллизации бинарных расплавов: диффузионное переохлаждение перед фронтом фазового перехода; неустойчивость решения фронтовой задачи в случае концентрационного переохлаждения. Исследования по вопросам построения математических моделей кристаллизации металла из расплава, их численной реализации и установления областей эффективного применения рассматриваемых моделей обобщены в монографиях [1-3]. Точные решения термодиффузионной модели с четкой границей раздела твердой и жидкой фаз для полу бесконечной области построены в работах [4,5]. Экспериментальные и теоретические исследования показывают, что замерзание грунта сопровождается перераспределением поровой влаги и

© 2010 Васильев В. И., Попов В. В.

растворенных в ней солей. Это, как правило, приводит к противоречивому решению задачи при использовании фронтовой модели: появляется зона переохлаждения. В работах [6-8] показано противоречивость рассматриваемой фронтовой модели в широком диапазоне изменения исходных параметров и разработана математическая модель процесса промерзания влажного грунта, предполагающая существование двухфазной зоны, в которой жидкая и твердая фазы сосуществуют в состоянии термодинамического равновесия. Математические модели с двухфазной зоной, описывающие различные случаи замораживания грунтов и взаимодействие мерзлых грунтов с водными растворами соли, построены и исследованы в работах А. М. Максимова и Г. Г. Цыпкина [9,10] и обобщены в монографии [11]. Частный случай математической модели промерзания грунта, когда в начальный момент времени жидкая и твердая фазы находятся в равновесном состоянии, численно реализована в работе [12]. В работе [13] предложен вычислительный алгоритм, пригодный для численной реализации двухфазной модели промерзания грунта, насыщенного водным раствором соли.

Математическая модель

Пусть имеются две области, где раствор находится в талом состоянии, и соответственно две подвижные поверхности, разделяющие двухфазную область. За фронтом фазового перехода существует талая зона, где закон сохранения энергии имеет вид

дТ д ( дТ\ ^ = (1)

Уравнение диффузии примет вид

«>о. <2>

В двухфазной зоне уравнение теплопроводности с распределенным стоком тепла записывается в виде

дТ д ( дТ\ ду

Закон сохранения массы соли описывается уравнением диффузии:

В двухфазной зоне также справедливо условие локального термодинамического равновесия раствора соли и льда:

Т= -ас, х е (5)

Во второй талой зоне закон сохранения энергии имеет вид дТ д ( дТ\

«Й.'М>0. (6)

Уравнение диффузии примет вид

1 = 1 Нг)- «й.'М>О. (Т)

Здесь коэффициенты уравнений (1), (3), (6) вычисляются по формулам

С = (1 - ш)СеРв+ тС1Р1{1 - и) + шСыРы V, Л = (1 — т)Лв + шЛ;(1 — V) + mЛwv, где С3, С1, Cw, Л8, Л(, Лw,

Рв, Р1, Рw, т, V — коэффициенты удельной теплоемкости, теплопроводности, плотности скелета грунта, льда, воды, коэффициент пористости и влажность соответственно.

В начальный момент времени заданы условия

Т(х,0) = Те, с(х,0) = се. (8)

На левой границе поддерживается температура:

Т(О,*) = ТС, г>о. (9)

На границе раздела первой талой и двухфазной зон выполняются = тр111Ь1/*——, х = £1, £ > 0, (10)

дТ

дх

баланс тепла (обобщенное условие Стефана);

Т- = Т+ = Т* = —ас*, х = £1, Ь > О, условие непрерывности температуры;

дх

= С* — , ж = £1, 4 > О,

аЬ

(П)

(12)

баланс массы соли.

На границе раздела второй талой и двухфазной зон выполняются " дТ 1

дх

= 0, х = Ь > О,

[Т] = о, х = ь,г>{),

дс 1

= 0, х = t > 0,

дх

[с] = 0, х = £2, Ь>®. На правой границе отсутствуют потоки тепла и массы соли:

дТ дс

= 0, — = 0, х = 1, Ь> 0.

(13)

(14)

(15)

(16)

(17)

дх дх

Вычислительный алгоритм

Исключая из уравнения (3) слагаемое, содержащее производную функции влажности по времени, с помощью уравнения диффузии (4) получаем

дТ\ д ( дТ\

I ' (18)

х е *>0-

Распределение температуры определяем из решения конечно-разностных аналогов уравнения (18) и соответствующих граничных и начальных условий:

V \ дТ д

С -трвЬ-) — = — ( А— I - шРпЬ-- I „—

Т? ГТЛ ГТЛ ГТЛ ГТЛ ГТЛ

,, г — Т г 7 _ т Тг+1 — Тг т Тг — Тг-1 ^г---"г — >4+1/2-7-->4-1/2-£-

г

(19)

П

где

Сг = Сг- трвЬЛ4+1/2 = Л4+1/2 - трвЬ — щ+1/2, (20)

1=\,Ы - 1, п>0,

Т4 = Те, г = 0,ЛГ, п = 0, (21)

Та = Тс, п > О, (22)

Т^ Те, п > 0. (23)

Дискретный аналог уравнения (4) используем для определения передней границы двухфазной зоны:

V V

~ ы = Вщ Х1+1 ~ ** - Вщ^ ^ ~, , (24)

¿=1,Ж - 1, п>0,

г!, = Се, г = 0, ЛГ, п = 0, (25)

г0 = Сс, п > 0, (26)

= се, п > 0. (27)

Для локализации положения фронта протаивания используем условие

Т > -гца. (28)

А именно, во всех точках, где не выполняются условия (28) и Т > -сеа, величина водопасыщеппости V вычисляется из разностных уравнений:

V V

сгЩ Vi сг т т-, сг+1 сг ^ сг сг—1

-[ц = 1)щ—---1М-1-г-,

тп ыг+1 ы

при этом концентрация с^ равна -Т^/а, а в оставшихся узлах равняется начальному значению, с = Введя функцию у:

Dv

Рис. 1. Распределение температур. Рис. 2. Распределение концентраций.

Рис. 3. Распределение влажностей.

из уравнения диффузии (4) исключаем вторую производную и получаем уравнение первого порядка для определения распределения влажности V

д^ / дТ д^ дv \ д^дТ _ А .

"аГ "* Ж + 1н+ тр*ьт1 >

(29)

для его численной реализации можно использовать явную разностную

х

шением назад. Численные расчеты показали практическое совпадение результатов, полученных с применением уравнения (29) с результатами, полученными с помощью приведенного выше алгоритма.

Численные расчеты

На рис. 1-3 представлены распределения температуры, концентрации примеси и влажности, полученные в работе [12] (пунктирные линии) и результаты, полученные вышеприведенным алгоритмом. Расчеты проводились при следующих значениях параметров: т = 0.35; С,,Р1 = 1.802е6; CwР-ш = 4.19е6; СвРв = 1.84е6; Л^ = 0.58; Л1 = 2.23; Л^ = 2.09; £ = 3.34е5; 1.45е -9; с^ 0.003; сс = 0.05; Тс = -2.0; Те = 2; ve = 1; а = 66.7.

ЛИТЕРАТУРА

1. Авдонин Н. А. Математическое описание процессов кристаллизации. Рига: Зинатне, 1980.

2. Борисов В. Т. Теория двухфазной зоны металлического слитка. М.: Металлургия, 1987.

3. Мейрманов А. М. Задача Стефана. Новосибирск: Наука, 1986.

4. Золотарев П. П. К теории процесса замерзания толщи растворов // Прикл. механика и технич. физика. 1966. № 3. С. 154-157.

5. Золотарев П. П., Рошаль А. А. Точные решения некоторых задач промерзания толщи раствора // Инж.-физ. журн. 1967. Т. 24, № 3. С. 921-929.

6. Максимов А. М., Цыпкин Г. Г. Математическая модель промерзания водона-сыщенной пористой среды // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 1986. Т. 26, № 11. С. 1743-1747.

7. Ентов В. М., Максимов А. М. К задаче о промерзании раствора соли // Инж.-физ. журн. 1986. Т. 51, № 5. С. 817-821.

8. Ентов В. М., Максимов А. М., Цыпкин Г. Г. Об образовании двухфазной зоны при кристаллизации смеси в пористой среде // Докл. АН СССР. 1986. Т. 288, № 3. С. 621-624.

9. Максимов А. М., Цыпкин Г. Г. Явление «перегрева» и образования двухфазной зоны при фазовых переходах в мерзлых грунтах // Докл. АН СССР. 1987. Т. 294. № 5. С. 1117-1121.

10. Максимов А. М., Цыпкин Г. Г. Автомодельное решение задачи о протаивании мерзлого грунта // Изв. АН СССР. 1988, № 6. С. 136-142.

11. Васильев В. И., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Математическая модель замерзания-таяния засоленного мерзлого грунта // Прикл. механика и технич. физика. 1995. Т. 36, № 5. С. 57-66.

12. Васильев В. П., Максимов А. М., Петров Е. Е., Цыпкин Г. Г. Тепломассоперенос в промерзающих и протаивающих грунтах. М.: Наука, 1996.

13. Васильев В. П., Попов В. В. Численное решение задачи промерзания грунта // Мат. моделирование 2008. Т. 20. № 7. С. 119-128.

г. Якутск 2 июня 2010 г.