CC BY
44
тов, перепишем целевую функцию (1) в виде
S-ftc+Z ст(+ s - ))+
+ Z|Pv
S - R
v_v
R,
Z Uv
• max
с ограничениями (3)-(12). Ограничение (2) следует заменить на ограничение неотрицательности максимизируемой величины. Воспользовавшись независимостью от результатов планирования работ некоторых слагаемых целевой функции, перенесем их в ограничения, упростив целевую функ-
^ min с ог-
цию. Получим Z ст( H. +Ц-Ha) раничениями (3)-(12), а также с ограничением
N.. ( С D N,,
s+Z
-R,
R.
Z Uv
n m / \
ZCi+ Z«(Hn.+t„. -Haj ).
i=1 j=1 \ J J ч
Итак, получена задача целочисленного программирования с линейной целевой функцией и нелинейными ограничениями (нелинейным является только ограничение (9)). Обзор методов решения таких задач можно найти в [1, 2]. Разрабатываются современные алгоритмы, использующие возможности многопроцессорных систем [3], в том числе высокоскоростные векторные вычислители, устанавливаемые на видеокартах.
Полученная модель предназначена для планирования работ по проекту с целью максимизации прибыли при условии, что ряд созданных в рамках проекта библиотечных элементов окажется полезным также и для других проектов, которые могут быть получены с некой вероятностью в будущем.
Модель позволяет вычислить ожидаемую длительность работ по проекту каждым исполнителем, порядок выполнения работ, ожидаемую прибыльность проекта. Для увеличения точности модели следует добавить дисконтирование финансовых потоков (приведение их к общей точке во времени), учет налоговых поступлений, учет взаимной зависимости получения будущих проектов с помощью таблиц условной вероятности, средства повышения устойчивости получаемых решений к непрогнозируемым отклонениям. Кроме того, модель сильно зависит от точности оценки вероятности получения проектов, которую можно повысить с помощью различных методов экспертного оценивания.
Предложенную модель можно развить и для автоматизированного выбора одного из нескольких вариантов реализации проекта. Это даст возможность использовать ее для случаев, когда есть выбор: разработать в рамках проекта более универсальные библиотечные элементы (ценой увеличения стоимости и времени реализации проекта) с надеждой на то, что затраты компенсируются в последующих проектах, либо сэкономить сейчас (увеличив стоимость и сложность возможных будущих проектов). Однако рассмотрение нескольких вариантов кратно увеличит размерность задачи, что поставит под вопрос возможность ее решения в приемлемые сроки.
Литература
1. Laurence A. Wolsey and George L. Nemhauser, Integer and Combinatorial Optimization. Wiley-Interscience, 1 edition, November, 1999.
2. Схрейвер А. Теория линейного и целочисленного программирования: В 2-х т.; [пер. с англ.]. М.: Мир, 1991. 360 с.
3. Hirayama K., Yokoo M. The distributed breakout algorithms // Artificial Intelligence, 2005, Vol. 161, pp. 89-115.
v=1
v=1
УДК 681.5
ЧИСЛЕННАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ НАСТРОЕК РЕГУЛЯТОРОВ С УЧЕТОМ КОЛЕБАТЕЛЬНОСТИ
А.В. Затонский, д.т.н.
(Березниковский филиал Пермского государственного технического университета,
zxenon@ftarod. ru)
Разработан новый метод подбора оптимальных настроек регуляторов, который позволяет учитывать особенности технологических процессов и дает более качественные переходные процессы, чем другие существующие методы.
Ключевые слова: регулирование, настройка, оптимизация, численные методы.
Существует много методик расчетов оптимальных настроек регуляторов систем автоматического регулирования (САР), разработанных на основе теоретических аналитических исследова-
ний систем регулирования и базирующихся на определенных представлениях их авторов о критериях оптимальности: степени затухания, интегральной ошибке и т.п. Так, в [1] предлагаются
формулы для расчета оптимального ПИ-регулятора объекта с запаздыванием, с минимальным временем переходного процесса, с заданным перерегулированием, с минимальным интегральным отклонением; в [2] - с заданным показателем колебательности (обычно равным 1,62) и т.д.
Большинство авторов не различают настройки, оптимальные для переходных процессов по управлению и по возмущению, хотя для разных технологических процессов более важными являются то те, то другие в зависимости от того, требуется ли стабилизация параметров или осуществляется программное управление. Настройки, в некотором смысле оптимальные для системы стабилизации, могут оказаться совершенно непригодными для процесса, в котором по технологическим причинам несколько раз значительно меняется задание регулятору.
Современные математические пакеты вполне позволяют подбирать настройки исходя из естественного интегрального критерия оптимизации tmax
F(KH,Kп) = J |y* (t)-y(t,Kи,Kn)|dt, (1)
0
где Ки, Кп - настройки регулятора; y*(t) - задание; y(t, Ки, Кп) - выходная величина объекта, получаемая путем имитационного эксперимента на модели; tmax - время переходного процесса [3].
Реализовав модель САР в среде Simulink пакета Matlab 6.5, осуществляем передачу ей параметров из пакета MS Excel через VBA-программу с использованием оператора MLPutVar расширения Excllink, входящего в комплект поставки Matlab. Использование MS Excel не только привычно и удобно для представления результатов расчетов, но и позволяет наглядно отображать процесс подбора параметров и исследовать чувствительность САР к их изменению. Минимизация критерия производится любым численным методом, например, покоординатного спуска или градиентным, который можно реализовать как в Matlab, так и в VBA-программе. Так, для ПИ-регулятора объекта с
, ч exp (-10s)
передаточной функцией W (s) =-г-*-—
w 40s2 + 10s +1
была получена поверхность зависимости критерия (1) от настроек регулятора, представленная на рисунке 1. Очевидно, что чувствительность САР к изменению Кп меньше, чем к изменению Ки. Подобные поверхности можно строить также для ис-
0,34
- -■■ K
КИ
0,18
CNI СО ^Г Ю (О ю ю ю ю ю ю
Рис. 1. Проекция зависимости критерия (1) от настроек регулятора
следования чувствительности САР к изменению параметров самого объекта, что актуально для исследования промышленных систем с нестационарными параметрами.
Дальнейшие исследования показывают, что вследствие погрешностей расчетов в окрестности минимума наблюдается довольно значительный шум критерия (1) (см. рис. 2).
Нивелировать погрешность можно, сгладив получающуюся поверхность F(Kи, КП) полиномом второго или третьего порядков. Для широкого круга объектов описанный метод дает возможность получить значительно более качественные переходные процессы, чем методы из работ [1] и [2]. На рисунке 3 приведены примеры переходных процессов по управлению для объекта с пере- ^ - \ 20ехр(-з) даточной функцией W(з) = ^^——, полученные при трех вариантах настройки: по А.П. Копе-ловичу, по В.Я. Ротачу и настройке предлагаемым методом. Отметим, что для объектов с меньшим запаздыванием качество процессов при переходе на новый метод расчета возрастает.
Рис. 3. Переходные процессы, рассчитанные минимизацией критерия (1) и другими методами
При использовании критерия (1), а также квадратичного интегрального критерия
Ж(КИ,Кп) = } (у*(1)-у(1,КИ,Кп))2dt (2)
0
для некоторых объектов возрастает колебательность процесса (рис. 4).
---По Ротачу
Квадратичный -------Модульный
Рис. 4. Сравнение переходных процессов при настройках САР методом В.Я. Ротача и использовании критериев (1) и (2)
Поэтому предлагается использовать критерий F(KИ ,К п ) =
= (N1 + N2 +1) } (у*(1)-у(^И,Kп))2dt, (3)
где - количество выходов переходного процесса вверх и вниз за пределы заданной погрешности регулирования (обычно +5 % в относительных величинах), объяснено ниже. Сумма N^N2 увеличена на 1, чтобы значение критерия в случае, если переходный процесс не выходит за пределы коридора вокруг заданного значения, не было тождественно равно нулю. Задача оптимизации остается прежней.
Модель БтиНпк, позволяющая рассчитывать значение критерия (3), приведена на рисунке 5.
Ее использование позволяет исследовать переходные процессы по управлению и возмущению, а также при заданном соотношении управления и возмущения в ходе технологического процесса. В блоке Step, моделирующем единичное воздействие по возмущению, устанавливается задержка, превышающая продолжительность переходного процесса по управлению. Задержка блока R3, моделирующего единичный ступенчатый сигнал, позволяет интегрировать ошибку только после заданного момента tmin. Например, нет смысла интегрировать ошибку (3) до момента t<R3, так как никакой регулятор не способен влиять на объект до истечения времени запаздывания объекта. Изменяя величину R4 в блоке Target, можно моделировать различные соотношения возмущения и управления. Так, на рисунке 6 представлены оптимальные переходные процессы по управлению и возмущению при разном задании R4 по управлению.
Зависимость оптимальных настроек ПИ-регулятора от значения R4
Модульная Количество
R4 KH Kn интегральная ошибка (3) выходов за пределы + 2 %
0,5 0,087 7,008 73,52 3
1 0,08 7,01 127,1776 3
1,5 0,076 6,228 156,0932 2
2 0,07 6,88 189,7284 2
Полученные оптимальные настройки регулятора для объекта с передаточной функцией 4 • ехр (-20«)
W (s) =
Рис. 5. Simulink-модель для оптимизации САР по критерию (3)
приведены в таблице и на
800« +1
рисунке 6. Интересно, что зависимость KИ(R4) хорошо подчиняется линейному закону KИ(R4)=0,092-0,011xR4 с коэффициентом корреляции 0,9902.
Таким образом, разработанный метод поиска оптимальных настроек регуляторов по критериям модульной интегральной ошибки или модульной интегральной ошибки с учетом колебательности переходного процесса может использоваться для определения настроек позиционного или непрерывного регулятора объекта с запаздыванием. Метод позволяет корректировать оптимальные настройки регулятора в зависимости от того,
0,7
0,6
0,5
0,4
0,3
0,2
0,1
0
150
-0,1
какая задача является более важной: обеспечить качество переходных процессов по возмущению,
по управлению или при заданном соотношении «управление-возмущение». Полученные настройки в общем случае обеспечивают несколько более качественные переходные процессы по управлению и (или) по возмущению, чем при использовании настроек, рассчитанных методами В.Я. Ротача и А.П. Копеловича.
Литература
1. Копелович А.П. Инженерные методы расчета при выборе автоматических регуляторов. М.: Металлургиздат, 1960. 190 с.
2. Ротач В.Я. Теория автоматического управления. М.: Изд-во МЭИ, 2004. 400 с.
3. Затонский А.В. Компенсация недоступности информации в подсистеме управления сложной технической системой // Математические методы в технике и технологиях: сб. науч. тр. Междунар. науч. конф. Саратов, 2008. Вып. 21. Т. 2. С. 54-58.
УДК 519.85:004.421
ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ АЛГОРИТМА РАСЧЕТА ЛАТЕНТНЫХ ПЕРЕМЕННЫХ ПРОГРАММНЫМ КОМПЛЕКСОМ ШЬР-1И
И.Н. Елисеев, к.т.н.
(Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса, г. Шахты, ега@^ззи-ги)
В статье рассматриваются теоретические основы расчета латентных параметров участников тестирования и дихотомических заданий (индикаторов) диагностического теста по результатам их выполнения. В качестве модели измерения используется однопараметрическая модель Раша. Предложен алгоритм расчета латентных параметров, обеспечивающий высокую сходимость расчетных данных к экспериментальным.
Ключевые слова: диагностический тест, индикатор теста, латентный параметр, алгоритм расчета.
Создание современных программных средств, обеспечивающих качественную обработку дихотомических результатов тестирования, анализ полученных данных и их интерпретацию, связано с разработкой теоретических основ и алгоритма расчета латентных параметров участников тестирования 0 и дихотомических заданий (индикаторов) диагностического теста р. Для решения подобной задачи могут использоваться различные математические методы, которые нашли применение в теории педагогических измерений. Это методы PROX, попарного сравнения [1], моментов, максимального правдоподобия [2] и др. При выборе конкретного метода необходимо учитывать, что расчет латентных параметров зачастую выполняется по нормативным выборкам небольшого объема, поэтому полученные оценки параметров 0 ив могут отличаться от объективно существующих точных значений 0 и р. В связи с этим возникает необходимость в исследовании несмещенности, эффективности и состоятельности оценок 0 и р . Избежать проведения подобных исследований можно, если теоретическое обоснование алгоритма вычисления латентных параметров
провести методом максимального правдоподобия. Этот метод наиболее полно использует данные выборки для расчета параметра, и получаемые с его помощью оценки являются состоятельными, асимптотически несмещенными и асимптотически эффективными [2]. Это обстоятельство позволило выбрать метод максимального правдоподобия для разработки теоретических основ расчета латентных параметров 0 и р - уровня подготовленности участника тестирования и уровня трудности индикатора диагностического теста соответственно.
В качестве модели измерения, с использованием которой вычисляются латентные параметры, используется однопараметрическая модель Г. Раша [2, 3]. Некоторые математики-теоретики считают, что эта модель получена и обоснована им экспериментально и не имеет убедительного теоретического обоснования. Поэтому разработку математического аппарата, необходимого для расчета параметров латентных переменных, следует начать с теоретического обоснования допустимости использования однопараметрической модели Раша для оценки результатов образовательной деятельности.
