CC BY
23УДК 539.3:612.76:616.001
DOI http://dx.doi.org/10.5281/zenodo.3465984
В. М. Шимон, М. А. Ткачук, С. П. Алфелдш, О. В. Веретельник, В. В. Стойка
ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛ1ДЖЕННЯ НАПРУЖЕНО - ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ НИЖНЬО1 К1НЦ1ВКИ У ХВОРИХ П1СЛЯ Х1РУРГ1ЧНОГО Л1КУВАННЯ 13 ЗАСТОСУВАННЯМ Б1ОСКЛА
Державний вищий навчальний заклад «Ужгородський Нацюнальний Ушверситет», Украша
Summary. Shymon V., Tkachuk M., Alfeldii S., Veretelnyk O., Stoika V. NUMERIC INVESTIGATION OF HUMAN'S LOW EXTREMITY STRESS-DEFORMED STATE IN PATIENTS AFTER SURGERY WITH BIOGLASS APPLICATION. - State Higher Education Institute "Uzhgorod National University", Ukraine; E-Mail: v.stoyka@uzhnu.edu.ua. In the paper presented the results of numeric investigation of the effect on the stress-deformed state of the elements of a person's leg after surgical treatment, replacement of damaged tissues after fractures or tumor with implants made of bioglass are disscussed. Mathematical model of the conducted research was based on the basic relations of continuum mechanics, in conjunction with numerical methods. in the course of the study, three design groups were considered, the differences of which consisted in the size of bioglass implants, each group, consisted of four design schemes, two of which described an "intact" state and a "damaged" state, the other two the schemes described the human leg after surgical treatment of implant installation made of various types of bioglass -ac-5 and far-5, respectively. according to the results of the research, characteristics of the stress-strain state were obtained and a comparative analysis was carried out. the stress levels showed good similarity for the 1st and 2nd calculation groups, the differences were less than 1% and for the 3rd calculation group - 30%, for all the calculation schemes respectively. for the tibia, the stress levels were 16% for the 1st calculation group, 36% for the 2nd calculation group, and 56% for the 3rd calculation group, for all calculation schemes, respectively. for the femur, stress levels showed good similarity for the 1st and 2nd calculation groups, the differences were less than 1%, and for the 3rd calculation group - 30%, for all the calculation schemes, respectively. the analysis of the stresses obtained for the elements made of bioglass shows that the stresses in implants made with ac-5 higher by 40% than in implants made with far-5. thus, it can be argued for the effective use of implants made of different types of ac-5 and far-5 bioglass in surgical treatment of bone replacement in tumors and fractures.
Key words: stress-strain state, lover extremitis, bioglass, finite element method, equivalent stresses
Реферат. Шимон В. М., Ткачук Н. А., Алфелдий С.П., Веретельник О.В., Стойка В.В. ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ НИЖНЕЙ КОНЕЧНОСТИ У БОЛЬНЫХ ПОСЛЕ ХИРУРГИЧЕСКОГО ЛЕЧЕНИЯ С ПРИМЕНЕНИЕМ БИОСТЕКЛА.
В работе представлены результаты численного исследования влияния на напряженно-деформированное состояние элементов нижней конечности человека после проведения оперативного лечения, замены поврежденных тканей при переломах и опухолях имплантатами, изготовленными из биостекла. Математическая модель проведенных исследований базировалась на основных соотношениях механики сплошной среды в сочетании с численными методами. В ходе исследования рассматривались три расчетные группы, которые отличались размерами имплантатов из биостекла. Каждая группа состояла из четырех расчетных схем, две из которых описывали «интактное» состояние и «поврежденное», две другие расчетные схемы описывали ногу человека после оперативного лечения по установке имплантов, изготовленных из различных типов биостекла: AC-5 и FAR-5, соответственно. В результате исследований были получены характеристики напряженно-деформированного состояния и проведен сравнительный анализ.
© Шимон В. М., Ткачук М. А., Алфелдш С. П., Веретельник О. В., Стойка В. В.
Ключевые слова: напряженно-деформированное состояние, нижняя конечность, биостекло, метод конечных элементов, эквивалентные напряжения
Реферат. Шимон В. М., Ткачук М. А., Алфелдш С.П., Веретельник О.В., Стойка В. В. ЧИСЕЛЬНЕ ДОСЛ1ДЖЕННЯ НАПРУЖЕНО - ДЕФОРМОВАНОГО СТАНУ НИЖНЬО1 К1НЦ1ВКИ У ХВОРИХ П1СЛЯ Х1РУРГ1ЧНОГО Л1КУВАННЯ 13 ЗАСТОСУВАННЯМ Б1ОСКЛА.
У роботi пропонуються результати чисельного дослщження впливу на напружено-деформований стан елементiв нижньо! шнщвки людини пiсля проведення оперативного л^вання, замiни пошкоджених тканин при переломах та пухлинах iмплантатами, що виготовлеш з бiоскла. Математична модель дослщжень, що проведенi застосовуе основнi сшввщношення механiки суцiльного середовища у зв'язщ з чисельними методами. В ходi дослiдження розглядалися три розрахунковi групи, вiдмiнностi яких полягали у розмiрах iмплантату з бiоскла, кожна група складалася з чотирьох розрахункових схем, двi з яких описували «штактний» стан та «пошкоджену», iншi двi розрахунковi схеми описували нижню шнщвку людини пiсля хiрургiчного лiкування з установки имплантапв виготовлених з рiзних типiв бiоскла АС-5 та FAR-5, вiдповiдно. За пiдсумками дослiджень були отримаш характеристики напружено-деформованого стану та проведено порiвняльний аналiз.
Ключови слова: напружено-деформований стан, нижня кiнцiвка, бюскло, метод ск1нченних елементiв, еквiвалентнi напруження
Вступ. Сучасна медицина досить широко використовуе штучнi iмплантати для замщення пошкоджених тканин у результатi рiзних захворювань. Так, при рiзних захворюваннях к1сткових тканин, наприклад, пухлини чи переломи, використовуються рiзнi матерiали. Одним з таких матерiалiв е бюскло. У робот пропонуеться дослiдження право! нижньо! шнщвки людини з дешлькома осередками поразки к1сткових тканин.
Дане дослщження було проведено за допомогою методу сшнченних елементiв, так як даний метод дае можливють розглядати складнi тривимiрнi геометричнi моделi. А також суттевою перевагою використання даного методу [1] е те, що у випадках, коли важко або неможливо зробити клiнiчний аналiз проблематики по використанню спецiальних технiчних медичних засобiв (iмплантатiв), як1 використовуються для вщновлення цiлiсностi к1сткових тканин, а також етичш причини - варшвання параметрiв iмплантатiв в природних умовах. Неможливють проведення експериментальних дослiджень: анал1з багатьох рiзних параметрiв вимагае виробництва багатьох прототипiв i може бути дуже дорогим. Граничнi умови, таю як м'язовi сили, як1 не можуть бути реалiзованi в експериментальнш установцi, а експериментальнi дослiдження на зразку людини можуть не вщтворюватися через змiни бiологiчних властивостей. Ще одним фактором е те, що результати клшчного або експериментального дослщження не можуть бути iнтерпретованi. У свою чергу, чисельна модель може допомогти в штерпретащ! клiнiчних та експериментальних результапв.
Таким чином, використання методу сшнченних елеменпв для анал1зу напружено-деформованого стану дослiджуваних бюлопчних i бiомеханiчних систем е найбшьш ефективним рiшенням.
Як було зазначено вище, метод ск1нченних елементiв часто використовуеться при розробщ iмплантатiв, допомагаючи вирiшити невирiшенi питання, пов'язанi з ктшчними дослiдженнями. В даний час публжуються рiзнi пiдходи до створення моделей з'еднання «iмплантат-кiстка» [2-6].
В обласп моделювання та проектування, структури в бiомеханiки не створенi людиною, а мають бiологiчне походження. Отже, при аналiзi к1стки не юнуе точно визначених геометричних примiтивiв, а е специфiчна для пацiента морфолопя, яка сильно неоднорiдна i змiнюеться протягом життя в залежностi вш фiзiологiчних навантажень, стану здоров'я, в^ i харчування.
Одним з найбшьш важливих аспектiв бiомеханiчних систем е !х геометрична складнiсть, яка значно ускладнюе створення точних моделей. Класичш моделi страждали вiд цього недолжу - геометричнiй точностi, присутнього навиъ в недавнiх моделях [7, 8],
що ставило тд сумшв в бшьшосп дослiджень достовiрнiсть результатiв i ïx екстраполяцiю в клiнiчнi умови.
Сучасш методи вiзyалiзацiï, так1 як комп'ютерна томографiя (КТ) та магштно-резонансна томогрaфiя (МРТ), дозволяють реконструювати бюлопчш структури для подальшого ск1нченно-елементного aнaлiзy. Тривимiрнa реконcтрyкцiя е основою для представленого пiдxодy. З iншого боку, iмплaнтaти, як1 пiдлягaють aнaлiзy в сшнченно-елементних моделях, можуть бути спроектоваш з використанням програмного забезпечення CAD, наприклад, таких як Solidworks [9].
В процеci моделювання була вщновлена геометрична модель по КТ зшмках, без пaтологiчниx структурних змш. В процеci моделювання були видшеш облacтi, як1 описують пошкодженi тканини. Моделювання пошкоджених тканин здiйcнювaлоcя зменшенням початкових показник1в фiзико-меxaнiчниx властивостей шсткових тканин. Анaлогiчним чином моделювалася установка елеменпв iз бiоcклa.
Побудова тривимiрноï геометрично1 моделi виконувалося в cиcтемi автоматизованого проектування Solidworks [9]. Шсля створення геометрично1' моделi вона була iмпортовaнa в програмний комплекс Workbench [10]. Даний програмний комплекс призначений для проведения доcлiджень напружено-деформованого стану використовуючи методи мехашки cyцiльного середовища в поеднaннi з чисельними методами ршення.
Пicля iмпортyвaння моделi в програмному комплекci Workbench на оcновi тривимiрноï геометричноï моделi була створена сшнченно-елементна модель, визнaченi фiзико-меxaнiчнi властивосп мaтерiaлiв, приклaденi зовнiшнi грaничнi умови. А також проведет подaльшi дослщження, що дають змогу визначити компоненти напружено -деформованого стану.
В рамках проведення даного дослщження мaтерiaли вважалися однорiдними i iзотропним.
Проведенi доcлiдження були реaлiзовaнi на пiдcтaвi договору про спшьну роботу мiж Ужгородським нaцiонaльним ушверситетом та центром комп'ютерного моделювання "Тензор" Нацюнального теxнiчного yнiверcитетy "Харшвський полггехшчний шститут", який оснащений комп'ютерним кластером "ПОЛ1ТЕХШК-125".
Мета роботи: розробити методи та здшснити доcлiдження змiн напружено-деформованого стану елеменпв право1' нижньо1' кiнцiвки пicля проведення оперативного л^вання для ПОСЛЕДУЮЩЕЙ зaмiни пошкождених костних тканин урадженних оcтiемилiтом iмплaнтaтaми, що виготовлени з бюскла.
Теоретичнi основи математичного опису. Оcновнi cпiввiдношення мехашки суцшьного середовища для опису напружено-деформованого стану бюлопчних i бiомеxaнiчниx систем. Проведення дослщжень напружено-деформованого стану бюлопчних i бюмехашчних систем грунтуеться на рiвнянняx теорiï прyжиоcтi.
Як вщомо, для визначення компонентiв напружено-деформованого стану теорiя прyжноcтi в своему розпорядженш мае три групи рiвнянь. Даш групи рiвнянь включають в себе: геометричш (вiдомi як cпiввiдношення Кош^, фiзичнi (вiдомi як закон Гука) i статичш cпiввiдношення.
За допомогою геометричних cпiввiдношень, за вiдомими функщями перемiщення можна визначити компоненти деформацп, що у свою чергу за допомогою фiзичниx cпiввiдношень можна визначити компоненти тензора напружень.
Фyнкцiï перемщення за трьома просторовими координатами можна представити в наступному виглядi: u = u(x, y, z) , v = v(x, y, z) , w = w(x, y, z).
Як було зазначено вище, геометричнi cпiввiдношення пов'язують перемiщення з деформaцiями у виглядi шести cпiввiдношень вигляду:
du dv du
Sx = — , 1 xy "Z ^ ^ ,
dx dx dy
d v d w
-- d_y_ , Y zx = + dV
dz , (1)
dw du -
dj , Y yx = d_z + dw_
dx
8
y
8
z
Закон Гука визначае зв'язок напружень з деформацп, який представлений наступними ш1стьма сшввщношеннями:
£х = 1 (а х _ у - V, г ),
Е Е Т ху,
еу = — (а у - V, г - У,х ), Уу2 = 2(1+ V)
Е -~ТУ*, (2)
ег = 1 (аг - ™х - У )' Угх 2(1+у)
Т- Т гх ,
Е
де Е - поздовжнш модуль пружностi матерiалу (ще вiдомий як модуль Юнга -характеризуе здатнiсть твердого тша (матерiалу, речовини) пружно деформуватися тд дiею сили), V - коефщент Пуассона (величина вiдносини вiдносного поперечного стиску до вщносного поздовжнього розтягування, цей коефiцiент залежить не вщ розмiрiв тiла, а вiд природи матерiалу, з якого виготовлений зразок, може бути вказаний в вщносних одиницях).
Коефiцiент Пуассона i модуль Юнга повшстю характеризують пружнi властивосп iзотропного матерiалу [11].
До статичних спiввiдношень вiдносяться диференцiальнi рiвняння рiвноваги:
да хх даух да гх п п
ох ду дг
да ху д,уу д,гу
~дхт + —+К =0' (3)
да хг + да уг + да гг + Кг = 0 . дх ду дг
Таким чином, компоненти напружено-деформованого стану для сличенного елемента, яш утворенi шляхом розбиття дослщжувано! геометричнiй моделi, можна описати через геометричнi, фiзичнi i статичнi спiввiдношения [12, 13]. За допомогою основних сшввщношень методу сшнченних елементiв можна отримати загальну картину напружено-деформованого стану для вае1 дослщжувано! моделi.
Згiдно iз загальними положеннями даного методу [12-16] дослщжувана модель бiологiчних i бiомеханiчних систем розбиваеться на сшнченне число дискретних елеменпв, як1 пов'язанi мiж собою вузлами. В даних вузлах визначаються величини функцп и (ще вiдомi як вузловi перемiщения). При цьому, величина в рамках одного дискретного елемента визначаеться за допомогою апарату штерполяцп по вщомим функцiям форми аг :
■ Ъ
аг иг .
(4)
За допомогою матриц жорсткосп [к] можна записати зв'язок вузлових зусиль {К} 1 вузлових перемщень {и} е в наступному виглядi:
{К}е = [к]е{и}е . (5)
За допомогою принципу вiртуальноl роботи напружено-деформований стан сшнченного елемента можна представити з диференщальних рiвнянь в наступному виглядi [16]:
{ди}Т {К} - Ш{^}Т {а}с1У = 0 , (6)
V
де: {и} - вектор вузлових перемщень, {К} - вектор вузлових зусиль, {е} - вектор вузлових деформацш, {а} - вектор вузлових напружень, V - об'ем елемента.
Зв'язок мiж перемщеннями i деформащями, а також деформащями i напруженнями мае такий вигляд:
е
е
{е} =[Б]{и], (7)
=П]{е} , (8)
де: [Б] - матриця диференцшвання [П] - матриця властивостей
перемщень,
матерiалу.
На основi сшввщношень теорп пружностi [17, 18] матриця жорсткосп дискретного елемента (5) визначаеться геометричними (1) i фiзичними (2) сшввщношеннями.
Провiвши пiдсумовування векторiв {Я}е i матриць [к]е вах дискретних елементiв i
беручи до уваги граничш умови, завдання зводитися до вщшукання рiшення системи лшшних рiвнянь за допомогою рiзних чисельних методiв (к1льк1сть рiвнянь дорiвнюе шлькосп невiдомих значень у вузлах, на яких знаходиться рiшення початково! системи, прямо пропорцшна кiлькостi елементiв i обмежуеться тiльки апаратними можливостями комп'ютерно! технiки):
[К]{и} = {Я} ■ (9)
Метод сшнченних елементiв, поеднав у собi унiверсальнiсть, високу стутнь формалiзацil i алгоритшзаци, а також дав можливють автоматизаци обчислювального процесу. Метод ск1нченних елементiв е одним з найбшьш поширених методiв для проведення iнженерних дослiджень. За допомогою даного методу можна дослiджувати системи будь-яко! складностi. Популярнiсть методу сшнченних елементiв забезпечена його результативнiстю i можливiстю вирiшення широкого спектра завдань.
Чисельш дослiдження напружено-деформованого стану нижньоТ кiнцiвки.
Для проведення дослiджень були створеш геометричнi моделi, як1 описували праву ногу людини, з видшеними областями ураженими захворюваннями (рисунок 1). Як було викладено вище, у разi проведення оперативного лiкування проводиться замщення уражених тканин iмплантатами виготовлених з бюскла. В роботi було промодельоваш рiзнi областi замiщення пошкоджених тканин iмплантатами з бiоскла. На рисунку 2 представлена геометрична модель з видшеними областями замщеннями пошкоджених тканин, вщповщт областi промаркованi латинськими буквами А, В, С, D, Е.
I К®
Рис. 1.
_ Рис. 2. Геометрична модель з видiленими
Геометрична
областями замщення тканин
модель
В робот розглянуто три типорозмiри елементiв з бюскла, яш застосовуються для замiщення пошкоджених тканин, даш елементи виготовляються у виглядi дисков, з подальшою обробкою зовшшньо! поверхнi пiд профiль шстки. На рисунку 3 представлена схема заготовки елемента з бюскла, у таблиц 1 представлен розмiри елеменпв виготовлених з бiоскла.
На рисунку 4 представлена дослщжувана область на прикладi областi А.
Габаритш розмiри елемента з бiоскла
^ мм г, мм
1 розрахункова група 10 5
2 розрахункова група 15 7,5
3 розрахункова група 20 10
Рис. 3. Схема елемента заготовки з бюскла
V 5
ь ш
Рис. 4. Дослiджувана область (на прикладi областi А)
При моделюванш оперативного лiкувания iз замiщения пошкоджених тканин було побудовано три розрахунковi групи, вiдмiнностi яких полягали в розмiрах елемента з бiоскла. При цьому, кожна група включае чотири розрахунковi схеми як1 описують рiзний стан к1стки: iнтакиий стан, пошкоджений, пiсля проведення оперативного втручання при використанш двох типiв бiоскла АС-5 та FAR-5 (див. таблицю 2). У таблиц 3 представленi фiзико-механiчнi властивостi матерiалiв бiологiчних (БС) i бiомеханiчних систем (БМС).
Таблиця 2
Розрахунковi схеми
№ розрахунково! схеми
1 розрахункова схема «Интактна»
2 розрахункова схема «Пошкоджена»
3 розрахункова схема АС-5
4 розрахункова схема РАЯ-5
Фiзико-механiчнi властивостi матерiалiв БС i БМС
№ розрах. Схеми Костна тканина Модуль пружносп Па Коеф. Пуассона
1 розрах. Схема Кортикальна тканина 1-10 10 0,3
Губчата тканина 4,5 -10 8 0,2
2 розрах. Схема Кортикальна тканина 9 5-10 9 0,3
Губчата тканина 2,25 -10 8 0,2
3 розрах. Схема - 1,5 -10 8 0,22
4 розрах. Схема - 0,9 -10 8 0,22
При побудовi сшнченно-елементних моделей використовувалися скiнченнi елементи рiзного типу. Це 10-ти вузловий тетраедр (SOLID187) i 20-ти вузловий кубiчний елемент (SOLID186). Застосування рiзних титв елементiв дае можливiсть отримати яшсну ск1нченно-елементну модель, яка описуе складну геометричну форму елементiв бiологiчних систем. Так за допомогою кубiчного елемента можна розбити бiльш простi елементи дослщжувано! системи, за допомогою тетраедра - бiльш складнi елементи системи. Таким чином, утворена комбшована сшнченно-елементна модель дае можливiсть отримати вищу апроксимацiю з найменшою похибкою. На рисунку 5 представлеш структурнi схеми використовуваних елеменпв.
10-ти вузловий тетраедр 20-ти вузловий елемент Рис. 5. Структурна схема елеменпв
Побудоваш сшнченно-елементш моделi налiчували близько 340 тис. елеменпв. На рисунку 6 представлеш обласп сшнченно-елементно! моделi в мюцях замiщення пошкоджених тканин бiосклом.
Рис. 6. Обласп сшнченно-елементно! моделi
На рисунку 7 представлен схеми навантаження i закрiплення, а також додатковi умови, як1 накладаються на модель у виглядi додаткових перемiщень як додаються до елементу «верхня опора». Сила, яка забезпечуе навантаження дослщжуваних систем дорiвнюе 500Н та прикладаеться до елементу «верхня опора».
Навантаження Закршлення Додатков1 умови
Рис. 7. Схеми навантаження, закршлення i додатковi умови
Висновки
1. Створено параметричну модель, яка описуе результат хiрургiчного втручання iз замiщенням пошкоджених тканин елементами, яш виготовленi з рiзних титв бiоскла;
2. З аналiзу отриманих значень напружень в стегново! шстки видно, що рiвнi напруження показали хорошу схожесть для 1-! та 2-! розрахункових груп, вiдмiнностi склали менше 1%, а для 3-й розрахунково! групи - 30%, для вах розрахункових схем вiдповiдно;
3. З аналiзу отриманих значень напружень в великогомшково! к1стки видно, що рiвнi напружень для 1-й розрахунково! групи склали 16%, для 2-й розрахунково! групи - 36%, а для 3-й розрахунково! групи - 56%, для вах розрахункових схем вщповщно;
4. З аналiзу отриманих максимальних значень екшвалентних напружень отриманих для вах розрахункових груп видно, що вони не перевищують максимальних допустимих, так як для кортикально! шстки вони складають 160 МПа [19];
5. З аналiзу отриманих напружень для елеменпв виконаш з бюскла видно, що напруження в iмплантатах виконаних з АС-5 вище на 40%, нiж в iмплантатах виконаних з РЛЯ-5;
6. Розгляд отриманих значень повних перемiщень для вах розрахункових груп та вщповщних схем, показали хорошу схожють, ютотно менше 1%.
Таким чином, за тдсумками проведених дослiджень можна зробити наступнi висновки, як1 сввдчать за ефективне використання iмплантатiв виконаних з рiзних типiв бiоскла АС-5 i FAR-5 при оперативному лiкуваннi iз замiщення пошкоджених тканих при пухлинах та переломах.
Лiтература/References:
1. https://www.researchgate.net/publication/221909127_Finite_Element_Лnalysis_in_Orth opaedic_Biomechanics
2. Spears, I. R., M. Pfleiderer, et al. (2001). The effect of interfacial parameters on cup-bone relative micromotions. A finite element investigation. J Biomech 34(1): 113-20.
3.Thompson, M. S., M. D. Northmore-Ball, et al. (2002). Effects of acetabular resurfacing component material and fixation on the strain distribution in the pelvis. Proc Inst Mech Eng [H] 216(4): 237-45.
4. Kaku, N., H. Tsumura, et al. (2004). Biomechanical study of load transfer of the pubic ramus due to pelvic inclination after hip joint surgery using a three-dimensional finite element model. J Orthop Sci 9(3): 264-9.
5. Oki, H., M. Ando, et al. (2004). Relation between vertical orientation and stability of acetabular component in the dysplastic hip simulated by nonlinear threedimensional finite element method. Artif Organs 28(11): 1050-4.
6. Manley, M. T., K. L. Ong, et al. (2006). The potential for bone loss in acetabular structures following THA. Clin Orthop Relat Res 453: 246-53.
7. Guan Y, Yoganandan N, Zhang J, Pintar FA, Cusick JF, Wolfla CE, Maiman DJ. Validation of a clinical finite element model of the human lumbosacral spine. Med Biol Eng Comput. 2006;44:633-641.
8. Little JP, Adam CJ, Evans JH, Pettet GJ, Pearcy MJ. Nonlinear finite element analysis of anular lesions in the L4/5 intervertebral disc. J Biomech. 2007;40:2744-2751.
9. Solidworks - http://www.solidworks.com/.
10. Workbench - http://www.ansys.com/.
11. Sivuhin D. V. Obschiy kurs fiziki. — M.: Fizmatlit, 2005. — T. I. Mehanika. — S. 414.
— 560 s.
12. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J.Z. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals. - Amsterdam ; Heidelberg: Butterworth-Heinemann. - 2006. - 631 p.
13. Obraztsov I.F., Savelev L.M., Hazanov H.S., Metod konechnyih elementov v zadachah stroitelnoy mehaniki letatelnyih apparatov: Ucheb. posobie dlya studentov iviats. spets. vuzov. -M.: Vyissh. shk., 1985.- 392 s., il.
14.Zenkevich O. Metod konechnyih elementov v tehni-ke. -M.: Mir, 1975. - 382 s.
15. Segerlind L. Primenenie metoda konechnyih ele-mentov. - M.: Mir, 1979, -388 s.
16. Morozov E.M. Nikishkov G.P. Metod konechnyih elementov v mehanike razrusheniya.
- M.: Nauka, 1980.-256 s.
17. Vasidzu K. Variatsionnyie metodyi v teorii up-rugosti i plastichnosti. - M:Mir, 1987. -
542 s.
18. Timoshenko S.P., Guder Dzh. Teoriya uprugosti. -M.: Nauka, 1979. - 560 s.
19. I.V. Boyko, A.V. Sabsay, V.B. Makarov, O.V. Ra-dzhabov. Matematicheskoe modelirovanie napryazhen-no-deformirovannogo sostoyaniya sistemyi «kost-implantat» pri mezhvertelnom perelome bedren-noy kosti / VIsnik SevNTU: zb. nauk. pr. Vip. 133/2012. SerIya: MehanIka, energetika, ekologIya. — Sevastopol, 2012. - s. 355-360.
Робота надшшла до редакци 22.07.2019 р. Рекомендована до друку на засщанш редакцшно! колеги тсля рецензування.
