CC BY
6
УДК -519.7
М.Н. Юдина, M.N. Yudina, mg-artd-aU@yandex.ru *В.Н, Задорожпый, V.N. Zadorozhnyi, zwn@yandex.ru Омский колледж торговли, экономики и сервиса, г. Омск, Россия Omsk College of Business. Economics and Service.. Omsk, Russia ^Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия Omsk State Technical University, Omsk, Russia
ЧЕТЫРЕ ЗАДАЧИ УС КОРЕНИЯ ВЫЧИСЛЕНИЙ ЗА СЧЕТ PAiEIIEHIIH НА ПОДМНОЖЕСТВА ЭЛЕМЕНТОВ
FOUR PROBLEMS SPEEDUP DUE TO THE PARTITION UPON A SUBSET OF
Рассматриваются примеры ускорения стагистаческого эксперимента за счет декоыпошцин процесса вычислений.
The article gives examples of statistical experiment accelerating due to decomposition of Hie computation
process.
Ключевые слова: метод Монте-Карло, надежность, случайный граф. Keywords: Monte-Carlo method, reliability, random graph.
250
Введение
Одним из наиболее общих подходов при ускорении вычислений является выделение во множестве задач таких подмножеств .задач, решение которых можно объединить в единый процесс. Объединяя решение задач каждого подмножества в одно вычисление, и подбирая соответствующую структуру данных для хранения результатов вычислений., можно ускорить вычисления многократно В данной работе рассматриваются четыре примера такого ускорения вычислений, с которыми столкнулись авторы.
1. Задача надежности
В классической задаче надёжности рассматриваются системы следующего вида [1]. Система состоит из .У элементов, которые случайно и независимо, с известными вероятностями.. могут отказывать. Совокупность состояний элементов будем представлять двоичным вектором А'= (XI, Х2, ... , хжХ где х, - состояние /-го элемента системы - равно 1, когда этот элемент находится в состоянии отказа, и равно 0, когда элемент находится в работоспособном состоянии (1 = 1, ... [1].
Подмножество таких двоичных векторов, среди элементов которых г единиц, будет соответствовать подмножеству состояний схемы надежности, при которых отказываюг г элементов Можно предложить метод перебора состояний схемы надежности путем тенера-ции двоичных векторов, позволяющий сократить количество вызовов функции проверки работоспособности схемы. При этом используется свойство монотонности: если схема неработоспособна на заданном множестве отказавших элементов, то отказ еще одного элемента не повлияет на её работоспособность, а значит, проверки работоспособности не требуется. Для этого полученные при старших значениях векторы необходимо побитно сверять с векторами из списка запрещённых, и если отказы (единицы в соответствующих разрядах) совпадают, то процедуру поиска пути между7 вершинами схемы можно не выполнять..
"1 :>"2
Рнс. 1. Схема перебора векторов состояний
Рассмотренный подход к расчету надежности может быть полезен при статистическом расчете надежности методом расслоения, подробно изложенным в [2], поскольку в этом методе подразумевается разбиение множества векторов состояний на подмножества и рассматривается только часть подмножеств.
2. Задача расчета структурных свойств графов
Другим примером ускорения расчетов при использовании статистического моделирования является расчет коэффициента кластеризации большого графа, содержащего сотни тысяч вершин [3].
Коэффициент кластеризации С определяется как утроенное отношение среднего числа пл «треугольников» (связанных тремя ребрам трех вершин графа) к среднему числу rip «вилок» (путей длины 2) в графе:
с=ЗХИд nv
Метод прямого расчета коэффициента кластеризации требует перебора всех вершин графа. При этом для каждой вершины выполняется подсчет всех исходящих из нее вилок, а также числа треугольников, образуемых этими вилками.
Статистический расчет коэффициента кластеризации основан на получении большого числа реализаций случайного выбора вилок и проверке наличия образуемых ими треугольников. Коэффициент кластеризации рассчитывается как вероятность того, что между концевыми вершинами случайно выбранной вилки существует связь, т.е. что три узла вилки образуют треугольник. Но хранить все случайно выбранные вилки в списке нецелесообразно в силу большого их числа и, соответственно огромного количества требуемой для этого памяти. Поэтому целесообразно случайный выбор вилок реализовывать путем случайного выбора вершин с вероятностями, пропорциональными количеству вилок в этих вершинах. А поскольку все вершины с одинаковой степенью связности определяют одинаковое число вилок, то их удобно объединить в одно подмножество, и тем самым ускорить расчет. Аналогичный метод может быть использован для расчета мотивов в графе [4].
Ъ. Задача генерации графов
Аналогично предыдущему примеру разбиение множества вершин на подмножества вершин с одинаковыми степенями связности оказывается эффективным и при генерации больших случайных графов различных видов. В работе [5] демонстрируется, что такой подход позволяет ускорить генерацию графов Барабанш-Альберт, используя для выбора вершины в процессе генерации случайного графа двухэтапный метод. Вначале выбирается подмножество вершин одинаковой степенью связности, а затем из этого подмножества для связывания новой вершины выбирается любая вершина равновероятно. В известном базовом алгоритме, в котором вершина для связывания выбирается сразу из всех N вершин графа, среднее число итераций в цикле выбора вершины для связывания занимает времени,
а в ускоренном алгоритме - 0(.Vln .V). Аналогично может быть ускорена генерация графов предпочтительного связывания [6], графов копирования [7] и т.д.
4. Задача структурной реконфигурации графов
Разбиение вершин на подмножества вершин с заданной степенью связности оказывается эффективным и при проведении манипуляций над большими графами с целью «улучшить» их определенные структурные характеристики, не нарушая другие (при структурной реконфигурации графов). Например, в работе [8] обсуждается такой метод перераспределения ребер в графе, при котором можно изменять коэффициент кластеризации, не изменяя распределения степени связности (РСС) вершин графа. Заметим, что для выполнения условия постоянства РСС число вилок не может быть изменено. Единственный способ изменения коэффициента кластеризации - это изменение числа треугольников. При этом оказывается, что достаточно эффективным способом этого достичь является хранение ребер в виде подмножеств ребер, концевые вершины которых имеют заданные степени связности. В этом случае становится возможным быстрое выполнение процедуры компенсирования изменений в РСС графа, возникающих при переносе ребер из одного подмножества в другое.
3Работа выполнена при поддержке грантов РФФИ 12-07-00149, РФФИ 14-01-31551
JUOS-tL
Библиографический список
1. Задорожный, В. Н. Имитационное и статистическое моделирование : учеб. пособие - Омск : Изд-во ОмГТУ; 2013. - 136 с.
2. Задорожный, В. Н. Статистическое моделирование : учеб. пособие. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 1996 -92 с.
3. Юдин, Е. Б. Расчет коэффициента кластеризации в больших сетях методом Монте-Карло / Е. Б. Юдин. М. И. Танеева И Информационные технологии и автоматизация управления : материалы Всерос. пауч -практ конф. - Омск. 2013. - С. 92—94.
4. Юдин, Е. Б. Применение метода Монте-карли для расчета структурных характеристик больших сетей / Е. Б. Юдин, В Н. Задорожный, М. Танеева //Автоматизация, мехагро-ника, информационные технологии : IV Междунар. науч -техн. интернет-конф. молодых учёных - Омск, 2014.
5. Задорожный, В. Н. Статистически однородные случайные графы: определение, генерация, применение / В. Н. Задорожный. Е. Б. Юдин // Омский научный вестник. - 2009. -№3(83).-С. 7-13.
6. Задорожный. В. Н. Случайные графы с нелинейным правилом предпочтительного связывания / В. Н. Задорожный // Проблемы управления. - 2011. - № 6. - С. 2-11.
7. Stochastic models for the Web graph, in Proceedings of the 42st Annual / Kumar, R_ [et al ] H LEEE Symposium on the Foundations of Computer Science / Institute of Electiical and Electronics Engineers. - New York. 2000. - P. 57—65.
8. Задорожный. В. H. Аналнтико-имнтационные методы решения актуальных задач системного анализа больших сетей : монография i В. Н. Задорожный. Д. А. Долгушин, Е. Б. Юдин. - Омск : Изд-во ОмГТУ, 2013. - 324 с.
253
