CC BY
19
УДК 534.1:539.3 Вестник СПбГУ. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7 (65). Вып. 3 МБС 73К12
Частоты свободных колебаний круглой тонкой пластины с переменными параметрами*
Г. П. Васильев, А. Л. Смирнов
Санкт-Петербургский государственный университет,
Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Для цитирования: Васильев Г. П., Смирнов А. Л. Частоты свободных колебаний круглой тонкой пластины с переменными параметрами // Вестник Санкт-Петербургского университета. Математика. Механика. Астрономия. 2020. Т. 7(65). Вып. 3. С. 518-526. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.314
В статье исследуются поперечные колебания неоднородной круглой тонкой пластины. С помощью метода возмущений получены асимптотические формулы для частот свободных колебаний пластины, толщина и модуль Юнга которой линейно зависят от радиуса. Проанализировано влияние условий закрепления края пластины на частоты и поведение частот при фиксированной массе пластины. Для низших частот колебаний пластины асимптотические результаты сравниваются с результатами конечно-элементного анализа.
Ключевые слова: свободные колебания пластин, неоднородная круглая пластина, метод возмущений.
1. Введение. Строение спектра свободных поперечных колебаний круглых тонких пластин при различных краевых условиях является хорошо изученной задачей. Это связано, во-первых, с частым применением таких структурных элементов в инженерных конструкциях, а во-вторых, с простотой геометрии, которая в некоторых случаях делает возможным получение аналитического решения. Список работ по этой теме обширен, систематизированный обзор результатов исследований приведен в [1]. Число работ, посвященных колебаниям неоднородных круглых пластин, в частности пластин переменной толщины и жесткости, тоже достаточно велико. Применение численных методов позволяет найти значения частот и формы свободных колебаний для тонкой пластины любой геометрии. В частности, при решении таких задач использовались: метод Рэлея —Ритца [2-4], дифференциальный квадратурный метод [5], метод Фробениуса (бесконечные степенные ряды) [6, 7]. Чаще всего анализ проводился для пластин, параметры которых зависели только от радиальной координаты. Рассматривались колебания пластин с разной формой неоднородности по толщине: линейное [2, 6], квадратичное [2, 3], полиномиальное [7, 4], ступенчатое [8], экспоненциальное [9], пластина с центральным отверстием [10, 11]. Меньшее число работ касалось колебаний пластин с переменным модулем Юнга [12].
Целью нашего исследования является получение асимптотических формул, описывающих влияние неоднородности параметров тонкой пластины, толщины или жесткости, на ее собственные частоты. Алгоритм вывода таких формул описан, например, в [13]. В данном исследовании полагалось, что параметры пластины, гео-
* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты № 18-01-00832-а и 19-01-00208-а).
(¡5 Санкт-Петербургский государственный университет, 2020
метрические и физические, являются гладкими функциями координат. Асимптотический подход при исследовании колебаний пластин с неоднородностями в форме отверстий использовался в [10, 11].
2. Уравнения колебаний тонкой круглой пластины с переменными параметрами. Рассмотрим свободные поперечные колебания круглой тонкой пластины с непостоянными модулем Юнга Е и толщиной к. Остальные параметры пластины (р — плотность материала, V — коэффициент Пуассона) считаем постоянными. Влияние коэффициента Пуассона на фундаментальную частоту исследовалось
в [14].
В модели пластины, использующей гипотезы Кирхгофа — Лява, уравнения поперечных колебаний имеют вид [1]
A(DAw) - (1 - v)
д2 Í д2 го дх\ у dxi.
д2 i d2 го dxi, у dxl
- 2-
д2
D-
д2г
дх\дх2 у дх\дх2
+
, д2w . .
Здесь D(x i ,х2)
E(xi, х2)^3(х1, х2)
— жесткость пластины, Е(х 1,х2) — модуль
12(1 - v2)
Юнга, Л.(х1, х2) — толщина пластины, w^i, х2,4) — прогиб. Разделив переменные в уравнении (1) по формуле
w^i, х2, t) = W (х1, х2 )sin(wt),
где w — частота свободных колебаний, и перейдя к полярной системе координат х1 = r cos <р, х2 = r sin <р, получим уравнение колебаний круглой пластины с непостоянными параметрами
^
коэффициенты которого таковы:
di+j
aoo =
аю =
—p hw2, 2(1 - v)
D" + ^-^D' 1 /1
ani = -Л^г + \d + -4д':
„3 w
2^ , 2(1 — г/) „ oil — Н--ñ-и иг
2
°12 =
2
+ —Drr, а,22 = —D
r
«30 =
(2)
r
r
r
r
r
r
020 = + ~^Л^>'ч>Ч> ~ В'г + А яоз = 2Б'Г + -Д
V
V + 2
а°2 - ВТГ + + г
22 «21 = -^з-О +
1
Б = Б(<р, г),
1
Я - А «40 = Д
ао4 = Б, Н = Н(ф, г).
Далее в статье рассматривается случай, когда параметры пластины зависят только от радиуса. После разделения пространственных переменных
ю(г, <р) ^^ ют(г) сов(т<р),
где т — число волн в окружном направлении, уравнение (2) принимает вид
Ь(гут(г)) - рк(г)ш2чит(г) = 0, Ь(гут(г)) =
i=0
(3)
Коэффициенты линейного дифференциального оператора Ь таковы:
Ьо
4
-Б -
г4
2т2 + 1 2 + V
Ь2 = -
В + ——О' + В'1 г
(4)
Ъ3=-В + 2В', Ъ4 = В, В = В{г). г
Для частного случая осесимметричных колебаний (т = 0) уравнение (3) записывается как
(Б(г)гю'' (г))'' + V (Б'(г)ю'(г)) —
Б(г)и)' (г)
— ш2 ргН(г)ю(г) = 0.
(5)
Здесь и далее индекс т опущен, ю(г) = ют(г). Такое уравнение исследовалось в статье [5]. Для удобства перейдем в уравнениях (3) и (5) к безразмерным переменным со значком который в дальнейшем опускается:
Б(г) = Б0Б(г), Н(г) = Н0Н(г), Е(г) = Е0Е(г), ю(г) = Ею (г),
Вг, Л 4=12(1-^У
Е0Н0
Б0
Е0Н0
12(1 — V2)'
0 < г < 1.
Здесь Л — безразмерная собственная частота. Уравнение (3) приобретает вид
Ь(ю(г)) — Л4 Н(г)ю(г) = 0, где коэффициенты оператора Ь определяются формулами (4).
0
2
г
г
г
3. Метод возмущений. Для исследования частот колебаний круглой пластины с параметрами жесткости и толщины, близкими к постоянным, применим метод возмущений. Полагаем
Л(г) = 1 + е^(г) + ••• , Е(г) = 1 + е£а(г) + ••• ,
А = Ао + еА1 + ••• , ад(г) = ^о(г) + еад^г) +----, е < 1. ( )
После подстановки (6) в уравнение (5) и приравнивания коэффициентов при одинаковых степенях е получаем серию краевых задач:
е° ei е2
е3
A2w° (r) - А>° (r) =0,
A2wi(r) - Agwi(r) = FU(A°, w°(r)) + Fi2(A°,w°(r))Ai,
A2w2(r) - A°w2(r) = F2i(A°,w°(r),Ai,wi(r))+ (7)
+F22(A°, w°(r), Ai, wi(r))A2,
Здесь Д — лапласиан. Условием существования решения системы является ортогональность правых частей уравнений решению и>о(г) [2]. Например,
/ (^и(Ао, ^о(г)) + ^12(Ао, адо(г))А1) ^о(г)гйг = 0,
о
откуда определяем величину А1, которая является первой поправкой к частоте. Явный вид операторов ^ приводится ниже.
4. Собственные частоты колебаний круглой пластины переменной толщины. Рассмотрим круглую пластину переменной толщины, полагая модуль Юнга постоянным, Е(г) = 1. Зависимость толщины пластины от радиуса считаем линейной, близкой к постоянной, полагая
Л(г) = Ло (1 + е(г — а)),
где Л-о — невозмущенная толщина, е — малый параметр. При выборе а рассмотрим два случая: 1) толщина меняется по закону Л(г) = Ло (1 + ег) (Л(0) = Ло и а = 0) и 2) изменение толщины задается так, что сохраняются объем и, следовательно, масса пластины. Во втором случае параметр а находится из условия
Сi 2
/ е{г — a)r drd(p = 0 =>■ а = —.
J° 3
Будем рассматривать два вида граничных условий — заделанный край и свободно опертый край. В первом случае граничные условия имеют вид
w(1) = w' (1) = 0,
во втором —
/1 ^^
w(l) = М( 1) = 0, М(г) = w"(r) + V i -w'(r) - —w(r)
где M(r) — изгибающий момент. Запишем общее решение уравнения нулевого приближения
w°(r) = Ci Jm(A°r) + C2 Im(A°r) + C3 Ym(A°r) + C4 Km(A°r),
где Jm(r), Im(r), Ym(r), Km(r) — функции Бесселя и модифицированные функции Бесселя первого и второго рода, а Ci,C*2, 6*3,6*4 — постоянные, определяемые из краевых условий. Поскольку функции Y(r) и K(r) имеют особенность в нуле, следует положить 6*3 = 6*4 =0. Для условий жесткой заделки невозмущенная частота Ао находится из уравнения [2]
Jm(\0 )Im (Ао ) - Jm(Ao)Im(Ao ) = 0, (8)
а для условия шарнирного опирания —
2 a
Jm(A0)/m(A0) - Jm(A0)/m(A0) - -2- Jm(A0)/m(A0) = 0. (9)
1 — v
Формы колебаний в обоих случаях таковы:
wo(r) = C(Jm(Аоr) + Alm(Aor)), A = —Jm(Ao) Im(Ao), C = const.
Из частотных уравнений (8) и (9) определяются двупараметрические семейства частот А^'", где п — число волн в радиальном направлении. Операторы Гц и Г.2 в (7) задаются формулами
4
Г12 = 4А3^о(г), Гц = V Ью® (г),
где
a (3m4 — 12m,2 — Aor4) — 3m4r + 3m2r + Ao
/o =
3a (2m2 + 1) 3 (2am2 + a + r (—2m2 + v + l)) /1 = --, /2 =---'
6a
/3 =--12, /4 = 3 (a-r).
r
Отсюда получаем формулу для первой поправки к частоте
Ill i1
Ai = — —, hk = / Flkw0(r)rdr, к = 1,2.
J12 Jo
Интегралы I11 и 112 могут быть вычислены аналитически, однако формулы для определения А1 получаются громоздкими. В свою очередь, численное определение поправок в пакете Maple 2015 по указанным формулам не представляет большой сложности. В таблице 1 приведены низшие частоты А°'" и поправки к ним, вычисленные при v = 0.3 для пластины с жестко заделанным краем.
На рис. 2, а изображена зависимость от параметра е низших частот поперечных колебаний защемленной пластины, толщина которой меняется по закону h(r) = ho(1 + er). Здесь и далее сплошная линия соответствует частотам, вычисленным по асимптотической формуле (6), точечная линия — численным значениям частот, найденным с использованием пакета COMSOL Multiphysics 5.4. С увеличением толщины пластины растут ее жесткость и масса, однако влияние жесткости, зависящей от куба толщины, оказывается более существенным, что объясняет монотонный рост частоты с ростом е. При малых значениях е асимптотические значения близки к точным. Снижение частоты при существенном уменьшении толщины пластины к краю происходит заметно быстрее, чем по линейному закону.
5
а б
Рис. 2. Низшие частоты поперечных колебаний защемленной пластины с толщиной Н(т) = Н0(1 + ет) (а) и шарнирно опертой пластины с толщиной Н(т) = Н0(1 + е(т — 2/3)) (б).
Таблица 1. Низшие частоты осесимметричных колебаний и поправки к ним
п Л 0 ,п 0 Л 0 ,п 1
а = 0 а = 2/3
0 3.19622 1.27289 0.20749
1 6.30644 1.88521 -0.21694
2 9.43950 2.58903 -0.55747
3 12.57713 3.32796 -0.86441
4 15.71644 4.08319 -1.15562
5 18.85654 4.84731 -1.43820
Перейдем к случаю, когда масса пластины не меняется при линейном изменении ее толщины. На рис. 2, б изображена зависимость от параметра £ низших частот поперечных колебаний шарнирно опертой пластины, толщина которой меняется по закону Н(г) = Но (1 + £(г — 2/3)). При сохранении массы пластины низшие частоты слабо зависят от изменения толщины. При различных граничных условиях разница в характере зависимостей низших частот от параметра £ невелика, однако при шарнирном опирании края пластины фундаментальная частота убывает с ростом £, а при жесткой заделке — растет. С ростом волновых чисел т и п зависимость частот от изменения толщины усиливается, будучи близкой к линейной, и нарушается порядок следования частот, например, последовательность частот Л2'1 < Л0'2 < Л5'0 при £ = 0 переходит в Л5'0 < Л2'1 < Л0'2 при £ = —0.6.
5. Собственные частоты колебаний круглой пластины с переменным модулем Юнга. Рассмотрим круглую пластину постоянной толщины Н(г) = 1. Зависимость модуля Юнга материала пластины от радиуса считаем линейной, близкой к постоянной, полагая
Е(г) = Е0 (1+ £(г — а)),
где Е0 — невозмущенный модуль Юнга, £ — малый параметр. При выборе а рассмотрим два случая: 1) Е(г) = Е0 (1 + £г) (а = 0) и 2) такое изменение модуля Юнга,
Рис. 3. Низшие частоты поперечных колебаний шарнирно опертой пластины с модулем Юнга Е(г) = Е0(1 + ег) (а) и защемленной пластины при Е(г) = Е0(1 + е(г — 2/3)) (б).
что его среднее значение сохраняется, при этом условии а = Тогда операторы и Г12 в (7) задаются формулами
4
Г 12 = 4А3 юо (г), Г11 = дг ю0) (г),
г=0
где
т2 (а [т2 — 4) - т2г + г) а(2т2 + 1)
=--' =-^->
2ат2 + а — 2т2 г + иг + г 2а
#2 =---, = — д^ = а — г.
На рис. 3, а изображена зависимость от параметра £ низших частот поперечных колебаний шарнирно опертой пластины, модуль Юнга которой меняется по закону Е(г) = Ео (1+ £г). С монотонным ростом модуля Юнга частоты предсказуемо растут. При значительном уменьшении £ убывание частот резко ускоряется, что связано с малой изгибной жесткостью пластины. Выбор граничных условий оказывает слабое влияние на характер поведения частот при изменении £.
В заключение рассмотрим колебания пластины, сохраняющей среднее значение модуля Юнга (а = 2/3) (см. рис. 3, б). И в случае сохранения среднего значения модуля Юнга характер поведения кривых слабо зависит от граничных условий. Зависимость частот от £ близка к линейной даже при значениях параметра возмущения, близких по модулю к 1, причем низшие частоты почти постоянны. Для частот Ат'0 поправка А1 растет с ростом т, для остальных частот А1 < 0 и поправка убывает с ростом волновых чисел.
6. Заключение. Полученные в работе асимптотические формулы позволяют найти хорошие приближения для собственных частот колебаний пластин в случае относительно небольшого линейного изменения параметров толщины и модуля Юнга. При этом при создании конструкции появляется возможность оценивать изменение низших частот при небольшой вариации геометрии или свойств материала
пластины и сохранении массы пластины. Представляет интерес изучение свойств спектра при малом нелинейном изменении параметров, например квадратичном или экспоненциальном, встречающемся в приложениях.
Литература
1. Leissa A. W. Vibration of plates. Washington: US Government Printing Office, 1969.
2. Singh B., Chakraverty S. Use of characteristic orthogonal polynomials in two dimensions for transverse vibration of elliptic and circular plates with variable thickness //J. Sound Vibrat. 1994. Vol.173. Iss.3. P. 289-299. https://doi.org/10.1006/jsvi.1994.1231
3. Singh B., Saxena V. Transverse vibration of a circular plate with unidirectional quadratic thickness variation // International Journal of Mechanical Sciences. 1996. Vol. 38. Iss. 4. P. 423-430. https: / / doi.org/10.1016/0020-7403(95)00061-5
4. Singh B., Hassan S. M. Transverse vibration of a circular plate with arbitrary thickness variation // Int. J. Mech. Sci. 1998. Vol.40, no. 11. P. 1089-1104.
5. Wang X., Yang J., Xiao J. On free vibration analysis of circular annular plates with non-uniform thickness by the differential quadrature method //J. Sound Vibration. 1995. Vol. 184. P. 547-551.
6. Prasad C., Jain R. K., Soni S. R. Axisymmetric vibrations of circular plates of linearly varying thickness // ZAMP. 1972. Vol.23. P. 941-948.
7. Eisenberger M., Jabareen M. Axisymmetric vibrations of circular and annular plates with variable thickness // International Journal of Structural Stability and Dynamics. 2001. Vol. 1, no. 2. P. 195-206. https://doi.org/10.1142/S0219455401000196
8. Salmane A., Lakis A. A. Natural frequencies of transverse vibrations of non-uniform circular and annular plates // J. Sound Vibration. 1999. Vol.220. P. 225-249.
9. Singh B., Saxena V. Axisymmetric vibration of a circular plate with exponential thickness variation // J. Sound Vibration. 1996. Vol.192. P. 35-42.
10. Smirnov A. L. Free vibrations of annular circular and elliptic plates // COMPDYN Proceedings. 2019. Vol.2. P.3547-3555.
11. Smirnov A., Lebedev A. Free vibrations of perforated thin plates // The International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics. 2014. Vol. 1648. Art. no. 300009. (AIP Conference Proceeding.) https://doi.org/10.1063/L4912551
12. Аникина Т. А., Ватульян А. О., Углич П. С. Об определении переменной жесткости круглой пластины // Вычислительные технологии. 2012. Т. 17, №6. С. 26-35.
13. Bauer S. M., Filippov S. B., Smirnov A. L., Tovstik P. E., Vaillancourt R. Asymptotic methods in mechanics of solids. Basel: Birkhauser, 2015.
14. Laura P. A. A., Sonzogni V., Romanelli E. Effect of Poisson's ratio on the fundamental frequency of transverse vibration and buckling load of circular plates with variable profile // Appl. Acoustics. 1996. Vol.47. P. 263-273. https://doi.org/10.1016/0003-682X(95)00053-C
Статья поступила в редакцию 21 февраля 2020 г.;
после доработки 18 марта 2020 г.; рекомендована в печать 19 марта 2020 г.
Контактная информация:
Васильев Григорий Павлович — студент; vasiliev.gregory@gmail.com Смирнов Андрей Леонидович — доц.; a.l.smirnov@spbu.ru
Free vibration frequencies of a circular thin plate with variable parameters
G. P. Vasiliev, A. L. Smirnov
St. Petersburg State University, 7-9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
For citation: Vasiliev G.P., Smirnov A. L. Free vibration frequencies of a circular thin plate with variable parameters. Vestnik of Saint Petersburg University. Mathematics. Mechanics. Astronomy, 2020, vol. 7(65), issue 3, pp. 518-526. https://doi.org/10.21638/spbu01.2020.314 (In Russian)
Transverse vibrations of an inhomogeneous circular thin plate are studied in the paper. Non-dimensional equations based on Kirchhoff—Love hypotheses describing nonaxisymmetric
vibrations of inhomogeneous plate are derived. Using the perturbation method, asymptotic formulas are obtained for the free vibration frequencies of a plate, whose thickness and Young's modulus linearly depend on the radial coordinate. The influence of the plate edge conditions on the frequencies and the behavior of frequencies for a plate with the fixed mass are analyzed. For the lower free vibration frequencies the results of asymptotic and finite elements analyses are compared.
Keywords: free vibrations of plates, inhomogeneous circular plate, perturbation method. References
1. Leissa A.W., Vibration of plates (US Government Printing Office, Washington, 1969).
2. Singh B., Chakraverty S., "Use of characteristic orthogonal polynomials in two dimensions for transverse vibration of elliptic and circular plates with variable thickness", J. Sound Vibrat. 173(3), 289-299 (1994). https://doi.org/10.1006/jsvi.1994.1231
3. Singh B., Saxena V., "Transverse vibration of a circular plate with unidirectional quadratic thickness variation", Int. J. Mech. Sci. 38(4), 423-430 (1996). https://doi.org/10.1016/0020-7403(95)00061-5
4. Singh B., Hassan S. M., "Transverse vibrations of a circular plate with arbitrary thickness variation", Int. J. Mech. Sci. 40(11), 1089-1104 (1998).
5. Wang X., Yang J., Xiao J., "On free vibration analysis of circular annular plates with non-uniform thickness by the differential quadrature method", J. Sound Vibration 184, 547-551 (1995).
6. Prasad C., Jain R. K., Soni S. R., "Axisymmetric vibrations of circular plates of linearly varying thickness", ZAMP 23, 941-948 (1972).
7. Eisenberger M., Jabareen M., "Axisymmetric vibrations of circular and annular plates with variable thickness", International Journal of Structural Stability and Dynamics 1(2), 195-206 (2001). https://doi.org/10.1142/S0219455401000196
8. Salmane A., Lakis A. A., "Natural frequencies of transverse vibrations of non-uniform circular and annular plates", J. Sound Vibration 220, 225-249 (1999).
9. Singh B., Saxena V., "Axisymmetric vibration of a circular plate with exponential thickness variation", J. Sound Vibration 196, 35-42 (1996).
10. Smirnov A. L., "Free vibrations of annular circular and elliptic plates", COMPDYN Proceedings 2, 3547-3555 (2019).
11. Smirnov A., Lebedev A., "Free vibrations of perforated thin plates", The International Conference on Numerical Analysis and Applied Mathematics 1648, 300009 (AIP Conference Proceeding, 2014). https://doi.org/10.1063/L4912551
12. Anikina T. A., Vatulyan A. O., Uglich P. S., "On the calculation of variable stiffness for a circular plate", Computational Technologies 17(6), 26-35 (2012). (In Russian)
13. Bauer S. M., Filippov S. B., Smirnov A. L., Tovstik P. E., Vaillancourt R., Asymptotic methods in mechanics of solids (Birkhauser, Basel, 2015).
14. Laura P. A. A., Sonzogni V., Romanelli E., "Effect of Poisson's ratio on the fundamental frequency of transverse vibration and buckling load of circular plates with variable profile", Appl. Acoustics 47, 263-273 (1996). https://doi.org/10.1016/0003-682X(95)00053-C
Received: February 21, 2020 Revised: March 18, 2020 Accepted: March 19, 2020
A u t h o r s' i n fo r m a t i o n:
Grigory P. Vasiliev — vasiliev.gregory@gmail.com Andrey L. Smirnov — a.l.smirnov@spbu.ru
