Частотный анализ нестационарных сигналов: интерпретационные аспекты Текст научной статьи по специальности «Математика»

Яковлева А.А. ©

Кандидат физ.-мат.наук, доцент, кафедра высшей математики, С.-Петербургский государственный горный университет

ЧАСТОТНЫЙ АНАЛИЗ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИГНАЛОВ: ИНТЕРПРЕТАЦИОННЫЕ АСПЕКТЫ

Аннотация

В математической физике существует проблема оценки неоднородности выборки при проведении линейных преобразований, в частности, в спектральной плоскости с применением Фурье-анализа. Неоднородность по отношению к временным или пространственным сигналам можно интерпретировать как нестационарность, которая описывается конечным набором параметров. Все выводы сопровождаются геометрическими и физическими комментариями.

Ключевые слова: фильтр, спектральный анализ, стационарность Key words: filter, spectrum analysis, stationarity

Основой методов решения некорректных задач математической физики являются линейные преобразования, скажем, системы линейных фильтров в теории спектрального анализа, ортогональные вращения при преобразовании матрицы вторых моментов в методе главных компонент и т.д. Без некоторых ограничений на исходные данные применение теории линейных методов даст значимые погрешности в решении. Например, известна взаимосвязь проблемы ложных корреляций и неоднородности выборки в факторном анализе. Другой пример: применение линейных фильтров типа Колмогорова-Винера [1], узкополосных низкочастотных [2], энергетического фильтров для разделения нестационарного сигнала на компоненты может дать на выходе биения, к физическим процессам отношения не имеющие. Опыт показывает, что в ряде случаев параметризация стационарности позволяет дать физическую интерпретацию процессу, генерирующему неоднородности в структуре исследуемого ряда.

Учитывая эти общие положения мы формулируем цели работы:

1. Физическая и геометрическая интерпретация Фурье-преобразования, исследование его связи с методом главных компонент:

2. Описание математической модели квазистационарного и кусочно-стационарного сигнала;

Физическая и геометрическая интерпретация Фурье-преобразования.

В основе физической интерпретации лежат задача о дифракции, описание действия тонкой линзы на распределение комплексных амплитуд и исследование влияния свободного пространства. Все эти термины даны по отношению к элементам оптического Фурье-процессора (рис.1).

Лазер Коллиматор

1 Яковлева А.А., 2012 г.

D

D

Плоскость 1 Плоскость 2 Плоскость 3 (входная) (выходная)

Элементарный оптический каскад

Рис.1 Блок-схема оптического Фурье-процессора.

В плоскости 1 расположен транспарант с распределением комплексных амплитуд светового поля Е(]] ) в точках М(]] ). Требуется найти распределение комплексных амплитуд светового поля в плоскости 3 в точках Р(х, у) . Введем радиус-вектор, соединяющий фиксированную точку Р(х, у) с любой точкой М(]] ) :

\2

Г + (X)2 + (у-X )

D

\ + (х -] )2 + (у-X )2Х

2 О

2D

(1)

где О - расстояние между упомянутыми плоскостями. В соответствии с формулой Френеля-Кирхгофа амплитуда светового поля в точке Р плоскости 3 распределяется по закону:

Лкг

1 р" Е(х, у) = - Ц Е(]] )—С] 4 й s Г

(2)

где 1 - длина волны, к - волновое число. Считаем, что в первом приближении падающий на транспарант лазерный луч имеет круговое сечение, откуда размер области распределения комплексных амплитуд в плоскости 1 задается диаметром этого сечения Е(]] ). Если этот диаметр мал по отношению к расстоянию О , то формула (2) примет вид:

'кО 1к {(х-] )2 + (у-Х )2 }

Е(х,у) = —-И Е(]] ,Х )

11

Если для уравнения (3) принять обозначения

С] с1Х .

ЛкО

А(]] )

Е(]] ,Х), /2] ,Х ) = р2О{(х)2+(у-х)2} ,

(3)

(4)

11 О -р

то (3) приобретает вид свертки этих двух функций. Кроме того, так как вне 5 функция комплексных амплитуд приобретает нулевые значения, то (3) можно записать как

1к

2,2

х + у

2 О

Е ( х, у) =

1кО

( ИЕ(]] )•

,2 О

(]]22) - к]х +Ху)

О

С] сх

(5)

т.е. в виде Фурье-преобразования функции Е(]] )ехр

1к

22

2О

(]2 + Х2)

. Таким образом,

влияние свободного пространства между плоскостями 2 и 3 проявляется в убывании Е(]] ,х) от центра 5 к ее краю по гауссиане.

2

е

е

Разместим в плоскости 2 тонкую линзу, тогда оптическая длина хода луча между плоскостями 1 и 3 будет зависеть от расстояния луча от оптической оси линзы h и от коэффициента преломления ее вещества и . В этом случае г приобретает смысл оптической длины хода луча:

Г = и • l (И) + 10 - l (И) , (6)

где I (Ь) - функция, описывающая распространение луча в линзе и вне ее (на выходе) по отношению к оптической оси линзы, а 10 задает исходное положение точечного источника света на плоскости 1. Тогда при прохождении через оптическую систему фаза комплексного светового поля изменится на величину

а у = k •{и • I(И) + (10 - I^))} , (7)

что справедливо лишь в параксиальном приближении. Отсюда ядро в выражении (3) можно переписать в форме

Е' = Е ■ ехр( ¡Ы0) • ехр^ (и - 1) • I (И)} . (8)

Можно видеть, что амплитуда светового поля при выходе из тела линзы затухает по Гауссу по мере удаления от ее оптической оси. Упростим (8), полагая, что линза - тонкая, тогда согласно [3]

I (^ = 1о -

К-1 К2

1 2 + Х

(9)

2

Учитывая выражение для фокусного расстояния тонкой линзы F 1 = (и - 1)(Я11 - Я21) имеем

Е = Е • ехр{ ¡кл10} • ехр

^ (1 2 + Х 2)

2F

(10)

Выражение (10) показывает, что именно тонкая линза в плоскости 2 оптического каскада выполняет прямое (обратное) преобразование Фурье. Таким образом, последнее физически интерпретируется как пространственно-временные трансформации когерентного излучения, дифрагировавшего на неоднородностях транспаранта.

Для геометрической интерпретации следует обратиться к численному методу, известному как быстрое преобразование Фурье. Р.Отнес и Л.Эноксон в работе [4] показали, что частотный спектр /(а ) ряда /(х) = Х1,..., Xы можно представить в виде

/(а ) = W•f(x) = WpWp-1 ..^/(х) , (11)

т.е. в виде последовательных ортогональных вращений относительно р = log2 N взаимно ортогональных осей.

Квазистационарный и кусочно-стационарный сигнал.

Согласно Бриллинджеру [5] стационарность задается в строгом и широком смысле. В строгом смысле ряд /(х) стационарен, если семейство его и - мерных распределений ( " конечного и ) не является функцией временных (пространственных) координат, т.е. инвариантно во времени (пространстве). В широком смысле стационарность трактуется как неизменность вторых моментов векторного ряда / (х). Иными словами, для любой конечной выборки из наблюденного сигнала дисперсия и математическое ожидание постоянны, а автокорреляционная функция зависит лишь от сдвига и не меняется от выборки к выборке. Можно видеть, что трактовка стационарности в широком смысле сходится с трактовкой однородности выборки в факторном анализе. Определение же стационарности

2

в строгом смысле имеет отношение к постоянству амплитудно-частотного состава сигнала.

Методика опто-электронной обработки исключает выделение на освещаемом лазером участке транспаранта локальных интервалов, на границе которых амплитудно-частотный состав f (х) меняется. В итоге вводим представление о квазистационарном эргоди-ческом процессе. По определению [5] его статистические характеристики, рассчитанные по множеству реализаций, совпадают с характеристиками, полученными для одной представительной выборки. Дадим описание параметров, отвечающих за достоверность оценки спектрального состава f (w ) .

Для любой ограниченной функции a (w ) и стационарного эргодического процесса

с функцией спектральной плотности f (w ) величину

¥

J(a ) = ( a (w ) f (w )dw (12)

- ¥

назовем спектральным средним числом спектрального окна a (w ) . В случае векторного ряда, ограниченного на интервале T, в (12) вводим обозначения JT (a ) и fT (w ) . Основной характеристикой, обеспечивающих достоверность оценки спектрального состава сигнала служит ширина спектрального окна

¥¥

( a (w )dw ( a (w )dw

С (a ) = —-= —-. (13)

maxl a (w )| a (w 0)

В конечном итоге, нам необходимо, следуя принципу среднеквадратичного минимума выбрать такую оценку спектрального окна a (w ), чтобы минимизировать дисперсию оценок спектральной плотности f(w ) .

Пусть заданы ß T (w ) - Фурье-образ функции спектрального окна и RT (w ) - Фурье-образ автокорреляционной функции ряда fT (х) . Тогда существуют два класса оценок

f (w ) =ß t (w )R (w ) - (14)

алгебраическая и экспоненциальная. Для первого класса

ß T(w ) = a *(w / MT) ,

где MT - положительная константа (точка усечения оценки f (w )) такая, что MT ® 0 при T ® ¥ . Для второго класса

ß T(w ) = a *(MT ■ exp{a |w |}), a = const > 0.

Для заданных T и a * оценки f (w ) имеют следующие общие свойства:

1. расстояние от нулевой частоты до точки усечения и ширина спектрального окна обратно пропорциональны;

2. дисперсия оценки и расстояние от нулевой частоты до точки усечения прямо пропорциональны;

3. имеет место фундаментальное соотношение:

-2, ,2я f (a *(w ))2 dw _2/ , {f '(w )}c • (a *)= ^J!-L!ilG(a *) , (15)

Г*

ГТ1 00 ГТ1

T ( a *(w )dw T

т.е. произведение ширины спектрального окна и дисперсии оценки / (а ) - величина постоянная. При c (A ) =const дисперсия оценки пропорциональна коэффициенту G(A ),

откуда оптимально выбирать функцию спектрального окна A * с тт^(а *)}.

При переходе от оптической к цифровой реализации Фурье-преобразования мы хотя и теряем в разрешающей способности сигнала, зато обретаем возможность более детального спектрального анализа при разбиении сигнала на кусочно-стационарные интервалы. Прибегая к методу аналогий, отметим, что разбиение данного состояния системы, под которой здесь понимаем исходный сигнал, на ряд подсостояний стандартен в физике. В частности он применяется в термодинамике при интерпретации уравнения Больцмана, когда динамическое состояние представлялось в виде ячеек, что вводило понятие прерывности состояния данной системы. Рассмотрим параметризацию этой прерывности или в нашем случае - кусочной стационарности.

Непосредственно из представления о стационарности в широком смысле приводят соотношение [6]:

В2 = 2( X - X2)

22 + ^

(16)

Эта безразмерная величина, известная как «обобщенное расстояние», вычисляется при сопоставлении двух выборок из сигнала, соответствующих двум последовательным положениям скользящего интервала оценивания. Числитель в (16) представлен квадратом приращения между значениями математических ожиданий этих выборок, а знаменатель - их средней дисперсией. Очевидно этот параметр пригоден лишь для визуального (качественного) анализа структуры сигнала. При этом открытым остается вопрос о размерах скользящего интервала, т.е. о представительности сравниваемых выборок.

Иной параметр является аналогом линейного коэффициента корреляции и требует рассмотрения взаимно и автокорреляционной функций случайных эргодических процессов

Кг (т) = ]/^-т )Л, Я/ (т) = ]/^)/^ -т ^ .

Предполагая существование двух произвольных констант 0 1 и 0 2 имеем математическое ожидание квадрата суммы двух произвольных функций, для которого

]]

\2 г, 2 Г г2,

м

(0 1 • /^) + 0 2w(t + т))2 = 0 2 (/^ + 20 2 (/^)w(t + т )dt +

+ 0 2 (w2(t + т ^

0 1 0 „

0 ,

Я/ (0) + 2 -± Я^ (т) + Яww (0) > 0. 0 2

(17)

Дискриминант этого уравнения: 4Я^ (т ) - 4Я/ (0)(0) £ 0, на основании чего вво дим функцию коэффициентов корреляции

Я^ (т)

Р >(т) =

Я/ (0^ (0) •

(18)

Однако в случае ограниченных выборок мы оперируем не собственно авто- и взаимно

корреляционными функциями, а их оценками, квадрат ошибки кото

а 2 (Я^ (т) )= м

(Я^ (т) - Я/ь (т))

м

'Я1 (т)

рых задаем в виде

Я2 (т) =

2

^ [ [ {m[ f (u)w(u + т) f (n )w(n + т)]- (т)}dudn =

rpl

T 00

_ = ( Rf (X )RWW (X) + R* (X + т)Rwf (X - т )dx. (19)

T ® ¥ JJ J J

Откуда как частный случай имеем

а 2 (Rff (т)) = 1 ( {Rf (X) + Rff (X + т)Rff (X - т)}dX @ T i К(X )dX . (20)

J- - ¥ J. - ¥

Учитывая (18) выводим формулу для среднего квадрата ошибки в оценке функции коэффициентов корреляции

О (Rf (т)) C ¥ , , rD = 1 ffK Л = —[ Rf(X )dX (21)

Rff (0) Rf (0)

что согласно И.А.Большакову [7] называется «интервал парной корреляции», а согласно С.А.Серкерову [8] - «радиус автокорреляции». В соответствии с определением А.А.Никитина этот параметр физически обозначает интервал (временной или пространственный), в котором значения рассматриваемого ряда f(t) и f(t +т) коррелируемы. Очевидно rD может быть принят как параметр стационарности в строгом смысле, подлежащий количественной интерпретации.

Литература

1. М.Б. Раппопорт - Вычислительная техника в полевой геофизике // М. - 1984. - С. 72-82.

2. А.А. Никитин - Теоретические основы обработки геофизической информации // М. - 1986. - С. 93-104.

3. Р. Кольер и др. - Оптическая голография // М. - 1973. - 686 С.

4. Р. Отнес, Л. Эноксон - Прикладной анализ временных рядов // М. - 1982. - 428 с.

5. Д. Бриллинджер - Временные ряды. Обработка данных и теория // М. - 1980. - С. 28,42.

6. Дж.С. Дэвис - Статистический анализ данных в геологии // М. - 1990. - С. 242-245.

7. И.А. Большаков - Выделение потока сигналов из шума // М. - 1969. - С. 89.

8. С.А. Серкеров - Спектральный анализ в гравиразведке и магниторазведке // М. -1991. - С. 198-212.