Частотные свойства микрополосковых спиралей на многослойных подложках Текст научной статьи по специальности «Физика»

6 декабря 2011 г. 0:03

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

Частотные свойства микрополосковых спиралей на многослойных подложках

Приведены численный анализ плоских микрополосковых спиралей различной геометрии в слоистой среде, основанный на использовании интегродиффервнциалшого и интегрального уравнений первого рода; примеры росчета частотного изменения входного импеданса и характеристик направленности спиралей в зависимости от свойств слоистой среды.

Нам А.Т.,

аспирант кафедры ТЭДиА Чебышев В.В.,

Д.Т.Н., профессор, зав. кофедры ТЭДиА

Микрополосковые спиральные антенны представляют один из основных типов антенн вращающейся поляризации из-за хороших диапазонных свойств и конструктивных достоинств. Они находят широкое применение как в качестве антенн разлтного назначения, элементов фазированных антенных решеток, облучателей зеркальных антенн, так и в технической и медицинской диагностике. Основными признаками таких антенн являются плоская слоистая среда, включая диэлектрическую подложку и укрытие, топология полосковой структуры спирали и условия ее возбуждения. По топологии полосковой структуры принято различать архимедовы и эквиугольные спирали, для анализа которых используются различные подходы.

Цель работы — описание математических моделей для плоских микрополосковых спиралей и исследование на этой основе их частотных свойств в зависимости от параметров спиралей и многослоистой среды.

При анализе микрополосковой спирали естественно выделить расчет тока, наводимого на полосковых проводниках при ее возбуждении. Основой анализа является редукция граничной задачи электродинамики к интегродифференциальному, в общем случае, уравнению для поверхностного тока на полосковом проводнике спирали, которое допускает преобразование к одномерным интег-родифференциальным и интегральным уравнениям первого рода для полного тока спиралей. На этой основе ниже приводится численный анализ характеристик спиралей в многослойной среде и исследуется ее влияние на их частотные свойства.

Рассмотрим следующую задачу электродинамики. В области с плоским слоистым заполнением на одной из границ среды расположена планарная полосковая структура 5^ из тонких ленточных проводников. Среда моделирует свойства подложек и укрытий для Б и характеризуется параметрами е(г), Ц0 Среда может содержать в качестве граничного слоя экран с поверхностным импедансом 1%. Ленточные проводники характеризуются образующей в виде кусочно-гладкой кривой Г и имеют ширину 2с/, кл!« 1, - 2к/К,

X — рабочая длина волны, и длину 21, кф! > 1 Для описания геометрии Г используется ортогональная криволинейная система координат у) с коэффициентами Ламе Ь,, и элементами длины с//=Ь,с&, с/г =* Ь2с^. Вход излучателя представляется в виде щели в полосковой структуре размером 26, к^б « 1. К кромкам щели приложена разность потенциалов Ц при которой в щели устанавливается первичное поле Ер- Предполагая эффективное возбуждение излучателя, расчет поля £° можно провести в квазистат^еском приближении:

Ш

{1,)= - V , •

-Г -/

(1)

Под действием первичного поля на ленточном проводнике 5пр наводится поверхностный ток у (Л/„). Л/„ е Я . Поле (Е, Н), создаваемое этим током, будем характеризовать векторным А и ско-лярным Ф потенциалами. По аналогии с решением задачи для однородной среды, векторный потенциал А для слоистой среды можно представить как

Л(М) = — \\лМ„)6(М.М„)с/о1, . Ате * *

(2)

где М, М. — точки наблюдения и истока, Э (М - Мд) — тензорная функция Грина слоистой среды [ 1 ] с элементами д, в, - Скаляр-

ный потенциал Ф связан с векторным потенциалом А условием калибровки

(ііуА + іохц.Ф = 0.

В матртной форме тензорная функция Грина имеет вид

0 =

С„ О о с„

'к Эе і с

Эх Эу £(г„) 1 Тогда для векторов поля имеем

Е = -£Г(М.1Ф - /соА. Н = — гогА.

К

Подставим (2) в (4) и при М —» 8гр запишем

Ф(М) = —!— \ [сН\Л1 (/(М„)С(М.Л/„))<!а,,. Алох • *

13)

|4)

(5)

16)

да сі м, м„)=с, < л/. м„)+—(м. м,).

42

Используем соотношение СЛ*)= икгас1иС).

Тогда из (5) получим представление:

ф(Л/) = _!— | |у(Л/„)Хпи/ иС(М.М„^аЧш. (7)

где %гас1[ — операция для координат в плоскости 5^.

Другое представление потенциала Ф следует из соотношения

ВгасімС( М. Л/„) = -%гасіи С(М.Л/„) и имеет вид

ФШ) =-------— \ ГУ(Л/„)grмl „ д(Л/.А/,,к/а„ . (8)

Ажоє і у

Поле [Е, Н), определяемое соотношениями (2), (7), (8), (5), удовлетворяет системе уравнений Максвелла, граничным условиям на границах раздела сред и условию излучения на бесконечности. Ус-

48

Т-Сотт, #8-2010

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

ловие на проводнике 5^ вьполняется далее при выводе интегральных уравнений задачи.

Интегральное уравнение задачи

Для узкого полоскового проводника 5^ при к^с! « 1 можно офаничиться представлением поверхностного тока у( М„) = .?"/5 (М, ). М„ € 5^, и потребовать выполнения граничного условия на проводнике в виде

(£+£“.5°)= 0. Мє Г.

кривые. Используя комбинации из фрагментов такого вида, можно составить весьма произвольную микрополосковую структуру.

Указанные интегральные уравнения можно преобразовать к одномерным уравнениям в приближении узкого провсадника 5пр. В распределении тока /5 характерна его особенность на ребре ленточного проводника. Введем понятие полного тока, как интегральной характеристики поверхностного тока /5:

(9)

I

Щ)=~) j,(U\eh

где 5°— единичный вектор, КОСОТвЛЬНЫЙ К КОНТуру Г.

Подотавим (2) и (7) с учетом (3) в (9). Из непрерывности функции Е следует, что при д/ —»5^ составляющая поля (£, ^,) должна стремиться к своему предельному значению. Тогда для указанной составляющей получим уравнение:

j f <Л j£)М. М„)doM„ н

J J п.п.К

lini —г— «-V /і й.ї„

+A J I(л' .л,' )js(M, )G,,(М.M, v!cM„ = -і4шє(E .s').

2(0

M e Г. M € 5,

где ядро уравнения имеет вид

Особенность элементов G0{M, М0),

dg(MM0) Эг

Учитывая условие на ребре, получаем

у5(/./) = /</) 4d:-r.

В указанных интегральных уравнениях можно провести интегрирование ядер ПО ОДНОЙ ИЗ переменных t С весом | yjc/ - / как в [1 ]. При этом возможны дополнительные упрощения ядер за счет членов более высокого порядка малости при t —> 0. Например, для случая кривых Г постоянной кривизны одномерное интегральное уравнение для полного тока /(/) из (11), (12) сучетом (1) имеет вид [2]

j /(/„ )*(/./„ )<//„ = -j^VJ„(b)sin |/|+С sill |/|+С. u»|/| (1 з)

-1 "

(10)

которое является сингулярным интегродифференциальным уравнением первого рода относительно тока js (А/,,). М„ е .

Рассмотрим случай кривых Г постоянной кривизны (Ь^ hj * const). Используя свойства непрерывности интегралов типа потенциала и переходя к пределу в (10) при обозначениях dl^hjds, dt = hjdv, выделяем дифференциальный оператор (Э Э/ + к ). Рассматривая полученное уравнение при А/ € Г, имеем обыкновенное дифференциальное уравнение 2-го порядка. Его решение можно получить, используя известную формулу обращения для выделенного дифференциального оператора. В результате получим интегральное уравнение

sw

~~j £,’(M)sinAr|/-i/|cA/ +Г, sin к! + C: coskl.

С ядром

Kil.L) = (s".sZ\

Gjp)+-

dr L,

(11)

где И' = / е. р = рШ1 . К = у!р: + 2". А#,Л/0еГ.

Алгоритм численного решения интегрального уравнения (13) основан на использовании принципа саморегуляризации. При этом применяется квадратичная интерполяция тока на шаге дискретизации.

Рассмотрим примеры представления элементов тензорной функции Грина для многослойной среды. Имеем случай среды рис. 1 с дипольным источником, расположенным на общей границе в точке % = 0. Отучай горизонтального и вертикального диполей позволяет определить все элементы тензорной функции Грина для данной слоистой среды. Ниже приведены основные выражения для элементов тензорной функции Грина, входящих в ядро уравнения (13).

При^в0, 0 <2<Н2 имеем

” 1 + —J„(лp)c^X,

о;<р)=-

(14)

где

А:ш.М„) = <j". s° ljG„l.V/..U„) + agl‘^A'"lj-~ * ^ ~1 sin t [/ - и| till - QVT (0< г )). |12)

R = yjp2+z:. p = yj{x-x„)2 + (>' - v„ r . П; = ^Л2-k22. k22 = IOyjrn,.

, входящих в

(12) и зависящих от расстояния рм/и0, имеет порядок 0(1/рммо), Рим» ~• 470 характеризует уравнение (11) как интегральное уравнение Фредгольма первого рода. Коэффициенты С,,С^ в (11) определяются из дополнительных условий для тока на концах проводников 5пр. Отметим, что интегральное уравнение (11) используется для анализа микрополосковых структур с кривыми Г постоянной кривизны, к которым относятся линейные, кольцевые и экеиугольные

/са)=яо"

+Rl»e-W:.

I + *IV:4"

1 -Л/4'V2"" I +

1

Коэффициенты отражения и в выражении (14) определяются по методике [2]. При численном интегрировании в (14) предполагается возможность ограничения верхнего предела в несобственных интегралах. Действительно, для подынтегральной

T-Comm, #8-2010

49

ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА

СЛИРАЛЬ_

ПОДЛОЖКА

Н2

Диаграмма направленное™ Чквиуголыов спирал»..л,.£:ж3.8 2.-0 ----/ 4 I

ШШр

ЭКРАН

0 — 5

*1 0 1»2

400>М 'Лсенупмьная спираль.*:,.^-3,8

--к«/| /

--1т(/М0:

Ш Л/\ 1

> у X _

а)

б)

1. Слоистая среда с экраном, нагруженным на поверхностный импеданс г%

Рис. 2. Диаграмма направленности (а) и графжи изменения входного импеданса (6) эквиугольной спираги для слоистой среды £] = £2 = 3,8 с экраном в чостотном диапазоне

функции /^(А.) имеем асимптотику 0( 1 Я"). Я —» оо' что обеспечивает сходимость несобственного интеграла. Представляет интерес так же элемент тензора / Эг . Указанный элемент удобно представить при г-0 в виде

&<_*> _ Ь^.с0(р)+|/,(ЯЦ,( Хр)еЛ

д:

£, +£„

(15)

К_

Ч

£:-с, 1 + к;г' + к;-{\ + к;г к‘ --’ £:+£, 1-Щ"%н'е-2*н

ъ К"' -Л,,Я,(1 + К" ’ )е':"" л +

Г), Я,1,41 - Я,'£)(1 + Л,',£| )е~2,,н

+ А \-Я1ЕХ>Е]е-2^^ '

Тогда имеем асимптотику функции /,<Я)=0(1/Я:).Я-»0 и сходимость несобственного интеграла, что позволяет ограничить верхний предел при численном интегрировании.

Результаты численного исследования

Геометрия двухзахсадной эквиугальной спирали описывается соотношениями [1]:

г(ф) = 6ехр(жр), г,(<р) = />ечр[о(<р+7Г)]. = I а,/ = г(^>)[схр(2яа)-1].

/?с„ = />с\р(2Л'тгя).

Для ленточного проводника спирали выполняются условия Лб < [* = Ь(ехр2ла - 1)], а, Ь — параметры спирали; у — угол намотки; I — шаг спирали; N — число витков; Ясп — радиус спирали; 26 — ширина ленточного проводника; 2Ь — размер щели на входе.

Численный анализ спирали проводится на основе (12). Ниже приведены примеры росчета частотного изменения характеристик микрополосковой двухзаходной эквиугольной спирали с параметрами о = 0,01, Ь = 0,1 ЗХ, с размером ленточного проводника с*»0,01Хв слоистой среде с параметрами Н * 0,1ЗХ, Н, * 0.03А,, н2■0.03Х, е = е2.

На рис 2 показано изменение диаграммы направленности спирали на трех чостотах ^ 5^, 9^ (кривые сплошная, пунктирная, штриховая соответственно) исследуемого частотного диапазона. Следует отметить некоторое улучшение частотных свойств спирали и уменьшение входного импеданса в зависимости от £ подложки при использовании экрана с чисто емкостным поверхностным импедансом, реализация которого предполагает построение дополнительной структуры.

Показано, что использование многослойных сред образующих подложку и укрытие микрополосковых спиралей позволяет получить широкодиапазонные спиральные излучатели и изменять их частотные свойства введением импедансного экрана с емкостным поверхностным импедансом.

Литература

1 Чебышев ВВ. Расчет и проекп^хэвс»#1е микрополосковых антенн СВЧ - М.: МИРЭА, 2000. - 120 с

2 Чебышев ВА, Марку» КС Расчет печатного спирального излучателя. — Сб. Антенны, 1988. — 3 с

50

Т-Сотт, #8-2010