Частотные характеристики индуктивно-ёмкостной цепи Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 544.6.001.57:621.372.43

ЧАСТОТНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ИНДУКТИВНО-ЁМКОСТНОЙ ЦЕПИ Н.А. СЕКУШИН

Институт химии Коми научного центра УрО РАН, г. Сыктывкар sekushin-na@chemi.komisc.ru

Представлены результаты теоретического исследования частотных зависимостей емкости Cu(ro) и проводимости сти(<в) индуктивно-ёмкостной цепи (ИЕЦ). Показано, что в зависимости от соотношения между величинами элементов, входящих в схему ИЕЦ, существует 12 визуально различимых видов Cu(ro) и сти(ю). Установлено, что особые точки по-разному располагаются относительно друг друга, часть из них или все могут отсутствовать. Предложено отображать состояние ИЕЦ на р/-плоскости, где р и / - безразмерные параметры, зависящие от элементов ИЕЦ. Определены уравнения границ, разделяющих р/-плоскость на 12 зон. Приведен пример использования ИЕЦ для моделирования процесса запаздывания тока по отношению к напряжению.

Ключевые слова: индуктивно-емкостная цепь, частотные характеристики двухполюсника, емкость, проводимость, индуктивность, электрохимический импеданс, электрическая эквивалентная схема

N.A. SEKUSHIN. FREQUENCY CHARACTERISTICS OF INDUCTANCE-CAPACITANCE NETWORK

The results of theoretical studies of the frequency dependencies of the capacitance Cu(ro) and conductivity ctu(<b) of inductance-capacitance network (ICN) are presented. The aim of the work was to determine the frequency at which Cu(ro) and CTu(ro) have an extremum (maximum or minimum), as well as the frequency of inversion of the sign of the capacitance where Cu(<»)=0. The above singular points on the frequency scale can serve as benchmarks that facilitate the construction of electrochemical equivalent circuits when processing data impedance spectroscopy. It is shown that depending on the ratio between the values of the elements included in the scheme ICN, there are 12 visually distinct species Cu(ro) and the ctu(<b). It is established that the singular points are differently located relative to each other, some or all of them may be missing. It is proposed to display the status of the ICN on the р/ -plane, where р and / are dimensionless parameters that depend on elements of the ICN. Equations of the boundaries separating the p/-plane into 12 zones are defined. Example of the use of ICN for modeling the delay of current with respect to voltage is given.

Keywords: inductance-capacitance network, frequency dependencies of the network, capacitance, conductivity, inductance, electrochemical impedance, electrical equivalent circuit

Введение

Электрические эквивалентные схемы (ЭЭС) широко применяются при моделировании механических [1], радиотехнических [2] и электрохимических [3-5] систем. При исследовании биологических объектов электрическими методами также нередко строят ЭЭС [6]. В электрохимических ЭЭС используют как известные радиотехнические элементы: резисторы (Я), конденсаторы (С), так и ряд элементов с распределенными параметрами: импедансы Варбурга и Геришера, элементы постоянной фазы и другие [4, 5]. Что касается индуктивности (I), то

существует общее мнение о нецелесообразности использования этого элемента при построении электрохимических моделей. Принято считать, что индуктивность связана с наличием магнитного поля, которое пренебрежимо мало, так как при исследовании применяют слабый электрический ток. В электрохимических системах энергия накапливается в виде электрического и магнитного полей, а также иногда в виде химических структур [4, 5]. Последние образуются на границе электрод - электролит при определенной полярности напряжения. При противоположной полярности идет распад этих структур с выделением свободных носителей заря-

да. Этот электрохимический процесс, как правило, идет с запаздыванием. Вследствие этого при измерении импеданса данной ячейки может быть зарегистрирована индуктивность (или отрицательная емкость). Для учета данного эффекта в ЭЭС было бы целесообразно ввести элемент, который можно назвать «электрохимической индуктивностью». Однако в настоящее время большинство исследователей для моделирования таких процессов вводят в ЭЭС отрицательные емкости (-С). Периодически возникают дискуссии о физическом смысле «-С». По мнению автора, этот элемент является математической абстракцией. У любого элемента дол-жна быть строго определена связь между током и напряжением в виде алгебраического или дифференциального (иногда в частных производных) уравнения. Такая связь для элемента «-С» неизвестна. Вследствие этого не ясно, как проводить расчеты электрических цепей, в которых имеются «-С».

В работе [7] для моделирования задержки электрического тока, проходящего через межзерен-ную границу в поликристаллических полупроводниках, мы, вопреки общепринятому в электрохимии подходу, ввели в эквивалентную схему индуктивность. Для частотной области, где наблюдается эффект запаздывания тока, была предложена ЭЭС в виде индуктивно-емкостной цепи (ИЕЦ), схема которой изображена на рис. 1а.

Rl

С

Си

а)

R2

L

б)

Рис. 1. Схемы двухполюсников: а - индуктивно-емкостная цепь (ИЕЦ); б - параллельная схема замещения образца.

Параметры ИЕЦ (Д1, Д2, С и Ь) можно определить из импеданс спектров с помощью программы ZView. Эта программа осуществляет варьирования параметров двухполюсника, рассчитывает теоретическое значение импеданса и находит ошибку. Как только достигается минимум ошибки, расчет заканчивается. Однако из-за присутствия в экспериментальных данных шумов может оказаться несколько локальных минимумов ошибки. В этой связи необходимо максимально сужать область варьирования параметров двухполюсника и уметь оценивать правильность расчетов независимым способом. Для этого нужно знать свойства ИЕЦ. В настоящей работе нам удалось провести анализ ИЕЦ достаточно оригинальным способом, который при построении теории других ^^двухполюсников ранее не использовался. В качестве основных характеристик ИЕЦ взяты частотные зависимости емкости Си(ю) и проводимости аи(ю), где подстрочный индекс «и» означает, что при расчете этих величин или их измерении с помощью моста переменного тока использована параллельная схема замещения (рис. 1б).

Показано, что функция си(ю) может иметь один экстремум на частоте юст. Функция Си(ю) может один раз изменить знак на частоте апу, а также иметь один экстремум на частоте юс. В первом разделе статьи приведены вывод и первичный анализ уравнений, позволяющих определить юст, ас и Во втором - предложено геометрическое построение в виде р//-плоскости, что позволило провести более глубокий анализ ИЕЦ. В третьем разделе уточнены свойства особых точек (шст, ас, апу), имеющихся на кривых Си(ю) и си(ю). В результате проведенного анализа было выявлено 12 экспериментально различимых видов ИЕЦ. Кроме этого, определены уравнения границ, отделяющих один вид ИЕЦ от другого на р//-плоскости. Это позволяет проводить первичный анализ экспериментальных данных. В частности, имея результаты измерений в виде кривых Си(ю) и си(ю), можно на основе проведенных расчетов быстро определить не только соответствие экспериментальных данных ИЕЦ, но и ограничения, накладываемые на параметры р и /.

Определение частот особых точек на зависимостях Сц(ю) и стц(ю)

Функции Си(ю) и си(ю) для ИЕЦ имеют следующий вид [8]:

1 «V 1 1

R1 о т2 +1 R2 ю2т22 +1

С =

1

1

Д оТ? +1 Д2 (о Т?2 +1 Ь

(1)

(2)

где т = НС- т =— - постоянные времени.

1 152 д?

Из соотношений (1, 2) получим уравнения, связывающие параметры ИЕЦ с частотами особых точек. Для нахождения экстремумов необходимо продифференцировать (1) и (2) по частоте. Приравняв производные к нулю, получаем уравнения для нахождения частот шст и ас:

1

1

Д («Т +1)2 Дг(о>1 +1)

2 '

1

1

(3)

(4)

Д («ТТ +1)2 Д2 («т? +1)2

Уравнение для нахождения частоты «пу най дем из выражения (2):

1

1

(5)

Д «Т +1 д «Т +1'

Следует обратить внимание на присутствие во всех уравнениях (3 - 5) одной и той же функции частоты:

2

2

3

3

1 1

f (а) =

т2(ю2т12 +1) _ т

т1(а т2 +1) т

= ^(1 + -

1

-) = ß\1 +

1" ß

а2т2 + ß2 (6)

5), воспользовав-

(7)

(8) (9)

т

где ß = —L - параметр ИЕЦ. Т2

Упростим уравнения (3 -шись функцией (6):

л/р = f (ао ) ,

Jpß = f (ас ) , р = f (а),

где р = - параметр ИЕЦ.

Таким образом, взаимное расположение особых точек ИЕЦ относительно друг друга зависит только от параметров р и ß, что существенно облегчает задачу.

Дальнейший анализ уравнений (7 - 9) проведем графическим методом. Функция f(a>) не имеет экстремумов, так как является суммой константы и гиперболы. Предельные значения этой функции равны:

limf(ffl) = 1; lim Да) = ß. (10)

а^0 ß а^да

Из (10) следует, что при ß > 1 функция f(a) монотонно растет, а при ß < 1 - монотонно падает.

Оба типа функции f(a) в приближенном виде изображены на рис. 2, где на горизонтальных осях (сверху и снизу) отмечены частоты, а на вертикальных осях - безразмерные величины, входящие в

левые части уравнений (7 - 9): ^[р,^pß, р . На

рис.2 для каждого из этих параметров ИЕЦ проведена горизонтальная пунктирная линия. Если эта

a

ао

ас

ß

р

р р

ß

а) b)

Г

2 /г

1 г

г

линия пересекает кривую Дю), то соответствующая особая точка существует. Опуская перпендикуляры на ось абсцисс из точек пересечения, обозначенных на рис. 2 цифрами 1 - 3, находим частоты особых точек. На рис. 2 отражены четыре частных случая, когда все особые точки присутствуют. В графиках а и с использованы левая и нижняя оси, а в графиках Ь и d - правая и верхняя оси системы координат. Вместе с тем часть или все особые точки могут отсутствовать, поэтому необходимо провести более подробный анализ всех возможных видов ИЕЦ.

Уравнения границ зон на р/7-плоскости

Результаты дальнейшего анализа ИЕЦ собраны в табл. 1. Известно, что для трех объектов:

VРР , у[р, Р существуют шесть перестановок. Поэтому в столбце 1 имеется шесть ячеек, в каждой из которых приведено неравенство, характеризующее данный вид ИЕЦ.

Для дальнейшего анализа рассмотрим систему координат, у которой по оси ординат будем откладывать р, а по оси абсцисс - р. Таким образом, получаем плоскость параметров ИЕЦ или рр-плоскость. Приведенные в столбце 1 неравенства задают области рР-плоскости, границы которых нам необходимо определить. Неравенства в столбце 1 можно упростить, если воспользоваться следующими правилами:

Если ^ррР >т[р, то Р > 1.

Если д/рР <^/Р, то Р < 1.

Если р > ^/р, то р> 1. (11)

Если р<л/р, то р< 1.

Если трЗ > р, то Р > р.

Если д/рР < р, то Р < р.

(о

а

ас

1 ß

ß

р р р р

1 ß ß

С) d)

1 L J_

2

4_

1

ß р

р р ß

ао

а

ас

(in

ао

ас

А) Б)

Рис. 2. Графики функции Дю) при р > 1 (А) и р < 1(Б). Более подробное описание приведено в тексте.

2

2

т

а +

2

2

Z

2

Таблица 1

Определение границ зон на р^москост

№ вида ИЕЦ Перестановки параметров ИЕЦ Положение на р^-плоскости Сравнение па с предельным функции / раметров ИЕЦ и значениями й) (рис. 2) Уравнения границ зон на рР-плоскости Номер зоны на рис. 3 Присутствие особых точек в зоне

Позиции линий Детализация Сверху Снизу

1 2 и 3 4 5 6 7 8

1 р>$ >л> Р > 1; р> 1; р> Р № > Р;[р > р а) ^ > Р нет р-Р1 4 нет

Ь)^р < р р-Р1 р-р 5 )

2 и Ир > р>[р Р > 1; р> 1; р< Р Ир < Р;1Р > рр р = Р р-- 1 6 ) > ) > )

3 1рР >[р > р Р > 1; р< 1; р< Р 1рР < Р а) р> 1 Р р-1 1 р-р 7 йс > ) > )

Ь) р<~;[р >1 Г Р 1 р--р 1 Р1 8 ) > )

с) [р < > рР 1 р1 1 р7 9 )

р < Р 1 р7 нет 10 нет

4 р>[р >1Р Р < 1; р> 1; р> Р № > Р а) р< 1 Р 1 р--р р-- 1 1 йс > ) > )

Ь)р>-;[р <1 Г Р 1 р1 1 р-р 2 и ) > )

> < р 1 р-т рР 1 рР 3 )

«р > Р нет 1 р-т рр 4 нет

5 1р > р>№ Р < 1; р< 1; р> Р ЛР > Р;[р < рр р- 1 р--Р 12 йс > ) > )

6 >$ > р Р < 1; р< 1; р< Р 1рР < Р;[р < рр а) > Р р-Р р-рр 11 )

Ь) [р < р р-р' нет 10 нет

С помощью соотношений (11) определены области рР-плоскости для каждого вида ИЕЦ, что отражено во втором столбце табл. 1.

На рис. 2 представлены четыре частных случая, когда все параметры ИЕЦ: д/РР, д/р, р оказались по величине между предельными значениями функции /(ю): Р и Р"1. Вместе с тем рассматриваемые параметры ИЕЦ могут выходить за указанные пределы. Сравнение параметров ИЕЦ и предельных значений функции /(ю) выполнено с помощью неравенств из столбцов 1 и 2 (табл.1) и соотношений (11). Результаты этого анализа помещены в столбец 3 табл. 1. У второго вида ИЕЦ наибольший параметр (л/рР) меньше максимального

значения /(ю) (Р), а наименьший параметр (д/р)

больше минимального значения 1(ю) (Р"1). Следовательно, в этом случае будут существовать все три особые точки, что и показано на рис. 2 (система координат а).

У ИЕЦ третьего вида наибольший параметр

(VРР ) меньше максимального значения /ю) (Р) (столбец 3). Это означает существование верхней границы параметров ^рР , д/р, р . Вместе с тем,

из неравенств, находящихся в первых двух столбцах табл. 1, не следует каких-либо ограничений на нижнюю границу этих параметров. Таким образом, по мере уменьшения параметров возникает четыре частных случая, что и отражено в столбце 4 табл. 1. В случае 3а наименьший параметр больше минимального значения /(ю). Следовательно, здесь будут наблюдаться все три особые точки, что показано на рис. 2 (система координат Ь). В случае 3Ь (столбец 4, табл. 1) наименьший параметр ИЕЦ меньше, а средний параметр больше минимального значения /(ю). Здесь пропадает точка инверсии остаются лишь экстремумы проводимости и емкости. В частном случае 3с средний параметр ИЕЦ меньше минимального значения /(ю), а старший параметр ИЕЦ больше этого значения. Из рис. 2 (система координат Ь) следует, что в этом случае будет присутствовать только экстремум емкости. И, наконец, в случае 3d (табл. 1) все параметры ИЕЦ меньше минимального значения /(ю), что означает отсутствие особых точек в этой зоне.

Точно таким же образом можно проанализировать ИЕЦ четвертого вида. Случай 4а изображен на рис. 2 (система координат с). Здесь имеется нижняя граница параметров ИЕЦ и отсутствует верхняя граница. Таким образом, при увеличении параметров ИЕЦ сначала пропадет точка инверсии емкости, затем экстремум проводимости и далее исчезнет экстремум емкости.

У ИЕЦ пятого вида верхняя и нижняя границы

параметров д/рР, д/р, р оказываются между предельными значениями /(ю), что свидетельствует о присутствии всех особых точек в этой зоне рР-

плоскости (рис. 2, система координат СС). Анализ показал, что первый и шестой виды ИЕЦ разбиваются на два подвида. Таким образом, из столбца 4 табл. 1 следует, что на рР-плоскости можно выделить 14 зон, различающихся по особым точкам ИЕЦ.

Уравнения границ зон можно найти из неравенств, помещенных в столбцах 2 и 4 (табл. 1). Если имеются два неравенства, указывающие ограничение (сверху или снизу), то необходимо брать наиболее сильное из них. Результаты этого анализа обобщены в столбцах 5 и 6 (табл. 1), где приведены уравнения верхней и нижней границы зоны для каждого подвида ИЕЦ.

На рис. 3 изображена рР-плоскость ИЕЦ с границами зон, уравнения которых взяты из табл. 1 (столбцы 5 и 6).

2,0

1,5

1,0

0,5

Р

А ВС

D

Е

0,0

0,0

0,5

1,0

1,5

2,0 Р

Рис. 3. рР-плоскость состояний ИЕЦ. Показаны 6 пограничных линий:

A) р = —; В) р = -1-; С) р = Аг;

Р Р Ръ .

B) р = Р2; Е) р = Р; F) р = 1

В столбце 7 (табл. 1) и на рис. 3 приведены номера 12 зон. Подвиды ИЕЦ 1а и 4d образовали одну зону 4, не имеющую верхней границы. Точно так же подвиды 3d и 6Ь сформировали зону 10, которая не имеет нижней границы. Таким образом, число зон уменьшилось на два. В столбце 8 табл. 1. приведены сведения об особых точках и их частотах. Следует отметить, что проведенный анализ не является полным, поскольку не содержит информации о типах экстремумов емкости и проводимости (максимумах или минимумах). Вследствие этого в столбце 8 табл. 1 имеются одинаковые соотношения между частотами особых точек.

Дополнительные свойства особых точек

Найдем область частот, в которой си(ю) монотонно растет. В этом случае производная а'и (ю) > 0 . Из уравнения (7) получаем неравенство:

/(ю) <д/Р . (12)

К

Соответственно, область частот, в которой сти(ю) монотонно падает, будет определяться неравенством:

/С) >т[р . (13)

На основе (12) и (13) определим вид экстремумов проводимости. Для этого воспользуемся рис.

2. На рис. 2А согласно (12) проводимость в области низких частот монотонно нарастает, а на рис. 2Б согласно (13) проводимость на низких частотах монотонно падает. Следовательно, если р >1, то на зависимостях си(ю) все экстремумы будут максимумами. При р <1 все экстремумы проводимости являются минимумами.

Аналогичным способом найдем области частот, в которых Си(ю) монотонно растет. В этом случае производная С'и (с) > 0 . В результате уравнение (8) превращается в неравенство:

/(с) >^рр . (14)

Частоты, при которых Си(ю) монотонно падает, находим из неравенства:

/(с) <7^ . (15)

С помощью (14) и (15) определим сначала вид экстремума на Си(ю) (рис. 2А). Слева от точки

3, в соответствии с (15), емкость монотонно падает, а справа, в соответствии с(14), она монотонно растет. Следовательно, если Р>1, то на зависимостях Си(ю) все экстремумы будут минимумами. Аналогичный анализ графика на рис. 2Б позволяет сделать обратный вывод. Если Р<1, то на зависимостях Си(ю) все экстремумы будут максимумами. Следует также отметить, что а>с всегда больше соа и йпу.

В итоге проведем анализ знака емкости. В области частот, где Си>0, из (9) получаем неравенство: /(с) < р. Область частот, где Си<0, будет определяться неравенством: / (с) > р. Таким образом, при увеличении частоты знак емкости меняется с плюса на минус, если р >1 и с минуса на плюс, если р <1.

Окончательные результаты анализа частотных свойств ИЕЦ обобщены в табл. 2.

Заключение

Проведенный анализ показал, что двухполюсник ИЕЦ является универсальным элементом, который может быть как емкостью, так и индуктивностью. При т -Т2 и R1 - R2 - R ИЕЦ представляет собой чисто активный элемент (резистор), сопротивление которого равно Я Кроме этого, с помощью ИЕЦ можно моделировать запаздывание тока. Известно, что адмиттанс идеального запаздывающего элемента имеет следующий вид [7]:

Y(}с) - k ехр(-}Ст), (21)

где к - константа с размерностью проводимости,} -мнимая единица.

Таблица 2

Свойства функций Си(ы) и аи(ы) в зонах на pß - плоскости (рис. 3)

Номер зоны Знак емкости (ю) Экстремум емкости С(ю) Вид зависимости

1 С<0 при ю^0; С>0 при ю^х Максимум Имеет минимум о. < со mv a min

2 С>0 при любых ю Максимум Имеет минимум

3 С>0 при любых ю Максимум Монотонный рост

4 С>0 при любых ю Монотонное падение Монотонный рост

5 С>0 при любых ю Монотонное падение Имеет максимум

6 С>0 при ю^0; С<0 при ю^х Минимум Имеет максимум О mv >

7 С>0 при ю^0; С<0 при ю^х Минимум Имеет максимум О mv <

8 С<0 при любых ю Минимум Имеет максимум

9 С<0 при любых ю Минимум Монотонное падение

10 С<0 при любых ю Монотонный рост Монотонное падение

11 С<0 при любых ю Монотонный рост Имеет минимум

12 С<0 при ю^0; С>0 при ю^х Максимум Имеет минимум °inv > °<xmm

Примечание. тах и ®сттт - частоты, на которых

наблюдается максимум и минимум проводимости, соответственно.

Левую часть в (21) запишем для параллельной схемы замещения (рис. 1б), а экспоненту в правой части (21) преобразуем по формуле Эйлера:

У(}й) = ои + }юСи - к соб(от) - }к бшот). (22) Из (22) вытекают частотные зависимости Си и

Си :

к бш сот

C„ = -

ст„ = k cos ОТ.

(23)

С

При ю=0 емкость отрицательна и минимальна, а проводимость положительна и максимальна. При увеличения частоты Си (с) растет, а ии(ю) -

падает. Подобный вид зависимостей Си(ю) и ии(ю) реализуется на границе 8 и 9 зон рР-плоскости, что следует из табл. 2. Таким образом, с помощью ИЕЦ можно в небольших пределах моделировать запаздывание тока. Важно отметить, что переходы «резистор - конденсатор - индуктивность - запаздывающий элемент» происходят без изменения структуры ЭЭС. Это позволяет моделировать с помощью ИЕЦ электрические свойства поликристаллических материалов со сложным характером проводимости в широком температурном диапазоне. В противном случае потребовалось бы менять структуру эквивалентной схемы при переходе от одной температуры к другой.

Исследования выполнены при финансовой поддержке РФФИ, проект № 15-03-09173А.

Литература

1. Джонсон Р. Механические фильтры в электронике. М. : Мир, 1986. 406 с.

2. Манаев Е.И. Основы радиоэлектроники. M.: Радио и связь, 1985. 504 с.

3. Графов Б.М., Укше ЕА Электрохимические цепи переменного тока. М.: Наука, 1973. 128 с.

4. Lasia A. Electrochemical Impedance Spectroscopy and its Application. Springer: New York, 2014. 369 p.

5. Barsoukov E., Macdonald J.R. Impedance Spectroscopy: Theory, Experiment and Application. Wiley - Interscience. 2005. 606 p.

6. Grimnes S, Martinsen O.G. Bioimpedance and Bioelectricity Basics. Academic Press. 2000. 360 p.

7. Секушин НА., Истомин П.В., Рябков Ю.И., Голдин БА Электрические свойства керамики, синтезированной из ильменитсодержаще-го природного сырья // Известия Коми научного центра УрО РАН. 2012. №2(8). С. 20-28.

8. Секушин НА. Двухчастотный критерий присутствия индуктивной составляющей в импедансе электрохимической ячейки // Электрохимия. 2010. Т. 46. № 3. С. 362-370.

References

1. Johnson RA. Mekhanicheskie filtry v elektri-nike [Mechanical filters in electronics]. Wiley-Interscience. New York, 1983. 390 p.

2. Manaev E.I., Osnovy radioelektroniki [Principles of Electronics], Moscow: Radio i Svyaz. 1985. 504 p.

3. Grafov B.M., Ukshe EA., Elektrohimicheskie tsepi peremennogo toka [Electrochemical AC Circuits], Moscow: Nauka, 1973. 128 p.

4. Lasia A. Electrochemical Impedance Spectros-copy and its Application. Springer: New York, 2014. 369 p.

5. Barsoukov E., Macdonald J.R. Impedance Spec-troscopy: Theory, Experiment and Application. Wiley - Interscience. 2005. 606 p.

6. Grimnes S., Martinsen O.G. Bioimpedance and Bio-electricity Basics. Academic Press. 2000. 360 p.

7. Sekushin NA, Istomin P.V., Ryabkov Y.I., Gol-gin BA Elektricheskie svotstva keramiki, sin-tezirovannoi iz il'menitsoderzhaschego prirod-nogo syrya [Electrical properties of ceramics synthesized from natural ilmenite-containing raw materials]//Proc. of the Komi Sci. Centre, Ural Branch, RAS. 2012. № 2(8). P. 20-28.

8. Sekushin NA. Dvukhchastotnii kriterii pris-utstviya induktivnoi sostavlyayuschei v im-pedanse elektrokhimicheskoi yacheiki [Two-Frequency Criterion of the Presence of Inductive Component in the Electrochemical Cell Impedance] // J. Electrochem. 2010. Vol. 46. № 3. P. 345-353.

Статья поступила в редакцию 15.04.2015.