CC BY
11
AZЭRBAYCAN К1МУА ШШЛЫ № 2 2014
99
УДК 621:3.035.222.7.:621.317.335.3
ЧАСТОТНАЯ ПОЛОСА ПРОСВЕТЛЕНИЯ ПЛОСКИХ ДВУХСЛОЙНЫХ
ПРОЗРАЧНЫХ СРЕД
С.Р.Касимова, Р.М.Касимов
Институт химических проблем им. М.Ф.Нагиева Национальной АН Азербайджана
kasimovr@yahoo.com
Поступила в редакцию 10.04.2014.
Получено выражение для относительной частотной полосы безотражательного прохождения электромагнитного излучения через плоскую двухслойную прозрачную систему.
Ключевые слова: электромагнитные волны, полоса прохождения волны, прозрачные среды.
Просветление полубесконечной непоглощающей диэлектрической подложки является хорошо изученной задачей. Так, согласно классическим работам [1, 2], для плоской непоглощающей двухслойной системы, состоящей из регулируемого по толщине I слоя покрытия и полубесконечной подложки, безотражательному прохождению нормально падающей на нее плоскополяризованной электромагнитной волны соответствуют условия
I 2И-1 2
^ 4
п1 = п2, (1)
где п, п1 - коэффициенты преломления волны соответственно веществ покрытия и подложки; X , Хй = Х/п - длина волны падающего излучения в вакууме и веществе покрытия; N = 1, 2, 3, .... - величины, определяющие число четвертьволновых толщин в слое просветляющего покрытия.
В литературе отсутствует теоретическое определение частотной полосы, в пределах которой выполняются условия просветления (1), хотя в работе [1] экспериментально указано на ее снижение с увеличением требуемой толщины просветляющего слоя покрытия. В этой связи представляет практический интерес оценка частотной полосы просветления в зависимости от толщины слоя покрытия, оптических свойств веществ, составляющих двухслойную непоглощающую систему, и направления прохождения через нее электромагнитного излучения
Физическая модель. Оценку частотной полосы просветления проведем для случая прохождения электромагнитной волны через покрытие из вакуума в подложку (прямая задача А) и из подложки в вакуум (обратная задача В). Коэффициенты отражения волны в обеих задачах равны
Р =
7ВХ 7 0
7 ВХ + 7 0 7 ВХ -
7 ВХ +
для задачи А
, (2)
для задачи В
где Z0 , Z1 = Zo/n1 - волновые сопротивления вакуума и вещества подложки.
Входящие в уравнения (2) входные сопротивления ZВx рассматриваемых двухслойных систем, определенных на границе раздела покрытия и исходной среды распространения волны, равны соответственно
100 ЧАСТОТНАЯ ПОЛОСА ПРОСВЕТЛЕНИЯ ПЛОСКИХ ДВУХСЛОЙНЫХ
7 -
7ВХ -
7—- для задачи А
7 + 711Ъ(у1)^ , (3)
для задачи В
7 7о + 7&(у1)
7 + 70Ш(у/)
где 2 = 20/п , у = /2лп/Х - волновое сопротивление и постоянная распространения волны в веществе покрытия, г - мнимая единица.
Введем обозначения Шал = 21/2 (для задачи А) и = 2012 (для задачи В). Подставим в них значения волновых сопротивлений сред. Получим ал = 0.51и(1/г1), ад = 0.51п(1/г0), где г1 = (п1 - п)/(п1 + п), г0 = (п - 1)/(п + 1) - соответственно модули коэффициентов отражения волны от границы раздела покрытие-подложка и подложка-вакуум. Учтем также, что у/ = /2лх, где х = //Х^ Тогда входное сопротивление 2вх, приведенное к волновому сопротивления вакуума 20, будет равно
7вх - 7 (Е + Р) -<
2$й(<хА + ;2тсх) для задачи А 71
—Ш(ав + Иш) для задачи В , (4)
где Е и ^ - вещественная и мнимая части приведенного к 20 входного сопротивления двухслойной системы рассматриваемого варианта задачи. Модуль коэффициента отражения волны
Р - в
Ч р+в'
где Р = Е2 + ¥2 + 1; д = 2Е.
Введем обозначение: К = Р/0. При заданных значениях толщины /0 слоя просветляющего покрытия и длины волны Х0 падающего излучения оценим изменение величины р в области малых отклонений Х от Х0 и в предположении постоянства оптических параметров системы в пределах этих отклонений. Разложим функцию в ряд Тейлора при Х = Х0 и ограничимся учетом лишь трех первых членов разложения вблизи Х0:
1 9
V - Уо + (V)о(^о) +1 (V")о(^о)2
где V - в~\Р'в - в'Р), V" - в \Р"в - в"Р) - 2в ЧР'в - вР).
При Х = Х0, когда выполнимо условие просветления подложки системы, Р0 = 00. В
итоге
V -1 [(£' )2 + (Р )2 ] (^о)2,
где Е", р" - производные по Х вещественной и мнимой частей входного сопротивления системы при Х = Х0.
Малые отклонения Х от Х0 сопровождаются незначительным изменением величины р по сравнению с его нулевым значением в условиях просветления подложки. Учтем симметричность изменения р вблизи Х0 и то, что интервал изменения длины волны - АХ, в пределах которого коэффициент отражения волны р не превышает некоторого заданного граничного значения рг. Получим следующее уравнение:
С.Р.КАСИМОВА, Р.М.КАСИМОВ
101
AÀ= . 4Р г =. (5)
.¡(В ')02 + ( F ')02
С учетом принятых обозначений преобразуем выражение (4) для входных сопротивлений. Получим
7
7ВХ = E + iF И Zo
1 sh(0aA ) + i sin(4nx)
для задачи
n ch(0aA ) + cos(4nx) , (6)
для задачи В
n1 sh(0aB ) + i sin(4nx)
n ch(0aB ) + cos(4nx)
Производные функций E и F по X будут соответственно равны: 4nl sh(0aA )sin(4nx)
dE dÀ
dF dÀ
для задачи А
À0 [ch(0aA ) + cos(4nx)]0 (7)
4тг1 sh(0aB ) sin(4 nx)
À0 [ch(0aB ) + cos(4nx)]
4nl [l + ch(0aA )cos(4nx)] À2 [ch(0aA ) + cos(4nx)]0 " "" (8)
4®nl [l + ch(0a )cos(4nx)] À [ch(0a ) + cos(4nx)]0
для задачи В
для задачи А для задачи В
В соответствии с условием просветления (1) при Х= Х0 х=(2^1)/4. Тогда sin(4яx)=0, cos(4яx) = -1 и Е = 1, Е = 0 , а из выражения (6) имеем
п(Л(2аА) -1) = sh(2aА) для задачи А , (9)
п(Л(2аВ) - 1) = п^(2аВ) для задачи В. (10)
Производные Е'0, ^ с учетом выражений (9) и (10) будут иметь вид:
Е' = 0, Е'= —-1- для задачи А, (11)
0 0 л2 оЬ(2аа )-1
4nn1l 1 À0 ch(0a в ) -1
Eo' = 0, F0'= 1, ,, для задачи В. (12)
Из совместного решения уравнений (5), (11) и (12) получаем единое для рассматриваемых задач выражение для частотной полосы просветленной четвертьволновой по толщине непоглощающей подложки:
AÀ 8n
Р г À 0 n(0N - 1)(n 0 -1)
102 ЧАСТОТНАЯ ПОЛОСА ПРОСВЕТЛЕНИЯ ПЛОСКИХ ДВУХСЛОЙНЫ1Х
На рисунке представлены зависимости между приведенной относительной полосой длин волн АХ/рХ0 , коэффициентом преломления волны вещества покрытия п и номером N, определяющим число четвертьволновых толщин в слое просветляющего покрытия.
АХ/ргХ0
1.4
1.6
N=1
1.8 2.0 п
Зависимости между приведенной относительной полосой просветления АХ/ргХ0, коэффициентом преломления волны вещества покрытия п и величиной N определяющей число единиц четвертьволновых толщин слоя покрытия; р - значение коэффициента отражения волны на границе полосы; Х0 - длина волны для условия просветления подложки.
2
1
Из этих зависимостей следует, что значение полосы уменьшается с ростом толщины просветляющего слоя и его коэффициента преломления волны.
Для проверки достоверности полученного уравнения (13) определим по уравнениям (1)-(4) фактические зависимости модуля коэффициента отражения волны р просветленной подложки от длины волны проходящего излучения Х0 для прямой задачи А. Просветление осуществлено при Х0 = 0.6 мкм, и выбранное вещество покрытия имело коэффициент преломления волны п =1.5. Полученные зависимости р(Х) были использованы для графического нахождения по ним приведенной частотной полосы просветления АХ/р Х0 при значении р = 0.05 и сравнения их с величинами, полученными по уравнению (13). Результаты сравнения АХ/р Х0 даны в таблице.
Найденные графически и вычисленные по уравнению (13) значения приведенной относительной полосы просветления АХ/рг Х0 непоглощающей подложки при коэффициентах преломления покрытия п = 1.5. Величина коэффициента отражения волны на границах полосы р = 0.05; N - величина, определяющая число четвертьволновых толщин слоя просветляющего покрытия_
Найденные графически Вычисленные по уравнению (13)
рг N = 1 N = 2 N = 3 N = 1 N = 2 N = 3
0.05 3.100 1.033 0.633 3.056 1.019 0.611
Данные таблицы указывают на пределы применимости найденного уравнения расчета полосы.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1957. 402 с.
2. Путилин Э.С. Оптические покрытия. СПб.: Изд-во гос ун-та, 2005. 198 с.
3. Касимов. Э.Р., Садыхов М.А., Касимов Р.М., Каджар Ч.О. Инженерно-физический журнал. 1999. Т. 72. № 4. С. 737-739.
С.Р.КАСИМОВА, Р.М.КАСИМОВ
103
yasti IkIlayli S3FFAF mühItIn !§iqlanma tezlIy! zolagi
S.R.Qasimova, R.M.Qasimov
Elektromaqnit §üalannin yasti ikilayli §affaf sistemdan aks olunmadan kefmasinin nisbi tezlik zolagi üfün ifada ahnmi§dir.
Agar sözlsr: elektromaqnit dalgalar, dalganin kegmd zolagi, §affaf mühithr.
FRAQUENCY BAND OF BRIGHTENING UP THE FLAT TWO-LAYER
TRANSPARENT MEDIA
S.R.Kasimova, R.M.Kasimov
An expression for relative fraquency band of unreflective passage of electromagnetic radiation through flat two-layer transparent system.
Keywords: electromagnetic waves, band of wave passage, transparent media.
