Частные вопросы геометрографии применительно к системе «Поле-метр» и квадратуре круга Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЧАСТНЫЕ ВОПРОСЫ ГЕОМЕТРОГРАФИИ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К СИСТЕМЕ «ПОЛЕ - МЕТР» И КВАДРАТУРЕ КРУГА

Кондратьева Т.М., Полежаев Ю.О.

Если на прямой плоскости расположить ортогональный метрический репер, две оси которого шкалированы рациональными числовыми значениями, то данная плоскость моделируется множеством точек в рациональных координатах.

Обе координатные величины произвольной точки не являются трансцендентными, комплексными либо некоторыми иными, кроме целочисленных, действительных выражений, соответствующих единицам шкалирования. Добавим, что величина метрической рациональной единицы стремится к «0» и, следовательно, заполнение плоскости точками может считаться «теоретически плотным», т.е. планиметрия в плоскости осуществляется без каких-либо «пробелов» и рациональна всюду.

Данные условия позволяют выбрать любую удобную метрическую величину между парой точек и далее, используя эту величину, фиксировать прямолинейные отрезки на всем пространстве плоскости. В общем случае может быть получено хаотическое бесконечное множество равных отрезков, расположенных под произвольными углами. Если избрать затем «базовую» точку и, применительно к ней, любой из отрезков дважды подвергнуть преобразованию параллельного сдвига так, чтобы вначале совместить с базовой точкой один конец отрезка, а вторым сдвигом из первоначального положения - другой конец, получим удвоенную величину отрезка на прямой с центром в базовой точке. При этом предполагается, что исходный отрезок сдвоенновложенный. Повторяя данную операцию к отрезкам других положений и предполагая, что цикличность таких операций стремится к бесконечно большому количеству, получим вокруг базовой точки семейство отрезков, предел количества которых стремится к фигуре площади окружности. Контур такой площади представит плотное множество концевых точек отрезков, моделирующих окружность, ибо они расположены на равных расстояниях от базовой точки, центра. Представленная модель окружности с ее площадью есть определенная совокупность действительных, рациональных точек и длин отрезков, что принципиально важно.

Положение о том, что сторона (16) равна (К) «квадратуры» (рис. 1) свидетельствует о наличии двух рациональных точек на концах и хорды, и соответствующей дуги (с6) окружности. Внутри данной дуги и вне ее можно было бы построить сколько угодно иных хорд, концевые точки которых также являлись бы моделями рациональных чисел. Таким образом, можно предположить, что все множество точек внутри дуги (с6) «рационально», а сама она соизмерима с (К). При этом вопрос о позициях плотности расположения точек на дуге будет изложен в дальнейшем при рассмотрении аксиоматической части раздела «квадратуры круга». Заметим, что подобных «явных» случаев соизмеримости хорды и дуги, как это сказано в отношении (16), достаточно много. Можно представить любую хорду с «рациоточками» на концах, которые одновременно являлись бы концами соответственной дуги окружности. Следовательно, применительно к соизмеримости прямолинейных и криволинейных элементов системы «квадратуры круга», справедливы постановки различных метрических задач.

Рис. 1

В следующем примере рассмотрим прямую плоскость, на которой избрана произвольная точка, исходящий из нее произвольный отрезок прямой и преобразование вращения отрезка за вторую, концевую точку, относительно неподвижной первой, как центра. Известно, что вторая точка опишет одну полную или ш-цикличную (ш=1,2,...) дугу окружности вместе со всеми точками данного отрезка. Разумеется, что для каждой из них будет фиксирован лишь один соответственный радиус. В отношении множеств точек площади и фигуры окружности можно констатировать, что эти точки иного рода по сравнению с предыдущим примером. Действительно, точки, испытавшие ротативное преобразование, содержат между собою отрезки дуг, длины которых несоизмеримы в общем случае с исходным радиальным произвольным отрезком. Между ними возникли отношения трансцендентности. Если немного усложнить конфигурации с окружностями, например, рассмотреть третью окружность, проходящую через действительные точки пересечения двух других окружностей:

х2 + у2 + А1 х + В1 у + С1 = 0 , х2 + у2 + А2 х + В2 у + С2 = 0 , (1)

то ее уравнение может выглядеть следующим образом:

х2 + у2 + А1 х + В1 у + С1 +Л(х2 + у2 + А2 х + В2 у + С2) = 0, (2)

Однако, при значении параметра (Х=-1) уравнение (2) превращается в уравнение прямой:

(А1 - А2)х + (В1 - В2)у + (С1 - С2) = 0, (3)

Заметим, что выражение (2) при х2 + у2 + А1 х + В1 у + С1 —> к , и х2 + у2 + А2х + В2у + С2 ^ I примет вид:

5 = к + И, (4)

Л2

где

I = -1 = л =

5 - к

С,

Введение

= -к + К

V I у

величин (к, I)

и

С2 =-1 + К

(5)

допускается в том случае, если представить в выражениях (1) В итоге можно сделать вывод о том, что на новой плоскости сущест-

вуют отношения между прямыми и дугами окружностей не только с трансцендентной, но и комплексной зависимостями. При этом, если увеличивать исходный отрезок до бесконечно большой величины, обращению вокруг центра, в пределе подвергаются точки в таком количестве, что покрывают собой в итоге предельную величину новой плоскости, т.е. всю ее. Разумеется, метрический орторепер, внесенный своим началом в центр окружности, будет иметь на осях массивы точек со свойствами трансцендентности. Таким образом, нами рассмотрены два примера: точек и фигур, рациональных на одной плоскости, а также точек и фигур, иррациональных на другой плоскости.

Рассмотрим третий пример задания плоскости, точек и фигур, ей принадлежащих, вместе с вопросами планиметрии, характеризующими их отношения. Это достаточно традиционные композиции фигур на плоскости, в том числе фигурации «квадратуры круга», когда указывают на те или другие линейные элементы и их различные метрические свойства, в частности, на несоизмеримость дуги окружности и ее диаметра; трансцендентные свойства цепной линии либо спирали Архимеда и т.д. Мы будем рассматривать третий пример плоскости с целью выявления связей и отношений ее с первыми двумя. Итак, пусть на плоскости есть окружность, ее диаметр, радиус. Известно, что радиус - отрезок, точки которого и концевые, в том числе, - рациональные элементы. Орторепер плоскости - рациональная система, а вот точки и величины дуг - иррациональны. Но, если рассмотреть радиус в качестве хорды окружности, придется согласиться с тем, что концы хорды, принадлежащие дуге, - рациональные точки дуги. Продолжив аналогию, обнаружим, что при разных положениях вписанного шестиугольника, разные точки дуги рациональны. Рассмотрев все возможные положения названного гармонического полигона, необходимо признать, что все точки дуги рациональны. Таким образом, не отрицая отношений трансцендентности дуги и прямой, имеем рациональные метрические соотношения между ними. На первый взгляд - это кажется противоречием. На самом деле есть две модели записи моноцикла окружности:

х2 + у2 = Я2, (6) и 1с = 2лЯ. (7)

Для уравнения (6) свойства трансцендентности не выражены, в уравнении (7) - они есть и сегодня не требуют доказательств вследствие природы числа (п). Также как наличие, точнее возможность принадлежности дуге окружности точек рацио- и нерациональных; записи аналитических выражений в алгебраической и трансцендентной формах, так и вывод о том, что эти точки принадлежат плоскости одного рода и другого рода, первого примера и второго, - правомерны. Примеров, подобных приведенным выше, в традиционной планиметрии достаточно много и нет необходимости их приводить больше. Но возникает вопрос - каково аксиоматическое решение, объяснение таких фактов и следует ли относить их к парадоксам формальной логики.

Для того, чтобы сделать некоторые выводы, приведем еще два примера относительно разных плоскостей.

Представим себе две плоскости разных цветовых оттенков: желтого и голубого. При «совмещении» этих плоскостей получим еще одну плоскость зеленого оттенка. Последняя плоскость, лишь только по признаку зеленого цвета, убедительно свидетельствует тот факт, что в каждой ее точке присутствуют и голубой и желтый оттенки.

Рассмотрим следующий пример. Нам хорошо знакома плоскость (V) метрического эпюра, с которой совмещены плоскости (Н) и (W). Каждая точка на метрическом эпюре могла бы быть адресована любой из трех названных плоскостей: H, V, W. Обозначение такой точки условными знаками, алфавитно-цифровыми знаками точно определяет принадлежность той или иной рассматриваемой точки.

Итак, точки геометрические, не имеющие объема, формы, приоритета по физическому, материальному признаку, принадлежат геометрической плоскости. Однако, лежат ли эти точки на ней слоями, совпадают ли еще каким-то образом - неизвестно, но они принадлежат этой геометрической абстракции - плоскости. Они покрывают ее в «географии плоскости» плотно и полно. Они занимают места равномерно и равноправно в том смысле, что если эти точки разного рода даже тождественно совпадают, их характеристики планиметрии могут быть различны и подчиняются различным системам описания и счета.

В 1902 г. Пуанкаре обратил внимание Гильберта на недостаточность аксиомы непрерывности (V7) и, аналогично тому, как Гильберт дополнил «Основания геометрии» предложением (Vz) о «полноте», исключая свойство «изрешеченного» пространства применением только алгебраических чисел (х, у, z), так и здесь вводится в понятие о плоскости свойство ее полноты, но не в том только смысле, что на ней существуют точки, координируемые действительными рациональными числами. Заметим, что числа 1,999.. .9... и 2,0 отличаются только на одну масштабную единицу и никогда не совпадают.

Заметим также и о том, что на плоскости могут сосуществовать сразу, как min две, а то и больше метрических систем. Следствием этого является возможность фиксации в одном геометрическом месте двух и более тождественных позиций точек разного рода, которые «по позиции одноместны», но соотносимы с разными метрическими системами на данной плоскости. Поэтому их описания разнородны, если угодно «противоречивы», ибо их терминология не есть производная одной и той же или общей логикометрической системы. Но такая разнородность применительно к одному геометрическому месту не является противоречием в той общей логической системе о совмещении плоских полей, к чему приведены разъяснения и аналогии. Предполагается, что использование таких «наложенных» признаков может быть употреблено на пользу при решении задач, содержание которых связано с понятием совмещенных полей и разнородных свойств элементов прямой плоскости.

Итак, сформулируем аксиомы о «тождествах геометрографических изображений на прямой плоскости»:

1. Каждая точка - неизмерима, и все они не различаются в чем-либо.

2. Плоскость заполняется точками плотно.

3. Положения точек в плоскости не хаотично.

4. В любую точку плоскости может быть помещено начало метрического репера с его линейными осями общих положений, в том числе ортогональными, искривленными и пр.

5. Количество и качество тождественно совпадающих геометрографических мест на прямой плоскости: точек, линий, фигур, - зависит от использования определенных преобразований; количеств внесенных метрических систем, планиметрий; свойств отображений извне.

Рассматривая далее различные случаи геометрических тождеств, по крайней мере, не возникает чувство парадоксальности в тех или иных ситуациях. В вопросах «квадратуры круга» можно рассматривать «рациональную» дугу и «нерациональную» хорду, применив к ним обратную логику, либо рассматривать обе субстанции в некоторой однородной планиметрии. Если, например, построения известных простых п-угольников на моноциклической дуге окружности проблематичны, то в случае преобразования дуги в m-циклический субстрат, когда m=1, 2, 3, ..., среди ряда задач многие окажутся упрощенными, поскольку изменится фигура п-угольника, а ее соответствие дуге будет сопоставимо с иной относительной кратностью в сравнении с традиционными исходными данными на моноцикле окружности. Становится не противоречивым построение дуги композициями прямых, либо развертки окружности на прямую, кривую линии. В первом случае можно рассмотреть несколько вариантов.

Например, если вертикальный радиус использовать в качестве R=^Ay, где Ay=l^const, - применить такую же константу - отрезок Ах для построения дуги ХА окружности невозможно, ибо в противном случае такие «шаги» определяют хорду. Следовательно, на каждый константный шаг по (у), требуется функциональный шаг по (х). При этом определенные точки ломанной могут принадлежать дуге окружности. Несколько изящнее воспринимается этот вариант при осях симметрии х2=у2 и смене констант Ау на Ах (рис. 2) по достижении разворота 45°.

Следующий вариант соотносится с угловым растром прямых, точка инциденции которых совпадает с центром окружности. На растре задаются отрезки. А концы последовательно соединяются с функциональными долями Ах и Ау. В зависимости от линейных величин параметров можно получить

Рис. 2

модели дуги: внешними, внутренними, внешними плюс внутренними, срединными точками ломаной (см. рис. 2). Соответственная - будет искомой окружностью.

Несколько более гармоничный вариант получится, если те же конечные точки углового растра будут использованы смежно-попарно в качестве оснований равнобедренных треугольников. При этом заметим, что вариант из так называемых «чистых» точек - концов отрезков растра - не рассматривается ввиду вырождения понятия об «отрезке». Хотя, при известном большом числе концевых точек растра модель окружности почти идеальна.

Приведем еще один вариант линейной модели дуги окружности. Если рассмотреть удвоение фигуры произвольно заданного равнобедренного, симметричного, треугольника,- получим массивы сторон оснований, приближающихся в пределе к дуге окружности. В случае прямоугольного треугольника выпуклая фигура предела будет стремиться к ХА дуги при условии уменьшения отрезка основания. Для произвольно заданного угла (ф<90°) и назначении оси симметрии по одному из бедер, получим предел самопересекающихся оснований, а в итоге фигурацию «выпукло-вогнутого» полигона, моделирующего дугу т-цикличной окружности. Заметим, что некоторые значения угла ф исключаются из данного варианта моделирования.

Добавим примеры композиций линий, прямых и кривых с качествами рациональности, трансцендентности и комплексности - три варианта спиралей: спираль Архимеда, спираль-эвольвента, спираль-П. Спираль Архимеда имеет начальную, базовую точку; параметры (р, ф); семейство соответственных концентричных окружностей, одна из которых может быть принята за единичную, базовую, удовлетворяя значению (а) в (р=аф). В зависимости от (а) спирали, как семейство, плотно закрывают своими точками плоскость изображения. Это качество относится и к упомянутым окружностям.

Спираль-эвольвента сосуществует с начальной окружностью - эволютой. Обе кривые, полодии, могут рассматриваться как соответственные раскатки одна по другой. Прямые отрезки, соединяющие пары соответственных точек полодий, являются одновременно касательными и нормалями, опирающимися на мгновенные центры кривизны. Следовательно, полодии взаимно-ортогональны. Когда обе полодии являются окружностями, и подвижная раскатывается извне либо снаружи порождаются семейства эпи-, гипо-трохоид. Обращаем внимание на поразительный случай формы гипоциклоиды при (Я2=0,5 К;), для которого пары катящихся противоположных точек сопряженных окружностей вырождаются в два орто-диаметра неподвижной (К;) полодии (см. рис. 2).

Геометрические места спирали-П связаны с построениями подеры по определенным условиям, понятным из чертежа (рис. 3).

В заключение, подобно тому как Гаусс с помощью простой точечной решетки исследовал свойства окружности, представим систему квадратуры круга на ортогональном репере вместе со вспомогательной сеткой и вспомогательными дугами окружностей. Основная окружность данной системы рассматривается как т-циклическая дуга окружности, в которую могут быть вписаны правильные, полугармонические, а также не замкнутые полигоны (рис. 4). В дальнейшем такая система будет именоваться «Поле-метр», и в ней могут быть рассмотрены линии и фигуры, построения и качества которых возможно соотносить с элементами: точками, линиями и фигурами названной системы. Укажем позиции некоторых характерных точек гармонических фигур-

Рис. 3. Элементы квадратуры круга

полигонов, вписанных в «поле-метр». Так, фигура треугольника в данной системе определяется дирекци-онной точкой (В), вертикалью (В, 3) и точкой (С), принадлежащей также оси (х). В случае цикличности ш=2 фигура сохраняется, но ее траектория имеет противоположное направление. При значении цикла ш=3 треугольник вырождается в точку, как впрочем все фигуры, когда величина количества углов (п) уравнива-

ется с числовым значением циклов (ш), например, 360°х7ш:7п и т.п.

Рис. 4

Пятиугольник в традиционной позиции определяется стороной (А, 5), направление которой задают точки (А) и (*5). Последняя точка принадлежит дуге окружности с центром (С) и линии (у=75) квадратуры. В системе «Поле-метр» аналогичная точка пятиугольника (55) также лежит на уровне (у=75), но при этом совпадает с основной окружностью моноцикла. При значении цикличности (ш=2) пятиугольник изображается звездчатым и имеет место точечное тождество (55 =252). В случае цикличности (ш=3) в той же точке располагается вершина (354), учитывая обратный обход звездчатой траектории. Точка (57) моноцикла, разумеется, принадлежит перпендикуляру к оси симметрии (В, 1) в «Поле-метре». Напомним, фигура (55) вырождается в точку на позиции (В). Развертка % дуги окружности Я/2=50 между ее концами х=50=у на дирекционную вертикаль(В, х=50) совпадает с отрезком (х=50, К). Названный отрезок, в частности, равен линейной величине (х=50, К2), где (К2) - узловая точка сетки квадратуры, которая принадлежит уровню (у=75). Заметим, что существуют и другие связи между линейными величинами названной развертки и фигурами пятиугольников, что видно из чертежа.

Ограничиваясь рассмотрением данных примеров, отмечаем простоту и доступность их построений и обнадеживающие перспективы применения.