CC BY
45
Приложения дифференциальных уравнений
УДК 539.3
Л.М. Богданова, В. Ф. Кириченко
ЧАСТИЧНАЯ ДИССИПАТИВНОСТЬ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ В НЕКЛАССИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК С ПЕРЕМЕНОЙ МАССОЙ
Исследована система эволюционных уравнений, соответствующих одному из вариантов геометрически нелинейной теории оболочек Рейсснера.
Д = Qx
В рамках подхода И.В. Мещерского, пологая оболочка определяется как распределенная механическая система переменной массы, занимающая в момент времени t є [t0, t1 ] область
h(t) h(t) 1 „„з „
y~ є R , при этом: пространство R параметризовано декартовой системой координат; (Xj, x2, x3) - координаты точки в R3; уравнение х3 = 0 определяет срединную поверхность оболочки; [t0, tj ] - отрезок времени наблюдения за эволюцией оболочки;
Q = Qx dQ, Q с R2 измеримая по Лебегу односвязная область с границей dQ; функция h(t), t є [t0, tj ] определяет толщину оболочки в момент времени t; "t є [t0, tj ],
h(t) > a> 0, a= const є R, h0 = h(t0); Д =Qx|-hp, ; Г = CQx[t0, tj ]; Q = Qx(t0, t1); n -
внешняя нормаль к dQ .
Исследуемая система эволюционных уравнений, соответствующая одному из вариантов геометрически нелинейной теории оболочек Рейсснера, с начальными и граничными условиями (первая начально-краевая задача) имеет такой вид:
вд
2 1 да.. да„
______ll_ +_______1
h(t) L дхі дх3-і
dx3 = 0;
(1)
h(t)
2 ї дАа. . дЛа2 ( дВ
д_
д
(h(t) j рР^dx.
ВД К 2
дt
h(t) 2
A hw
2
+
дх3
1 --
dx
аІЗ fdx3 = 0,і = 1,2;
(2)
з 0
ВД
2
дt
т
д 2 dx,
і h (t) 2
j|B
■да
dx,
- + а
dU30
dx,.
1 -
dB
dx3
а + а.
ди3І
dx3
+B-
да1
\
12
dx.
ВД
2
U30 Г = 0,
3-і 0
ди
dx3 + j к<аЛз
_ h(t) 2
= g(xJ, x2, t);
30
dn
= 0, U,0 = aU,j Г = 0,i = j,2;
U30 (xi , x2 , 10) = (xi , X2), dU,°(x^,X2,10) = (x, , x2),
dt
(3)
(4)
(5)
где Ui0 = Ui0(x1,x2,t),U= U,,(x1,x2,t),U30 = U30(x1,x2,t) - искомые функции; e,р,Е,и,k , - стро-
го положительные вещественные постоянные, 0 < и <
а =
Е
2(Єі + Ue3-i3-i),а, = , “Я
1 -и
Е e , = 7^ а = Е e 1,2, а12 Є12 ■ 1 + и 1 + и
Г
егЗ 2
йЛ
йх3
-Ы +
1 -
йВ
йх-
ды
30
3 0
дх
е,2 — _ 12 2
Е
дыя
дх
■ + Л
ды,..
д
ды,о + Л дып
д
дх . дх,
дх
В ды3о
дх дх
В
ды
30
дх
ды
30
ч дх, 0
дх.
‘ /0
ды30 ды30 дх, дх2
4 х3
, В —-
4 х33 ЗЬ2
§ (х,, х2, /) - интенсивность поперечной нагрузки; р3о( х,, х2),у30( х,, х2) - известные функции, определяющие начальные условия (5).
Далее используем обозначения функциональных пространств из [1]; символ -|а - обозначает норму в пространстве Ь (О). Авторами доказано следующее утверждение.
Теорема. Пусть дО имеет гладкость, достаточную для используемых теорем вложения и выполняются такие условия:
евв вир (х, х2, /)|п < ¥; Р30 е Но2 (О), у е Н1 (О), Ь(/) е С1 ([¿о, ]).
Тогда:
1) существует хотя бы одно решение {и,о, ы,,, ы3о} задачи (1) - (5), при этом
___ ды
~,о, ~,1 е Ь¥ (¿о, ¿1,Н1 (О)),, — 1,2;~3о е Ь¥ (Г0, /,,Н, (О)), ■-3° е Ь¥ (¿о, /,,Н, (О));
д/
2) решение задачи (1) - (5) может быть продолжено на интервал (/о,»);
3) система эволюционных уравнений (1) - (3) частично диссипативна при всех допустимых в теореме начальных условиях, то есть найдется такое значение /2 > /о и вещественное число у > о, что для почти всех / > /2 выполняется условие
ды3
д/
+ Е-
2 д2ы3
—1 дх 2
£ у2.
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК 1. ЛионсЖ.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М. : Мир, 1972. 588 с.
1
2
2
и
□
