C1-аппроксимация решений эллиптических систем кусочно-гладкими отображениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

© Болучевская А.В., 2011

МАТЕМАТИКА

ТРУДЫ СЕМИНАРА-СОВЕЩАНИЯ «СЕТИ В АНИЗОТРОПНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ»

УДК 517.518.85+517.53+517.538.5 ББК 22.161.6

С1-АППРОКСИМАЦИЯ РЕШЕНИЙ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СИСТЕМ КУСОЧНО-ГЛАДКИМИ ОТОБРАЖЕНИЯМИ

А.В. Болучевская

В работе рассматривается задача кусочно-гладкой аппроксимации отображений, являющихся решением эллиптической системы уравнений, и аппроксимации их дифференциалов по значениям в узлах треугольной сетки. Показано, что при аппроксимации дифференциалов таких отображений дифференциалами приближающих отображений имеет место зависимость погрешности аппроксимации от геометрических характеристик треугольников в сети. Построено отображение, приближающее дифференциал с погрешностью, независящей от степени вырожденное™ треугольников. Аналогичные результаты получены для отображений, аппроксимирующих дифференциал решения уравнения Бельтрами.

Ключевые слова: кусочно-гладкая аппроксимация, аппроксимация дифференциала, эллиптическая система уравнений, уравнение Бельтрами, погрешность аппроксимации, триангуляция.

1. Постановка задачи

Задача аппроксимации функций различных классов и их производных является одной из важнейших и активно исследуемых областей математики. В данной работе, в частности, будет рассмотрена кусочно-гладкая аппроксимация решений эллиптических систем, заданных на нерегулярных треугольных сетках, а также аппроксимация дифференциалов таких решений.

Необходимо отметить, что особенно важным в подобных задачах является оценка погрешности аппроксимации производных, поскольку в подавляющем большинстве случаев эта погрешность зависит от формы треугольников сети (как правило, от максимального или минимального углов). Эта зависимость от углов треугольника в свою очередь

сильно затрудняет построение сеток, поскольку присутствие «плохих» треугольников, чьи углы не удовлетворяют определенным условиям, может привести к отсутствию сходимости производных вообще.

Поэтому при изучении кусочно-гладких аппроксимаций решений эллиптических систем определенного вида возникла следующая задача. Проверить, верно ли, что погрешность аппроксимации дифференциалов таких отображений дифференциалами приближающих отображений зависит от углов треугольников сети, и, в случае утвердительного ответа, построить отображение, приближающее дифференциал, но с погрешностью, независящей от триангуляции.

Перейдем теперь к точным формулировкам.

Пусть Д С К2 - область, в которой задана последовательность {Рт}т=1 конечных наборов точек.

Для каждого такого набора рассмотрим его триангуляцию Тт [5, с. 32]. Для всякого треугольника Б € Тт определим длину (1$' максимальной его стороны. Положим

(1т = шах йв-

3£Т,„

Будем рассматривать такие наборы точек Рт и их триангуляции Тт, для которых

с1т —>• 0 при т —> оо (1)

У є > 0 3 то Є N : Ут> т® Ух Є И З а Є Рт такая, что |а — ;х| < є.

(2)

Условие (2) означает, что Рт является е-сетью при всех достаточно больших т. Пусть /(#): -О —> И*, И* С К2 — отображение вида /(#) = (и(х), У(х)), х = (^1,^2), где и(х),У(х) € С2(0) являются решениями эллиптической системы уравнений [4, с. 176]

дУ дії

-7г—{х) = -а2{х) — (х), иХ\ ОХ2

дУ дії

-(х) = 0!і(^)—------(X),

(3)

дх2 дх\

а а'і(^), а2(х) Є С'1(Д), а'і(гг) • а^О^) > ОУх Є Б — условие эллиптичности.

Для всякого натурального т построим приближающее отображение /т(х): И —> ->■ И*, /т(х) = (ит(х), Ут(х)) такое, что ит(х),Ут(х) Є С1 (Б) и

/т(я) = /(а) ДЛЯ любой ТОЧКИ СІ Є Рт.

Для всякого х Є И рассмотрим дифференциалы отображений /(#) и /т(х):

(1/(х)

дх\ дУ \ дхі

дх-2

(х) £(;<■)

/

( дит дит

дх\

дУт V дхі

дх-2 (,)

/

Построим пример, который покажет, что при приближении отображения с1/ отображением с$т погрешность зависит от степени вырожденное™ треугольников сети.

Пример 1. Рассмотрим отображение

f(x) = (U (X), V {х)) = (ГГ2 — , 2# 1^2)

(или f(z) = z2, z е С)

и область

D = {(;Г'1, ;Х2) : 0 < Х\ < 1, 0 < Х2 < 1} .

Заметим, что это отображение удовлетворяет системе Коши — Римана, которая

получается из системы (3) при = 1,а'2(^) = 1 всюду в D.

Разделим область D на к одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси абсцисс, и на п одинаковых прямоугольников отрезками, параллельными оси

ординат. Построим триангуляцию, которая отображена на рисунке 1.

В полученной триангуляции рассмотрим, например, треугольник с вершинами ро = = (0,1),р1 = (на рис.1 он закрашен черным цветом). Для данного

треугольника по этим трем точкам построим приближающее кусочно-линейное отображение /т (я).

Тогда в полученном треугольнике функции ит(х),Ут(х) задаются уравнениями

гг ^ 1 ( к 3

lUx) = П*' V&? “ 2к

т г / \ 2 1 1

Vm(x) = —Х\ + Х‘2-----Г.

к п п к

1

1

2п2 2к2'

Возьмем, например, внутреннюю точку треугольника Р = (^, ^). Следовательно,

(1 Ц

df(P) =

(I Ъу

п 2 к

3 1

^ 2 А: п

/

dfm(P) = dfm(x)

( 1 к

п 2 п2 2 1

' к п

Тогда

е =11 df(P) - dfm(P) II <

к

2/г2

2к

Ясно, что при п,к —> оо величина е стремится к нулю только если А- —> 0. Таким образом, при к, равном, например, /?3, дифференциал отображения /т не может аппроксимировать дифференциал отображения /.

Следовательно, возникает следующая задача. Для всякого S Е Тт требуется построить матрицу Ат(х), х Е S, аппроксимирующую df(x), и оценить погрешность аппроксимации вида

e(S) = sup || df(x) — Ат(х) || .

х eS

Предполагается, что эта погрешность не должна зависеть от степени вырожденно-сти треугольников.

2. Оценка погрешности

Пусть в D задана прямоугольная декартова система координат. Для всякого т рассмотрим треугольник S Е Тт. Если I — направление наибольшей стороны треугольника, р — меньший из двух углов между этой стороной и осью абсцисс и

Т, ( , \ _ Q'2 (х) cos р _________sin^__________

Al(Q'l, Q'2, р) , s . 2 I / \ 2 ’ 2V1) Q'21 P) ( \ ■ 2 , ( \ 2 ’

Q'l(l)sin ip + Q'2(^)COS/(/? Q'i(l)sin ip + Q'2(^)COS/(/?

K3(ai,a2,p) = ai(x)K2(ai,a2,<p), KA(ai,a2,p) = -ai(x)a2(x)K2(ai,a2,p),

K5(ai,a2,p) =--------l—К 1(011,012, p), K6(ai,a2,p) = ai(x)I<i(ai,a2,p),

a2(x)

то верна следующая теорема.

Теорема 1. Если Ух Е S элементы матрицы Ат(х) = (а^) имеют следующий вид:

д Um dVm

ац = К 1(0:1, Q'2, p)—^j—(x) + K2(ai,a2,p)-^(x),

dUm dVm

«12 = Кз(<У1,а2,р)—^(х) + /\4(q'i, Q'2, р)—^(х),

д Um dVm

«21 = К5(а1,а2,р)—^(х) + Ki(ai, а2, р)—^(х),

д Um dVm

«22 = K6(ai, а2, р)—^(х) + К3(су 1,су2, р)(х),

то справедлива оценка:

e(S) < Mid®2 + M2dт + Ms(uji(dm) + h(dm)) + M4(uj2(dm) + l2(dm)),

где ujiit), uj2(t) — модули непрерывности градиентов функций Um(x), Vm(x) соответственно,

dm dm

h{dm) = ~r wi(t)dt, l2(dm) = ^~ uj2(t)dt

dm J dj-rn J

0 0

и a = Q'(q'i,Q'2) > 0,/5 = /3(q'i,Q'2) > 0,cl = dist(S,dD), Mi = Mi(ai,a2,U, d,diamD, p),M2 = M2(q'i, Q'2, V, cl, din hi I). p),M3 = M3(q'i, q'2, p),M4 = M4(a i,a2, p).

Доказательство. Для доказательства теоремы использовались идеи, предложенные в работе [3].

Обозначим вершины S как р0,рър2, так, чтобы точки ро и pi образовывали максимальную сторону.

Для всякого х G S имеем

Um(pi) = U(pi),

Vm{jpi) = V{jpi), г = 0,1, 2.

Преобразуем систему координат путем переноса ее в точку р0 и поворота против часовой стрелки на угол р следующим образом:

{Х\ = (#1 — #5) cos р + (х2 — ;r°) sin Pi ^

Х-2 = —(уХ\ — #5) sin р + (х2 — ;r°) cos Pi

где (Xi,X2) — новые координаты точки х, ро = (#5, #2).

Тогда U(x) = U(xi(Xi,X2),x2(Xi,X2)) и коэффициенты матрицы Ат(х) преобразуются к виду:

BU BU 8V

«и =^4*) «12 =Ыаъ а2, + Ь2(аъ а2, <р)^(х)

8V dU 8V

а21 =of(X) а22 =Ъ(аь «2, p)q£(x) + Ьг(аи «2, P)of(x)

где

sin р COS р (Q'i(rr) — СК2(#)) ■L/l (Cl'l) OL2, Р) ( \ ■ 2 I ( \ 2 ’

Q'i(^)sm р + Q'2(^)cos/(/?

-^2(^1) q'2) lp) / 2 I 7 \ 2 ’

Q'i(^)sm p + а2[;х)со^р

M I (.Г )м •_>(./•)

Lз(а'1, Q'2, </?)

Q'l(rr)sin2(/? + Q'2(^)cOS2(/? А система (3) примет вид:

^ (x) = + ^2(х)-Щ-(х),

ЗЛУ ' 14 'ЗЛУ ' '0X2

dV ,4 Л ,4 dU ,4 Л ,4 dU ,4

-(ж) = ЛзИт— (ж) + AlOrjT— (ж),

(6)

<9AV <9АУ ' 14 '<9Х2

Ai(ir) = Sill(/?C0S(/? (q'2(^) — ci'l(^)) ,

Аг(^) = Q'i(^)sin2(/? + Q'2(;r)cos2(/?,

А3(;г) = Q'i(rr)cOS2(/? + Q'2(^)sill2(/?.

Поскольку функции [/(rr), V{;x), Um(x), Vm(x) G C'1(_D), то, согласно (4), получим

f Um{po) + {Vum(p0),pi-p0) +£i(pi - po) = U{jpo) + {VU(po),Pi-po) + rxijpi-po),

\ Vmipo) + (VVm(po),pi-po) +Ь(рг-ро) = V (po) + (W(po), Рг “ Ро) +Г2(рг ~Po),

где Гіірі - ро),г2(рг -ро),£і(Рі -ро),Ь(рі ~ Ро) — остаточные члены.

Раскладывая векторы \7[/т(ро) — У[/(ро), УКг(ро) — Vl/(po), Рі — Ро по базису, образованному в результате поворота системы координат, будем иметь

Ш<х) - (Х; - Х!) + (ш7<х) - № - АІ) =

= г^рі- ро) - £і(Рі- Ро),

9УтґЛ дУ , ^ ,(9УтґЛ дУ , ^

аТіх) - аТы) (А‘ - Аі) + [дТ( ’ ■ вТЫ)( 2“ 2> =

= г2(рі - ро) - Ь(рі - Ро),

где Рі = (Х\,Х!2), і = 0,1, 2.

Поскольку = Х% = 0 и = 0, то при і = 1 получим

[ дит дії гі(рі - ро) - £і(рі - ро)

“ ажы =-----------------ТІ---------■

дУт дУ г2(рі - ро) - £2(рі - ро)

Ж{п) - дТ(ро) =-----------------Ті----------•

(7)

Система (3) является эллиптической в И. Следовательно, дифференцируя первое уравнение системы по х2, второе — по х\ и складывая уравнения, получим, что и(х) удовлетворяет следующему эллиптическому уравнению второго порядка [2, с. 11]

. ,д2и ,д2и да .811 . да2 . .817.

а'{х) Щ{х) + “2<Х)М(Х) + + а^{х)д^{х) = °' (8)

Пусть I € [0,1]. Тогда получим

W(po +1(х -ро)) - VII(ро) = Щро + 1(х -ро)), где, в силу эллиптичности (8), функция Я(ро + 1(х — ро)) удовлетворяет условию

В(ро + Ь(х - ро)) < Схс1~а\1{х - ро)\а,

где С\ = С\(а1,а2,и,(1,(ИатО) [2, с. 297].

Полученное равенство умножим скалярно на вектор х — ро и проинтегрируем по I. Тогда имеем

1

и(х) - [/(ро) = (Чи(ро),х -ро) + / (Д(ро + ^х — р0)),х — ро)(Й.

Откуда, учитывая условие на |Я(ро + і(х — Ро))|,

\и(х) - [/(ро) - {Чи(ро),х — ро)| < Сісі

-«к-Рої

(У, 1

< Ск1

—а <9

(У, 1

Теперь через и)г(1) обозначим модуль непрерывности градиента функции ит(х). Так, Уу1,у2 & О выполнено

\Чит(У1) - \7[/т(у2)| < ил(\'У1 ~ У'21)•

Следовательно,

I6(pl Ро) | _ \Umipl) - Um(po) - (Wm(po),pl -ро)\

\р1 Ро |

\р1 - Ро\

ds

где h(ds) = ^ /

Тогда из (7) получаем

^ О' + 1

Также, ввиду эллиптичности (8), для всех х € 5 можем оценить

< G\d-a\x-po\a < C\d~adas.

Следовательно,

ои , , оит, , дх,{х) - мГ(;г)

<

8U 8U

т / \ KJKJm / \

мГ(х) “ Жы

dUm, , 8U ( л

-дх;ы~жы

< uj\(ds) + h(ds) Н —jCid ad Q' + 1

Поскольку функция У(;г) также удовлетворяет эллиптическому уравнению

1 , ч 1 , хд2У, ч д(±), ау, ч Яу ч

-•(1)“1,) + + ~а^-(х)а^х) = °'

Q' 2 <9^

Q' 1 <9;г|

то, проведя аналогичные рассуждения и обозначая и;2(£) — модуль непрерывности градиента функции Ут(х), имеем

|6(р1 — Ро) I \р1 Ро |

ds

где l2(ds) = J- f cu2(t)dt.

ds и

Таким образом, дУ

дХл

О) ~ ^ ш*(ds) + /2(^5) + ^r^jC2d 13dj3s

Si

где C2 = C2(a 1, Q'2, V, d, diamD). Обозначим

91 — ^i(^s') + h(ds) H TT^1^

Q' + 1

92 = u2(ds) + l2(ds) + /3d§.

Теперь из системы (6) и уже полученных оценок имеем:

dU , , (т , ,dUm, , , r , ,dVm, ,

0^2 (х) ~ lLi(ai’a2>¥>)-7p^(x)+L2(ai,a2,<p)-^(x)

< \L\ (q'i , Q'2, ф) | Ql + |L2(Q!i,Q!2,^)|?2,

9V , , (T , ,dum, , , r , ,dVm, ,

0X2 (x) ~ lL3(on,a2,<fi)-g^(x)+L1(a1,a2,<fi)g^(x)

<

<

< |L3(a'i, Q'2, '-P)\qi + \L\ (Q'l 1 Q'21 Ф) I Q_2-Отсюда, полагая, что || A ||= (a^) = \aij\’ Для всех x £ S получим

м

df(x) - Am(x) || < da„

+ cl!3

a + 2

la + 1* /3 + 2

/3+1

|-Li(q'i, СИ2 + | Li (ci'i, 0L2 i ф) ) +

\b 1 (Q: 1, Q'2, ф)\ + Q'2, Ф) ) +

+ (a;i(ds') + h(ds)) (l + |Li(a'i, Q'2, </?)| + |b3(a'i, ci'2, <^)|) + + (u}2(ds) + hids)) (l + \Li(oi\, q'2, </?)| + |^2(ci'i, Q'2, <^)|) •

Учитывая монотонность функции

- / uj(t)dt,

получим

Далее, обозначая

Q' + 2

h(ds) < h(dm), h(ds) < h(dm).

Mi =

СУ H- 1

Cid a ( 1 + sup|Li(a'i, Q'2, </?)! + sup|L3(a'i, Q'2, </?)! ) ,

ireS

x eS

M2 = 3 ~'C'2d /3 (1 + sup|Li(a'i, Q'2, (/?)! + sup|L2(ci'i, «2, </?)

P + 1 V ireS ires'

irSS1

sup

ireS

Li(q'1, Q'2, ■ ¥>)| + sup со Q'2,¥?)

ires

Li(q'1, Q'2, и + sup ires Ьг(с1'1, Q'2,¥?)

получаем требуемое.

Следствие 1. Пусть в области Del2 задана последовательность {Рт}т= i конечных наборов точек и их триангуляций Тт. Тогда, если выполнены условия (1), (2) и G С С D — произвольная компактно вложенная подобласть, то

max e(S) = max sup II df(x) — Ат{х) ||—> 0 при т —> оо.

SeTm,ScG SeTm,ScG xes

3. Оценка погрешности для уравнения Бельтрами

ОО

т=1

Пусть теперь И — область в С, в которой задана последовательность {Рт} конечных наборов точек и их триангуляций Тт. Предположим также, что выполнены условия (1) и (2).

Пусть /(л) — определенная в И комплекснозначная функция вида

/(л) = и(х 1,х2) + гУ(х 1,х2), z = Х\ -\- гх2 Е Д

II (х 1,х2),У(х1,х2) Е С2(Б),

удовлетворяющая уравнению Бельтрами [1, с. 80]

М-) =

где — измеримая функция, |)и(с)| < 1 П.В., = ^1(Х\, Х2) +'1^2(Х1, Х2) , Ц>1(Х1,Х2),

Ц2(х1,х2) Е С1 (Б), z Е Б и

^ \ 1 ( 91 ( и • 91 (\

Ш = 2

, I \ 1 ( д'!! \ , ■>

То есть / — квазиконформное отображение с комплексным отклонением /л.

Для всякого т построим приближающую функцию = ит(х1,х2)+{Ут(х1,х2)

такую, что ит(х1,х2),Ут(х1,х2) Е С1(Б) и

/т(я) = /(«) ДЛЯ любой точки а Е Рт.

Рассматривая f(z) как отображение (и(х1,х2),У(х1,х2)), обозначим

^ ТГ^-(Х1,Х2) ^-(х1, х2)^

4М= % %

\ <)х\ ' Г' Г).г2'П",'-])

Заметим, что уравнение Бельтрами приводится к эллиптической системе

дУ 811 811

~ {•/•!• -/‘2 ) = Ь1(Х1,Х2) — (Х1,Х2) + //2'1./-|../-2) '1./-|../'2).

Т^{хъх2) = к3(хъх2)^(хъх2) + Н1(хъх2)^(хъх2),

0X2 0X1 (УХ 2

(9)

где

Ь1О1, х2) = -//2(-/-| • -/‘2 )

кз(х1,х2)

2ц1(х1,х2)

1 - цКх 1, х2) - /4(Х1,Х2) ’

1 + 2ц,1(х1, х2) + ц1(х1,х2) + • Х2)

1 - ц1(х.1,х2) -/4(х.1,х2)

1 - 2ц,1(х1,х2) + ц1(х1,х2) + [4(х1,х2) 1 - ц1(х1,х2) - ^2(Х1, Х2)

Эта система является более общим случаем системы (3). Поэтому для f(z) справедливы те же выводы о невозможности аппроксимации df(z) дифференциалом отображения fm(z) на сетках, не удовлетворяющих определенным условиям.

Следовательно, для всякого S G Тт требуется построить матрицу Am(z), z G S, аппроксимирующую df(z) с погрешностью вида

e(S) = sup || df(z) - Am(z) ||,

z£S

независящей от степени вырожденное™ треугольника.

Пусть в D задана прямоугольная система координат. Тогда, если I — направление наибольшей стороны треугольника S, <р — меньший из двух углов между этой стороной и осью абсцисс и

Т' f \ , х2) .

К1 (ц, <р) = cos <р + —-г sin (р,

П-2{Х1,Х2)

К2(ц, ф) = T-J-------г sin

h2{Xi,X2)

т, ( ч . h1(x1,x2)

Л3(д, <Р) = sin <р - —-------- COS (/?,

n2{Xi,X2)

Ка{ц,Ф) = - , 1 .cosy,

n.2{Xl,X2)

<fi) = —hs(xi,x2) sill <p + hi(xi,*2) gin

h2{Xl,X2)

<p) = hs(xi,x2) cos <p - cos ^

h2{Xi,X2)

то верна следующая теорема.

Теорема 2. Пусть Vz G S коэффициенты матрицы Am(z) = (а^-) имеют следующий

8IJ 8V

«и = К1(ц,(р)-^(х1,х2) + К2{11,(р)-^{х1,х2),

811 8V

«12 = Къ(11,ф)-^{хЛ,х2) + КА(ц,(р)-^(х 1,Ж2),

811 8V

«21 = К5{ц,ф)-^{х 1,Ж2) +/11(^,у)-^(^1,^2),

dUm 8Vm

«22 = Кб(Ц,<р)-7^(х 1,Х2) + Кз(ц,ф~^(х 1,Х2).

Тогда справедлива оценка

e(S) < Midm + M2d^ + Ms(uji(dm) + h(dm)) + M4(uj2(dm) + l2(dm)),

где uji(t), uj2(t) — модули непрерывности градиентов функций Um(xi,x2),Vm(xi,x2) соответственно,

dm dm

h{dm) = ~r wi(t)dt, l2{dm) = ^~ uj2{t)dt

dm J J

0 0

и а = а(/л) > 0,/5 = Р(/л) > 0, сі = сйз£(5, сШ), Мі = М\{ц,и, сі, сНатИ, ір), М2 =

= М2у V, сі, <їжтВ, <р), М3 = у), М4 = ,\/,{//. у).

Доказательство. Производя поворот системы координат, аналогичный повороту, описанному в доказательстве теоремы 1, получаем, что (;Г'і, ;х2) = <У(Хі, Х2), х2(Хі, Х2))

и система (9) примет тот же вид, что и система (6):

дУ дії дії

(хі,х2) = Аі(^і,^2)тг— (хі,х2) + А2(У,;г2)—— (;Г‘і, ;х2),

дУ . , Л, , дії . , л, , 0Е/ , , ^ ;

Уі,;Г2) = А3(^і,^2)—-(^і,^2) + Лі(;Г‘і, :Х2) —— (;Г‘і, ;Г2),

ЯЛУ 11 04 11 "У\У 11 14 11 ' дХ2

2ці{;хі,х2) від 2'р — 2ц2(хі,х2) сов 2'р

Аі (;Хі, ;Г2) = \2(хі,х2) = Хз(хі,х2) =

1-і4(хі,х2) - і4{хі,х2)

1 + р‘1{хі,х2) + ІГ,І.Г\. .!■>) + 2//-1 (;хі, ;Г2) сов 2^ + 2[і2(хі,х2) він 2<^ 1 - ц1(хъх2) - //|(;г-і,;г2)

1 + р'Цхі,х2) + іг,і.г\. .г >) - 2^і(хі,х2) сов 2ір - 2ц2(хі,х2) він 2<^

где

1 - 1л1(х1,х2) - /4(Х1,Х2)

А коэффициенты матрицы УУ) также преобразуются к виду:

_дит. ,

«п — 1^2),

дит дУт

«12 = Ь1(р,<р)-^(Х1,Х2) + Ь2([Л,<р)-7р^(Х1,Х2),

_дУт. ,

«21 — [XI, Х2),

дит дУт

«22 = Ь3(^,(р)-^(х1,х2) + УУ у)т^Уь;г2),

г / ч Л-1 (^1,^2)

УУ ¥?) = -т-7-----------г,

П2(Х1,Х2)

У (а* 1 т / \ ’

П2(Х1,Х2)

У У у) = Ьз(х1,х2) - Муу^1.

П2(Х1,Х2)

Далее, поступая как в доказательстве теоремы 1 и полагая

М1 = ° + "С 1<1~а (1 + вир 1-^1 (/?)! + вирI<р)

(У + 1 V гея

м2= 13 ~У2оУ (1 + вирУу (/?)!+ вирУу (/?)!)

Р + 1 V -гей .г €5 /

м3 = 1 + вир I ^1 <У + вир! у У у)!,

2&3 2&3

М4 = 1 + ви.рIИ.!(//-, <У + вирУ У р>)\,

гей гей1

получаем требуемое.

Следствие 2. Пусть в области D с С задана последовательность {Рт}т= i конечных наборов точек и их триангуляций Тт. Тогда, если выполнены условия (1), (2) и G С С D — произвольная компактно вложенная подобласть, то

max e(S) = max sup II df(z) — Am(z) ||—> 0 при m —> oo.

SeTm,ScG SeTm,ScG zeS

Пример 2. Пусть fm(z) — дробно-линейное отображение вида

, , , CLZ + Ъ

J™\z) =-----а’ b,c,de С.

cz + d

Коэффициенты a,b,c.,d несложно определить по известным значениям в трех точках, воспользовавшись равенствами (4).

Поскольку отображение fm(z) — голоморфно, Um(xь ^2), Кг(^ь ^2) являются гармоническими функциями и удовлетворяют эллиптическому уравнению Лапласа. Следовательно, согласно [2, с. 297], имеем

d1

ui(dm) < N-td-41, h(dm) < —p-,

7 + 1

w2(dm) < N2d~TdTm, l2(dm) < N2d~T-^-,

t + 1

где N1 = Ni(Um, d, diamD), N2 = N2(Vm, d, diamD), > 0, r > 0.

Отсюда получим

c(Tm) < M\d^ + М2<фп + M-sd^ + M4d1n2,

где Ms = Мз(11, Um, ц, d, diamD, p), M4= M4(V, Vm, ц, d, diamD, p).

Это неравенство получается, если положить М\,М2 такими же, как в теореме 2, и

М3 = r^—--rNid~1 (1 + suplii (//,, (/?)! + sup|L3(>,, (/?)!] ,

7+1 V zes' zes' )

T + 2

-M4 =------N2d T

t + 1

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Альфорс, JI. Лекции по квазиконформным отображениям / Л. Альфорс. — М. : Мир, 1969. - 134 с.

2. Гилбарг, Д. Эллиптические дифференциальные уравнения с частными производными второго порядка / Д. Гилбарг, М. Трудингер. — М. : Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1989. - 464 с.

3. Клячин, В. А. С1-аппроксимация поверхностей уровня функций, заданных на нерегулярных сетках / В. А. Клячин, Е. А. Пабат // Сиб. журн. индустр. мат. — 2010. — Т. 13, № 2. - С. 69-78.

4. Курант, Р. Уравнения с частными производными / Р. Курант. — М. : Мир, 1964. — 830 с.

5. Препарата, Ф. Вычислительная геометрия / Ф. Препарата, М. Шеймос. — М. : Мир, 1989. - 478 с.

1 + sup|Li(^, р)\

z€S

sup|L20u, <р)

z&S

PIECEWISE SMOOTH APPROXIMATION FOR ELLIPTIC SYSTEMS SOLUTIONS

A.V. Boluchevskaya

The paper is devoted to the problem of piecewise smooth approximation for elliptic system solutions defined on triangular grids. It is shown that when we approximate a differential of such a solution by the differential of the approximating mapping the error depends on the triangles shapes and sizes. A mapping is build to approximate the differential with the error that does not depend on triangles in the grid. The analogous results are obtained for Beltrami equation solutions.

Key words: piecewise smooth approximation, approximation of a differential, elliptic system of equations, Beltrami equation, approximation error bound, triangulation.