CC BY
25Быть или не быть элементарному исчислению в системе математического образования
Гилев Валерий Георгиевич,
кандидат педагогических наук, доцент, Ишимский государственный педагогический институт им. П.П. Ершова, Филиал Тюменского государственного университета E-mail: gilev.valery@gmail.com
Решение этого частного вопроса может показать, что математическая общественность всерьез задумалась о проблемах в методике обучения математике.
Под теорией элементарного исчисления понимается раздел Алгебры и начал анализа в котором исследуются на монотонность рациональные и основные элементарные функции кроме логарифмической и обратных тригонометрических функций без использования пределов, и соответствующей символики. Инструментом исследования является функция обобщения, которая для рациональных функций является производной. Данный факт послужил основанием для формирования теории элементарного исчисления.
Статья адресуется прежде всего тем, кто освоил дифференциальное и интегральное исчисление и проявляет интерес к теории элементарного исчисления. Это учителя средней школы, преподаватели профессиональных учебных заведений, руководители курсовых и дипломных работ. Теория элементарного исчисления с необходимостью может стать предметом обсуждения среди преподавателей методики обучения математике.
Ключевые слова: монотонность, метод обобщения при исследовании функций, функция обобщения, мгновенная скорость изменения функции, производная функция, элементарное исчисление, дифференциальное исчисление, интегральное исчисление.
Функция обобщения
Теория элементарного исчисления возникла в связи с поисками методов исследования элементарных функций на монотонность без использования производной.
Пусть y = f(х) элементарная основная функция.
Функция y = f (х) возрастает на промежутке P с Df, если V(х1,х2) е P выполняется:
х2 - х1 > 0 ^f (х2) - f (х1) > 0.
Функция y = f(х) убывает на промежутке P с Df, если V(х1,х2) е P выполняется:
х2 - х1 > 0 ^ f (х2) - f (х1) < 0.
Выбираем V(х1,х2) е Df такие, что (х1,х2) е P.
Возможно f(х2) -f(х1 ) = B(х1;х2)• A(х1;х2), где B (х1;х2 )ф 0 при х1 ф х2 , B (х1; х2 ) = 0 при
х1 = х2; A (х1; х2)- выражение с двумя фиксированными значениями х1, х2 аргумента функции y = f (х). Числовое значение выражения
А( х1; х2) = к.
При B(х1; х2)> 0, знак выражения f(х2) -f(х1) будет зависеть от знака А(х1;х2). Для установления знака выражения А(х1;х2) выполним в нем логическую операцию обобщения, заменив х2и х2 на
X : Х1 = Х2 = X.
Обобщение путем замены х1 и х2 на х в выражении А(х1;х2) определило функцию 5(х) = А(х). Функция 8(х) называется функцией обобщения.
Функция обобщения позволяет находить промежутки монотонности функции y = f (х).
Решение неравенства 8(х) > 0 определяет промежутки, в которых функция возрастает.
Решение неравенства 8( х )< 0 определяет промежутки, в которых функция убывает.
Решение уравнения 8(х) = 0 определяет критические точки экстремума или перегиба.
Метод, при помощи которого находятся промежутки монотонности функции называется методом обобщения при исследовании функций (метод обобщения).
СОВРЕМЕННОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
№4 2023 [СПО]
Вопросы и ответы
Основным стимулом в продвижении исследования и осознания проблем в построении теории элементарного исчисления были Замечания, высказанные рецензентами рукописей по проблеме исследования.
Наиболее значимым вопросам были посвящены отдельные статьи [1,2,3].
Настоящая публикация является продолжением статей [4,5 ].
1. При исследовании функции на монотонность читаем: «Пусть P - промежуток возрастания или
убывания функции у = f (х) ».
Вопрос. Если монотонность известна, то зачем исследование?
Ответ. Промежутки монотонности мы находим, они не известны.
Предполагается, что точки щх 2 принадлежат
промежутку в котором функция или, возрастает, или убывает.
Вообще говоря, точки х1 и х2 в промежутке P могут располагаться по-разному: х2 > ху х1 > х2 или совпадать. Для определенности выбираем B(xi;x2)> 0. Для рациональных функций
B(хух2) = (х2 - xj), то есть (х2 - хх) > 0.
Точка х = х1 = х2 находится в выбранном промежутке P. Какому промежутку возрастания или убывания принадлежит точка х устанавливает решение неравенств 8(х)> 0 и 8(х)< 0, которое и определяет промежутки монотонности. Решение уравнения 8(х) = 0 определяет точки экстремума или перегиба.
2. f (х2) -f (х1) = B(ху х2)• A(хух2), где B(хух2) = 0 при х1 = х2; Но только лишь условие B(хух2) = 0 при х1 = х2; не позволяет определить B(хух2) однозначно. Тогда и выражение A(ху х2), участвующее в построении функции обобщения 8(х), может быть различным.
Вопрос. Как в таком случае находить промежутки монотонности функции из неравенств
8(х) > 0 или 8(х) < 0 ?
Ответ. За скобки выносится множитель
B(хух2)> 0, а не B(хух2) = 0. Для рациональных
функций выносится множитель (х2 - ху)> 0, а не х2 - ху = 0. В этом случае функция обобщения
определяется однозначно.
3. Ключевым положением статьи, имплицитно
содержащим определение производной, является утверждение: " Для элементарной функции
у = f (х) возможно разложение приращения функции на множители f(х2) - f(ху) = B(хух2)• A(хух2),
где B (ху х2 )ф 0 при х! ф х2, B (ху х2 ) = 0 при
ху = х2; А( ху х2)- выражение с двумя фиксированными значениями хух2 аргумента функции
у = f (х). Числовое значение выражения
А( ху х2) = к."
Вопрос. Почему данное утверждение в статье не доказывается. Отсутствуют даже наглядно интуитивные рассуждения, объясняющие причину его происхождения.
Ответ. Я могу объяснить причину разложения приращения функции на множители. Для рациональных функций я привожу доказательство в статье [3]. В исследовании имеются конкретные примеры разложения приращения различных элементарных функций. Общего доказательства утверждения я не знаю.
4. В дифференциальном исчислении понятие «приращение функции» связано с понятием «приращение аргумента», которое, в свою очередь, связано с фиксированной точкой из области определения функции. Если это есть точка ху, а х2 -
точка из её окрестности, то разность х2 - ху называется приращением аргумента в точке ху Разность f(х2) -f(ху) называют приращением функции f (х) в точке ху соответствующим приращению х2 - ху
Вопрос. А как в элементарном исчислении?
Ответ. Понятиям приращение аргумента и соответствующее приращение функции в элементарном исчислении придается тот же смысл, что и в дифференциальном исчислении. Отличие в том, что промежуток[хух2]сDf не рассматривается как окрестность точки ху так как в теории
элементарного исчисления отсутствует понятие предела, а, следовательно, и окрестности.
5. Определение «Касательной к кривой называется прямая, угловой коэффициент которой равен мгновенной скорости в точке касания».
Вопрос. Не является-ли данное определение тавтологией? Кроме того, речь должна идти не о касательной к кривой вообще, а о касательной к графику функции в точке.
Ответ. а) Графиком элементарной функции является кривая, поэтому определение согласуется с касательной к графику функции в точке.
б) Для промежутка монотонности рациональной функции из секущих параллельных прямых у = кх + ln только одна прямая у = кх +1 имеет общую точку с графиком функции. Эта прямая называется касательной. Мгновенная скорость в точке касания равна к. Причем эта скорость известна и равна 8( х). Поэтому касательная определяется
через мгновенную скорость. Данное определение не противоречит определению касательной через предельное положение секущей. Только в данном
случае секущая принадлежит классу параллельных прямых, а не пучку прямых у = kx как в дифференциальном исчислении.
6. В предлагаемом варианте за основу всей идеи берется понятие мгновенной скорости изменения функции. В методике принят подход: предварять это понятие понятием мгновенной скорости движения.
Вопрос. Почему выбран первый подход?
Ответ. В первом случае мы показываем мгновенную скорость движения на графике, а во втором - представляем. Понятие мгновенной скорости без соответствующего образа учащиеся плохо воспринимают. И не надо забывать о формировании умения «читать графики».
7. Вопрос. Какой смысл вкладывается в понятие мгновенная скорость в точке.
Ответ. Так как для точки Ax = x2 - xj = 0, Ay = f (x2)- f (xj) = 0 , то
VMrH. =АУ = 0 = k, где k - угловой коэффициент касательной у = kx +1.
8. В исследовании говорится об особенной роли касательной в построении теории элементарного исчисления.
Вопрос. В чем заключается эта особенность?
Ответ. Особенность вытекает из представле-
Ау 0
ния мгновенной скорости отношением— = — = k,
Ax 0
где k - угловой коэффициент касательной
у = kx +1.
Для линейной функции скорость на промежутке и в каждой точке постоянная, в частности в точке касания. Это справедливо и для любой секущей у = kx + ln из промежутка [xn;xn+1] средняя скорость изменения функции в котором равна S( x) = k.
Таким образом производная (мгновенная скорость) в точке касания равна k.
Благодаря постоянству отношения А. = k приращение аргумента и приращение линейной функции обозначили dx и dy : dy = kdx,dx = Ax.
9. Если рассматривать мгновенную скорость функции f (x) в различных точках промежутка монотонности, то мы будем получать, вообще говоря, различные значения. Таким образом, мгновенная скорость есть функция переменной x. Эта функция называется производной функции f (x) в точке x. Обозначается f'(x).
Вопрос. Не смешиваются-ли понятия «производная функции» и «производная функции в точке»?
Ответ. Производная функции является функцией, а производная функции в точке есть число. В элементарном исчислении для рациональных функций находится сразу производная функции S(x), а в дифференциальном исчислении сначала
находится значение функции в точке, затем путем обобщения получается производная функции f( x). Установлено, что для рациональных функций S( x) = f (x).
Пример. Найти производную квадратичной функции f (x) = x2 :
а) методом обобщения; б) по определению производной.
Решение:
а) Ау = f (x2 ) — f (xi ) = x2 - x1 =
= ( x2 — xj) A ( x2 + xj) B (xj; x2 ) AA ( xj; x2 )
где B (xj x2) = x2 — xj A( xj; x2) = x2 + xj.
Найдем функцию обобщения, переходя (обобщая) от xj и x2 к x в выражении
A(xj;x2) : 8(x) = A(x) = x + x = 2x;8(x) = 2x.
Ответ. 8(x) = 2x.
б)
f'(xj)= lim A = lim = lim (x2 — xjXx2 + xj) =
Ax—0 Ax x2 —xj x2 — xj x2 —xj x2 — xj
(x — x )
= lim ^ • lim (x2 + xj )= lim (x2 + xj)
x2 —— xj x2 — xj x2 —— xj x2 —— xj
== 2xj V (xj ) = 2xj.
Обобщая, получим f (x) = 2x.
Ответ. f (x) = 2x.
Видим, что в обоих случаях используется предельный переход, но различными способами. В первом случае, обобщая, мы сразу получаем производную (функцию обобщения), во втором -сначала получаем значение производной в точке, затем обобщаем. Здесь важен смысл, а не символика.
Итак, при вычислении производной рациональных функций логическая операция обобщения равносильна операции предельного перехода.
10. Средняя скорость
Ay f (x2)—f (xj)
— = ^^—V^ = A(xj;x2) = k изменения функции
Ax (x2 — xj)
на промежутке [xj; x2 ] это число. Поэтому равенство 8(x) = k означает, что для любой функции её функция обобщения 8(x) является постоянной функцией на промежутке [xj x2 ].
Вопрос. Это так?
Ответ. Это не так. Точка x e[xj;x2] единственная для которой 8(x) = k. Для других точек из промежутка монотонности 8(x) ф k. Секущая к графику проходящая через точки с абсциссами xj и x2 задает коэффициент k который определяется функцией обобщения 8(x) = k.8(x) определяет
СОВРЕМЕННОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
№4 2023 [СПО]
среднюю скорость на промежутке [х1; х2];к - мгновенную в точке х.
Итак, промежутку [х1; х2] соответствует секущая у = кх +1 для которой возможно «провести» касательную у = кх +1 определяющую единственную точку х е [х1; х2 ]. С другой стороны существует
бесконечно много секущих определяющих промежутки, в которых средняя скорость изменения функции равна мгновенной в точке х. И так для любой точки из области определения функции Df.
11. В исследовании утверждается, что область определения функции обобщения 8(х) совпадает
с областью определения функции f (х). Практика
показывает, что это не всегда так.
Вопрос. Данное ошибочное утверждение допускается сознательно?
Ответ. На момент исследования данное утверждение не является ошибочным, так как предметом исследования являются непрерывные функции, графики которых «гладкие». Вопросы, связанные с критическими точками, могут возникнуть в процессе решения примеров, но это легко объясняется, когда область определения функции обобщения не совпадает с областью определения функции f (х), например, в точках разрыва, или точках, в которых функция обобщения не существует, например, для f (х) = |х|. Более подробно
к этим вопросам придется вернуться при изучении элементов анализа.
12. В методике обучения школьников основам математического анализа неоднократно предпринимались успешные попытки строить учебный курс не на строгом определении понятия предела, а на наглядных представлениях о пределе и операции предельного перехода. Так, например, в учебном пособии «Алгебра и начала анализа» под редакцией А.Н. Колмогорова эти представления формируются с помощью приближенных вычислений значений функции и понятия погрешности вычислений.
Вопрос. Почему при введении элементов анализа в настоящем исследовании не использован традиционный подход?
Ответ. В настоящем исследовании понятие предела вводится путем движения свободной точки графика функции и соответствующей ей касательной к фиксированной точке. При таком подходе легко перейти к понятию предела, а главное к определению производной.
На самом деле. Пусть дан график функции у = f (х) (рис. 1).
Зафиксируем на графике точку М1 с абсциссой х1 . Точку M2 с абсциссой х2 сделаем свободной. Точка М1 (х1;у1) - фиксированная, точка М2 (х2;у2) -свободная.
Устремим точку М2 к точке M1. Касательная у = к2х +12 будет двигаться вместе с точкой М2
по графику. При этом она будет занимать положения всех касательных у = кх +1 пока не достигнет касательной у = к1х +11.
При движении точки M2 ее абсцисса х2 будет стремиться к абсциссе х1 точки M1.
Приращение аргумента Ах = х2 - х1 и приращение функции
Ау = f(х2)-f(х1) будут стремиться к нулю.
В результате, при очень близком расстоянии точек М2 и М1 мгновенная скорость в точке х2 стремится сравняться с мгновенной скоростью в точке х1.
В математическом анализе слово «стремится» заменяют символом —, а результат такого стремления обозначают символом lim. Имеем:
- 8(х2) —8(х1): lim 8(х2) = 8(х1).
Ау
Ах
8( х ) —8( х1 ) = ki; А--
lim = к1.
х? —>хт Ах
Ау
- При х2 — х1, Ах — 0, поэтому пишут lim — = к1.
Ах—0 Ах
Заметим, что:8(х1) = к1 - мгновенная скорость в точке х1;8(х2) = к2 -
мгновенная скорость в точке х2; 8(х) = к -мгновенная скорость в каждой точке х е[х1;х2].
lim ^ = 8(х) = к.
Ах—0 Ах
Определение. Производной функции у = f (х)
в данной точке х называется предел отношения приращения функции Ау к соответствующему
приращению аргумента Ах при Ах ^ О предел существует:
f(х) = lim Ау; y = lim ■Ау
v 7 Ах^0 Ах Ах^0 Ах
если этот
Таким образом, f (х) = ^lim^^ = 8(х) = к. Откуда
делаем вывод, что функция обобщения и угловой коэффициент касательной являются производными [6].
На наглядно интуитивном уровне представлен фрагмент введения понятия предела. Какой из способов с методической точки лучше пусть решает учитель. Только надо предоставить ему такое право.
Вопросы по интегральному исчислению возникли в процессе исследования. Рецензент ограничился фразой: «Множество самых различных замечаний можно высказать и в отношении разделов статьи, которые посвящены понятиям первообразной и интеграла».
13. Вопрос. В чем особенность построения интегрального исчисления через функцию обобщения?
Ответ. Особенность вытекает из определения функции обобщения как производной рациональной функции 8(х) = f (х). Из данного равенства обратной операцией интегрирования определяется функция f (х) = j8(х)dх , которая называется первообразной. Естественным образом задается опре-
х2
деленный интеграл f (х2)-f (х1) = f (х) ^ = js(х)dх,
х1
x2
который записывается f (х) = J§(х)dх[7].
x1
14. Вопрос. Откуда получилось подынтегральное выражение 8(х)dх ?
Ответ. Из определения функции обобщения имеем:
f(х2)- f(х1) = (х2 -х1 )-8(х1;х2); f(х2)-f(х1) = А-8(х).
x2
С другой стороны, f (х2)-f (х1) = js(х)dх.
x1
x2
Так как Ах = dх, то f (х) = js(х)dх.
x1
15. Вопрос. Что означает подынтегральное выражение 8( х) dх ?
Ответ. При движении точки Mt,х1 < х( < х2, по графику функции (рис. 2) отрезки KtNt =8(х1)
заполнят площадь криволинейной трапеции K1N1N2 K2. Следовательно, определенный интеграл означает площадь криволинейной трапеции подынтегральной функции.
С другой стороны (рис. 3) произведение 8(x) dx означает площадь прямоугольника со сторонами |8(х)| = |к| и dх. Модуль берется в случае
8(х) = к < 0. Здесь 8(х) означает среднюю скорость изменения функции на промежутке [х1;х2], к - мгновенную скорость в точке х.
Таким образом подынтегральное выражение 8(х)dх соответствует площади криволинейной
трапеции подынтегральной функции.
16. В исследовании доказано, что для рациональных функций первообразная интерпретирует площадь криволинейной трапеции.
Вопрос. Является-ли такое доказательство справедливым и для трансцендентных функций?
Ответ. Теоретически да. Для графика непрерывной на промежутке трансцендентной функции можно «провести» касательную у = кх +1.
СОВРЕМЕННОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
№4 2023 [СПО]
Это знание, к сожалению, не имеет практической пользы. Без дифференциального исчисления невозможно найти подынтегральную функцию, а значит построить таблицу неопределенных интегралов. Таблица неопределенных интегралов дает возможность вычислять первообразные по формуле Ньютона - Лейбница. Это дополнительный предлог для мотивации изучения теории пределов на более высоком уровне.
Примеры
х2
1. Исследовать функцию/"(x) = ~2—- на монотонность, построить схематически ее график.
Решение.
10. Область определения функции.
D = (-*:-2 )u(-2;2 )U(2; +4
т.к. х2 - 4 ф 0 ^ x ф-2 и x ф 2.
2о. Монотонность функции.
Пусть (х1,х2)е P с Df и х2 > х1, т.е. х2 - х1 > 0.
Имеем:
f ( х2 )-f ( х1 ) =
х2 x2 _ x2 х2 - 4х2 - х2х2 + 4x1
2 -4 xi2 -4 (x| -4)(xf -4)
-4 (x22 - x2) , , -4 (x2 + x) _
= ( x2 - 4)(x2 - 4 )=( x2 - x‘ >'( x§ - 4)(xf - 4) =
= B ( xl, x2 )' A ( xl, x2 ),
где
f ч у 4 -4 (x2 + xi)
B (x1, x2 ) = x2 - x1,A (x1, x2 ) = / 2 Л! 2 Лу
(x2 - 4)(xl - 4)
8(Y Y )= -4(x2 + x1)
8<xi,x2 >=( x2 - 4)(x2 - 4) ■
При x1 = x2 = x получим
8( x ) = A( x ) = ^* ; 8( x )= -8x
2
(x2 - 4)2 w (x2 - 4)2 Найдем критические точки :S( x) = 0; x = 0 - кри-
тическая точка.
При x ^0S(x^0 , следовательно в промежутках
x2
(-да;-2) и (-2; 0] функция f (x) = -f—4 возрастает.
При x > 0 8(x)< 0 , следовательно в промежутках [0; 2) и (2; +да) - убывает.
Ответ: Возрастает в промежутках (-да;-2) и (-2; 0 ]; убывает в промежутках [0; 2) и (2; +да).
3°. Экстремумы.
В точке x=0 функция меняет поведение с возрастания на убывание. Следовательно,
xmax = 0 У max = °-
4°. Зная промежутки монотонности функции
x2
f (x') = ~2—-, легко построить схематически график (рис. 4).
2. Найти среднюю скорость изменения функции на промежутке:
а) [-4;-2,5] : б) [-1,5; 0], в) [0;1,5], г) [2,5; 4].
Решение. Средняя скорость находится по формуле Vcp =8( xi; x2 );
S(x x )= -4(x2 + x1)
8( x1, x2)-(4 - 4)(x? - 4) ■
Например, а) [-4;-2,5 ]. x1 = -4, x2 = -2,5.
-4 (x2 + xf) (-4)' (-6,5) 26 :
(x2 -4)(x2 -4) = 2,25'12 = 27. :
V[-4;-2,5] = Ц (рис. 4).
26
Ответ: V[-4;-2,5] = 27.
3. а) Найти мгновенную скорость в точке: а) -4 ;
б) -2,5 ; в) x (рис. 4).
Решение. Мгновенная скорость в точке x0 находится по формуле
V* =8(
(*0 -4)
Vcp.=
а) V-4 =8(-4). <-8>'<-4)2 = -32 =2;
((_4)2 Х 144 9
- 4
б) V 25 = 8(-2,5)= ( 8),( 2,5)2 = 20'— = 320 = 3 -2 ( ) ((-2,5)2 - 4)2 81 81
77; 81;
б) Найти производную (мгновенную скорость в любой точке х) из области определения функции.
f'(х ) = 8( х ) =
-8х
Ответ: f(х) =
(х2 - 4)
-8х
2
(х2 - 4)2
4. Построить
8( х)- f( х ) = -8х
график
функции
(х2 - 4)2
Решение. График строится схематически по точкам (х;8(х)), 8(х) = к :
-44Н-11)(0;0)’(11Н4!} я3™*6 учитывается поведение функции в точках разрыва (рис. 5).
5. На рисунках 4 и 5 представлены первообразная y = f (х) и ее производная<<Eqn272.wmf>> Та-
ким образом, f (х) = J8(х)d
(х) ах.
а) Найти площадь заштрихованной фигуры
S = Si + S2.
Решение.
S = S1 + S2
S2 =
-8х dх -8х ф 1 8
(х2 - 4)2 (х2 - 4 )2 ю 9
0
с 8 8 7
S = — + — = 1—. 9 9 9
8
9".
Ответ: 1-9.
1
б) Вычислить
J1
-1
-8х
(х2 - 4)2
ах.
Решение.
1
Ответ: 0.
В примере: а) используется геометрический смысл первообразной. Находится сумма площадей криволинейных трапеций в промежутках возрастания и промежутках убывания; б) используется физический смысл первообразной. Находится алгебраическая сумма площадей: над осью абсцисс площади берутся со знаком плюс, а под осью абсцисс - со знаком минус. В результате Ay = f (х2)- f (х1 ) = 0.
Послесловие
«Понятия производная, мгновенная скорость изменения функции, касательная к графику функции неразрывно связаны с понятиями предела и предельного перехода. Так же точно вся история появления понятия «интеграл» также указывает на связь с этими понятиями. Тот факт, что математики долгое время не пользовались понятием предела, вовсе не означает, что они не осознавали его наглядный смысл и ключевую роль при вычислении ими длин дуг, площадей фигур, объемов тел и пр. Предел - главное базовое понятие математического анализа. Без осознания этих связей и формирования хотя бы начальных наглядных представлений о пределе и предельном переходе невозможно дать математически правильное понимание самой сути этой математической дисциплины. Понимание математически строгого определения предела функции, как показывает практика, вызывает серьёзные трудности у значительной части учащихся» (08.01.2023 Рецензент).
Я полностью согласен с уважаемым Рецензентом. При этом задаюсь вопросом - какое отношение «осознание ключевой роли понятия предела математиками» имеет к системе математического образования, к методике введения производной? Основатели дифференциального и интегрального исчисления умели находить производные до изобретения и развития теории пределов. Они понимали значимость операции предельного перехода, не объясняя до конца ее смысл, так как не знали теории развития числа.
Учащиеся находятся в еще более сложном положении. У них вообще отсутствуют основы для введения производной кроме как через пределы.
В связи с этим А.В. Гладкий [8] пишет: «Из курса алгебры многое было изъято, причем как раз то, что в наибольшей степени способствовало «приведению ума в порядок» и расширению кругозора (комбинаторика, бином Ньютона, комплексные числа, теорема Безу). Освободившееся
СОВРЕМЕННОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
№4 2023 [СПО]
место заняли производные и интегралы, о которых рассказывают в стиле тех времен, когда начала анализа были, по выражению Г.М. Фихтенголь-ца, «покрыты мистическим туманом». Получился курс, который не только не способствует развитию навыков четкого и упорядоченного мышления, но, напротив, разрушает их, отучает от строгих рассуждений, от доказательств. А донести до школьников идеи, лежащие в основе понятий производной и интеграла, при этом не удается. Наивно было бы думать, что изложить эти понятия без обоснования так, чтобы было в самом деле понятно, легче, чем с обоснованием. В старые времена были, видимо, преподаватели, умевшие их так излагать, но это искусство давно забыто. И фактически все, что получает нынешний школьник в результате изучения «начал анализа» - это навыки выполнения некоторых формальных операций (выделено мной - В.Г.), смысл которых ему непонятен. Причиняемый таким преподаванием вред очевиден, а польза равна нулю: всем, кому могут потом понадобиться для работы хотя бы только элементы математического анализа, придется изучать его заново, и то, что они учили в школе, им в этом не поможет».
Автор статьи [8] предлагает два пути решения
проблемы. Один из них состоит в том, чтобы переработать курс алгебры в направлении приближения его к современному состоянию этой науки. Другой возможный путь - научиться преподавать начала анализа без мистического тумана. И прежде всего нужно написать учебник нового типа, в котором рассуждениям и объяснениям отдавалось бы решительное предпочтение перед вычислениями и формальными преобразованиями, и полная строгость сочеталась бы с максимальной наглядностью (выделено мной - В.Г.).
Исследование по элементарному исчислению как раз и посвящено реализации второго пути решения проблемы, который предложил А.В. Гладкий. Оно заключается в том, чтобы вначале ввести функцию обобщения для исследования функций на монотонность. В этом имеется методическая необходимость решения проблемы - свойство монотонности определяется, а метода исследования нет, так как нельзя найти промежутки монотонности без использования производной, которая появляется позднее. Функция обобщения позволяет решить эту проблему.
Метод обобщения при исследовании функций можно ввести уже в основной школе, сообщив, что функция обобщения является производной, которая изучается в старших классах школы и более подробно в курсе математического анализа.
Далее, в старших классах можно ввести определение производной через понятия мгновенной скорости изменения функции и углового коэффициента касательной, используя наглядноинтуитивные представления о пределах [6]. Таким образом, на раннем этапе изучения производной
мы избавляемся от сложной теории пределов -«мистического тумана».
Итак, теория элементарного исчисления предоставляет основы для введения производной без использования пределов:
- На примере рациональных функций вводится понятие производной через мгновенную скорость изменения функции в точке.
- На наглядной основе вводится понятие предела и соответствующая символика без вычисления пределов.
- Дается строгое определение производной.
- Вводятся элементы дифференциального и интегрального исчисления на необходимом уровне.
В результате учащиеся знакомы со всеми основными понятиями математического анализа и готовы изучать его на более высоком уровне [9].
Заключение
Быть или не быть элементарному исчислению в системе математического образования?
Решение этого частного вопроса может показать, что математическая общественность всерьез задумалась о проблемах в методике обучения математике.
Основную проблему я вижу во внедрении представленной в исследовании методики обучения элементам математического анализа.
Математики выступают против такой методики, потому что не могут абстрагироваться от теории пределов и пересмотреть устоявшееся в матема-0
тике утверждение - неопределенность в пользу
0 = k. Методисты не имеют своего голоса. Методика обучения вытесняется технологиями, которые не учитывают дидактические принципы обучения.
Проблема с внедрением элементарного исчисления в средние учебные заведения с необходимостью может стать предметом обсуждения среди преподавателей методики обучения математике, которая утратила свое значение в силу сложившихся обстоятельств. Многое зависит от тех, кто определяет содержание математического образования.
PS. а) За многие годы преподавания темы «Монотонность. Скорость изменения функции. Понятие предела. Определение производной» на педагогическом факультете ИГПи им. П.П. Ершова я не слышал вопросов подобных тем, что поставлены в настоящей статье. Студенты естественно воспринимают материал, понимая логику его построения. Главное заключается в том, что материал согласуется с другими темами читаемого курса математики для учителей начальных классов.
б) Вопросы в данной публикации сформулированы по Замечаниям рецензентов на рукописи статей, присылаемых в журнал. Получил от жур-
нала отказ в публикации рукописи «Производная и первообразная в элементарном исчислении» и просьбу редакции не присылать больше материалы с данной тематикой так как «все рецензии на ранее поступавшие рукописи по элементарному исчислению были отрицательные».
Литература
1. Гилев В.Г. О смысле отдельных математических понятий и отношений // «Современная школа России. Вопросы модернизации» (№ 5(36) 2021 г.), с. 19-24.
2. Гилев В.Г. Операция предельного перехода //
МИРОВАЯ НАУКА: НОВЫЕ ВЕКТОРЫ И ОРИЕНТИРЫ: материалы VII Международной
научно-практической конференции (г. Ростов-на-Дону, 30 Сентября 2022 г.). в 2-х ч. Ч. 2. -Ростов-на-Дону: Изд-во «МАНУСКРИПТ»,
2022. - 143с. - С. 25-27.
3. Гилев В.Г. Каноническое представление приращения элементарных функций и замечательные пределы // Современное среднее профессиональное образование. - № 3. - 2022. -35 с. - С. 21-25.
4. Гилев В.Г. Об открытии метода обобщения при исследовании функций на монотонность и выпуклость графика // Научно-методический электронный журнал «Концепт». - 2015. -Т. 6. - С. 51-55.
5. Гилев В.Г. Быть или не быть элементарному исчислению в школьном курсе математики? // «Заметки Ученого - nauka-prioritet.ru», Архив номеров, Апрель - № 4/2022, с. 120-130.
6. Гилев В.Г. Методика введения понятия производной в элементарном исчислении // Современное педагогическое образование. - № 8. -2022. - С. 33-41.
7. Гилев В.Г. Дифференцирование и интегрирование в элементарном исчислении// Современное профессиональное образование. -№ 4-2022.- С. 3-11.
8. Гладкий А. В. О преподавании алгебры и начал анализа в школе. // «Математическое образование», 2009 г. - № 3.
9. Гилев В.Г. Элементарное исчисление в профессиональном образовании: основные понятия и отношения// Современное профессиональное образование. - № 2. - 2023. - С.
TO BE OR NOT TO BE ELEMENTARY CALCULUS IN THE SYSTEM OF MATHEMATICAL EDUCATION
Gilev V.G.
Ishim State Pedagogical Institute. P.P. Ershov
The solution of this particular question may show that the mathematical community is seriously thinking about the problems in the methodology of teaching mathematics.
The theory of elementary calculus is understood as a section of Algebra and the beginnings of analysis in which rational and basic elementary functions are studied for monotonicity, except for the logarithmic and inverse trigonometric functions, without the use of limits, and the corresponding symbolism. The research tool is a generalization function, which is a derivative for rational functions. This fact served as the basis for the formation of the theory of elementary calculus.
The article is addressed primarily to those who have mastered the differential and integral calculus and are interested in the theory of elementary calculus. These are secondary school teachers, teachers of professional educational institutions, supervisors of term papers and theses. The theory of elementary calculus can necessarily become a subject of discussion among teachers of mathematics teaching methods.
Keywords: monotonicity, generalization method in the study of functions, generalization function, instantaneous rate of change of a function, derivative function, elementary calculus, differential calculus, integral calculus.
References
1. Gilev V.G. On the meaning of individual mathematical concepts and relationships // “Modern School of Russia. Issues of Modernization” (No. 5(36) 2021), p. 19-24.
2. Gilev V.G. Limit transition operation // World science: new vectors and landmarks: Proceedings of the VII International Scientific and Practical Conference (Rostov-on-Don, September 30, 2022). in 2 hours. Part 2. - Rostov-on-Don: Manuscript Publishing House, 2022. - 143p. - S. 25-27.
3. Gilev V.G. Canonical representation of the increment of elementary functions and remarkable limits // Modern secondary vocational education. - No. 3. - 2022. -35 p. - S. 21-25.
4. Gilev V.G. On the discovery of the generalization method in the study of functions for the monotonicity and convexity of the graph // Scientific and methodological electronic journal “Concept”. - 2015. - T. 6. - S. 51-55.
5. Gilev V.G. To be or not to be elementary calculus in the school course of mathematics? // “Notes of a Scientist - nauka-prioritet. ru”, Archive of Issues, April - No. 4/2022, p. 120-130.
6. Gilev V.G. Methodology for introducing the concept of a derivative in elementary calculus // Modern Pedagogical Education. -No. 8. - 2022. - S. 33-41.
7. Gilev V.G. Differentiation and integration in elementary calculus// Modern professional education. - No. 4-2022. - P. 3-11.
8. A. V. Gladkiy, Teaching Algebra and the Beginnings of Analysis at School. // “Mathematical education”, 2009 - No. 3.
9. Gilev V.G. Elementary Calculus in Vocational Education: Basic Concepts and Relations // Modern Vocational Education. - No. 2. - 2023.
СОВРЕМЕННОЕ ПЕДАГОГИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ
