Быстрые методы поиска базисов разложения сложного сигнала Текст научной статьи по специальности «Компьютерные и информационные науки»

УДК 621.316.761.2

БЫСТРЫЕ МЕТОДЫ ПОИСКА БАЗИСОВ РАЗЛОЖЕНИЯ

СЛОЖНОГО СИГНАЛА

С. А. Курбатский, А.В. Чендаров

Решена задача аппроксимации сигнала с высокой точностью с помощью небольшого числа векторов, при которой алгоритмы построения деревьев строят полное дерево вейвлет-пакетов и затем, на основе функции стоимости, происходит усечение дерева до оптимального.

Априорная информация о свойствах сигнала используется для построения динамически управляемых деревьев вейвлет-пакетов, при этом необходимость разбиения одной из вершин определяется на основе информации, полученной из уже расщепленных вершин.

Ключевые слова: ортонормированный базис, вейвлет-пакет, аппроксимация

сигнала.

Лучший базис вейвлет-пакетов разбивает частотно-временную плоскость на элементарные атомы, которые наилучшим образом приспособлены для аппроксимации конкретного сигнала. Для сигналов длины N словари вейвлет-пакетов включают более чем 2м2 базисов. Рассмотрим словарь В, который является объединением ортонормированных базисов в пространстве сигналов конечной длины N

в = и вх.

ХЕА

Каждый ортонормированный базис - это семейство из N векторов В^ = }<т<N. Задача состоит в выборе наилучшего базиса из В так,

чтобы оптимизировать нелинейную аппроксимацию / Пусть ¡м - множе-

ство индексов М векторов Вх, которые максимизируют шая нелинейная аппроксимация /в Вх есть

f, gm

Im- X

mel\

Погрешность аппроксимации есть

f, Sm) gm

. Наилуч-

(1)

e[m]- X

m4lm

f, gm

hl. Л

2 x и, sm

melm

(2)

Будем считать что базис Ва = |§т |<т <N лучше чем базис Ву = }<т<N при аппроксимации/, если при всех М > 1

2

2

8а[М ]<8У[М ]

Подставим (2) в (3) получаем эквивалентное условие лучшего базиса:

УМ > 1

I

ше/^

/, ёш

> I

ше/Ш

/, ёш

(3)

(4)

Более удобный критерий может быть сформулирован на основе вогнутых функций стоимости Шура: базис ва лучше, чем базис Б1 при аппроксимации / тогда и только тогда, когда при всех вогнутых функциях Ф(и)

2 Л Г, \2^

N

I ф

ш=1

/, ёш

N

< I ф

ш=1

/, ёш

(5)

При решении практических задач два базиса сравниваются путем использования одной вогнутой функции Ф(и). Стоимость аппроксимации / в базисе В1 определяется вогнутой суммой Шура

2 ^

С

(, В *)=

N

1ф

ш=1

1, ёш

(6)

При этом если базис Ва лучше, чем базис Ву при аппроксимации/, то

с (/, ва)< с (/, В (7)

Это условие является необходимым, но не достаточным для гарантии того, что Ва лучше, чем базис Вт, так как используется одна вогнутая функция стоимости. Часто возникают ситуации, когда ни один из базисов не является лучше в смысле (3) так как это неравенство выполняется не для всех М. И выбор наилучшего базиса зависит от конкретной вогнутой функции Ф(и). Наилучшим может считаться базис Ва в Э, у которого стоимость аппроксимации / минимальна:

с (/, В а)= шп с (/, В (8)

^ел

Наилучший базис, соответствующий /, минимизирует стоимость

г 2\

, ёШ

с (, в *)= ^ ф

ш=0

2

(9)

Нахождение этого минимума непосредственным сравнением стои-

мости всех вейвлет-пакетов базисов потребовало бы более чем n2 операций, что с вычислительной точки зрения нереально. Быстрый алгоритм динамического программирования Куафмана и Викерхаузера [1] находит

2

2

2

2

2

лучший базис за операций, используя структуру дерева этих

словарей.

В базисах вейвлет-пакетов каждый узел соответствует пространству Ж? которое определяет ортонормированный базис В? вейвлет-пакетов. Это пространство разбивается на два ортогональных подпространства, расположенных в порожденных узлах: Ж? = Ж^ © .

Поэтому в добавление к В ? можно построить ортогональный базис ЖР с помощью объединения ортогональных базисов Ж^Р и Ж^2^1. Корень дерева соответствует пространству размерности N которое есть Ж^

где 2Ь = А^1.

Стоимость / в семействе М < N ортонормированных векторов В = =^т}1<м^ определяется частичной суммой:

n-1

c((,B) = i ф

m=0

f ' 2 ^ f, gm

f

|2

J

(10)

Эта стоимость аддитивна, следовательно, для любых ортонормированных базисов B0 и B1 двух ортогональных пространств

C f, B0 u B1) = C f, B0)+ C (f, B1) (11)

Наилучший базис Oj пространства Wj - это базис, минимизирующий стоимость (11) среди всех базисов Wj, которые могут быть построены из векторов дерева. Процедура рекурсивного построения наилучших базисов снизу вверх вдоль ветвей дерева может быть описана следующим образом.

Если С - аддитивная функция стоимости, то

O2^1 uо2P+1, если Сf,O2+)+ Сf O^1)< c(, Bf) Bf, если С(f, O2+1)+ С(f, Oj+1+1 )> C(f, Bf) Наилучший базис в корне дерева получается нахождением лучших базисов всех пространств Wj на дереве в результате движения снизу

вверх. Внизу дерева нет подразбиений каждого Wj. Поэтому лучшим базисом будет единственный имеющийся в распоряжении базис Op = Bf. Лучшие базисы Wj пространств Wj\ рекурсивно вычисляются по луч-

Of =1

шим базисам пространств ^/+1} с использованием соотношения (12).

Повторение этих вычислений при у > J до корня дает наилучший базис / в

Ж®. При использовании этого алгоритма лучший базис корневого пространства отбирается за 0(Мо§2М) операций.

Рассмотренные методы качественно решают задачу аппроксимации сигнала с высокой точностью с помощью небольшого числа векторов. При решении этой задачи, алгоритмы построения деревьев строят полное дерево вейвлет-пакетов и лишь затем, на основе функции стоимости, происходит усечение дерева до оптимального. Обе операции требуют большого объема вычислений, что осложняет реализацию подобных алгоритмов в реальном масштабе времени. Кроме того задачи обработки сигналов со сложным спектральным составом предполагают решение более широкого круга проблем, и не всегда требуется построение базисов которые наиболее точно представляют сигнал с помощью небольшого числа векторов. Более эффективным будет базис который выделяет ценную информацию о сигнале и подавляет составляющие сигнала, которые не несут полезной информации, например шум. В данном случае наиболее эффективным будет использование априорной информации о свойствах сигнала и построение динамически управляемых деревьев вейвлет-пакетов. Когда необходимость разбиения одной из вершин определяется на основе информации, полученной из уже расщепленных вершин. При этом сам процесс построения можно интерпретировать как задачу устранения неоднозначности свойств сигнала.

Если сигнал содержит информацию во всех частотных диапазонах и вся эта информация необходима (является существенной для решения конкретной решаемой задачи), то использование усеченного базиса приведет к потере существенной информации.

В реальных приложениях подобные ситуации встречаются редко, поэтому можно сделать предположение об избыточности информации в анализируемом сигнале. Причем избыточность трактуется как присутствие в сигнале информации, которая не оказывает значительного влияния на решение именно конкретной поставленной задачи, а не задач анализа сигналов в целом. При решении конкретной задачи анализируемый сигнал может быть интерпретирован как объединение наборов характеристик (признаков):

/ ^¥с UF0, (13)

где / - анализируемый сигнал, ^ - трактуется как эквивалентность с точки зрения решения конкретной задачи, Fc - характеристики (признаки), которые являются существенными для решения конкретной задачи, Fo -

остальные признаки сигнала, которые не оказывают значительного влияния на результаты решения.

При таком подходе задача поиска совокупности функций разложения (базисов) сложного сигнала в реальном масштабе времени может быть сведена к построению базисов, которые сохраняют Fc и минимизируют вычислительные затраты на f0.

Для этого необходимо:

1) Определить какие их свойств сигнала являются существенными.

2) Определить контекст, в котором данные свойства являются существенными.

3) Осуществить частичное разложение сигнала по базису.

4) На основе частичного разложения сигнала по базису, получить некоторую информацию о контексте и существенных признаках.

5) Проанализировать имеющуюся информацию и принять решение о дальнейшем разложении сигнала по базису (переход на шаг 3) или о наличие достаточной информации о сигнале для его дальнейшей обработки.

В данном случае под контекстом понимается некоторая дополнительная информация, которая позволяет принять решение о том, является ли определенный признак существенным в конкретной ситуации поэтому (13) может быть уточнено:

fK ^ Fc (К ) U F U Fc (К )), (14)

где fc(k) - информация о сигнале, которая существенна в данном контексте, Fc (к ) - информация о сигнале, которая может быть существенной, но не в данном контексте.

Список литературы

1. Андреев А.В., Санкина О.Б. Методы сравнения изображений с эталоном, признаковые контурные и структурные методы распознавания образов: сравнительный анализ // Сб. научных трудов НТО РЭС им. А.С. Попова. Тула: ТулГУ, 2013. С. 64-66.

2. Бехтин, Ю.С, Брянцев, А.А. Подавление спекл-шума на основе анализа множеств зашумленных и неискаженных данных изображений в системах машинного зрения // Тез. докл. МНТК «Распознавание». Курск, 2005. 2 с.

3. Coifman R.R. and Wickerhauser M.V. Entropy-based algorithms for best basis selection. IEEE Trans. Info. Theory. 38 (2): 713-718. March 1992.

4. Davis G.M., Mallat S. and Avelanedo M. Greedy adaptive approximations. J. of Constr. Approx. 13:57-98. 1997.

5. Chen S. and Donoho D. Atomic decomposition by basis pursuit. In SPIE International Conference on Wavelets. San Diego. July 1995.

Курбатский Сергей Алексеевич, начальник отделения, rts@cdbae.ru, Россия, Тула, ОАО Центральное конструкторское бюро аппаратостроения,

Чендаров Андрей Владимирович, начальник отдела, Россия, Москва, Министерство промышленности и торговли

FAST METHODS OF SEARCH OF COMPOUND SIGNAL DECOMPOSITION BASES

S.A. Kurbatskiy, A.V. Chendarov

The problem of high precision signal approximation has been solved, with the help of a small number of vectors wherein the tree derivation algorithms construct a complete tree of a wavelet package and afterwards pruning of the tree to an optimal value takes place on the basis of cost function.

Prior information about signal properties are used for constructing dynamically controlled wavelet package trees wherein decomposition of one of the top points is determined on the basis of the information derived from the already decomposed top points.

Key words: orthonormal basis, wavelet package, signal approximation.

Kurbatskiy Sergey Alexeyevich, lead of department, rts@,cdbae.ru, Russia, Tula, JSC Central Design Bureau of Apparatus Engineering,

Chendarov Andrey Vladimirovich, head of department, Russia, Moscow, Ministry of industry and trade

УДК 621.396.962

АДАПТИВНАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ МЕШАЮЩИХ ОТРАЖЕНИЙ ДЛЯ РЛС С КВАЗИНЕПРЕРЫВНЫМ СИГНАЛОМ

А.В. Хомяков, В.Л. Румянцев, П.Ю. Чесноков

Предложена модификация пропорционально нормализованного алгоритма адаптивной цифровой фильтрации по методу наименьших средних квадратов, отличительной особенностью которого является отсутствие эффекта застоя. Получены численные оценки выигрыша за счет применения предлагаемого алгоритма при изменении основных параметров мешающих отражений и зондирующего сигнала.

Ключевые слова: адаптивный фильтр, компенсация помех, шаг адаптации, ошибка компенсации.

Известно, что эффективность компенсации мешающих отражений определяется диапазоном их возможного расположения по задержке и шириной спектра флюктуаций [1, 2, 3]. Кроме того, наличие априорной информации о распределении интенсивности мешающих отражений позволя-

156