CC BY
208
2005
НАУЧНЫЙ ВЕСТНИК МГТУ ГА серия Авионика и электротехника
№ 89(7)
УДК 629.735
БУТСТРЕП-МЕТОДЫ ПОСТРОЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ ДЛЯ ЗАДАЧ ОЦЕНИВАНИЯ ТОЧНОСТНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК
СИСТЕМЫ ЛА-КСЦПНО
Д.В. АНУФРИЕВ
Статья представлена доктором технических наук, профессором Кузнецовым С. В.
В статье рассмотрены алгоритмы вычисления интервальных оценок для точностных характеристик системы ЛА-КСЦПНО, основанные на применении бутстрепов. Данный метод позволяет, не увеличивая потребный объем испытательных полетов, существенно улучшить качество получаемых оценок.
При оценке точностных характеристик системы ЛА-КСЦПНО по результатам лётных испытаний приходится, как правило, иметь дело с выборками малого объема, поэтому построение доверительных интервалов должно являться обязательным этапом в оценке точностных характеристик [1].
Метод определения доверительных интервалов произвольного действительного параметра [ = [(F), основанный на бутстреп-распределении в = [(F), разработанный в [4,5], заключается в следующем. Положим, что:
CDF(t) = Pr ob* {в * < t}
- кумулятивная функция бутстреп-распределения в*. Тогда для заданного g нижняя и верхняя границы доверительного интервала определяются как:
Slow (g) = cDf-'(a/ 2)
Sup (g) = cDf-‘(1 -a 2)
обычно обозначаемые просто eLOW, вир, где g - заданная доверительная вероятность, a = 1 - g . Метод процентилей состоит в выборе:
[вLOW (f)Ap (g)]
в качестве центрального (1 -a) - доверительного интервала для q. Так как
а12 = CDf(eLOW), 1 -a/2 = CDf(вир) , интервал по методу процентных точек состоит из центральной части бутстреп-распределения массы (1 -a) [2].
Алгоритм построения бутстреп-интервалов следующий:
Шаг 1. Используя генератор случайных чисел, получаем на основе исходных значений x1,x2,...,xn-1,xn бутстреп-реализацию, которая по объему равна исходной выборке (n = n*).
Шаг 2. Независимо повторить шаг 1 B раз, получив при этом соответственно В бутстреп-реализаций (бутстреп-выборок) объемом n .
Шаг 3. Вычислить на основе бутстреп-выборок соответственно B бутстреп-оценок:
в*\X-) = в!(X*1, X*1,..., X*-!, X*1} в*2( X*2) = в!( X*2, X*2,..., X*-!, X*2)
в*5-1^-1) = вВ-1^-1, X*«-1,..., X*Bl-l, X*5-1) ё*В (X*В) = вВ (X*5, X*5 ,..., X**, X*5)
Для математического ожидания бутстреп-оценки будут иметь следующий вид:
х * = Л^г
п
х *2=Л^г
. : — • (X*1 + X*1 + ...X*1 , + X*1,)
ср п п-1 п /
._■IX *2 + .г*2 + x *2 + .г*2 )
- г-п л \Л1 ~ * ~Л- * /
ср п * V 1 2 п-1 П '
гв-1 =1 ■(X;5-1 + X*5-1+...X*5-,1 + X ?-1)
ср * ' 1 2 п-1 п /
х;в = Л- (X*'
* 5 *5 *5 *5
- ср :—«"'1X1 + X2 + ...X * + X * )
Ср п* 1 2 п-1* п*
а для среднего квадратического отклонения:
*2
п
г1-,-1 (X,- К )
1 ,=1
п
Ч -1 (X,- -г;,2 )2
1 ,=1
*5-1
*5
Ч! (X, - -г)
* 1
п -1
п
Ч -1 (X, - X, )2
1 ,=1
*
,=1
*
Шаг 4. Массив из В бутстреп-оценок необходимо отсортировать в порядке возрастания и каждому элементу массива присвоить индекс от 1 до В.
Шаг 5. Определить индексы, соответствующие верхней и нижней границам искомого бутстреп-интервала. При доверительной вероятности у:
I ьоп- (у) = B■f, V (у) = 5-¡1 -|\ а = 1 -у.
Шаг 6. Нижняя граница доверительного бутстреп-интервала будет соответствовать
а 1 -а
5 ■ — -му элементу из отсортированного массива, а верхняя граница - 5 —-—му элементу
этого же массива, т.е. с вероятностью у данный бутсреп-интервал “накроет” бутстреп-оценку точностной характеристики.
На основе выборки, “отклонение от заданной скорости в точке касания”, рассчитаем интервальную оценку математического ожидания. Согласно алгоритму, массив из 60000 бутстреп-оценок, отсортируем в порядке возрастания и каждому элементу массива присвоим индекс от 1 до 60000. Индексы, соответствующие верхней и нижней границам искомого бутстреп-интервала, при доверительной вероятности у= 0,9
1ьош (у) = 60000 01 = 3000, 1ир(у) = 60000- ^1 - = 57000, а = 1 - 0,9.
Нижняя граница доверительного бутстреп-интервала будет соответствовать 3000-му элементу из отсортированного массива, а верхняя граница - 57000-му элементу этого же массива, т.е. интервальная оценка математического ожидания будет (19,067, 21,232). Функция распределения бутстреп-оценок для нахождения доверительных областей представлена на рисунке.
1
0.9 0,8 0.7
о.е
0.5 0.4 0,3
0.2
0,1
0
17,85 18,32 18,80 19,27 19,75 20,22 20,70 21,17 21,65 22,1 2 22,60
Функция распределения .......F(0 ,9 5 ) ----F (0 ,0 5 )
Рисунок. Функция распределения бутстреп-оценок
Доверительный интервал, рассчитанный традиционным методом [3], равен (19,038, 21,260), т.е. бутстреп-интервалы не обладают существенными преимуществами по сравнению с традиционными. Ситуация с построением доверительных областей для СКО аналогична.
При объеме исходной выборки N, чтобы составить бутстреп-выборку аналогичного объема, следует выбрать N элементов из исходного множества и упорядочить полученную совокупность. На первое место можно поместить любой из N элементов. Так как используется выборка с возвращением, то на второе место можно поместить также один из первоначальных N элементов и т. д. ( N = NB, где N - объем исходной выборки; NB - объем бутстреп-выборки), но ничто нам не мешает увеличить объем бутстреп-выборок, т.е. сгенерировать 1,5- N = NB или 2- N = NB или 3- N = NB . Будем менять размер бутстреп-выборок: NB = 1,41- N = 75,
NB = 1,88 - N = 125, NB = 2,83 - N = 150 . На основе полученных бутстрепов построим бутстреп-интервалы при B = 60000 и у = 0,9:
— бутстреп-интервал 1 при N = NB = 53 - [19,067; 21,232];
— бутстреп-интервал 2 при NB = 1,41- N = 75 - [19,244; 21,048];
— бутстреп-интервал 3 при NB = 1,88- N = 125 - [19,445; 20,849];
— бутстреп-интервал 4 при NB = 2,83- N = 150 - [19,513; 20,793].
Из вышеприведенного, можно сделать вывод, что абсолютный размер доверительных интервалов уменьшается при соответствующем увеличении размера бутстреп-выборок, но важно отметить, что объем исходной выборки, на основе которой строятся бутстрепы, остается неизменным и равняется N = 53 .
Выводы
1. Интервальные оценки, вычисленные с помощью бутстреп-метода, не имеют значительных преимуществ по сравнению с классическими доверительными областями.
2. Улучшенные бутстреп-интервалы обладают меньшими размерами по сравнению с классическими и обычными бутстреп-интервалами, что достигается без увеличения объема исходной совокупности n.
ЛИТЕРАТУРА
1. Методика наземных и летных испытаний цифрового пилотажно-навигационного комплекса КСЦПНО, установленного на самолетах Ил-96-300 и Ту-204. Ч. 1. Методика 1104-88-1Х. Предприятие п.я. В-8759, 1988.
2. Efron B. Nonparametric estimates of standard error: the jackknife, the bootstrap and other methods. -CA: Stanford Univ., 1980.
3. Вентцель Е.С. Теория вероятностей: Учебник для вузов. - 6-е изд. стер. - М.: Высшая школа, 1999.
4. Эфрон Б. Нетрадиционные методы многомерного статистического анализа: Сб. статей: Пер. с англ./ Предисловие Ю. П. Адлера, Ю. А. Кошевника. - М.: Финансы и статистика, 1988.
5. Соколов М. И., Лапко В. А. Непараметрические методы обработки данных: Учебное пособие. -Красноярск, 2001.
BOOTSTRAP-METHODS OF CONSTRUCTION OF INTERVAL VALUATIONS FOR PRECISION OF THE CHARACTERISTICS OF A SYSTEM FA-CSDPNE
Anufriev D. V.
In the article algorithms of calculation of interval valuations for precision of the characteristics of a system FA-CSDPNE, based on application bootstrap are considered. A given method permits, not increasing required volume of test flights, essentially to improve quality of received valuations.
Сведения об авторе
Ануфриев Дмитрий Васильевич, 1979 г.р., окончил МГТУ ГА (2002), аспирант
МГТУ ГА, автор 4 научных работ, область научных интересов - техническая диагностика и оценка параметров полетной информации.
