CC BY
2
ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА 2024 Управление, вычислительная техника и информатика № 66
Tomsk: State University Journal of Control and Computer Science
ПРОЕКТИРОВАНИЕ И ДИАГНОСТИКА ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СИСТЕМ
DESIGNING AND DIAGNOSTICS OF COMPUTER SYSTEMS
Научная статья
УДК 519.7
doi: 10.17223/19988605/66/11
Булева разность и обнаружение неисправностей задержек пути
Анжела Юрьевна Матросова1, Вячеслав Зиновьевич Тычинский2, Валентина Валерьевна Андреева3
12•3Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, Россия
1 mau11@yandex.ru
2 tvz. 041@yandex. ru 3 avv. 21@mail. ru
Аннотация. Исследуется метод получения тестовых пар соседних булевых векторов, порождаемых булевой разностью исследуемого пути. Использование таких пар позволяет снизить потребляемую мощность при тестировании и дает большие возможности однозначно определить неисправный путь в схеме по сравнению с традиционными подходами.
Ключевые слова: комбинационные схемы; эквивалентная нормальная форма (ЭНФ); робастно тестируемые неисправности задержек пути; булева разность пути.
Для цитирования: Матросова А.Ю., Тычинский В.З., Андреева В.В. Булева разность и обнаружение неисправностей задержек пути // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2024. № 66. С. 108-119. doi: 10.17223/19988605/66/11
Original article
doi: 10.17223/19988605/66/11
Boolean difference and path delay faults detection
Anzhela Yu. Matrosova1, Vyacheslav Z. Tychinskiy2, Valentina V. Andreeva3
12•3 National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation
1 mau11@yandex.ru
2 tvz. 041@yandex. ru 3 avv. 21@mail. ru
Abstract. In this paper, a method of deriving the test pairs of neighbor Boolean vectors is considered. These test pairs are obtained using the Boolean difference of the path. The obtained test pairs are used to detect PDFs which makes it possible to determine the exact location of the fault. Obtained test pairs will be neighboring by the variable marking the beginning of the path. This further reduces power consumption during testing compared to the traditional PDFs testing methods.
Keywords: combinational circuits; Equivalent Normal Forms (ENFs); robust testable Path Delay Faults (PDFs); path Boolean difference.
For citation: Matrosova, A.Yu., Tychinskiy, V.Z., Andreeva, V.V. (2023) Boolean difference and path delay faults detection. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 66. pp. 108-119. doi: 10.17223/19988605/66/11
© А.Ю. Матросова, В.З. Тычинский, В.В. Андреева, 2024
Введение
В схемах высокого уровня производительности, характеризующихся высокими скоростями функционирования и наноразмерами транзисторов, не удается ограничиться тестированием константных неисправностей на полюсах или линиях связей между элементами. В таких схемах возникают непредусмотренные сопротивления, емкости, индуктивности, которые невозможно рассчитать заранее. Они приводят к замедлению работы схемы по сравнению с расчетными значениями, что весьма нежелательно.
Одной из наиболее распространенных математических моделей, используемых для выявления задержек функционирования логических схем, является модель неисправности задержки пути Path Delay Fault (PDF) [1-6]. В рамках этой модели предполагается, что задержки отдельных вентилей пути и отдельных линий связей между вентилями пути достаточно малы и не влияют на расчетную скорость функционирования схемы. В то же время задержка пути в целом может превышать время между синхросигналами и искажать поведение схемы. Такие задержки необходимо обнаруживать и, если возможно, устранять или маскировать.
Обычно тестовые последовательности для выбранного подмножества путей строятся с использованием одной тестовой пары для каждого из путей. Обсуждаемый в данной работе подход позволяет компактно представлять множества тестовых пар для исследуемого пути. Это дает возможность выбирать для множеств путей подходящие тестовые пары с целью снижения потребляемой мощности при тестировании.
Путем схемы называют последовательность элементов в комбинационной схеме (комбинационной составляющей последовательностной схемы), в которой выход предыдущего элемента является входом последующего, причем один из входов первого элемента пути является входом схемы, а выход последнего элемента пути является выходом схемы.
Задержки пути обнаруживаются тестовыми парами (v, v2) из двух булевых векторов следующим образом. Пусть в момент времени ^ на вход комбинационной схемы подается входной вектор v . Со следующим синхроимпульсом в момент времени ^ на вход схемы поступает вектор v2 тестовой пары. В момент Ц с приходом очередного синхроимпульса наблюдается значение переменной на выходе, сопоставляемом этому пути. Если наблюдаемое значение не совпадает с ожидаемым значением, делается вывод, что в схеме имеют место непредусмотренные задержки сигналов. Задержки могут проявляться не обязательно на исследуемом пути.
Будем иметь в виду, что задержки противоположных перепадов сигналов вдоль рассматриваемого пути могут различаться, поэтому для каждого типа перепадов в общем случае необходимо отыскивать собственную пару (v, v2) входных векторов, на которой задержка проявляется.
Перепадам значений сигнала вдоль пути присвоены разные названия. Перепад сигналов, при котором на выходе схемы, сопоставляемом пути, значение сигнала меняется с 1 на 0, в англоязычной литературе принято называть falling transition, а с 0 на 1 - rising transition. В дальнейшем будем использовать эти названия для различения перепадов сигналов пути.
Неисправность задержки пути является робастно тестируемой, если существует тестовая пара, на которой задержка рассматриваемого пути проявляется независимо от задержек других путей схемы.
Неисправность задержки пути называют не робастно тестируемой, если она может обнаруживаться тестовой парой, т.е. ее проявление на тестовой паре позволяет идентифицировать путь только при отсутствии задержек других путей. Это значит, что проявление неисправности на тестовой паре для не робастно тестируемой неисправности может не означать, что неисправность имеет место именно на пути, для которого тестовая пара построена.
Как известно, тестирование неисправностей задержек путей на практике выполняется методом сканирования, при котором либо вектор v2 тестовой пары получается из вектора v сдвигом v, либо V порождается реакцией комбинационной схемы на вектор v. Отметим, что векторы v, как правило, являются тестовыми наборами для константных неисправностей комбинационной схемы. При
таком подходе тестовые пары для робастно тестируемых неисправностей далеко не всегда удается сформировать. Поэтому наряду с традиционным методом сканирования развиваются альтернативные методы тестирования неисправностей задержек пути, в рамках которых тестовые пары вычисляются точно. Это метод Random Access Scan (RAS), который позволяет существенно сократить время тестирования, потребление мощности и множество тестовых наборов [5, 6]. При реализации этого метода может использоваться подход к получению тестовых пар как на основе анализа эквивалентной нормальной формы (ЭНФ) схемы [7], так и на основе вычисления булевой разности пути [8].
ЭНФ схемы оказывается слишком сложной даже для простых схем. Однако ее анализ позволяет выяснять, является ли тестовая пара робастно тестируемой или нет при любом расстоянии по Хем-мингу между векторами тестовой пары.
Построение булевой разности для пути схемы дает возможность найти множество всех наборов значений входных переменных схемы (булевых векторов), для каждого из которых изменение входной переменной, отмечающей начало пути, вызывает изменение значения выходной переменной, отмечающей выход схемы, с которым рассматриваемый путь связан. Речь идет о булевых векторах, обращающих булеву разность в единицу. (Использование операций над ROBDD-графами или применение SAT-решателей позволяет компактно представлять булеву разность пути, избегая перемножений ДНФ.)
Отметим, что булева разность порождает пары соседних векторов, отличающихся значением только одной (входной) переменной, которые могут использоваться в качестве тестовых пар для обнаружения неисправностей задержек пути. Это значит, что расстояние по Хеммингу между векторами пары всегда равно единице. Такие пары предпочтительнее использовать при тестировании неисправностей задержек для подмножества путей.
Цель данной работы - выявление возможности тестовых пар соседних булевых векторов, порождаемых единичными наборами булевой разности, обнаруживать либо робастно тестируемые, либо не робастно тестируемые неисправности задержек пути схемы, для которого булева разность построена.
Ранее нами был выделен важный класс единичных наборов булевых разностей, для которых существуют тестовые пары, обнаруживающие робастно тестируемые неисправности задержек пути как для rising transition, так и для falling transition.
В данной работе выявлены возможности тестирования неисправностей задержек пути для остальных единичных наборов булевой разности.
Отметим, что если множество единичных наборов булевой разности пусто, то рассматриваемый путь является ложным.
Исследование тестовых пар, порожденных единичными наборами булевой разности пути, проводится на основе сравнения с результатами, полученными ранее для ЭНФ-схемы в условиях не обязательно соседних булевых векторов, составляющих тестовые пары [7].
1. Свойства тестовых наборов для обнаружения неисправностей литер ЭНФ
В этом разделе покажем, что каждый булев вектор, обращающий булеву разность в единицу, является либо a-тестовым, либо 6-тестовым набором для рассматриваемого пути. Такие наборы можно вычислить, используя эквивалентную нормальную форму схемы. Поясним, как строятся a, 6-тестовые наборы на основе анализа ЭНФ.
В работе [7] неисправности задержек пути сведены к одиночным константным 0(1) неисправностям литеры эквивалентной нормальной формы (ЭНФ), сопоставляемой рассматриваемому пути, сохраняющимся в течение времени %, где % > т. Здесь т - время между соседними синхроимпульсами. Отметим, что второй набор v2 тестовой пары, обнаруживающей неисправность задержи пути, является тестовым набором для константной 0(1) неисправности литеры ЭНФ, соответствующей рассматриваемому пути схемы. Литера сопоставляется исследуемому пути и типу перепадов сигналов вдоль пути: falling transition или rising transition. Замена анализа схемы анализом исправной и неисправной формул (ЭНФ), извлеченных из схемы, была предложена Д. Армстронгом [9].
Будем рассматривать эквивалентную нормальную форму Армстронга, полученную из комбинационной схемы описанным в работе [9] способом. Комбинационные схемы состоят из вентилей AND, OR, NAND, NOR NOT. В ЭНФ переменные отмечены последовательностями индексов, представляющими путь в схеме. Переменная вместе со знаком инверсии и последовательностью индексов называется литерой ЭНФ.
Одна и та же литера может присутствовать в различных конъюнкциях ЭНФ. В одной и той же конъюнкции одинаковые переменные могут встречаться лишь с различными последовательностями индексов, т.е. в конъюнкции все литеры различны.
Литеры, отличающиеся только знаками инверсий над переменными, будем называть инверсными литерами.
Переменные, отличающиеся только знаками инверсии без учета приписываемых им последовательностей индексов, будем называть инверсными переменными.
В ЭНФ могут встречаться инверсные переменные, но не инверсные литеры. Построим ЭНФ, для комбинационной схемы, изображенной на рис. 1.
e b a
Рис. 1. Комбинационная схема C Fig. 1. Combination scheme C
Для нее эквивалентная нормальная форма E имеет вид:
Е = ai459b59e59 V ¿59^3459^3459^59 V ai4689b789C234689 V a14689C234689d789 V a14689b789d34689 V a14689d34689d789 .
Конъюнкцию будем называть пустой, если в ней встречается хотя бы одна пара взаимно инверсных переменных. Таким переменным в одной и той же конъюнкции ЭНФ сопоставляются различные последовательности индексов.
Тестовый набор, как известно, обеспечивает распространение смены значения сигнала в присутствии неисправности от места ее возникновения до выхода схемы. В нашем случае - от входа схемы вдоль рассматриваемого пути. Армстронг предложил заменить построение тестового набора для пути схемы построением тестового набора для константной неисправности литеры ЭНФ, сопоставляемой рассматриваемому пути. В работе [7] используется такой же подход.
Напомним свойства тестовых наборов для одиночных неисправностей литер ЭНФ [7]. Рассмотрим сначала неисправность константы 1 литеры ЭНФ. При такой неисправности во всех конъюнкциях, содержащих литеру, сопоставляемую рассматриваемому пути, эта литера заменяется константой 1. В дальнейшем будем называть ее ¿^-неисправностью, а соответствующий тестовый набор, ее обнаруживающий, - ¿-тестовым набором. Выберем путь а и соответствующую ему литеру xia.
Будем иметь в виду, что ¿-тестовый набор обращает исправную ЭНФ в ноль, а неисправную ЭНФ в единицу [7]. При этом ¿-тестовый набор обнаруживает любую из соответствующих пути константных неисправностей выходов элементов вдоль пути а схемы С, в том числе константную неисправность входной переменной пути, вызывающую смену значений на инверсные от входной переменной пути до его выходной переменной.
Теперь перейдем к рассмотрению a -неисправности. Она приводит к исчезновению из ЭНФ непустых и пустых конъюнкций, содержащих литеру Xj a.
На a-тестовом наборе для ap -неисправности исправная ЭНФ обращается в единицу, а неисправная - в ноль. Будем иметь в виду, что изменение значения переменной Xj в a-тестовом наборе
приводит к обращению ЭНФ в ноль только за счет обращения в 0 литеры xi а. При этом a-тестовый набор обнаруживает любую из соответствующих пути константных неисправностей выходов элементов вдоль пути а схемы С, в том числе константную неисправность входной переменной пути, вызывающую смену значений на инверсные от входной переменной пути до его выходной переменной.
2. Построение пар тестовых наборов для робастно тестируемых неисправностей задержек пути на основе анализа ЭНФ
На основе рассмотрения a, b-тестовых наборов в работе [7] сформулированы условия существования пар тестовых наборов для робастно и не робастно тестируемых неисправностей задержек пути. Векторы пары отличаются инверсными значениями по переменной, отмечающей начало рассматриваемого пути, и, возможно, инверсными значениями других переменных схемы.
Нас в первую очередь интересуют пары, обнаруживающие робастно тестируемые неисправности задержек пути.
2.1. Свойства тестовой пары для falling transition
В случае falling transition b-тестовый набор (набор v2 тестовой пары) для bp -неисправности обращает выходную переменную схемы, сопоставляемую рассматриваемому пути (ЭНФ исправной схемы), в 0.
Набор v тестовой пары, отличающийся инверсным значением переменной xt, а, возможно, и значениями других переменных, обращает выходную переменную схемы (ЭНФ исправной схемы) в 1 .
Для робастно тестируемой неисправности задержки пути минимально покрывающий интервал векторов тестовой пары должен быть ортогонален конъюнкциям множества K из ЭНФ исправной схемы, не содержащим литеру рассматриваемого пути.
Поскольку v2 обращает выходную переменную схемы в 0, то этот набор ортогонален конъюнкциям множества K.
Что касается минимально покрывающего интервала пары (v, v2) то он может быть ортогонален конъюнкциям множества K, и тогда исследуемый путь является робастно тестируемым. Иначе он не робастно тестируемый.
2.2. Свойства тестовой пары для rising transition
Набор v2 является a-тестовым набором для ap -неисправности и обращает выходную переменную схемы, сопоставляемую рассматриваемому пути, в 1.
Набор v, отличающийся инверсным значением переменной xt, а, возможно, и значениями других переменных, обращает выходную переменную схемы (ЭНФ исправной схемы) в 0. Для робастно тестируемой неисправности задержки пути минимально покрывающий интервал тестовой пары должен быть ортогонален конъюнкциям множества K [7].
Поскольку v2 является тестовым набором для a -неисправности, то он обращает в единицу хотя бы одну конъюнкцию ЭНФ с литерой xi а, являясь ортогональным всем конъюнкциям множества K по построению [7].
В ситуации, когда набор v обращает выходную переменную схемы (ЭНФ исправной схемы) в 0, минимально покрывающий интервал пары (v, v2) может быть ортогонален конъюнкциям множества K, и тогда исследуемый путь является робастно тестируемым. Иначе он не робастно тестируемый.
Следует иметь в виду, что ЭНФ является чрезвычайно громоздкой формулой. Представление ее в виде размеченного дерева [10, 11] хотя и позволяет строить тестовые пары для более сложных комбинационных схем, тем не менее сложность размеченных деревьев экспоненциально возрастает в схе-
мах с большим числом ветвлений. Из сказанного следует, что избавление от ЭНФ в любом из ее представлений при формировании тестовых пар очень важно.
В данной работе предлагается свести получение тестовых пар для обнаружения неисправностей задержек пути к вычислению булевой разности пути. Такое сведение позволяет избавиться от использования ЭНФ. Получаемые при этом тестовые пары характеризуются минимальным потреблением мощности. Здесь потребление мощности оценивается расстоянием по Хеммингу между булевыми векторами пары.
3. Булева разность пути
Булева разность пути, представляемая в виде либо ДНФ, либо ROBDD-графа [12, 13], либо в виде единичных наборов соответствующей схемы [13], обладает следующим свойством. Смена в наборе, обращающем булеву разность в единицу, значения его входной переменной, отмечающей начало рассматриваемого пути, приводит к смене значения на выходе схемы, которым заканчивается этот путь. При этом набор, обращающий булеву разность в единицу, может обращать выход схемы либо в 0, либо в 1, а второй набор пары обращает выход схемы либо в 1, либо в 0. Будем формировать тестовую пару для обнаружения неисправностей задержки пути следующим образом. Набор, обращающий булеву разность пути в единицу, есть набор v2 тестовой пары, а второй набор, соседний по переменной, отмечающий начало исследуемого пути, есть набор v тестовой пары.
Предварительно опишем алгоритм вычисления булевой разности пути:
Представим путь а для одновыходной комбинационной схемы C, последовательностью следующих символов: x, Щ, U, •••, U-i, U■ Здесь x, • ••, xn - символы входных переменных схемы, r -длина пути а, xi - переменная, отмечающая начало пути (вход схемы C). Переменные и|, и, •.., , Ur отмечают выходы элементов пути. Переменная иг отмечает выход схемы C. Схема C может быть комбинационной частью последовательностной схемы.
Пусть переменные и, ^тмечают выходы соседних элементов пути а. Рассмотрим подсхему Cu
схемы C. Выход этой подсхемы отмечается переменной щ, а входы - переменными x, •••, xn, u;_j . Здесь переменная является входной переменной подсхемы Cu наряду с переменными xx, •.., xn и одновременно входной переменной элемента с выходом, отмеченным переменной и .
Обозначим символом Du / Du ^ булеву разность, вычисляемую для функции, реализуемой подсхемой Cu_ по переменной . Выражение для булевой разности Du / Du ^ имеет следующий вид: Du / Du i = fU'-1 = 0 © fU'-1 = \ где fu. представляет функцию подсхемы Cu , зависящую от переменных Х|, •.., Xn, Ui_ I.
Булева разность для пути а принимает следующий вид:
А> = (Du /DujA(DUri/DuJA...A(DU2/Д^Л^ !DX).
Теорема 1. Булев вектор у, обращающий булеву разность Da в единицу, а схему C в ноль, является b-тестовым набором для bp-неисправности ЭНФ.
Доказательство. Из утверждения теоремы следует, что ЭНФ схемы на векторе у принимает значение 0, как и b-тестовый набор. Кроме того, при замене переменной xi в наборе у на инверсную переменную происходит смена значений переменных, сопоставляемых выходам элементов вдоль пути а вплоть до выходной переменной пути, как это происходит при наличии неисправности константы 1 литеры xia в ЭНФ схемы C, то есть набор у является b-тестовым набором. Утверждение доказано.
При образовании тестовой пары булев вектор у является вектором v2, а соседний по входной переменной xi булев вектор является вектором v1 для falling transition.
Теорема 2. Булев вектор у, обращающий булеву разность Da в единицу и схему C также в единицу, является а-тестовым набором для а -неисправности ЭНФ.
Доказательство. Из утверждения теоремы следует, что ЭНФ схемы на векторе у принимает значение 1, как и а-тестовый набор. Кроме того, при замене переменной xt в наборе у на инверсную переменную происходит смена значений переменных, сопоставляемых выходам элементов вдоль пути а вплоть до выходной переменной пути, как это происходит при наличии неисправности константы 0 литеры xia в ЭНФ схемы C, то есть набор у является а-тестовым набором. Утверждение доказано.
При образовании тестовой пары булев вектор у является вектором v2, а соседний по входной переменной xt булев вектор является вектором v для rising transition.
Итак, Da представляет все тестовые наборы v2 для rising и falling transitions, которые не отделены друг от друга. Полезно их разделить.
Если путь а содержит четное число безынверсных вентилей, то для rising transition получаем выражение Dn.se = Da л x;, для falling transition - Dfali = Da л Xi. В противном случае, Drise = Da л Xi и
Dfall = Da Л X.
Обозначим символами D'rise и D'fall выражения, полученные из Drise и Dfaii удалением литеры xi (независимо от знака инверсии).
Обозначим символом Drob выражение, представляющее пары соседних по переменной Xi наборов: Dmb = D \ise л D 'fall. Множество Drob может быть пустым.
Заметим, что выражение Drob не содержит переменной xi, т.е. булев вектор в пространстве пе-
ременных X, • • •, X.
i - 1' Лi + 1
..., хп задает пару в пространстве n переменных. Один из векторов пары получается приписыванием переменной х значения 0, а другой - значения 1. На векторах этой пары достигаются инверсные значения выхода схемы. Оба вектора пары обращают булеву разность в единицу. Один из них является a-тестовым набором, а другой - b-тестовым набором ЭНФ схемы C.
Проиллюстрируем получение ДНФ Drob на примере. Рассмотрим комбинационную схему C (рис. 2), в которой выделен путь а, включающий элементы с номерами 3, 4, 6, 8, 9.
e b а
Рис. 2. Комбинационная схема с выделенным путём а Fig. 2. Combination scheme with a dedicated path а
Начало пути отмечается переменной d. Таким образом, а = d,
D / D = U v (U = 0)) © (щ v (щ = 1)) = щ = b v e v ac v ad, D / D = ((u = 0)Л Щ) © ((щ = 1)л Щ) = Щ = b v d, DUJ D = (u4 = 0) © (щ = 1) = 1, D / D = (u v (щ = 0)) © (щ v (u3 = 1)) = щ = a, D / d = (щ л (d = 0)) © (щ л (d = 1)) = щ = c, D = (b v e v ac v ad) л (b v d) л 1 л a л c = acb v acd.
Так как путь а содержит нечётное число инверсных элементов, Drise и Dfaii определяются как
Drise = (acb V acd) л d = acd; D 'rise = ac,
Dfaii = (acb V acd ) л d = acbd; D 'fall = acb, Dmb = ac л acb = acb.
4. Свойства пар соседних наборов, порождаемых Drob
Теорема 3. Тестовая пара соседних наборов (vj, v2), порождаемая булевым вектором, обращающим Drob в единицу, является тестовой парой для робастно тестируемой неисправности задержки пути, причем в зависимости от порядка поступления наборов пары имеется возможность обнаруживать как rising transition, так и falling transition.
Доказательство. Заметим, что оба набора тестовой пары обращают Da в единицу. Для определенности положим, что в векторе v переменная x присутствует без инверсии, а в векторе v2 - с инверсией.
Если вектор v2 обращает схему, содержащую рассматриваемый путь, в единицу, то он является a-тестовым набором для a -неисправности. Замена в a-тестовом наборе значения переменной xt инверсным значением формирует набор v тестовой пары. Поскольку набор v обращает булеву разность в 0, то он является ¿-тестовым набором. Набор v ортогонален конъюнкциям множества K, так как он ортогонален исправной ЭНФ схемы С. Набор v2, являясь a-тестовым набором, ортогонален конъюнкциям множества K по построению. Следовательно, минимально покрывающий интервал тестовой пары также ортогонален конъюнкциям множества K. Как отмечалось выше, такая пара обнаруживает робастно тестируемую неисправность задержки пути для rising transition.
Если вектор v обращает схему, содержащую рассматриваемый путь, в ноль, то он является ¿-тестовым набором для ¿p -неисправности. При этом на набор v1, тестовой пары является a-тестовым набором для ap -неисправности. Итак, имеем: вектор v2, являясь ¿-тестовым набором, ортогонален конъюнкциям множества K. Вектор v, являясь a-тестовым набором, также ортогонален конъюнкциям множества K. Следовательно, такая тестовая пара обнаруживает робастно тестируемую неисправность задержки пути для falling transition. Теорема доказана.
Следствие: Тройки векторов (vb v2, v) и (v2, vb v2) обнаруживают робастно тестируемые неисправности задержек противоположных перепадов значений сигналов пути a.
5. Свойства пар соседних наборов, порождаемых Da при условии пустого множества Drob
Выражение Drob при любом из перечисленных способов его представления позволяет найти множество всех соседних тестовых пар, обнаруживающих робастно тестируемые задержки противоположных перепадов сигналов для рассматриваемого пути. Однако это множество тестовых пар может оказаться пустым.
В такой ситуации булева разность также представляет в общем случае множество a-тестовых наборов и множество ¿-тестовых наборов, однако их соседние по входной переменной наборы не являются, соответственно, ¿-тестовыми и a-тестовыми наборами. Отметим, что на соседнем наборе по отношению к набору, обращающему булеву разность в единицу, схема C принимает противоположное значение.
Рассмотрим сначала множество ¿-тестовых наборов в этой ситуации
Теорема 4. Тестовая пара соседних по входной переменной наборов, содержащая ¿-тестовый набор в качестве вектора v , обнаруживает не робастно тестируемую неисправность задержки рассматриваемого пути.
Доказательство. Для b-тестового набора соседний набор в по входной переменной, отмечающей начало пути, не является а-тестовым. Будем иметь в виду, что b-тестовый набор обращает схему в 0. Набор в обращает схему в единицу и не является а-тестовым. Это значит, что он обращает в единицу некоторые конъюнкции множества K ЭНФ-схемы. Следовательно, для рассматриваемой пары соседних векторов не выполняется условие робастности: минимально покрывающий интервал соседних векторов пересекается с множеством K. Теорема доказана.
В порождаемой булевой разностью паре для набора в возможно рассмотрение отличных от а путей, вдоль которых также происходит смена значений сигналов, вызванная сменой значения входной переменной Xj (возможно, множество таких путей невелико). Рассматриваются пути схемы, вход и выход которых совпадают с входом и выходом пути а. Среди них выделяются те пути, которые содержатся в исходном множестве путей, исследуемых на возможность задержки в них. Некоторые из этих путей могли оказаться робастно тестируемыми как для rising, так и для falling transitions и уже проверены на отсутствие задержек в них. Оставшееся множество путей может выдаваться вместе с рассматриваемым путем на обнаружение задержки с использованием полученной тестовой пары. Перейдем к рассмотрению множества а-тестовых наборов.
Теорема 5. Тестовая пара соседних по входной переменной наборов, содержащая а-тестовый набор в качестве вектора v2, обнаруживает робастно тестируемую неисправность задержки рассматриваемого пути.
Доказательство. Для а-тестового набора соседний набор в по входной переменной, отмечающей начало пути, не является b-тестовым. Будем иметь в виду, что а-тестовый набор обращает схему в 1. Набор в обращает схему в 0 и не является b-тестовым. Это значит, что он не пересекается с конъюнкциями множества K, так же как и а-тестовый набор. Следовательно, для рассматриваемой пары соседних векторов выполняется условие робастности: минимально покрывающий интервал соседних векторов не пересекается с множеством K. Теорема доказана.
Итак, тестовые пары для не робастно тестируемых неисправностей задержек путей порождаются только b -тестовыми наборами булевой разности в условиях, когда соседний набор не является а-тестовым. Остальные тестовые пары соседних наборов, извлекаемые из Da, обнаруживают робастно тестируемые неисправности задержек пути.
6. Обсуждение экспериментальных результатов
С использованием булевой разности пути комбинационной схемы были построены тестовые пары для путей схем из набора бенчмарков ISCAS'89. Для каждого выхода каждой схемы было выбрано не менее 10 самых длинных путей. Общая информация о бенчмарках, использованных при тестировании, представлена в табл. 1.
Таблица 1
Информация об использованных бенчмарках
№ п/п Бенчмарк Число входов Число выходов Число вентилей Выбрано путей Робастно тестируемые пути Доля робастно тестируемых путей
1 s298 17 20 119 146 101 69,18%
2 s344 24 26 160 159 119 74,84%
3 s400 24 27 162 258 228 88,37%
4 s444 24 27 181 237 148 62,45%
5 s641 54 42 379 309 143 46,28%
6 s820 23 24 289 232 230 99,14%
7 s953 45 52 395 338 336 99,41%
8 s1196 32 32 529 334 164 49,10%
9 s1488 14 25 653 312 291 93,27%
10 s1494 14 25 647 336 313 93,15%
В табл. 2 приведена более детальная информация по путям, для которых не существуют тестовые пары, такие что один из векторов является а-тестовым набором, а другой - ¿-тестовым набором:
- пути без а-тестовых наборов, для которых существуют ¿-тестовые наборы;
- пути без ¿-тестовых наборов, для которых существуют а-тестовые наборы;
- пути с а- и ¿-тестовыми наборами, для которых при этом множество единичных наборов ДгоЬ пусто;
-ложные пути, для которых множество единичных наборов Д пусто и, следовательно, пусты множества а- и ¿-тестовых наборов.
Таблица 2
Различные ситуации, порождающие тестовые пары
№ п/п Выбрано путей Пути без а-тестов Пути без b-тестов Пути без Drob Ложные пути Доля ложных путей
1 146 13 7 1 24 16,44%
2 159 22 16 0 2 1,26%
3 258 7 9 10 4 1,55%
4 237 44 23 1 21 8,86%
5 309 42 68 0 56 18,12%
6 232 0 0 2 0 0%
7 338 0 0 2 0 0%
8 334 24 22 5 119 35,63%
9 312 6 3 11 1 0,32%
10 336 3 4 16 0 0%
При построении тестовых последовательностей для подмножества путей комбинационной схемы сначала следует ориентироваться на тестирование путей, для которых множество Drob непусто. Затем желательно переходить к рассмотрению путей, для которых один из векторов пары является а-тестовым набором, а второй не является b-тестовым набором. В последнюю очередь рассматриваются пути, для которых один из векторов пары является b-тестовым набором, а второй не является а-тестовым набором.
Заключение
Выявлены возможности использования булевой разности пути для построения тестовых пар соседних (по входной переменной) наборов с целью обнаружения робастно тестируемых неисправностей задержек пути и условия, когда тестовая пара обнаруживает не робастно тестируемую неисправность задержки пути. Рассмотрение пар, состоящих только из соседних наборов по переменной, отмечающей начало исследуемого пути, позволяет расширить класс робастно тестируемых неисправностей задержек пути. Установлено, что тестовая пара, состоящая из а-тестового набора v2 и набора v1, не являющегося b-тестовым набором, обнаруживает робастно тестируемую неисправность задержки пути. Тестовые пары, порождаемые булевой разностью пути, характеризуются минимальным потреблением мощности, и использование таких пар предпочтительно при ориентации на ее снижение в тестовых последовательностях, обнаруживающих неисправности задержек подмножеств путей.
Список источников
1. Lindgren P., Kerttu M., Thornton M., Drechsler R. Low power optimization technique for BDD mapped circuits // ASP-DAC.
2001. P. 615-621. doi: 10.1109/ASPDAC.2001.913377
2. Shelar R.S., Sapatnekar S.S. An efficient algorithm for low power pass transistor logic synthesis // ASP-DAC. 2002. P. 87-92.
3. Gekas G., Nikolos D., Kalligeros E., Kavousianos X. Power aware test-data compression for scan-based testing // 2005 12th IEEE
International Conference on Electronics, Circuits and Systems, Gammarth, Tunisia. 2005. P. 1-4.
4. Tudu J.T., Larsson E., Singh V., Agrawal V.D. On Minimization of Peak Power for Scan Circuit during Test // Test Symposium
2009 14th IEEE European. 2009. P. 25-30. doi: 10.1109/ETS.2009.36
5. Kotasek Z., Skarvada J., Strnadel J. Reduction of Power Dissipation Through Parallel Optimization of Test Vector and Scan Register
Sequences // IEEE International Symposium on Design and Diagnostics of Electronic Circuits and Systems. 2010. P. 364-369. doi: 10.1109/DDECS.2010.5491750
6. Sinduja V., Raghav S., Anita J.P. Efficient don't-care filling method to achieve reduction in test power // ICACCI. 2015. P. 478-482.
7. Матросова А.Ю., Липский В.Б. Свойства пар тестовых наборов, обнаруживающих неисправности задержек путей в логи-
ческих схемах VLSI высокой производительности // Автоматика и телемеханика. 2015. № 4. С. 135-148.
8. Matrosova A.Yu., Andreeva V.V., Nikolaeva E.A. Finding test pairs for PDFs in logic circuits based on using operations on
ROBDDs // Russian Physics Journal. 2018. V. 61 (5). P. 994-999.
9. Armstrong D.B. On finding a nearly minimal set of fault detection tests for combinational logic nets // IEEE Transactions on Elec-
tronic Computers. 1966. V. EC-15 (1). P. 66-73.
10. Матросова А.Ю., Кудин Д.В., Николаева Е.А. Обнаружение ложных путей в комбинационной схеме // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 2 (15). С. 99-107.
11. Матросова А.Ю., Андреева В.В., Чернышов С.В., Рожкова С.В., Кудин Д.В. Обнаружение ложных путей в последова-тельностных схемах // Известия вузов. Физика. 2017. Т. 60, № 10. С. 170-178.
12. Matrosova A.Yu., Andreeva V.V., Tychinskiy V.Z., Goshin G.G. Applying ROBDDs for delay testing of logical circuits // Russian Physics Journal. 2019. V. 62 (5). P. 86-94.
13. Matrosova A.Yu., Andreeva V.V., Tychinskiy V.Z. SAT Solvers application of deriving all test pairs detecting robust testable PDFs // 2021 IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS), Batumi, Georgia, 10-13 September, 2021 : proc. P. 252-255.
References
1. Lindgren, P., Kerttu, M., Thornton, M. & Drechsler, R. (2001) Low power optimization technique for BDD mapped circuits. Pro-
ceedings of the ASP-DAC 2001. Asia and South Pacific Design Automation Conference 2001 (Cat. No.01EX455). Yokohama, Japan. pp. 615-621. DOI: 10.1109/ASPDAC.2001.913377. DOI: 10.1109/ASPDAC.2001.913377
2. Shelar, R.S. & Sapatnekar, S.S. (2002) An efficient algorithm for low power pass transistor logic synthesis. Proceedings of ASP-
DAC/VLSI Design 2002. 7th Asia and South Pacific Design Automation Conference and 15h International Conference on VLSI Design. Bangalore, India. pp. 87-92. DOI: 10.1109/ASPDAC.2002.994890
3. Gekas, G., Nikolos, D., Kalligeros, E. & Kavousianos, X. (2005) Power aware test-data compression for scan-based testing.
12th IEEE International Conference on Electronics, Circuits and Systems. Gammarth, Tunisia. pp. 1-4. DOI: 10.1109/ICECS.2005.4633432
4. Tudu, J.T., Larsson, E., Singh, V. & Agrawal, V.D. (2009) On Minimization of Peak Power for Scan Circuit during Test.
Test Symposium 2009 14th IEEE European. pp. 25-30. DOI: 10.1109/ETS.2009.36
5. Kotasek, Z., Skarvada, J. & Strnadel, J. (2010) Reduction of Power Dissipation Through Parallel Optimization of Test Vector
and Scan Register Sequences. IEEE International Symposium on Design and Diagnostics of Electronic Circuits and Systems. pp. 364-369. DOI: 10.1109/DDECS.2010.5491750
6. Sinduja, V., Raghav, S. & Anita, J. P. (2015) Efficient don't-care filling method to achieve reduction in test power. International
Conference on Advances in Computing, Communications and Informatics (ICACCI). Kochi, India. pp. 478-482. DOI: 10.1109/ICACCI.2015.7275654
7. Matrosova, A.Yu. & Lipsky, V.B. (2015) Properties of pairs of test vectors detecting path delay faults in high performance VLSI
logical circuits. Automation and Remote Control. 4. pp. 135-148.
8. Matrosova, A.Yu., Andreeva, V.V. & Nikolaeva, E.A. (2018) Finding test pairs for PDFs in logic circuits based on using opera-
tions on ROBDDs. Russian Physics Journal. 61(5). pp. 994-999.
9. Armstrong, D.B. (1966) On finding a nearly minimal set of fault detection tests for combinational logic nets. IEEE Transactions
on Electronic Computers. EC-15(1). pp. 66-73.
10. Matrosova, A.Yu., Kudin, D.V. & Nikolaeva, E.A. (2011) Finding false paths in combinational circuits. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(15). pp. 99-107.
11. Matrosova, A.Yu., Andreeva, V.V., Chernyshov, S.V., Rozhkova, S.V. & Kudin, D.V. (2017) Finding false paths in sequential circuits. Russian Physics Journal. 60(10). pp. 170-178.
12. Matrosova, A.Yu., Andreeva, V.V., Tychinskiy, V.Z. & Goshin, G.G. (2019) Applying ROBDDs for delay testing of logical circuits. Russian Physics Journal. 62(5). pp. 86-94.
13. Matrosova, A.Yu., Andreeva, V.V. & Tychinskiy, V.Z. (2021) SAT Solvers application of deriving all test pairs detecting robust testable PDFs. 2021 IEEE East-West Design & Test Symposium (EWDTS). Proceedings. Batumi. Georgia. September 10-13, 2021. pp. 252-255.
Информация об авторах:
Матросова Анжела Юрьевна - профессор, доктор технических наук, профессор кафедры компьютерной безопасности Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: mau11@yandex.ru
Тычинский Вячеслав Зиновьевич - аспирант, ассистент кафедры компьютерной безопасности Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: tvz.041@yandex.ru
Андреева Валентина Валерьевна - кандидат технических наук, доцент кафедры компьютерной безопасности Института прикладной математики и компьютерных наук Национального исследовательского Томского государственного университета (Томск, Россия). E-mail: avv.21@mail.ru
Вклад авторов: все авторы сделали эквивалентный вклад в подготовку публикации. Авторы заявляют об отсутствии конфликта интересов.
Information about the authors:
Matrosova Anzhela Yu. (Doctor of Technical Sciences, Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: mau11@yandex.ru
Tychinskiy Vyacheslav Z. (Post-graduate Student, Assistant, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: tvz.041@yandex.ru
Andreeva Valentina V. (Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: avv.21@mail.ru
Contribution of the authors: the authors contributed equally to this article. The authors declare no conflicts of interests.
Поступила в редакцию 25.11.2023; принята к публикации 05.03.2024 Received 25.11.2023; accepted for publication 05.03.2024
