CC BY
40
УДК 533.9+536.7
БРОУНОВСКОЕ ДВИЖЕНИЕ ЧАСТИЦЫ В ИДЕАЛЬНОМ
ГАЗЕ
С. А. Майоров
В работе на основе численного моделирования исследуются кинетические характеристики броуновского движения частицы в идеальном газе. Рассматриваются случаи одномерного и трехмерного движения, а также различные граничные условия для взаимодействия атомов с броуновской частицей. Получены функции распределения по скоростям для различных отношений масс частицы и атомов идеального газа. Моделирование проводилось методом молекулярной динамики.
Обнаруженное в 1827 г. английским ботаником Р. Броуном хаотическое движение пыльцы явилось предметом многочисленных исследований, и в статистической физике модель случайных блужданий применяется для разнообразных задач. Теория броуновского движения хорошо развита, однако исследования последних лет открытых систем открывают новые аспекты в этом хорошо изученном предмете. Одним из примеров открытой системы является пылевая плазма. Первоначально пылевая плазма исследовалась в основном в связи с астрофизическими приложениями [1]. Но последние 10 лет в связи с развитием микроэлектронных технологий (плазменная обработка полупроводниковых пластин) на первый план вышли исследования пылевой плазмы в лабораторных условиях. На первом этапе этих исследований пылинки микронных размеров в плаз-мохимических реакторах микроэлектроники рассматривались как досадный фактор, приводящий к уменьшению выхода годных кристаллов микросхем. Основной целью являлось совершенствование технологического процесса для уменьшения их числа. В последнее же время на первый план вышли задачи исследования собственно пылевой плазмы. При этом, в отличие от исследования свойств пылинок в плазме, основное внимание уделяется изучению коллективных явлений, обусловленных зарядом пылинок,
который составляет существенную часть от заряда плазменных частиц. Образование пылевых облаков, капель, кристаллов, слабо упорядоченных структур, эффекты левита ции, образование пустот (войды), формирование кристаллических решеток из пылевых частиц в катодном слое - вот далеко не полный перечень объектов исследования. До полнительный интерес вызывает также возможность технически достаточно простои визуализации и манипуляций с пылинками.
В настоящей работе исследовалась модельная задача о броуновском движении частицы в идеальном газе при различных условиях взаимодействия сталкивающихся с ней атомов [2]. Представляет интерес вопрос о средней кинетической энергии частицы в такой системе. Многие экспериментальные данные (см., напр., [3]), а также недавнее рассмотрение на основе кинетической теории [4, 5] говорят о значительной кинетиче ской энергии частицы, превосходящей кинетическую энергию тяжелой компоненты ионов.
На основе численного моделирования рассматривается несколько модельных задач, начиная с простейшей - плоской частицы (листа), находящейся в бесконечно глубокой и узкой потенциальной яме и подвергающейся толчкам со стороны атомов идеального газа. Рассчитывалась зависимость кинетической энергии пылинок от времени и строилась функция распределения (ФР) частицы по скоростям. Рассмотрены различные законы взаимодействия броуновской частицы с атомами газа: упругое столкновение, условие прилипания, а также и более сложные граничные условия - мягкая и демоническая частица. Под мягкой частицей понимается частица, которая при столкновении поглощает массу и импульс, а затем теряет массу без потери скорости. Такое уело вие может использоваться для моделирования реального неупругого взаимодействия при отсутствии адсорбции атомов на поверхности пылинок. Под демонической части цей (аналогично демону Максвелла) понимается частица, которая поглощает и теряе; массу и импульс по некоторым логическим правилам. Этот случай не реализуется в термодинамике, но он соответствует некоторым теоретическим моделям. Рассматривались также и различные распределения атомов газа по скоростям - максвелловское и моноэнергетическое.
Рассмотрим случай равновесного газа атомов массы т, числовой плотностью V и температурой Т. Здесь и далее температуру будем измерять в энергетических единицах Для краткости броуновскую частицу с массой М (макрочастицу, пылинку) далее будем называть частицей.
Средние характеристики сталкивающихся со стенкой атомов. Максвелловская ФР
атомов по скоростям V вдоль выделенного направления х имеет вид
/м(У) = (2т/тгТ)1/2ехр(тК2/2Г). (1)
Сталкивающиеся со стенкой атомы имеют следующую ФР по нормальной к поверхности компоненте скорости:
Ш) = (2шУ/Т) ехр(тУ2/2Г). (2)
Плотность потока атомов на стенку равна Зм — (Т¡2тгт)112N, отношение средней скорости падающих на стенку атомов V} = (9тсТ/8тУ¡2 к средней скорости атомов в единице объема Уо = (8Т/пт)1//2 равно Зя"/8, наиболее вероятная скорость атомов в единице объема Ум = (2Т/т)1/2 [2]. Часто также используется значение характерно)! тепловой скорости Ут — (Т/т)1/2, которая соответствует энергии Т/2. Средняя кинетическая энергия движения в нормальном к поверхности направлении сталкивающихся со стенкой атомов равна Г, в отличие от средней кинетической энергии атомов в объеме, равной Т/2 (в расчете на одну степень свободы). Это обстоятельство обусловлено тем, что частота столкновений с поверхностью у атома пропорциональна его скорости (2). Соответственно, в трехмерном случае средняя кинетическая энергия атомов в объеме равна ЗТ/2, а средняя кинетическая энергия сталкивающихся со стенкой атомов равна 2 Т.
Рост массы частицы. При определенных условиях пылинка может поглощать все попадающие в нее атомы. Такая ситуация помимо пылевой плазмы может реализовать ся также и в межзвездной среде [1], например, при акреции льдинкой водяного пара. Скорость роста массы сферической пылинки
^ = тЗ 5, (3)
где 5 = 47гЯ2 - площадь ее поверхности, Я - радиус, Т - плотность потока атомов на поверхность. Переписывая уравнение (3) в виде = получаем, что характерное время роста массы тд/ = М/тЗБ. Радиус пылинки зависит от ее массы, поэтому решение (3) дает линейное по времени увеличение радиуса пылинки.
Время набора энергии. Оценим характерное время тт набора первоначально покоившейся пылинкой энергии того же порядка, что и энергия атомов равновесного газа. Суммируя квадраты импульса попавших в пылинку атомов и учтя, что их средний квадрат импульса в равновесном газе равен 4тТ, получаем
тт = ЗМ/4т75 = Зтм/4. (4)
Характерные времена набора энергии ту и роста массы тм для пылинок совпадают с точностью до множителя 3/4. Неравновесность газа и отражение атомов приводит лишь к незначительной вариации этой константы. Это же время определяет время выравнн вания температур пылевой компоненты и газа, а также длину "свободного" пробега и частоту "столкновений" частицы.
Одна из основных проблем, возникающих при постановке задачи о броуновском дви жении макрочастицы в газе (или плазме), - это формулировка граничных условий Вопросу взаимодействия газа с поверхностью твердого тела (пылинки) посвящено мкс го экспериментальных и теоретических работ, но наиболее часто используются модели зеркального и диффузного отражения, предложенные Максвеллом в 1879 г. Рассмотри' ; несколько типов граничных условий для задачи моделирования броуновского движения пылинки в идеальном газе [1, 2].
Модель упругой частицы - зеркальное отражение атомов. В определенных ycj виях поверхность твердого тела может упруго отражать падающие на нее атомы. Но зеркальное отражение реализуется только для хорошо обработанных поверхностей [2] 1 такая ситуация не характерна для пылевой плазмы. Форма поверхности пылинок в плаз ме напоминает цветную капусту и даже при упругом взаимодействии атом в процессе отражения сталкивается с пылинкой несколько раз [3].
Модель диффузного отражения. В модели шероховатых сфер частица упруго о-, жает падающие на нее атомы, меняя только их направление [2]. Такая ситуация не pea лизуется в условиях пылевой плазмы из-за неупругого характера взаимодействия атомов с поверхностью при высоких температурах. Наиболее близкой к реальности являет я модель шероховатой сферы с частичной аккомодацией энергии и введением доли зер кально отраженных атомов. Но такая модель сложна и использует аппроксимируют..! параметры - коэффициент аккомодации энергии и долю зеркально отраженных атомов
Модель поглощающей (липкой) частицы. Частица в такой модели поглощает все попадающие в нее атомы. Масса и скорость частицы после акта поглощения атома определяются из законов сохранения массы и импульса:
Но даже при хорошей абсорбции частица поглощает не все попадающие в нее ато мы и необходимо учитывать обратный процесс - потерю массы. Поэтому рассмотрим предельный случай полной потери всех неупруго сталкивающихся с частицей атомов.
М' = т + М,
V' = (mv + MV)/(m + М).
(5)
Модель неупругой частицы постоянной массы может использоваться для описания реального неупругого взаимодействия при отсутствии абсорбции. В этом случае массу и скорость частицы после столкновения будем определять из законов сохранения массы и импульса в двухстадийном процессе.
На первой стадии происходит неупругое поглощение атома, на второй стадии частица теряет этот атом. Для описания первой стадии будем использовать модель липкой частицы (5).
На второй стадии, при потере массы
М" = М' -т
рассмотрим три модели для определения скорости частицы после потери массы. Предполагая при потере массы сохранение частицей скорости:
V" = V', (6)
получаем модель мягкой частицы. Потеря энергии частицей за акт составляет А К = (т/М)К'. За время тт (4) частица потеряет энергию 9Т/8. Следовательно, эффективная сила трения из-за потери массы сопоставима со средней ланжевеновской силой случайных толчков со стороны атомов. Физически эта модель соответствует максвелловскому излучению атомов при низкой температуре вещества пылинки.
Демонической частицей (аналогично демону Максвелла) будем называть частицу, которая поглощает и теряет массу и импульс по некоторым логическим правилам. Этот случай не реализуется в термодинамике, но он соответствует некоторым теоретическим моделям, и соответствующие расчеты имеют смысл для проверки теории. Кроме того, в открытой системе пылинка подвергается воздействию неравновесных потоков различной природы и закон испускания не соответствует условию взаимности. Поэтому реальная пылинка вполне может быть частицей демонического типа.
Предполагая при потере массы сохранение частицей всего импульса (частицы и связанного с ней атома), получаем, что ее скорость и энергия равны
V" = У(1+т/М), К" = К'(1 + т/М)2. (7)
Это модель демонической частицы, энергия которой после акта потери массы увеличивается. Увеличение энергии частицей за акт составляет АК и 2(т/М)К'. За время тт (4) частица из-за такого механизма потери массы приобретет энергию порядка 21 .
Эффективная сила ускорения из-за потери массы для массивной частицы сравнима со средней ланжевеновской силой случайных толчков со стороны атомов.
Предполагая сохранение частицей при потере массы всей кинетической энергии (ча стицы и залипшего атома, движущихся как целое), получаем значение для модуля скорости:
V"=V'(l +m/M)1/2. (8)
Это также модель демонической частицы, которая при потере массы сохраняет энергию, но скорость ее после акта потери массы увеличивается. Эффективная сила ускорения из за потери массы для массивной частицы и в этом случае по порядку величины сравнима со средней ланжевеновской силой, но примерно в два раза меньше, чем при вычислении скорости по формуле (7).
Рассмотрим случай одномерного движения, когда частицы могут перемешаться только вдоль одного направления х. Положим массу атомов т и их числовую плотность N равными единице, частицу представим в виде тонкого плоского листа единичной пло щади с массой М.
Модель локализованной броуновской частицы. Предельный случай бесконечно узкой и глубокой потенциальной ямы соответствует тому, что частица (лист) находится в одной точке пространства х = 0, бесконечно часто меняя направление движения. Попа дающие в эту фиксированную по х точку пространства атомы газа определяют энергию частицы.
Скорость частицы после столкновения с атомом определяется правилом поглоще ния импульса, массы, функцией распределения падающих атомов и направлением ее скорости в момент столкновения. Направление скорости локализованной частицы в мо мент столкновения полагается случайным и равновероятным. Но если модуль скорости частицы оказывается больше скорости атома, то, естественно, направление движение частицы выбирается навстречу атому.
Помимо максвелловского распределения атомов (1), в расчетах будем использовать также моноэнергетическое распределение атомов по скоростям V вдоль направления х:
f0(V) = S(V - Vo), при X < О
f0(V) = 6(V + V0), при x > 0.
В единицу времени с плоским листом единичной площади столкнется J0 = 2V0N aro мов. При выборе т — Т = Vo = 1 средняя энергия атомов в объеме у максвелловского и моноэнергетичного распределений совпадает. Отметим, что для моноэнергетического
распределения атомов нет различия в средней по объему энергии атомов и средней энергией сталкивающихся с поверхностью атомов (это верно только в одномерном случае).
Рис. 1. ФР массивной локализованной частицы, упруго сталкивающейся с атомами, распределенными по Максвеллу (1) и моноэнергетическими атомами (2). Сплошные кривые 1, 2 - ФР Максвелла при Т=1 и 2, точки и кружочки - результаты расчета, а) линейный масштаб, б) логарифмический.
Расчеты упругой локализованной частицы. Для удобства представления на одйоы графике расчетов частиц различной и переменной массы, на всех графиках скорость будем нормировать на тепловую скорость Vt при Т — 1, т.е. на М-1/2. Вначале рассмотрим результаты расчетов для массивной частицы при упругом столкновении с атомами единичной массы. На рис. 1 представлены результаты расчетов ФР по скоростям частицы с массой M = 1000 при упругом столкновении с атомами. Выполнены расчеты для двух типов распределений атомов: равновесного с Т = 1 и моноэнергетич-ного с К — 0.5. Соответственно, на частицу воздействовал максвелловский поток (2) со средней кинетической энергией падающих атомов (К) = 1 и поток моноэнергетичных атомов с (К) = 0.5. В обоих случаях полученное в численном эксперименте распреде ление частицы по скоростям является максвелловским с очень хорошей точностью, но температуры отличаются в два раза. Для максвелловского потока после розыгрыша миллиона столкновений (К) — 1.0244, после розыгрыша ста миллионов столкновени л (К) = 0.9947, а для моноэнергетического, соответственно, (К) = 0.4720 и {К) = 0.5002. Графики ФР, построенные в линейном (а) и логарифмическом (б) масштабах, демонстрируют совпадение с максвелловским распределением во всей области, в том числе и
на экспоненциально малых хвостах ФР. Таким образом, есть основание утверждать, 'п о у массивной локализованной частицы устанавливается максвелловское распределение < температурой, равной средней кинетической энергии падающих атомов. Аналогичный результат получается и для двухтемпературного максвелловского распределения.
v
Рис. 2. ФР локализованной частицы, упруго сталкивающейся с атомами максвелловского потока. М = 0.1; 0.3; 1; 2; 20 (кривые 1-5). Приведены также ФР Максвелла при Т= 1; 2 (кривые 6, 7) и ФР максвелловского потока с Т = 1 (кривая 8).
На рис. 2 приведены ФР частицы по скоростям при воздействии на нее максвеллов ского потока с Т = 1, но при разных массах частицы: М = 0.1, 0.3, 1, 2, 20 (кривые 1-5). Для больших масс, начиная с М >> 10, ФР близка к распределению Максвелла с Т = 2 (кривая 7). Для малых масс она от него радикально отличается. Для М = 1 ФР частицы совпадает с распределением падающих атомов (2), средняя кинетическая энергия частицы после розыгрыша миллиона столкновений (К) = 0.9994. Приведено также распределение Максвелла с Г = 1 (кривая 6). Для частиц с малой массой наблюдаемое увеличение средней энергии обусловлено эффектом ускорения Ферми [8].
Расчеты липкой локализованной частицы. Простейшая модель липкой частицы не позволяет в вычислительном эксперименте получить ФР из-за того, что число с гол к новений частицы пропорционально двоичному логарифму времени. Для вычисления гладкой ФР необходимо усреднение по крайней мере тысячи времен набора энергия
г?, соответственно, частица тысячу раз должна удвоить свою массу, а для этого необходим розыгрыш примерно 21000 соударений с атомами, что невозможно как из-за ограниченных вычислительных ресурсов, так и с точки зрения здравого смысла - во Вселенной нет такого количества атомов.
Но даже реализация 21000 соударений с атомами не позволит получить гладкую ФР из-за того, что вес столкновений при вычислении ФР пропорционален их длительности, соответственно, первое столкновение войдет в ФР с весом 2~1000, а последнее - с весом 2-1. Фактически в ФР будут представлены два-три последних столкновения, доля остальных составит порядка 10%.
2 1.6
1.2
>
гсг
0.8 0.4
° 0 1 2 3 4
V
Рис. 3. Три расчета ФР липкой локализованной частицы с начальной массой М(0) = 10; различающиеся последовательностью случайных чисел (пунктир, штрихи, штрих-пунктир). Кружки - другой способ усреднения (см. текст). Приведены также ФР Максвелла при Т = 1 и Т = 2.
На рис. 3 приведены ФР при воздействии на липкую частицу с начальной массой М = 10 максвелловского потока с Т = 1. Приведены данные трех расчетов, которые отличались последовательностью случайных чисел при розыгрыше скоростей атомов. В каждом из расчетов разыгрывался миллион соударений с атомами, что соответствовало примерно двадцати столкновениям частицы (времен Тт)■ Полученные распределения, в полном соответствии с вышесказанным, представляют результат усреднения двух -трех последних столкновений. Для сравнения большими кружочками нанесен результат усреднения двадцати расчетов с одним столкновением при начальной массе частицы
М — 100. Хотя и очень грубо, но вычисленная ФР качественно соответствует мак велловской ФР. В первых трех расчетах (К) = 0.45, 1.22, 2.20. В расчете с двадцать о усреднениями (К) = 0.95, что значительно ближе к точному значению (К) = 1, хоч число соударений частицы с атомами - 2000, вместо миллиона в первых трех расчета Расчеты неупругой локализованной частицы постоянной массы. Рассмотрим р. зультаты расчетов липкого поршня в бесконечно узкой и глубокой потенциальной я: при условии потери им массы после неупругого столкновения.
Рис. 4. ФР локализованной частицы, неупруго сталкивающейся с атомами максвеллов< ко, потока при М = 2; 4; 10; 100 (соответственно - маленькие, большие кружочки, маленькие большие точки). При потере массы сохраняется энергия - формула (8). Приведены также ФР Максвелла при Т = 1; 2.
На рис. 4 приведены ФР локализованной частицы, неупруго сталкивающейся с aro мами максвелловского потока при М — 2, 4, 10, 100. При потере массы сохраняется энергия - скорость частицы после потери атома определяется по формуле (8). Приведе ны также ФР Максвелла при Т — 1; 2. При малых массах наблюдается значительное отклонение от максвелловского распределения; начиная с М — 100, ФР совпадает < равновесной, но температура получается в два раза выше, чем температура газа.
На рис. 5 приведены расчеты с теми же параметрами, но другим способом потери массы: у частицы сохраняется импульс - ее скорость после потери атома определяет»> по формуле (7). ФР радикально отличаются от равновесной.
На рис. 6 приведены расчеты с теми же параметрами, но другим способом потер! массы: у частицы сохраняется скорость - ее скорость после потери атома не меняется
Т=2
Т=1
у М=2,4,10,100
О 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 14
V
>
0.01
1 -10
Рис. 5. ФР локализованной частицы, неупруго сталкивающейся с атомами максвелловско-го потока при М = 2; 4; 10; 100. При потере массы сохраняется импульс - формула (7). Приведены также ФР Максвелла при Т = 1; 2.
Рис. 6. ФР локализованной частицы, неупруго сталкивающейся с атомами максвелловского потока при М = 2; 4; 10; 100. При потере массы сохраняется скорость - формула (6). Приведены также ФР Максвелла при Т = 1; 2.
ФР несколько отличаются от равновесной только для масс М = 2; 4, для М = 10; 100 она является равновесной с температурой газа.
Модель поршня в трубе с идеальным газом. Рассмотренная выше задача является идеализацией и не учитывает перемещения броуновской частицы. Рассмотрим физиче
ски непротиворечивую идеализацию - упругий поршень в трубе длины 2Ь: —Ь < х < I.. заполненной идеальным газом - п атомов слева и п - справа. Для сравнения с преды/1' щей моделью, абсолютно упруго ограничим движение поршня. Границы движения д.¡я поршня установим в пределах —а < х < а, мого меньших Ь. Положим сечение трубы равным единице, тогда значение 2Ь совпадает с числом частиц 2п. Устремляя величину а к нулю, мы должны получить случай бесконечно узкой потенциальной ямы. Однако, выполненные расчеты показали, что в такой системе распределение скорости поршня (броуновской частицы) является максвелловским с температурой газа. Результаты расчетов практически не зависят от размеров ямы. Существенное отличие от модели локализованной частицы заключается в том, что вероятность встречного движения атома и поршня выше на малую величину Уд/Уа << 1, Уд и К - скорости поршня и атома. Хотя она и стремится к нулю, тем не менее, как показывают расчеты, определяющим образом влияет на результат.
Аналогичный численный эксперимент с липким поршнем и вбрасыванием новых ато мов с распределением по скоростям (2) привел к тому, что для поршня устанавливается равновесное распределение с Т = 0.6 (с точностью лучше 0.01%).
Замечание о диссипации и обратимости. Отметим интересную, с точки зрения изу чения общих свойств динамических систем, особенность численной модели упругого поршня в трубе. Дельтаобразное (моноэнергетическое) начальное распределение ато мов в численном эксперименте релаксировало из-за упругого взаимодействия с поршнем к максвелловскому распределению. После обращения скоростей и проведения расчета с обращением направления времени система приходила практически в то же самое состоя ние (моноэнергетичное). Тем самым демонстрируется наличие обратимости по времени в вычислительном эксперименте и стохастизации (другими словами - диссипации) и обратимой динамической системе. В принципе, точка зрения о возможности такого ро да процессов в обратимой динамической системе не нова [б], однако распространено и обратное мнение - что диссипация (релаксация к распределению Максвелла) невозмож на в динамических (обратимых) системах из-за сохранения энтропии. Возможность в численном эксперименте получить практически полную обратимость обусловлена тем, что в одномерном случае нет экспоненциально быстрого разбегания фазовых траек го-рий системы.
Рассмотренные одномерные задачи имеют методический интерес и для исследоваь; л реальных свойств пылевых частиц необходимо рассмотрение трехмерного движения Первоначальное исследование проводилось для трехмерных систем. Но проблемы набо-
ра необходимой статистики и невозможность получения точного результата приводили к целому ряду эффектов, во многом обусловленных не физическими причинами, а чисто вычислительными аспектами.
Трехмерное движение при условии независимости компонент скорости частицы (ги потеза о хаосе) может быть сведено к одномерному и тогда полученные результаты могут иметь и практическое значение. Выполненные расчеты, в которых рассматри вались только центральные удары, т.е. полагался равным нулю прицельный параметр и не учитывалось вращение макрочастиц (в пылевой плазме оно играет важную роль [1]), показали наличие всех модельных эффектов, подробно рассмотренных выше для одномерной задачи. Отметим только, что модель локализованной (ограниче!лой в пространстве) частицы может быть применена для изучения влияния размеров счетной области на результат моделирования методом МД трехмерных задач и поведения леви тирующей частицы [10]. Подробное исследование будет приведено в отдельной работе.
Выполненное численное моделирование является попыткой применения методов мо делирования из первопринципов для выяснения применимости обычно используемых при построении кинетических теорий допущений. Численные результаты показывают, что эти допущения зачастую не оправданы. Рассмотрены новые граничные условия, наиболее адекватные физической ситуации. Показано, что в условиях пылевой плазмы температура (средняя кинетическая энергия макрочастиц) может не находиться в равновесии с температурой тяжелых частиц.
Автор благодарит А. М. Игнатова и С. А. Тригера за стимуляцию работы по численному исследованию броуновского движения в идеальном газе, Д. С. Чернавского за обсуждение вопроса о причинах необратимости кинетических уравнений, а также N.W.O. (Нидерландская организация научных исследований) за финансовую поддержку работы.
ЛИТЕРАТУРА
[1} С п и т ц е р JL Физические процессы в межзвездной среде. М., Мир, 1981.
[2] Б е р д Г. Молекулярная газовая динамика. М., Мир, 1981.
[3] Ц ы т о в и ч В. Н. УФН, 167, N 1, 57 (1997).
[4] Ignatov A.M., Trigger S.A. URL address: arxiv.org/abs/physics/0006072.
[5] Zagorodny A., Schräm P. P. J. M., Trigger S. A. Phys. Rev. Lett., 84, No. 16, 3594 (2000).
[6] М а й е р Дж., Гепперт-Майер М. Статистическая механика. М. М i 1980.
[7] И г н а т о в А. М., Майоров С. А., Т р и г е р С. А., Шрам П П Дж. Краткие сообщения по физике ФИАН, N 7, 7 (2000).
[8] Лихтенберг А., Либерман М. Регулярная и стохастическая динам: М., Мир, 1984; 3 а с л а в с к и й Г. М., Сагдеев Р. 3. Введение в нелипсп; физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М., Наука, 1988.
[9] X о к н и Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методами части -Мир, 1987.
[10] Владимиров С. В., Крамер Н., Майоров С. А. Кра сообщения по физике ФИАН, N 9, 33 (2000).
Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 14 декабря 21)0»
