CC BY
26
18 января 2012 г. 2:23
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
Блок-схема Адамара 2-115,7,3) задает обобщенный четырехугольник W(3,2)
Геометрические блок-схемы являются подпространствами конечномерных проективных пространств над полем Галуа. Рассматривается блок-схема Адамара и дается метод построения её блоков. Доказывается, что блок-схема Адамара задает симппектический обобщенный четырехугольник порядка 2.
Кренкель Т.Э.
I. Блок-схема Д.шмара 2-( 15,7*3)
Пусть Р Ш{Р(} Л, конечное множество точек, н В = } у*, конечное множество к-элсмснтных подмно-
жеств Р. называемых блоками. О (Р.В) является блок-схемой с параметрами М\.к.А). если каждое /-подмножество Р содержи 1СЯ в точности в X блоках ит В. каждая точка Р1 с Р принадлежит одному и тому же числу г блоков из В. Если »’=/>, блок-схема называется симметричной и также г к. Симметричная 2-(4т-\щ2т-I .т-1) блок-схема называется 2-блок-схемой Адамара. В частности при яр4 получаем блок-схему Адамара 2415,7.3).
Матрица инцидентности 2-( 15.7.3) блок-схемы представляет собой (0,1) матрицу с строками и столбцами, где элемент 1-ой строки и у -го столбца равен I. если /-ая точка принадлежит /-му блоку из В и равен 0 в противном случае. Блок-схема полностью определяется своей матрицей нкшщентности.
Две блок-схемы /), и 0: называются июморфными (£), - ), если существует взаимнооднозначное соот-
ветствие между множествами точек и блоков первой блок-схемы и множествами точек и блоков второй блок-схемы. Матрицы инцидентности двух изоморфных блок-схем эквивалентны.
Известно (1). что существует пять неизоморфных 2-( 15.7,3) блок- схем. Обозначим их через //,, //,. //,,
м4.//5.
Полные группы автоморфизмов Н,, Н : , Н,. Н 4 и Я5 имеют порядки 20160, 576. 96. 168 и 168 соответственно. По »тому общее число изоморфных, но различающихся 2-( 15,7,3) блок-схем равно I
= 64864800 ♦ 2270268000 л
1 ord( Лш(Нт ))
♦ 13621608000 ♦ 2 • 7783776000 = 315242928000.
2. Me юл мосіросния блоков Р(7(3.2) и і сорома
Дсмбовскоїо -Bai иера
Пусть PG(n.q) (п-мерное проективное пространство
над нолем Галуа GF{q). где степень простого числа р) [2)
представляет собой множество всех подпространств
(п + 1>-мерного вскгорного пространства над GF\q). PC j(n.q) обозначает структуру инцидентности, точки и блоки которой являются соответственно 1-мерными и (</+ I Ьмерными подпространствами PG(n.q).
Будем рассматривать случай па3, q-2 и */=2, т. с. случай точек и гиперплоскостей PG0.2), которые являются блоками.
Перенумеруем точки проективного пространства PG (3,2). Обозначим через а корень неприводимого полинома /Нх) = .г4 +х +1. с помощью которого будем производить нумерацию. Дія сокращения записи будем писать = (//,0л/„Мп.ип) вместо а НиЛ +и„а+игсґ +ипа*)-
Тогда все ненулевые элементы поля Gh\2 J ) моїут быть неречнелепы следующим образом:
а0 =(1000) а'=<10|0)
а'=<0100) а’-ЧОІОІ)
а: =(0010) а'ЧіНОІ
а’=(0001) а" =(01 II)
а 4 =< 1100) а':=<1111)
а5=(0110) а15 =( 1011)
а‘=(0011) а'4 =(1001 )
а7 =(1101 )
Каждую степень а можно отождествлять с гой точкой проекгнвного пространства ЯСг(3,2), которой приписывается номер /, /=0.1.2....,14. Строки (иі0&п .и/2.и/3 ) определяют проективные координаты точек /*0(3.2). Тогда точки и «/-пространства РС{пл]) определяют 2-(уЛХ) блок-схему D PGп.q) с параметрами
Г»+Л =(«--о 'rf+i ч * г — п
L 1 J, («-» і </
шэд-
обозначает число /-мерных подпространств
//-мерного векторного прстранства нал полем GF\q). Эти коэффициенты называются гауссовскими биномиальными коэффициентами и записываются в явном виде
.(g’-Dfr-'-iM«""'-!).
((/'-IKv'1-!)...(«-I)
В связи с этим естественно возникает задача характеризации классических геометрических блок-схем PGj(n.q) среди всех блок-схем с такими же параметрами. Теорема Дембовского-Вагнера характеризует блок-схемы D по числу точек их прямых (прямые определяются двумя точками блок-схемы как пересечение всех блоков, содержащих эти две точки).
Теорема Дсмбовскої о-Вагиера. Пусть D симметричная блок-схема и число точек на прямой равно л. Тогда D - проективное пространство.
T-Comm, #11-2011
45
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО ОБЩЕСТВА
(0.1.2.4.5.8,10). (5.4.5.7.Х. 11.13),
(1.6.7.8.10.11.14),
(2.4.9.10.11.13.14),
(2.3.4.6,7.10.12).
(0.5,6.7.9.10.13),
(1,3,8.9.10.12.13),
(0,1,4,6,11,12,13),
В случае блок-схемы Лламара 2-< 15,7.3) число точек на прямой равно >. = 3. Вычислим для этой блок-схемы, используя коэффициенты Гаусса, число /-мерных подпространств проективною пространства /47(3.2) . Получаем, что трехмерное проективное пространство содержит 15 точек. 35 прямых и 15 гиперплоскостей. Воспользуемся нумерацией точек Р1. приведенной выше, и перечислим прямые и I иперплоскостн этого пространства. Прямые:
(0,1,4), (1.2.5). (2.3.6). (3.4.7), (4,5,8). (5.6,9), (6,7,10).
(7.8.11), (8,9,12), (9,10,13), (10,11,14), (0,11,12), (1,12,13),
(2.13.14) , (0,3,14), (0,2.8). (1,3,9),((2,4,10), (3,5,11),
(4.6.12). (5.7.13), (6.8.14), (0.7,9). (1.8.10). (2.9.11),
(3.10.12), (4,11,13), (5,12,14), (0,6,13), (1,7,14), (0,5,10), (1,6,11), (2,7.12). (3,8,13), (4,9,14).
Гиперплоскости:
(1,2.3,5.6.9.11),
(4.5.6.8.9.12.14).
(0.2.7.8.9.11.12).
(0,3,5,10.11,12.14),
(1.2.5.7.12.13.14). (0.2.3.6.8,13,14), (0,1,3,4,7,9,14). Непосредственная проверка показывает, что точки и
гиперплоскости образуют блок-схему Адамара 2 =( 15.7,3).
Приведем матрицу инцидентности 2-( 15,7.3) блок-схемы Адамара (строки соответствуют точкам, а столбцы блокам блок-схемы) (см. таблицу).
3. Обобщенные четырехугольники порядка порялка 2
Конечным обобщенным четырехугольником порядка (х./). обозначаемым обычно О0(дназывается структура инцидентности 5=(Р.£.1), где Р и В являются непустыми множествами объектов, называемых соответственно точками и прямыми, а / есть симметричное отношение инцидентности точка-прямая, удовлетворяющее следующим аксиомам:
а) каждая точка инцидентна I + / прямым (1> I) и две различные точки инцидентны не более чем с одной прямой;
б) каждая прямая инцидентна с 1 +/ точками ($ £ I) и две различные прямые инцидентны не более чем в одной точке:
в) если х - точка, а I. прямая, не инцидентная с х. то существует единственная пара (у,Л/)е Р* В. для которой выполняется отношение х!М1у И.
Из приведенных аксиом следует, что \Р\ = ($ + 1 Кл/ + 1) и \В\ = (/+ 1 Х.\7 + 1). Гели 5 = /. то говорят, что многоугольник .V имеет порядок 5. Обобщенный четырехугольник с 5 > 1 и і > I называется толстым.
Если заданы две точки .V и у структуры инцидентности 5, то х—у обозначает их коллинеарность, если существует прямая і структуры 5, инцидентная им обоим. Дтя любой х є Р будем обозначать .г »{>•€ Р\у - дг} и замечаем, что X є Xі; очевидно, что I дг I* | ♦ Л ♦ .У/1.
Множество л- является пучкам иютропных прямых.
Каждые две точки и и г’, лежащие в пучке дг1, обращают в ноль симплектическую форму В(иу). В стандартном базисе четырех мерною векторного пространства У(СП2)) матрица симнлсктичсской формы записывается в виде
0 I 0 0^ 10 0 0 0 0 0 1 0 0 10
Будем называть точку х основанием пучка изотропных прямых. Будем называть две точки и и сопряженными, если они лежат на изотропной прямой. Каждая точка является самосопряженной. Множество пучков изотропных прямых образует симплсктичсскнй обобщенный четырехугольник порядка 2, который обозначается И'(3,2). Обобщенный четырехугольник И'(3,2) изображается в виде неориентированною графа коллинеарности (графа Пейна) с 15 вершинами, каждая из которых является основанием пучка изотропных прямых.
4. Прямая и обратная теоремы Пейна-Гаса
Каждый блок 2-( 15.7.3) схемы Адамара представляет собой конечную лезаргову плоскость Л6’(2.2) (плоскоеіь Фано). которая изображается в виде неориентированного графа имеющего 7 вершин и 7 ребер.
Теорема Псйна-Таса [3| устанавливает взаимнооднозначное соответствие между обобщенными четырехугольниками и симметричными блок-схемами.
Теорема Псйна-Таса. Обобщенный четырехугольник порядка ц задает симметричную
2-ід* + 9 + І.9 + І ) блоК-СХСМу.
1 2 3 0 1 4 5 6 7 1 8 9 1 10 11 1 121 13 1 14 15 1 1
111 1 1 1 1 1
2 111 | 1 * 1 1 1
3 1 1 1 1 1 1 1
4 1 1 1 1 1 1 1
Б 1 1 1 1 1 1
6 1 1 1 1 1 1 1
7 1 1 1 1 1 1 1
8 1 1 1 1 1 1 1
9 1 1 1 1 1 1 1
10 1 1 1 1 1 1 1
11 1 1 1 1 1 1 1
12 1 1 1 1 1 1 1
13 1 1 1 1 1 1 1
14 1 1 1 1 1 1 1
46
Т-Сотт, #11-2011
