CC BY
104
УДК 004.82
И.А. Ходашинский, П.А. Дудин, А.В. Лавыгина
Биоинспирированные методы
параметрической идентификации нечетких моделей*
Рассмотрены три метода оптимизации: генетический алгоритм, алгоритм муравьиной колонии и алгоритм роящихся частиц. Приведены особенности применения указанных методов для параметрической идентификации нечетких моделей. Дан анализ имитационных экспериментов с моделями, построенными на основе указанных методов.
Введение
Нечеткие системы находят широкое применение в таких проблемных областях, как распознавание образов и проектирование регуляторов, прогнозирование и моделирование, управление и принятие решений. Они встроены в такие потребительские товары, как фото-и видеокамеры, кондиционеры и холодильники, стиральные машины и др. К преимуществам нечетких систем относятся невысокая стоимость разработки, интуитивно понятная логика функционирования, гибкость. Однако такие системы применяются без должного обоснования выбора структуры и параметров модели. Указанные задачи должны быть решены на этапе идентификации модели. Основными задачами идентификации нечеткой модели являются: выбор типа нечеткой модели, задание входных и выходных переменных, определение структуры функций принадлежности, выбор количества правил, идентификация параметров антецедентов и консеквентов правил, определение критериев оценки функционирования нечетких моделей. Известны два подхода к идентификации нечетких моделей: на основе знаний эксперта и на основе таблиц наблюдений [1].
Проблема параметрической идентификации нечетких моделей на основе таблиц наблюдений может быть решена как задача оптимизации, цель которой состоит в том, чтобы найти параметры модели так, чтобы ошибка между тестовыми и модельными значениями могла быть минимизирована. Тогда проблема сводится к проведению поиска в многомерном пространстве, координаты которого соответствуют параметрам нечеткой модели. В силу того, что поверхность поиска в указанном пространстве имеет сложный рельеф, классические методы типа градиентного поиска здесь неэффективны. Для решения проблем оптимизации широко применяются метаэвристики [2], основанные на биологических принципах и механизмах. Класс таких методов носит название «биоинспирированные методы, эвристики или алгоритмы».
Биоинспирированные эвристики типа нейронных сетей, клеточных автоматов, генетических алгоритмов, алгоритмов муравьиной колонии и роящихся частиц имеют некоторые общие особенности: коллективное поведение и простое взаимодействие в группе, самоорганизация и децентрализация управления, эволюция и адаптация, миграция, параллельность и асинхронность. Указанные свойства позволяют эффективно решать задачи поиска в многомерном пространстве.
Целью статьи является описание применения таких метаэвристик, как генетический алгоритм, алгоритмы муравьиной колонии и роящихся частиц, для идентификации нечетких моделей.
Постановка задачи
Нечеткая система, построенная на основе нечеткой модели, выступает в качестве универсального аппроксиматора. Построение аппроксимирующего описания объекта разделяется на следующие этапы: подбор структуры модели, оценивание параметров модели, выбор критерия качества аппроксимации и метода оптимизации выбранного критерия.
В работе рассматривается нечеткая система типа синглтон, в которой п входных переменных, т нечетких правил, каждое из которых имеет следующий вид:
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 06-08-00248)
правило j: ЕСЛИ xt=A1; И x2=A2j И ... И xn=Anj ТО гр где г;-— действительное число, е . Нечеткая система осуществляет отображение F : 9?" , заменяя оператор нечеткой конъюнкции произведением, а оператор агрегации нечетких правил — сложением. Тогда выходное значение F(x) вычисляется следующим образом:
F(x) =
XtIXvMjbi)
;=1 ¿=1_
т п '
ХП
;=li=l
где х =[х1,...,дгп]7' е , — функция принадлежности (ФП) нечеткого понятия А1;.
Известно несколько типов функций принадлежности: треугольные, трапециевидные, гауссовы, параболические, каждая из которых задается определенным набором параметров. Без потери общности в работе рассматриваются треугольные функции принадлежности, для определения которых необходимы три параметра.
Основой для оценивания параметров функций принадлежности является таблица наблюдений либо тестовая функция /(х).
Проблема идентификации нечетких моделей решается как задача оптимизации, цель которой состоит в том, чтобы найти параметры модели так, чтобы ошибка
N
N
или шах(| /(хг) - F(xt) |)
N N
между тестовыми Дх) и модельными значениями F(x) могла быть минимизирована.
Генетический алгоритм
Работа генетического алгоритма (ГА) основана на принципах естественного отбора и наследования [3]. Преимущества ГА перед другими методами оптимизации заключаются в параллельной обработке множества альтернативных решений. Немаловажным достоинством ГА является возможность задания начальных параметров задачи случайным образом. При работе алгоритма большее внимание уделяется наиболее перспективным решениям, однако и менее перспективные решения также участвуют в поиске.
Схема ГА сводится к следующей последовательности шагов.
Шаг 1. Случайным образом генерируется популяция.
Шаг 2. Оценка популяция. Если достигнуто условие окончания работы, то переход на шаг 4.
Шаг 3. Отбор пар хромосом для скрещивания в соответствии с выбранной стратегией селекции и производство потомков (применение генетических операторов скрещивания и мутации). Переход к шагу 2.
Шаг 4. Окончание работы — вывод «наилучшего» решения.
Для работы ГА необходимо определить структуру хромосомы, начальную популяцию и генетические операторы.
Хромосома — упорядоченный набор закодированных параметров задачи (генов). Хромосома будет соответствовать отдельному потенциальному решению задачи. Важным понятием в ГА считается функция приспособленности (уровень выживаемости, фитнес-функция). Она представляет меру приспособленности данной особи в популяции и позволяет выбирать из них наиболее приспособленные. На первом этапе ГА генерируется множество хромосом, которые образуют начальную популяцию. Используют два способа задания начальной популяции: 1) все особи генерируются случайным образом; 2) одна или несколько особей заранее определены.
Селекция хромосом заключается в выборе тех особей, которые в дальнейшем будут участвовать в создании потомков для следующей популяции. Этот выбор осуществляется согласно принципу естественного отбора. На этапе скрещивания родительские пары участвуют в создании потомков. Гены потомков получают свои значения путем обмена генов родителей. Задачей мутации является внесение некоторой случайности в процесс работы ГА,
что снижает вероятность застревания в локальных минимумах. Это достигается за счет того, что при мутации случайным образом изменяются значения генов некоторых хромосом.
Рассмотрим специфику задачи при настройке параметров ФП и консеквентов правил.
Предлагаются два способа обучения нечетких систем.
1. Последовательная настройка. Здесь производится настройка сначала значений консеквентов правил, затем параметров ФП. На каждом этапе работает свой генетический алгоритм: ГА1 и ГА2 соответственно. Указанные этапы повторяются до достижения условия останова.
Хромосома ГА1 содержит нормализованные значения консеквентов. В нулевой ген помещается уровень выживаемости, который определяется среднеквадратичной ошибкой. Остальные гены — Сг ,С2 ,—,Ст — соответствуют нормализованным значениям параметров консеквентов правил (рис. 1).
Для ГА1 используются классические стратегии селекции хромосом («рулеточный отбор», «турнирный отбор», «элитаризм» и «случайный отбор»), типы операторов скрещивания (одноточечный, многоточечный, однородный, унифицированный) и мутации (случайная одноточечная и многоточечная).
Хромосома ГА2 содержит нормализованные значения параметров ФП. Например, схема хромосомы для треугольной ФП представлена на рис. 2.
г-Н eq СО i-Ч <М ео |Н eq со 1—1 <м «
Оценка 1-4 гЧ гЧ ... гЧ гН ... •цГ
гН гН iH С с с £ е е
Ж о. ■w а. а. а. а. а, а.
Первый терм f-й терм Первый терм t-й терм
Первая переменная n-я переменная
Рис. 2. Структура хромосомы в задаче настройки параметров ФП
Размер хромосомы в этом случае равен n Q Opar +1, где par — количество параметров ФП.
В зависимости от типа ФП должно соблюдаться специфическое условие включения хромосомы в популяцию:
- для треугольной функции принадлежности
p{i,j, 1)< р (i,j,2) < р (i,j,3), (1)
р (¿¿-1,2) < р (i,j,2) < р (i,/+l,2); (2)
- для трапециевидной функции принадлежности
р (i,j, 1) < р (i,j, 2) < р (i,j,3) < р (¿,7,4); (3)
- для параболической и гауссовой функций принадлежности
р (i,j,2) >0, (4)
р (г,7-1,1) < р (i,y,l) < р (г,7+1,1). (5)
Функции принадлежности должны покрывать весь универсум, на котором они определены (не должно быть разрывов между соседними ФП).
На этапе ГА2 применяются классические стратегии селекции хромосом и методы скрещивания. После применения оператора кроссовера производится проверка хромосом потомков на выполнение условий включения в популяцию.
В случае настройки параметров ФП новое значение гена при мутации вычисляется в зависимости от типа функции принадлежности, определяющей работу генетического алгоритма:
- для треугольной функции принадлежности
0 < p(i,i,k) < p(i,j,k+l) , (6) если p{i,j,k) — первый ген из тройки параметров функции принадлежности /-го терма i-й входной переменной
р (i,j,k-l) < р (i,j,k) < р (i,j,k+1), (7)
Оценка с2 Ст
Рис. 1. Структура хромосомы в задаче настройки консеквентов правил
если р (i,j,k) — второй ген из тройки
р (i,j,k-l) < р (i,j,k) < 1, (8) если р (i,j,k) — третий ген из тройки:
- для трапециевидной функции принадлежности
О < р (i,j,k) < р (i,j,k+l), (9)
если р (i,j,k) — первый ген из четверки
р (i,j,k-l] < р (i,j,k) < р (i,j,k+1) , (10) если р (i,j,k) — второй или третий ген из четверки
p(i,j,k-l)<p(ij,k)<l, (И) если р (i,j,k) — четвертый ген из четверки:
- для параболической и гауссовой функций принадлежности
р (i,j,k) > 0, (12)
если k — четное
р (i,j-l,k) < р (ijjt) < р (i,j+l,k), (13)
если k - нечетное.
Алгоритм последовательной настройки параметров нечеткой модели будет иметь следующую схему.
Шаг 1. Задание начальных параметров. Шаг 2. Настройка консеквентов правил. Шаг 3. Настройка параметров ФП.
Шаг 4. Если достигнуто условие останова, то выход, иначе — переход на шаг 2. 2. Параллельная настройка. Запускается один ГА. В хромосому включены нормализованные значения параметров ФП и консеквентов правил. Размер хромосомы определяется следующим образом:
п ■ t • par + т +1.
Нулевой ген содержит оценку системы, следующие п ■ t ■ par генов соответствуют параметрам ФП, остальные — консеквентам правил. Схема хромосомы представлена на рис. 3.
<а of и" -с
а ф я гН тЧ 1Н гН ... о. £ Ci С2 _ Ст
о а. о. О.
Рис. 3. Структура хромосомы в задаче одновременной настройки параметров ФП
и консеквентов правил
Для параллельной настройки запускается стандартная схема ГА. Отличительной особенностью является то, что хромосома включает в себя гены, соответствующие параметрам ФП, для которых необходимо соблюдать условия (1-5) включения в популяцию и правила мутации (6-13).
Существенным недостатком параллельной настройки является большой размер хромосомы, получение удовлетворительного результата при такой настройке требует больших вычислительных временных ресурсов.
Достоинством такого подхода является то, что в случае параллельной настройки начальные значения параметров ФП и параметров консеквентов могут задаваться случайным образом, в то время как при последовательной настройке для запуска алгоритма необходимо наличие начальных значений параметров ФП.
Алгоритм муравьиной колонии
Идея алгоритма основана на способности муравьев находить кратчайший путь между источником пищи и муравейником без использования визуальной информации [4]. Способность эта обусловлена выделением фермента во время их движения и использование этого фермента в качестве маркера.
Каждый муравей предпочитает следовать некоторым указателям, в качестве которых выступает фермент. Со временем фермент улетучивается и как следствие меньшее его количество находится на менее популярных маршрутах.
Применение АМК для решения конкретной задачи требует выполнения следующих действий:
1) представление решаемой задачи в виде графа;
2) определение целевой функции;
3) задание эвристического предпочтения одного решения перед другим.
АМК — процедура дискретной оптимизации, в то время как параметры функции принадлежности меняются непрерывно. Переход от непрерывной оптимизации к дискретной осуществляется посредством построения полного ориентированного графа поиска решения, количество вершин в котором определяется точностью нахождения значений параметров. Из каждой вершины выходят дуги с равномерно распределенными значениями нормированных параметров функций принадлежности входных переменных (рис. 4). Во все вершины графа равномерно распределяются муравьи. Цель муравья в задаче идентификации параметров нечеткой системы — посетить столько вершин, сколькими параметрами задается ФП. Например, треугольная — тремя вершинами. Пометки дуг, по которым прошел муравей, будут являться найденным им решением.
Рис. 4. Фрагмент начального графа поиска решения для муравьев, стартующих из узла 1
Каждая лингвистическая переменная описана несколькими ФП. Муравьи в алгоритме делятся на колонии. Каждая колония муравьев отвечает за нахождение параметров своей ФП.
Количество фермента, наносимого на дуги, пропорционально качеству решения, чем меньше ошибка вывода нечеткой системы, выполненного на выбранных параметрах, тем больше фермента наносится на дуги:
Дт* (¿) =
Я
если муравей проходил дугу (г, у),
О , иначе,
где ф — константа, определяющая количество фермента у отдельного муравья; Ь (1) — значение ошибки на £-й итерации для параметров, выбранных А-м муравьем.
Вероятность выбора муравьем дуги (¿, ;') на ¿-й итерации, если дуга не является третьим выбранным параметром функции принадлежности, вычисляется по формуле
(14)
г=1
вероятность выбора А-м муравьем дуги (¿, у) на £-й итерации, если дуга является третьим выбранным параметром функции принадлежности, вычисляется по формуле
(15)
где а — параметр, учитывающий важность (приоритет, значимость) фермента на пути; ß — параметр, учитывающий важность (приоритет, значимость) ошибки; Ту(£)— интенсивность фермента на дуге между узлами i и j на t-й итерации; Lk0(t) — значение ошибки на f-й итерации для параметров, выбранных fe-м муравьем, если дуга (i,о) является последней, т.е. определяет третий параметр; N — множество узлов, смежных вершине i, причем узел j может быть выбран многократно; в отличие от классического использования алгоритма в нашем случае не формируется запрещенный список узлов; в формулах (14) и (15) I * i.
Увеличение количества фермента определяется следующим образом:
м
V* + 1>= X (а4(0 + V>) Р. (16)
А=1
а испарение фермента — по формуле
Ту(* + 1) = ту(*М1-р), (17)
где р е [0;1] — коэффициент снижения интенсивности фермента; М — количество муравьев, прошедших по дуге (г, j).
Ниже приведен алгоритм оптимизации параметров функций принадлежности.
Шаг 1. Задать начальные параметры алгоритма и нечеткой системы.
Шаг 2. Задать популяции муравьев в колониях.
Шаг 3. Для всех муравьев текущей колонии определить три дуги, используя два раза формулу (14), затем формулу (15).
Шаг 4. Передать в нечеткую систему значения параметров функций принадлежности, определенных муравьями текущей колонии, и вычислить ошибки. Если параметры, переданные муравьем в нечеткую систему, лучше текущих, то сохранить новые значения параметров.
Шаг 5. Если имеется следующая колония, то сделать ее текущей и перейти на шаг 3, иначе перейти на шаг 6.
Шаг 6. Вычислить количество фермента на каждой дуге по формуле (16).
Шаг 7. Вычислить количество испаренного фермента по формуле (17).
Шаг 8. Если условие окончания работы алгоритма выполнено, то закончить, иначе перейти к шагу 2.
Условием окончания работы алгоритма является достижение заданного числа итераций либо получение ошибки, меньше заданной.
Увеличить точность вычисления параметров можно несколькими путями.
Первое самое очевидное решение — это увеличение точности за счет увеличения количества вершин орграфа. Например, для того чтобы точность была 0,01, можно создать граф с 102 вершинами. Но увеличение размерности графа на порядок увеличивает время вычисления на два порядка.
Для устранения этой проблемы предлагается другой способ — поэтапное увеличение точности. Сначала алгоритм работает с точностью 0,1 и находит оптимальные значения тройки параметров. Затем найденные параметры ограничиваются слева и справа значением 0,1, и в этих интервалах берутся значения с шагом 0,01 в качестве пометок нового орграфа. И так далее в зависимости от требуемой точности. Это позволяет существенно уменьшить время вычислений.
Еще одним способом увеличения точности определения параметров функций принадлежности является применение градиентного метода на втором этапе оптимизации после завершения работы алгоритма с заданной точностью вычисления.
Алгоритм роящихся частиц
Алгоритм роящихся частиц (АРЧ) — это средство поиска глобального оптимума в пространстве непрерывно меняющихся переменных. Алгоритм предложили инженер-электрик Rüssel Ebenhart и физиолог James Kennedy в 1995 г. [5], основываясь на работах биолога Craig Reynolds, который, изучая социальное поведение птиц, получил формулу поведения стаи птиц. АРЧ как ГА — это основанный на популяции метод поиска, в котором вместо хромосомы — частица, вместо генов — координаты частицы в многомерном пространстве. Каждая частица представляет потенциальное решение. Частицы оценивают пространство
поиска, перемещаясь в соответствии с заданной эвристикой. В АРЧ каждая частица имеет память и хранит свою лучшую позицию в пространстве поиска. Известна частице и лучшая позиция роя. Зная эти две позиции, частица динамически изменяет скорость согласно ее собственному опыту и опыту полета других частиц. Таким образом, движение каждой частицы задается ее лучшей позицией и текущей скоростью, ускорением, заданным предыдущей позицией, и ускорением, заданным лучшей частицей в рое.
Пусть имеется га-мерное пространство поиска S с 91" , рой состоит из N частиц. Позиция i-й частицы определяется вектором
хг = (xii'xi2>---'xin)^
Лучшая позиция, которую занимала i-я частица, определяется вектором
Pi =(Pil>Pi2> — 'Pin)Z s-
Скорость частицы определяется также га-местным вектором
Vi = (Vil'Vi2.....Vin)-
Движение частиц определяют простые математические уравнения:
V;(fe +1) = w ■ Vi(k) + сх - rand ■ (рДА) - хг(А)) + с2 ■ Rand ■ (pg(A) - x;(A)),
xi(Ä + l) = xi(fc) + vl(A + l),
где г = 1,2, ..., N;
v;(A) — вектор скорости частицы i на итерации А;
Xj(k) — координаты частицы i на итерации А;
ci> с2 — эмпирические константы ускорения из интервала [1,4; 2];
Pi(k) — лучшая позиция частицы i на первых А итерациях;
pg(k) — лучшая позиция частицы в рое (задается индексом g) на первых k итерациях;
w — эмпирический коэффициент инерции из интервала [0,7; 1,2];
rand, Rand — случайное число из интервала [0; 1].
Обобщенный алгоритм метода приведен ниже.
Шаг 1. Случайным образом генерируется популяция.
Шаг 2. Оценка популяции. Если достигнуто условие окончания работы, то переход на шаг 4.
Шаг 3. Для каждой частицы определение ее новых координат и вектора скорости. Расчет новых лучших позиций каждой частицы. Определение частицы с лучшей позицией в рое. Переход к шагу 2.
Шаг 4. Окончание работы.
Пространство поиска в задаче идентификации представлено всеми возможными параметрами нечеткой системы. Вектор, определяющий позицию i-й частицы, совпадает с представлением хромосомы при одновременной настройке параметров ФП и консеквентов правил (см. рис. 3).
Сравним ГА и АРЧ:
- АРЧ прост в реализации и не требует больших вычислительных затрат;
- отсутствуют операции кроссовера и мутации;
- частицы меняют позицию в пространстве поиска, не генерируя новых частиц.
Эксперимент
Алгоритм муравьиной колонии
Исследования алгоритма проводились на двух тестовых функциях:
1) A*i, х2) = • sin(x2);
2) f(xlt х2) = sin^xj/p) • sin(2x2/p).
В эксперименте участвовали АМК, нечеткая система, градиентный алгоритм. Цель эксперимента — исследование и анализ работы АМК и нечеткой системы при изменении их параметров. Основные параметры по умолчанию для каждого участника эксперимента приведены в табл. 1.
В результате проведенных исследований было установлено, что увеличение количества итераций работы алгоритма (табл. 2), количества муравьев, стартующих из одной вершины (табл. 3), и значения параметра ß (табл. 4) уменьшают ошибку, увеличивая при этом время работы алгоритма. Однако достичь существенного уменьшения ошибки с увеличением
значений указанных параметров не удается, особенно этот факт хорошо демонстрируют результаты, полученные для второй тестовой функции.
Особо следует отметить эксперимент с изменением значения параметра точности (табл. 5). Увеличение данного параметра на порядок приводит к уменьшению ошибки на порядок при работе с первой тестовой функцией. Для второй тестовой функции изменения ошибок не существенны.
Такие параметры АМК, как а, Я, р (табл. 6), не оказывают существенного влияния на время работы алгоритма и незначительно меняют ошибку вывода. Указанные параметры нуждаются в настройке при работе с конкретной таблицей наблюдений.
Увеличение числа лингвистических термов входных переменных для плавно меняющихся значений не приводит к существенному уменьшению ошибки (табл. 7, функция 1). Увеличение числа лингвистических термов входных переменных при аппроксимации поверхностей с многими максимумами и минимумами позволяет уменьшить ошибки на порядок, здесь важным является подбор числа термов (табл. 7, функция 2).
Таблица 1
Параметры по умолчанию
Алгоритм муравьиной колонии Количество итераций 100
Точность 0,1
Муравьи/узлы 2
а 1
Р 0,5
Р 0,7
Я од
Нечеткая система Количество термов 5
Градиентный алгоритм Коэффициенты обучения 0,1
Таблица 2
Результаты эксперимента для меняющегося числа итераций
Тестовая Итерации Усредненная ошибка Время
функция абсолютная максимальная
1 50 0,002845726 0,024205667 3,2
100 0,002721836 0,021214896 5,875
500 0,002232811 0,017698776 20,5
2 50 0,034109159 0,119509524 4,5
100 0,031789131 0,116961708 8,857
500 0,029273961 0,114740514 29,714
Таблица 3 Результаты эксперимента для меняющегося соотношения муравьи/ вершины
Тестовая Муравьи/ Усредненная ошибка Время
функция вершины абсолютная максимальная
1 2 0,002721836 0,021214896 5,875
3 0,001864481 0,015989639 6,5
4 0,001838337 0,015949413 9,5
2 2 0,031789131 0,116961708 8,857
3 0,030023944 0,110194509 12,6
4 0,029829003 0,110181491 17,6
Таблица 4
Результаты эксперимента для меняющегося параметра р
Тестовая Р Усредненная ошибка Время
функция абсолютная максимальная
1 0 0,002772030 0,022750964 5,4
0,5 0,002721836 0,021214896 5,875
1 0,001838335 0,015949413 6,25
2 0 0,035395795 0,135066593 8,25
0,5 0,031789131 0,116961708 8,857
1 0,028940055 0,112478177 9,33
Таблица 5
Результаты эксперимента для изменяющегося параметра точности
Тестовая функция Точность Усредненная ошибка Время
абсолютная максимальная
1 0,1 0,002721836 0,021214896 5,875
0,01 0,000573382 0,004513032 40,25
0,001 6,80Е-05 0,000505577 64,333
2 од 0,031789131 0,116961708 8,857
0,01 0,016777285 0,097945086 52
0,001 0,016176362 0,097800831 103
Таблица 6
Результаты эксперимента для меняющегося параметра р
Тестовая функция Р Усредненная ошибка Время
абсолютная максимальная
1 0,4 0,002371453 0,017076440 5
0,7 0,002721836 0,021214896 5,875
0,9 0,001999847 0,017949413 6,2
2 0,4 0,032322169 0,128145903 9
0,7 0,031789131 0,116961708 8,857
0,9 0,031949612 0,122880479 9,3
Таблица 7 Результаты эксперимента для изменяющегося числа термов
Тестовая функция Количество термов Усредненная ошибка Время
абсолютная максимальная
1 5 0,002721836 0,021214896 5,875
7 0,002261576 0,012952662 9,33
11 0,002198199 0,011147342 15
2 5 0,031789131 0,116961708 8,857
7 0,028456161 0,152157841 14,5
9 0,004757941 0,024288564 18,43
Генетический алгоритм
Было проведено исследование двух способов решения задачи настройки параметров ФП и консеквентов правил на примере функции z - sin í Х ) • sin (). Изменялись сле-
дующие параметры ГА: стратегия селекции, тип и вероятность скрещивания, тип и вероятность мутации. В качестве условия останова выбрано количество шагов ГА. Для настройки
программы — результирующие параметры ФП и параметры консеквентов. В работе изучалась зависимость значений среднеквадратичной, средней абсолютной и максимальной ошибки нечеткой модели от количества термов лингвистических переменных и числа шагов ГА, проводился сравнительный анализ параллельной и последовательной настройки.
В табл. 8-10 представлены результаты исследования работы указанных алгоритмов при следующих параметрах ГА:
- 20 особей в популяции;
- рулеточный отбор хромосом для скрещивания;
- одноточечное скрещивание с вероятностью 0,8;
- многоточечная мутация с вероятностью 0,4.
Алгоритм последовательной настройки выполняется в заданное число итераций. Число итераций изменяется в пределах от 1 до 5. На каждой итерации выполнения алгоритма последовательной настройки производилось выполнение алгоритмов ГА1 и ГА2. Число шагов ГА1 и ГА2 варьировалось в пределах от 1 000 до 10 000.
В табл. 8 показана зависимость значений ошибки от количества термов и количества шагов ГА1 и ГА2 для пяти итераций алгоритма последовательной настройки параметров ФП и консеквентов правил.
В табл. 9 показана зависимость значений ошибки от количества итераций алгоритма последовательной обработки. Количество шагов ГА1 и ГА2 принято равным 1000.
Таблица 8
Зависимость значений ошибки от количества шагов в алгоритме последовательной настройки значений параметров ФП и консеквентов правил
Количество Количество Усредненная ошибка
шагов термов средне- средняя максимальная
ГА1 и ГА2 квадратичная абсолютная
1000 3 0,0283783 0,2383191 0,789554
5 0,0031014 0,0162957 0,2968180
7 0,0054373 0,0235500 0,4841370
9 0,0111602 0,0856353 0,3974058
5000 3 0,0282869 0,2361087 0,683103
5 0,0013023 0,0101152 0,182559
7 0,0035880 0,0125602 0,085745
9 0,0043381 0,0284835 0,181465
10000 3 0,0274590 0,1942443 0,662843
5 0,0095863 0,0611152 0,180380
7 0,0032473 0,0102159 0,065418
9 0,0011140 0,0054846 0,050262
Таблица 9
Зависимость значений ошибки от количества итераций _алгоритма последовательной настройки___
Количество Количество Усредненная ошибка
термов итераций средне- средняя максимальная
алгоритма квадратичная абсолютная
5 1 0,00848471 0,0641970 0,2968180
3 0,00361163 0,0244187 0,2968180
5 0,00310142 0,0162957 0,2968180
7 1 0,00846184 0,0465694 0,8126180
3 0,00756599 0,0355126 0,6126180
5 0,0054373 0,0235500 0,4841370
9 1 0,03354628 0,2724111 0,9032984
3 0,01234520 0,0967511 0,4242860
5 0,01116028 0,0856353 0,3974058
Было показано, что существует зависимость величин ошибки как от количества итераций последовательного алгоритма, так и от числа шагов ГА1 и ГА2.
В результате проведенных исследований также было установлено, что при малом количестве шагов ГА при увеличении количества термов лингвистических переменных значение ошибки растет. Это можно объяснить тем фактом, что при увеличении количества термов увеличивается размер хромосомы. И, следовательно, необходимо произвести настройку большего количества генов при сохранении количества шагов. Эта проблема решается путем увеличения количества шагов алгоритма.
В табл. 10 показана зависимость величины ошибки от количества термов и от количества шагов ГА при параллельной настройке параметров нечеткой системы.
Таблица 10
Зависимость значений ошибки от количества шагов алгоритма параллельной настройки
Количество Количество Усредненная ошибка
шагов ГА термов средне- средняя максимальная
квадратичная абсолютная
10000 3 0,0205765 0,1449232 0,6592853
5 0,0155872 0,0992384 0,6767918
7 0,0116514 0,0873705 0,3919820
9 0,0109690 0,0826260 0,3478980
50000 3 0,0204440 0,1365569 0,6270578
5 0,0100213 0,0658028 0,6318180
7 0,0050927 0,0298611 0,3390180
9 0,0018928 0,0117462 0,1198338
100000 3 0,0203832 0,134562 0,6262054
5 0,0150052 0,0790428 0,6243338
7 0,0153920 0,088368 0,6750354
9 0,0154768 0,091776 0,6346194
Анализируя табл. 8 и 10, можно сделать вывод том, что последовательная настройка параметров ФП и консеквентов правил дает лучший результат, чем параллельная. Это можно объяснить тем фактом, что в случае последовательной настройки на каждом этапе настраиваются значения параметров ФП или консеквентов друг под друга. Во втором случае настройка ведется одновременно всех параметров, что приводит к увеличению пространства поиска. Особенно отчетливо это проявляется при увеличении числа термов.
Заключение
Проведенные авторами исследования позволили сделать вывод, что ошибка аппроксимации тестовых функций нечеткой системой, параметры которой оптимизированы с помощью алгоритма муравьиной колонии, не превышает ошибку, полученную при оптимизации на основе генетического алгоритма, а среднее время поиска решения существенно меньше, чем при работе генетического алгоритма.
Дальнейшая работа предполагает совместное использование различных метаэвристик (метода роящихся частиц, генетических алгоритмов, АМК, локального поиска) для решения задачи идентификации нечетких моделей. Последовательная и независимая схема идентификации себя исчерпала, выбрать какой-либо один эффективный алгоритм решения проблемы оптимизации не представляется возможным в виду сложности и многоплановости самой проблемы, поэтому необходимо использовать несколько алгоритмов и эвристик одновременно. При параллельном выполнении имеется возможность сотрудничества между эвристиками, а решение, произведенное одной процедурой, может быть впоследствии улучшено другой. Таким образом, можно сократить время выполнения отдельных процедур, улучшить качество решения и повысить ошибкоустойчивость.
Литература
1. Espinosa J. Fuzzy logic, identification and predictive control / J. Espinosa, J. Vandewalle, V. Wertz. - London : Springer-Verlag, 2005.- 263 p.
2. Dreo J. Metaheuristics for hard optimization. Methods and case studies / J. Dreo, A. Petrowski, P. Siarry, E. Taillard. - Berlin : Springer, 2006. - 369 p.
3. Goldberg D.E. Genetic algorithms in search, optimization and machine learning / D.E. Goldberg. - MA : Addison-Wesley, 1989. - 412 p.
4. Dorigo M. Ant System: Optimization by Colony of Cooperating Agents / M. Dorigo, V. Maniezzo, A. Colorni // IEEE Transaction Systems, Man and Cybernetics. Part B. - 1996. -V. 26. - P. 29-41.
5. Kennedy J. Particle Swarm Optimization / J. Kennedy, R. Ebenhart / Proceedings of the 1995 IEEE International Conference on Neural Networks. - Perth : IEEE Service Center, 1995. -P. 1942-1948.
Ходашинский Илья Александрович
Д-р техн. наук, профессор каф. автоматизации обработки информации ТУСУРа
Тел.: (3822) 41 47 01
Эл. почта: [email protected]
Дудин Павел Анатольевич
Студент каф. автоматизации обработки информации ТУСУРа Лавыгина Айна Владимировна
Ассистент каф. электронных приборов, аспирант каф. автоматизации обработки информации ТУСУРа Эл. почта: [email protected]
I.A. Hodashinsky, Р.А. Dudin, A.V. Lavygina
Biology-inspired methods for parametrical identification of fuzzy models
In this article, three techniques based on biological paradigms are considered: genetic algorithm, ant colony algorithm and particle swarm optimization algorithm. The application features of the specified methods for fuzzy models identification are given. We also present the results of computational experiments with the models based on the specified methods.
