Биномиальные коэффициенты в тождествах для натуральных чисел, факториалов и многочленов Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.1

БИНОМИАЛЬНЫЕ КОЭФФИЦИЕНТЫ В ТОЖДЕСТВАХ ДЛЯ НАТУРАЛЬНЫХ ЧИСЕЛ, ФАКТОРИАЛОВ И МНОГОЧЛЕНОВ

© 2008 г. Я.М. Ерусалимский

Южный федеральный университет, 344090, Ростов н/Д, ул. Мильчакова, 8а, [email protected]

Southern Federal University, 344090, Rostov-on-Don, Milchakov St., 8a, dnjme@math. rsu. ru

Получено несколько интересных комбинаторных тождеств для натуральных чисел и факториалов. Следствием этих тождеств являются тождества для многочленов специального вида. Особенностью доказательства является их простота, мы не используем такие классические методы, как производящие функции, рекуррентные соотношения и т.п.

Ключевые слова: натуральное число, факториал, треугольник Паскаля.

Some interesting combinatorial identities for natural numbers and factorials are obtained. As corollary some identities for polynomials special type are proved. Singularities ofproving are its simplicity; we don't use such classical methods as generating functions, recursion relations and etc. In work some interesting combinatory identities for natural numbers and factorials are received. Consequence of these identities is identities for polynomials of a special kind. Feature ofproofs is their simplicity; we do not use such classical methods as generating functions, seriated parities, etc.

Keywords: natural number, factorial, Pascal triangle.

В работе получено несколько интересных комбинаторных тождеств для натуральных чисел и факториалов. Следствием из них являются тождества для многочленов специального вида. Особенность доказательств - их простота. Не используются такие классические методы как производящие функции, рекуррентные соотношения и т.п. [1].

Хорошо известна [2] формула для количества сюрь-ективных отображений, действующих из X в У :

sur Y

X

п-1

= пт - £(-ГГ1 Cln (n-i)m, |Х| = т, \Y\ = п. (1)

2=1

Анализ вывода формулы (1) показывает, что никаких предположений о соотношении между т = \х\ и

п - Irl не делается. Ясно, что при \<т<п — 1

sur YX —!

>. Тем самым доказаны тождества:

И—1 . ,

п = X (-1) С„(п-1)

7=1

1 < m < п -1.

(2)

В случае п = т множество сюрьективных отображений совпадает с множеством биективных отображений, поэтому из (1) при п = т получаем равенство

и-1 ...

и!=ии-1(-1) С>-/)и, (3)

7=1

которое назвали аддитивным представлением для п!.

Из (2) следует

п—1 . , п—1 . ,

Ш-!)^-^ <р-г)р)4 = К-1Г1 -С'„ -{п-^ ¿=1 ¿=1 к ' 1 < р-ц<п — \,р,ц&Ы.

Применим к (2) тождество Паскаля для биномиальных коэффициентов (Ск = Ск~1 +Ск_ 1):

пт =с\(п-1)т -С2п(п-1)т +- + (-1 )"-2СГ1 = = (С°_! + с\_])(п-1)т ~{С\_! + С^_])(п-2)т +

п-2 (fin-2 , /-in—I

У^п 2 /„ тч т

и-1 1 17V" ч 1 wп

+ ••• + (-1) (С„_1 + tn_l) = tn_l(n-\) -

■.п-2 ^чи—1

C

и-1

+

-1) -Сй-1(«-2) +••• + (-!) Ц

Из (2), (3) следует, что выражение, взятое в квадратные скобки, при \<т<п — 2 равно нулю, а при т = п — 1 = (п-1)!. Значит, получены равенства:

и-1

\<т <п — 2.{5) (6)

пт = си <и-о*

7=1

1 и-1 . , . ,

{п-\)\ = ппЛ - £ (-1)'"1 -си <и-0й"1.

7=1

Будем говорить, что (5) и (6) получены из (2) и (3) редукцией. Ясно, что к (5) и (6) можно опять применить редукцию:

п-2 . ,

п = Ъ (-1)

7=1

о и-2 . ,

(и - 2)! = пп~2 - X (-1)'"1 • С'„_2 <и - ¿У'^. (8)

7=1

Последовательное применение редукции приводит к соотношениям:

п = Сп_к-{п-1) -Сп_к-{п-2) +••• (9)

+ {-\)п~к-1 х С^~_кк ■ кт, 1 < т < п - к - \,к < п.

(п-к)\=пп~к -С\_к-{п-Х)п~к +

,n_2-(n-i)1<т <п-Ъ. (7)

чИ-2

+ С2п_к-{п- 2)«--—- + (-1)

Формулам (10) можно придать другой вид. Сформулируем это в виде теоремы.

Теорема 1. Для любых п е N. к е имеет место равенство

п-к

\n—k/~in—k 1 п-к Lп-к •«

к <п

(10)

п\ = (п + к)"-Cl-in + k-1)" +Cl •(п + к-2)" -•••

(11)

+(-1)и •с"„ .(к+1)" = и-1)г< -0п+к-1)п.

¡—о

Утверждению теоремы 1 можно придать и следующий «функциональный» смысл. Рассмотрим многочлены 1п (х), заданные формулами:

и

/„(*)= К-1)'-(Х-0й. (12)

1=0

Тогда имеет место следующая теорема. Теорема 2. Многочлен 1п (х) принимает в точках п, п +1, п + 2, • • • одно и то же значение, равное и!, т.е. п\ = 1п (п) = I П(п + Т) = I П(п + 2) = ■ ■ ■. (13)

Полученные формулы выглядят настолько необычно, что хочется их «потрогать руками». Это мы сейчас и проделаем.

Пусть п=Ъ, к = 0,1,2,...,7,...,47.

6 = 3!=33 -3-23 6 = 3!=43 -З-З3

6 = 3!=53 -3-43 + 3-33 -1-23 =125-192 + 81-8. (к = 2), 6 = 3!= 103 -3-93 + 3-83 -1-73 =1000-2187 +

3-13 = 27-24 + 3. (к = 0), -3-23 -1-13 = 64-81+ 24-1. (Л = 1),

+ 1536-343. (к = 7),

6 = 3!= 503 -3-493 н + 331776= 103823. (к = 47),

6 = 3!= 503 -3-493 + 3-483 -1-473 =125000-352947+

Полученный результат можно сформулировать ещё и так: линейная комбинация п -степеней п последовательных натуральных чисел, наибольшее из которых не меньше п, с коэффициентами С® ,-С\,

С2, -•-, (~1)"С% всегда равна и!. Пример 1.

Д В случае п - 5 получаем по формулам: (2), (3) 5 = 5-4 —10-3 + 10-2 —5-1,

52 = 5■ 42 -10-32

-10-22 -5-12 =

= 80-90 + 40-5 = 25

53 = 5• 43 -Ю-З3 +10-23 -5-13 = = 320-270 + 80-5 = 125.

54 = 5-44 -10 + 160-5 = 625.

10-24 -5-14 =1280-810 +

5!=55 -5-45 +10-35

10-25 +5-15 = 3125-

-5120+2430-320 + 5 = 120.

(5), (6) 5 = 4-4—6-3 + 4-2 —1-1,

52 =4-42 - 6-32 + 4-22 -1-12 =64-54 + 16-1 = 25,

53 = 4• 43 -6-33 +4-23 -1-13 = = 256-162 + 32-1 = 125,

4!=54 -4-44 +6-34 -4-24 +1-14 =625--1024+486-64 + 1 = 24.

(7), (8) 5 = 3-4-3-3 + 1-2,

52 =3-42 -З-З2 +1-22 =48-27 + 4 = 25, З!=53 -3-43 +3-33 -1-23 =125-192+81-8 = 6.

(9), (Ю)

5=2-4-1-3,

2!= 52 - 2-42 +1-32 = 25-32 + 9 = 2.

На рисунке приведено шесть слоев треугольника Паскаля. Жирным курсивом и большим шрифтом в нем выделен треугольник, из которого выбираются коэффициенты для нахождения степеней числа 5 по формулам (2) и их редукциям 1-го, 2-го порядка и т.д.

Треугольник Паскаля Слой Вычисляемые степени

1 0

1 1 1 0

1 2 1 2 1

1 3 3 1 3 1, 2

1 4 6 4 1 4 1, 2, 3

1 5 10 10 5 1 5 1, 3, 4

Формулы (2), (3) «используют» для натурального числа п, его степеней и п! коэффициенты из п -го слоя треугольника Паскаля, а каждой редукции соответствует подъём на один слой вверх по треугольнику Паскаля. В нашем примере п равно 5. Пусть

Еп-1 (*) = С1„(х-1)"-1- С2 (х - 2)"-1 + + •

Ясно, что

\п—2 , ъ\п—2

(х) = (« - (х - 1)й-2 - С2 (х - 2)" - + - +

+ (-1)й-1Ох-«)й-2).

En_i (х) = (п -1)(« - 2){С\ (х - 1)й"3 --с2(х-2Г"3+... + (-ir-1Ox-«r-3).

-п\

• + (-1)п-1Спп(Х-п)п-\

(14)

.(15)

E (k) (x) - (n~1)! X

En-l( x)-(k_ 1)!

■СП (1)

-(-1)" lC%(x-n)

n '

n-l-k

Из (2), (14), (15) следует, что значение многочлена /•.„ 1 (х) и его производных до порядка п -1 включительно в точке х = п совпадает со значением многочлена х"-1 и его производных до порядка п — 1 включительно. Тогда по теореме единственности для многочленов получаем, что имеет место тождество:

х"-1 =С1„(х-1)"-1 -С2(х-2)"-1 +•••

' П х

+ (-l)*~1C*(x-w)*~1, VxeÄ(VxeC).

(16)

(17)

Более того, из (15) следуют равенства: хп =С\ (х-1)™ - С 2 (х - 2) ™ +... + (-1)«-1х хС%(х-п)т,\/хеЯ(\/хеС), т = \,2,...,п-\.

Из (13) по теореме единственности для многочленов следует, что многочлен I п (х) тождественно равен и!, т.е.

1п (х) = п\ Ухе Я (Ухе С). (18)

Покажем на примере, как «работают» формулы (17), (18). Пусть х = 2, п = 5 , тогда имеем равенства:

2 = 5-1-10-0 + 10-(-1)-5-(-2) + 1-(-3) = = 5-10 + 10-3 = 2,

22 =5-12 -10-02 + 10-(-1)2 -5• (-2)2 + + 1-(-3)2 =5 + 10-20 + 9 = 4,

23 =5-13 -10-03 +10-(-1)3 - 5-(-2)3 + + 1-(-3)3 =5-10 + 40-27 = 8,

24 = 5-I4 -10-04 +10-(-1)4 -5• (-2)4 + + 1-(-3)4 =5 + 10-80 + 81 = 16,

5!=25 -5-15 +10-05 -10-С-1)5 + 5-(-2)5 --1-(-3)5 =32-5 + 10-160 + 243 = 120.

При х = - , п = 5

^( 11^ ~^5 + 50-70 + 45-п| ^ + '[ ~2) 2 ~ 2'

(-¿M-iM-f -К-!)ЧГ

7

+,сн I -

2

45-250 + 490-405 + 121 _ 1 4 ~ 4;

тТ=5(-!Т-1о(-!)>+1о-НГ-'(-!Г-

\3

-1 [ 11 у _ -135 + 1250-3430+3645-1331 _ 1 ~ \ 2 ) ~ 8 ~ 8

.4

ч 4

4

-10-

4

+ 10- -

4

+ I 11 Г _ 405-6250+24010-32805+14641 _ 1 + 1 2) ~ 16 ~1б'

КГ-НМ-Г'

-10-Г-Г'

5

5

9 - 2 '

2) \ 2) \ 2 -1+1215-31250+168070-295245+161051

32

= 120.

Ясно, что имеют место

Теорема 3. Для любых п,к <еИ,х<еК(С) справедливо равенство:

х" =с1+к.(х-\Г-С2п+к-(х-2Г

Теорема 4. Для любых п е т, к к <т-\

имеет место равенство:

(19)

(20)

С

n+k-(V~C2n+k-(2) х(п + к)" =0; п,к е N.

При х = 1 имеем тождество г2 .(\\п -С3 -(2)"

^п+к W и+i KL>

х (п + к= (-1)

При х = -1

2 /л\п г* 3

/ л~.п+к—1 s^n+k (. i) ' ^ „ . 1- х

'п+к

'п+к

п,к е N.

с:+к<2г-с:+к-сг +

+ (-1)^-1 X

(21)

(22)

(23)

х(п+к +1)" =1; п,к е N.

Замечание. После того как доказаны формулы (18), (16) можно получить из них последовательным дифференцированием.

Пусть с1ф 0 - произвольное число, тогда из (17) получаем

ФШ =С«(ф-1Г-С'(ф-2Г +- +

а а а

+ (-1 )п~1Спп({-)-п)т, Ухе И (Ух е С), ¿1

да = 1, 2, ...,и-1.

Преобразуем полученное

= (С1п (х- с1)т -С2п(х- 2с1)т +

+ ••• + (-1 )п-1Спп(х-пс1Т), УхеЛ(УхеС), т = 1, 2, ...,п-1.

Сокращая на

получаем тождества

" . 1 хт= 2(-1)г+1^(х-ЛГ ¿=о

(24)

УхеК (С), Уё(Ф 0)УК (С).т = 1,2,...,и-1. Аналогично из (18)

п . . ^

К-1 )г< =

¿=о

Ухе И (С), 0) е Д (С).

Тождества (24) красиво выглядят для целых чисел

(25)

m

z

= (C\(z + k)m-C2n(z + 2k)m +

+ -- + (-l)"-1C„"(z+«yt)m), Vz, £ e Z, V« e iV, m = 1,2,...,«-!.

(26)

и* =С^ -(и-1)* "С2 -(и-2)А +- + (-1)т"1 х

Формулу (19) можно считать источником разнообразных тождеств, содержащих биномиальные коэффициенты. Действительно, подставляя в (19) х = 0. получаем

Последние равенства означают, что любое целое число г и его целые степени до п — 1 включительно выражаются линейной комбинацией п целых чисел, начинающейся с любого целого числа и образующих

арифметическую прогрессию, разность которой равна разности первого из них иге коэффициентами

<"'2'. -('}, . •••.(-1)" ] С" соответственно. Следовательно, чем «дальше» от г находится первое число в правой части формулы (26), тем «реже» во множестве 2 расположены эти числа. Пример 2.

Проиллюстрируем сказанное выше. Пусть п = 4,г = 3, а первое число в правой части (26) равно

6 (к = 3), тогда имеем равенства

4

3 = 4-6-6-9 + 412-115, 9 = 32 =4-б2 -6-92 + 4-122 -1153, 27 = 33 =4-б3 -6-93 + 4-123 -1-153. Пусть первое число равно 23 ( к = 20): 3 = 4 • 23 - 6 • 43 + 4 • 63 -1 • 83, 9 = З2 = 4• 232 -6• 432 + 4-632 -1-833, 27 = З3 = 4 • 233 - 6 • 433 + 4 • 633 -1-833. При к = 100получим: 3 = 4-103-6-203+4-3033-1-403, 9 = З2 = 4-1032 - 6 - 20 32 + 4 - 3 0 32 -1-40 33, 27 = З3 = 4• ЮЗ3 -6-2033 +4-3033 -1-4033. Возьмем первое число в правой части (26) равным -5 (к = -8):

3 = 4- (-5) - 6 • (-13) + 4 • (-21) -1 • (-29), 9 = З2 =4-(-5)2 - 6-(-13)2 + 4• (-21)2 -1-(-29)2, 27 = З3 = 4• (-5)3 -6-(-13)3 + 4• (-21)3 -1-(-29)3. Не следует забывать, что к может быть любым (не обязательно целым). Действительно, при к = ОД получаем равенства

Поступила в редакцию_

3 = 4- (3,1) - 6 • (3,2) + 4 • (3,3) -1 • (3,4),

9 = З2 = 4 • (ЗД)2 - 6 • (3,2)2 + 4 • (3,3)2 -1 • (3,4)2,

27 = З3 = 4• (ЗД)3 - 6-(3,2)3 + 4-(3,3)3 -1(3,4)3.

Ясно, что равенства (17) - (20), (24), (25) намного «сильнее» равенств (2), (3). Однако автору не известно их доказательство без использования формул (2), (3).

Впервые (2), (3) были получены автором в [3]. Равенство (3) имеется в [1], но там оно получено другим способом и не приводит к равенствам (18) и (25).

Литература

1. Riordan J. Combinatorial Identities. New York; London; Sidney, 1968.

2. Rosen K.H. Discrete Mathematics and Its Applications. N.Y., 1995.

3. Ерусалимский Я.М. Дискретная математика: теория, задачи, приложения. М., 1999.

12 ноября 2007 г.