CC BY
5Логические исследования 2023. Т. 29. № 1. С. 114-146 УДК 16
Logical Investigations 2023, Vol. 29, No. 1, pp. 114-146 DOI: 10.21146/2074-1472-2023-29-1-114-146
Символическая логика
Symbolic logic
М.Н. Рыбаков
Бинарный предикат, транзитивное замыкание, две-три переменные: сыграем в домино?*
Михаил Николаевич Рыбаков
Институт проблем передачи информации им. А.А. Харкевича РАН. Российская Федерация, 127051, г. Москва, Большой Каретный пер., д. 19, стр. 1. Национальный исследовательский университет «Высшая школа экономики». Российская Федерация, 101000, г. Москва, ул. Мясницкая, д. 20. E-mail: m_rybakov@mail.ru
Аннотация: Проблемы укладки домино являются удобным инструментом оценки алгоритмической сложности задач, возникающих в различных разделах математики, в том числе в логике. В работе описывается моделирование проблем домино с помощью средств языка логики предикатов, а также с помощью некоторых дополнительных средств, в том числе не выразимых элементарно. Это дает возможность получить как простые доказательства уже известных фактов о неразрешимости проблемы выполнимости формул различных фрагментов логики предикатов, так и некоторые новые результаты. Так, известно, что проблема выполнимости формул логики предикатов, содержащих не более двух предметных переменных, алгоритмически разрешима; известно также, что свойство транзитивности бинарного отношения и операция композиции двух бинарных отношений могут быть выражены в языке первого порядка с использованием трех переменных. В работе показано, что если добавить к языку первого порядка оператор проверки транзитивности бинарного отношения (или более сильное средство — оператор транзитивного замыкания) и оператор композиции, то получим язык с сильно неразрешимой проблемой выполнимости формул от двух переменных, построенных в сигнатуре с одной бинарной предикатной буквой и равенством.
Ключевые слова: логика предикатов, бинарный предикат, неразрешимость
Для цитирования: Рыбаков М.Н. Бинарный предикат, транзитивное замыкание, две-три переменные: сыграем в домино? // Логические исследования / Logical Investigations. 2023. T. 29. № 1. С. 114-146. DOI: 10.21146/2074-1472-2023-29-1-114-146
* Работа выполнена в ИППИ РАН при поддержке РНФ, проект № 21-18-00195. © Рыбаков М.Н., 2023
Введение
Известно, что классическая логика предикатов QCl алгоритмически неразрешима [Church, 1936; Turing, 1936]1. Можно ли избежать неразрешимости в каких-то случаях? Что для этого нужно? Когда избежать неразрешимости не получится? Если логика неразрешима, является ли она рекурсивно перечислимой? Сейчас исследования подобных вопросов образуют целую область, известную как «классическая проблема разрешения» [Borger et al., 1997]: имеется огромное количество результатов, дающих как разрешимые, так и неразрешимые фрагменты логики QCl, классических теорий первого порядка, а также других формальных предикатных систем [Suranyi, 1943; Kripke, 1962; Маслов и др., 1965; Mortimer, 1975; Motohashi, 1990; Gabbay, Shehtman, 1993; Gradel et al., 1997; Grädel, 1999; Рыбаков, Чагров, 2000; Hodkinson et al., 2000; Рыбаков, 2001; Hodkinson et al., 2001; Wolter, Zakharyaschev, 2001; Kontchakov et al., 2005; Kotikova, Rybakov, 2013; Рыбаков, 2014; Котикова, Рыбаков, 2016; Рыбаков, 2018a; Rybakov, Shkatov, 2021c; Rybakov, Shkatov, 2021d; Rybakov, Shkatov, 2022b], как, впрочем, не только предикатных [Urquhart, 1984; Kremer, 1997; Reynolds, Zakharyaschev, 2001; Hirsch et al., 2002; Gabelaia et al., 2005; Urquhart, 2007; Balbiani, Tinchev, 2014; Рыбаков, 2018b; Александров и др., 2021; Рыбаков, 2021; Rybakov, Shkatov, 2021b].
Так, чтобы доказать неразрешимость логики QCl, достаточно, чтобы ее язык содержал какие-либо из перечисленных ниже наборов средств:
• одну бинарную предикатную букву и бесконечно много предметных переменных (см. [Boolos et al., 2007, глава 21] или [Булос, Джеффри, 1994, глава 25]);
• одну бинарную предикатную букву, бесконечно много унарных предикатных букв и три предметные переменные [Suranyi, 1943];
• и даже, как следует из [Tarski, Givant, 1987] (см. пункт (ii) раздела 4.8), лишь одну бинарную букву и три предметные переменные.
Примеры других неразрешимых фрагментов, в том числе определяемых кванторными приставками, читатель может найти в [Nies, 1996; Bärger et al., 1997]. В то же время известно, что следующие фрагменты логики QCl являются разрешимыми:
хБолее точно, Е^-полна, см. [Harel, 1986] и [Rybakov, Shkatov, 2021a, приложение]; см. также [Speranski, 2016], где обсуждается связь между неразрешимостью, Е0-полнотой и П0-полнотой.
• монадический фрагмент (т.е. содержащий лишь одноместные предикатные буквы), даже обогащенный равенством (см. [Boolos et al., 2007, глава 21] или [Булос, Джеффри, 1994, глава 25]);
• различные охраняемые фрагменты [Motohashi, 1990; Gradel, 1999];
• фрагмент с двумя предметными переменными [Gradel et al., 1997; Mortimer, 1975].
Неразрешимы также и многие первопорядковые теории (различные арифметические теории, теория групп, различные аксиоматические теории множеств и др.), в частности теории в языке лишь с одной бинарной предикатной буквой: например, теория симметричного иррефлексивного бинарного отношения [Speranski, 2016] (см. также [Nerode, Shore, 1980] и [Kremer, 1997, прил.]) и, как следствие, теория симметричного рефлексивного бинарного отношения. Что касается теорий конечных моделей, они могут даже не быть рекурсивно перечислимыми [Трахтенброт, 1950; Трахтенброт, 1953] (см. также [Rybakov, Shkatov, 2019a] и [Rybakov, Shkatov, 2021a, прил.]; похожие результаты для других языков можно найти, например, в [Bianchi, Montagna, 2015; Hajek, 1998]).
Для ряда приложений требуются средства, которые в языке классической логики предикатов невыразимы. Например, это оператор транзти-тивного (вариант: рефлексивно-транзитивного) замыкания бинарных отношений, оператор неподвижной точки, различные счетчики, обобщенные кванторы и др. Обогащение языка такими средствами, конечно, не приводит к разрешимости, более того, иногда приводит к неарифметичности и как следствие, к неперечислимости и отсутствию рекурсивной аксиоматики. Так, проблема выполнимости классических формул первого порядка попадает в арифметическую иерархию2, а при добавлении оператора транзитивного замыкания получаем проблему выполнимости, выходящую за границы этой иерархии3, т.е. существенно более сложную.
Изначально интерес автора состоял в том, чтобы получить простое доказательство неразрешимости логики бинарного предиката в языке с тремя предметными переменными [Tarski, Givant, 1987], что удалось сделать [Рыбаков, 2022] как раз с помощью проблемы домино. Попутно была получена неарифметичность4 проблемы общезначимости формул в языке с двумя предметными переменными, равенством и бинарной предикатной буквой, обогащенном операторами композиции и транзитивного замыкания (см. также [Рыбаков, 2023]). В связи с последним результатом обратим
2Она П0 -полна [Harel, 1986].
3Эта проблема £}-трудна [Gradel et al., 1999].
4Более точно, ПЦ-трудность.
внимание на три момента. Во-первых, оператор композиции можно выразить в языке первого порядка, правда, используя при этом три переменные: x(R\ о R2)y = 3z (xR\z Л zR2y). Во-вторых, оператор транзитивного замыкания бинарного отношения элементарно выразимым не является5. Наконец, в-третьих, известно [Gradel et al., 1999], что проблема общезначимости формул в языке с двумя предметными переменными, равенством и оператором проверки транзитивности бинарного отношения неразрешима; при этом предполагается, что в языке имеется бесконечно много унарных предикатных букв и дюжина бинарных. Условие транзитивности бинарного отношения элементарно выразимо: trans(R) = VxVyVz (xRy Л yRz ^ xRz). При этом, как и в случае композиции, требуются три предметные переменные. Возникает естественный вопрос: является ли алгоритмически разрешимой проблема общезначимости формул в языке с двумя переменными, бинарной буквой, равенством, оператором композиции и оператором проверки транзитивности? Используя проблему домино, мы покажем, как получить отрицательный ответ на этот вопрос.
Несмотря на заявленный результат, целью данной работы является также (и даже скорее) демонстрация двух техник: моделирования проблемы домино и моделирования бесконечного множества унарных букв языка с помощью одной бинарной при использовании всего двух-трех предметных переменных. Если первая техника хорошо известна и применялась многократно как в исследованиях свойств предикатных логик [Borger et al., 1997; Kontchakov et al., 2005; Rybakov, Shkatov, 2021c; Rybakov, Shkatov, 2021d; Rybakov, 2023], так и пропозициональных [Spaan, 1993; Reynolds, Zakharyaschev, 2001], то вторая перенесена из построений, возникших при исследовании алгоритмических свойств неклассических пропозициональных логик, где она применялась для моделирования всех пропозициональных переменных языка с помощью их конечного числа (не более двух), см. [Halpern, 1995; Chagrov, Rybakov, 2003; Rybakov, 2006; Рыбаков, 2007; Rybakov, 2007; Rybakov, 2008; Rybakov, Shkatov, 2021b; Rybakov, Shkatov, 2022a; Агаджанян, Рыбаков, 2022].
1. Разрешимость
Напомним вкратце понятия, связанные с разрешимостью множеств. Пусть A С n. Множество A называется алгоритмически разрешимым, или рекурсивным, если его характеристическая функция
5Это, кстати, несложно понять, исходя из алгоритмических свойств проблемы общезначимости: в то время как проблема общезначимости формул первого порядка ре-курсино перечислима, проблема общезначимости формул в языке первого порядка, обогащенном оператором транзитивного замыкания, не является арифметичной, в частности рекурсивно перечислимой.
( ) _ ( 1, если x G A, XA(X) _ 1 0, если x G A
вычислима; будем говорить, что A разрешимо, понимая при этом алгоритмическую разрешимость. Множества, не являющиеся разрешимыми, называем неразрешимыми. Множество A называется рекурсивно перечислимым, если оно пусто или является областью значений некоторой общерекурсивной функции. Нетрудно понять, что любое разрешимое множество является также и рекурсивно перечислимым.
Для понимания того, что будет говориться ниже об алгоритмической сложности проблем, этих понятий достаточно. Тем не менее в тексте будут даны сноски с более точным описанием степени сложности неразрешимых проблем в терминах арифметической и аналитической иерархий множеств. Читатель, желающий более подробно ознакомиться с этими иерархиями, может обратиться, например, к [Rogers, 1967]. Если не вдаваться в детали, то можно смотреть на П0-полную задачу как на неразрешимое множество с рекурсивно перечислимым дополнением, а на £J-полную — как не просто на неразрешимую, но еще и неарифметичную.
Теперь сделаем замечание о разрешимости, рекурсивной перечислимости, арифметичности множеств формул. Множество формул Г называем разрешимым, если разрешимо множество гёделевых номеров формул, входящих в Г; аналогично Г называем рекурсивно перечислимым, если рекурсивно перечислимо множество гёделевых номеров формул, входящих в Г; то же самое для арифметичности и неарифметичности.
2. Проблемы укладки домино
Проблемы укладки домино являются удобным средством оприсания задач различной алгоритмической сложности. Нам будут интересны две из них, обе неразрешимые6. Приведем их точные формулировки.
Считаем, что все плитки домино имеют квадратную форму одного и того же фиксированного размера, причем для каждой такой плитки зафиксирована ориентация ее сторон: указано, какая именно сторона является верхней, нижней, правой и левой. Каждая плитка домино имеет некоторый тип t, полностью определяемый цветами сторон плиток этого типа; обозначим их Нt (цвет левой грани), Нt (цвет правой грани), Нt (цвет верхней грани) и Нt (цвет нижней грани). Частная задача домино определяется конечным набором T _ (to,... ,tn} типов плиток домино и состоит в том, что требуется выяснить, существует ли T-укладка плиток домино,
6Более точно, одна является П0-полной, а другая £ 1 -полной.
т.е. функция f : n х n ^ T, такая, что для любых i, j G n выполняются следующие условия:
(Ti) Hf (i,j)=H f (i + 1,j );
(T2) Hf (i,j)=H f (i,j + 1).
Основная проблема домино, которая нам будет интересна, формулируется
следующим образом: по произвольной задаче домино T нужно выяснить,
существует ли T-укладка плиток домино7. Известно, что эта проблема ало
горитмически неразрешима .
Вторая проблема домино, к которой мы будем обращаться, определяется задачами домино, удовлетворяющими следующему дополнительному требованию к T-укладке:
(T3) множество {j G n : f (0, j) = to} является бесконечным.
Условие (T3) выражает тот факт, что в колонке с номером ноль (т.е. в крайней слева) имеется бесконечно много плиток типа to. Эта проблема домино
тоже алгоритмически неразрешима, но она является также неарифметич-„о
ной9.
3. Классическая логика предикатов
Будем считать, что исходными символами классического предикатного языка QL являются следующие: счетное множество предметных переменных , счетное множество предикатных букв любой валентности, константа ±, бинарная логическая связка а также кванторный символ V; валентность предикатной буквы называем также ее арностью, или местностью, а предметные переменные называем также индивидными. Обогатим множество символов языка QL бинарным предикатным символом равенства =; получившийся язык будем обозначать QL= и называть классическим предикатным языком с равенством.
Формулы языка QL= определяются обычным образом: атомарные формулы имеют вид ±, x = y или P(x1,..., xn), где x, y и x1,..., xn — предметные переменные, P — n-местная предикатная буква, а более сложные — вид (ф ^ ф) или Vx ф, где ф и ф — формулы, а x — предметная переменная. Определим —, Т, Л, V, о и 3x как обычные сокращения. При записи формул будем опускать некоторые скобки; читатель сможет восстановить
7Как и с формулами, можно считать, что каждая задача домино кодируется некоторым натуральным числом.
8Является П0-полной [Berger, 1966].
9Более точно, £];-полной [Harel, 1986, теорема 6.4].
их по контексту. Формулы языка 2£= называем также 2£=-формулами. Формально под языком 2£= понимаем множество всех 2£=-формул.
Язык определяем как фрагмент языка 2£=, состоящий из формул, не содержащих вхождений символа равенства. Формулы языка называем также 2£-формулами.
Моделью языка 2£= называется набор М = (О, I), где О — непустое множество индивидов модели М, а I — интерпретация предикатных букв в О, т.е. функция, сопоставляющая каждой п-местной предикатной букве Р некоторое п-местное отношение I(Р) на О; иначе говоря, I(Р) С Оп.
Приписыванием в модели М = (О, I) называется функция д, сопоставляющая каждой предметной переменной ж некоторый индивид д(ж) € О. Будем использовать запись д' = д, если приписывание д' отличается от приписывания д, разве что значением на переменной ж.
Истинность формулы ф в модели М = (О, I) при приписывании д определяется рекурсивно:
М = Р(ж1,...,жга) ^ (д(ж1),...,д(жга)) € I(Р);
М |=9 ж = у ^ (д(ж), д(у)) € йгад0; М =
М |= ф' ^ ф'' ^ М = ф' или М = ф'';
М |=й Ужф' ^ М = ф' для любого Л, такого, что Л, = д,
где Р — п-местная предикатная буква, а йгадд = {(а, а) : а € О} — диагональ множества О.
Если ф — формула, то иногда будем использовать запись ф(ж1,..., жп), чтобы указать, что в ф нет свободных переменных, отличных от ж1,..., жп.
Для формулы ф(ж1,..., жп) и индивидов а1,..., ап модели М будем писать М == ф(а1,..., ап), если М = ф(ж1,..., жп) для некоторого приписывания д, такого, что д(ж1) = а1,... ,д(жп) = ап. Такое обозначение не приводит к двусмысленности, поскольку истинность формулы ф(ж1,..., жп) в М не зависит от значений переменных, отличных от ж1,..., жп.
Для модели М и формулы ф положим
М |= ф ^ М |=й ф для любого д.
Если М |= ф, говорим, что ф истинна в М; в противном случае говорим, что ф опровергается в М. Формулу ф называем общезначимой, или тождественно истинной, если ф истинна в каждой модели. Определим классическую логику предикатов РС1 и классическую логику предикатов с равенством РС1= как соответственно множеств всех общезначимых 2£-формул и множество всех общезначимых 2£=-формул.
4. Транзитивность, композиция, транзитивное замыкание
Расширим язык логики предикатов новыми средствами.
Свойство транзитивности бинарного отношения Я выражается формулой УхУуУя (Я(х,у) Л Я(у,я) ^ Я(х, я)); эта формула содержит три переменные, при этом известно, что условие транзитивности не выразить формулами с меньшим числом переменных. Введем новое правило построения формул: для формулы ф(х,у), свободными переменными которой являются только х и у, считаем формулой выражение ¿ху[ф(х,у)]; при этом считаем, что ¿ху[ф(х,у)] уже не содержит свободных переменных. В моделях истинность такой формулы определяется следующим образом: если М = (Б, I) — модель, а д — приписывание, то полагаем
М |=й ¿ху[ф(х,у)] ^ отношение {(а, Ь) е Б2 : М = ф(а, Ь)}
является транзитивным.
Как видим, истинность формулы ¿ху[ф(х,у)] не зависит от д и означает, что ф(х, у) определяет транзитивное отношение в М. В дальнейшем будем считать порядок переменных х и у таким, как в определении, и вместо ¿ху[ф(х,у)] будем писать £[ф].
Для формул ф(х, у) и ф(х,у), свободными переменными которых являются только х и у, будем считать формулой их композицию [ф(х, у) оху ф(х,у)]; при этом считаем, что х и у являются свободными переменными полученной формулы, даже если они не были свободными переменными формул ф(х,у) и ф(х,у). Если М = (Б,1) — модель, д — приписывание, то полагаем
М = [ф(х,у) оху ф(х,у)] ^ М = Зя (ф(х, я) Л ф(я,у)), где
я — переменная, не входящая ни в ф(х,у), ни в ф(х,у).
Отметим, что хотя в правой части определения истинности композиции возникает формула, содержащая новую переменную я, сама переменная я не входит в формулу [ф(х, у) оху ф(х,у)]. Считая, что порядок переменных зафиксирован, ниже мы будем опускать переменные и пользоваться обозначением х[ф о ф]у, полагая, что соответствующее точное определение композиции будет понятным из контекста.
Для формулы ф(х, у), свободными переменными которой являются только х и у, считаем формулами выражения ¿сху[ф(х,у)] и г£сху[ф(х,у)]; при этом х и у являются свободными переменными полученных формул, даже если они не были свободными переменными формулы ф(х, у). Если М = (Б, I) — модель, д — приписывание, то полагаем
М = ¿сху[ф(ж,у)] ^ М = ф(ж,у) или для некоторого к €
существуют такие а1,..., € О, что М = ф(ж, а1), М = ф(а^, а^+1) для каждого г € {1,..., к — 1} и М = ф(ак, у);
М = rícху[ф(ж,у)] ^ М = ж = у или М = ¿сху[ф(ж,у)].
Будем считать, что порядок переменных ж и у зафиксирован, как в определении, и вместо ¿сху[ф(ж,у)] и тЬеху[ф(ж,у)] будем писать соответственно ф+(ж,у) и ф*(ж,у). Формулы ф+(ж, у) и ф*(ж, у) выражают отношения, соответствующие транзитивному и рефлексивно-транзитивному замыканию отношений, определяемых формулой ф(ж,у), поэтому ¿сху и тЬсху будем называть соответственно оператором транзитивного замыкания и оператором рефлексивно-транзитивного замыкания.
Нетрудно понять, что при наличии в языке равенства оператор тЬсху выражается через ¿сху, а оператор ¿сху выражается через тЬеху. Кроме того, с помощью оператора ¿сху несложно выразить условие ¿ху[ф(ж,у)]: оно выражается формулой УжУу (ф(ж,у) о ф+(ж, у)). Поэтому в дальнейшем мы ограничимся только рассмотрением языков, содержащих либо ¿ху, либо ¿с ху.
Введем в рассмотрение языки =, , 2С° Ьс =, которые состоят из формул, при построении которых используются соответствующие средства; пусть также 2СтЬс, и:Ьс= — фрагменты языков 2££с, 2£°£с=, в которых оператор транзитивного замыкания применяется только к атомарным формулам. Множества истинных в каждой модели формул этих языков обозначим РС1Ч=, рСИ;с, РС1°tc=, QC1wtc, QC1°wtc= соответственно.
5. Моделирование сетки N х N
Чтобы промоделировать проблему укладки домино, нам нужна сетка n х n чтобы описать ее в предметной области модели, введем некоторые сокращения.
Для этого зафиксируем бинарную предикатную Я и с ее помощью определим формулы, описывающие нужные нам свойства и отношения. Будем считать, что в языке имеется равенство, а также необходимое нам число предметных переменных. Пусть
Ш (ж) = Я(ж,ж); в(ж) = -Ш(ж);
x и y G(x) x — y x —н y x —y y
W(x) о W(y); 3y (W(y) Л R(x,y));
R(x, y) Л x = y Л Vz (R(x, z) Л R(z, y) ^ z = x V z = y); x — y Л x и y; x — y Л x И y,
где x = y и x И y являются сокращениями для формул —(x = y) и — (x и y) соответственно. Подразумеваемый смысл введенных сокращений следующий:
W(x) — x белый;
B(x) — x черный;
x и y — x и y одного цвета (белого или черного);
G(x) — x является элементом сетки;
x — y — y следует за x; x —н y — y находится непосредственно справа от x; x —y y — y находится непосредственно над x.
Обратим внимание, что для того, чтобы определить x — z, надо в определении для x — y одновременно заменить y на z и z на y: это позволит не вводить новую переменную, а использовать только x, y и z. Аналогично надо поступить и с определением x —н z, x —y z, y — z и т.д.
Теперь можно описать сетку n х n. Отметим, что пока предполагается, что все элементы являются элементами сетки, т.е. для них выполняется свойство G, поэтому в формулах ниже на G можно не обращать внимания; тем не менее позже нам понадобятся и другие элементы, и тогда соответствующее свойство станет актуальным. Итак, описание сетки следующее:
Gi = Vx (G(x) (G(y) Л x —н y));
G2 = Vx (G(x) (G(y) Л x —y y));
G3 = VxVy (G(x) Л G(y) ^
^ (3z (x —H z Л z —y y) о Elz (x —y z Л z —H y)));
G4 = 3x (B(x) Л G(x));
Grid = G1 Л G2 Л G3 Л G4.
Дадим пояснения к этим формулам. Формула G4 утверждает наличие хотя бы одного элемента сетки. Формулы Gi и G2 говорят, что для каждого элемента сетки имеется соседний справа и соседний сверху, а G3 выражает условие, что из x можно попасть в y по пути «вправо-вверх» тогда и только тогда, когда это можно сделать по пути «вверх-вправо».
II-и 1-и 1-и 1-и »-
Рис. 1. Сетка для укладки домино
Поэтому нетрудно видеть, что если формула Grid истинна в некоторой модели M = {D, I), то M содержит сетку N х N, элементы первой строки которой состоят из «черных» предметов, второй — из «белых», третьей — из «черных» и т.д.; см. рис. 1.
6. Моделирование укладки домино
Опишем условие размещения плитки домино в сетке. Будем считать, что элемент сетки соответствует месту, куда помещается левый нижний угол плитки домино, см. рис. 2. Будем использовать унарные буквы P0,... , Pn, подразумевая, что если ж — элемент сетки, то Pk(ж) означает, что на месте ж лежит плитка домино, имеющая тип tk.
Теперь мы можем описать свойства укладки. Положим
n
To = Vx (G(x) ^ V(Pi(ж) Л Л -Pj(ж)));
i=0 j=i n
Ti = Vx (G(x) ^ Л (Pi (ж) ^Vy (G(y) Л x y ^ V Pj(y))));
i=0 H ti = H tj
n
T2 = Vx (G(x) ^ Л (Pi(x) ^Vy (G(y) Л ж ^У y ^ V Pj(y))));
i=0 H ti = H tj
Tiling (T) = To Л Ti Л T2.
Рис. 2. Укладка плиток домино
Поясним эти формулы. Предположим, что уже имеется сетка n х n. Тогда формула To выражает условие, что в сетке на каждом месте лежит плитка ровно одного типа (что можно понимать как наличие в каждом элементе сетки ровно одной плитки), а формулы T2 и T3 утверждают, что соседние плитки соприкасаются гранями, имеющими одинаковые цвета, т.е. описывают в точности условия (Ti) и (T2). Таким образом, формула Tiling(T) фактически сообщает о требованиях к T-укладке.
Сформулируем и докажем утверждение, выражающее связь между построенными формулами и той задачей домино, по которой они построены.
Утверждение 1. Формула Grid Л Tiling(T) выполнима тогда и только тогда, когда существует T-укладка плиток домино.
Доказательство. Пусть формула Grid Л Tiling (T) истинна в некоторой модели M = (D, I); покажем, как определить T-укладку f: nxn ^ T. Для этого введем вспомогательную функцию g: n х n ^ D, задача которой — выбрать элементы из D, из которых можно сформировать сетку n х n.
Согласно G4, существует a е D, такой, что M |= G(a) Л B(a); положим g(0,0) = a.
Пусть для всех i, j е {0,..., m} уже определены значения g(i, j); определим для каждых i, j е {0,..., m} значение g(m+1, j) и g(i, m+1), а также определим значение g(m + 1, m + 1).
Пусть b — элемент из D, такой, что M |= g(m, j) -<я b и M |= G(b); такой элемент существует согласно Gi. Положим g(m + 1, j) = b.
Пусть b — элемент из D, такой, что M = g(i,m) -<у b и M = G(b); такой элемент существует согласно G2. Положим g(i, m + 1) = b.
Пусть b — элемент из D, такой, что M == g(m,m + 1) -<я b, M == g(m + 1,m) -<у b и M == G(b); такой элемент существует согласно Gi, G2 и G3. Положим g(m + 1, m + 1) = b.
Пусть g(i, j) = b для некоторых i, j G n. Согласно T0, существует единственное k G {0,..., n}, такое, что M == Pk(b). Положим f (i, j) = tk. Тогда из истинности формул Ti и T2 в M следует, что функция f: n х n ^ T является T-укладкой плиток домино.
Пусть имеется T-укладка f: n х n ^ T. Чтобы получить модель, в которой истинна формула Grid Л Tiling (T), достаточно взять сетку n х n, см. рис. 1, где стрелки задают отношение, соответствующее букве R, и для каждой пары a = (i,j) этой сетки сделать Pk (a) истинным в точности тогда, когда f (i, j) = tk. ■
7. О предстоящей элиминации унарных букв и переменных
Мы получили моделирование проблемы домино, но использовали более богатые средства, чем те, о которых говорилось в начале работы. Во-первых, наши формулы содержат три переменные, а не две. Во-вторых, они содержат также унарные буквы, причем для возможности моделирования каждой задачи домино указанным способом требуется, чтобы язык содержал бесконечно много унарных букв.
Сделаем следующее. Сначала элиминируем унарные буквы. Возникающая при этом конструкция потребует наличия в языке бесконечного множества предметных переменных. Затем покажем, как для этого использовать лишь три переменные. Наконец, мы элиминируем одну переменную, задействуя оператор композиции и оператор проверки транзитивности.
8. Элиминация унарных букв
Для каждого k G n определим формулу Tk (ж), которую затем будем использовать вместо формулы Pk (ж). Пусть
e(x) = -3x-i R(x,x-i); т0(ж) = Зж0 (-G(x0) Л ж ж0 Л е(ж0));
Tk+i(x) = 3xk+i (-G(xk+i) Л ж ^ xk+i Л Tk(xk+i)).
Так, например,
т3(ж) = Еж3 (-С(ж3) Л ж — Л
Л Еж2 (-С(ж2) Л ж3 — ж2 Л Л Еж1 (-G(xi) Л ж2 — xi Л Л Ежо (-С(жо) Л ж1 — жо Л -Зж-1 Я(жо, ж-1))))).
Элемент ж, для которого выполняется е(ж), будем называть R-макси-мальным. Тогда формула Tk(ж) выражает следующее: существуют такие элементы жк,..., жо вне сетки, что ж — жк — ... — жо, при этом жо является R-максимальным. Тогда, подставляя Tk (ж) вместо Pk (ж), можно промоделировать проблему домино без использования унарных предикатных букв.
Прежде чем перейти к точным формулировкам, заменим каждую формулу Tk (ж) на эквивалентную ей формулу, содержащую лишь три предметные переменные, и вместо Tk (ж) будем использовать ее. Пусть tilek (ж) — формула, получающаяся из Tk (ж) заменой переменных с четными индексами на ж, а с нечетными — на y; пусть tilek(y) — формула, получающаяся из Tk (y) заменой переменных с четными индексами на y, а с нечетными — на ж. Так, например,
tileз(ж) = Ely (-G(y) Л ж - y Л
Л Еж (-С(ж) Л y - ж Л Л Ey (-G(y) Л ж - y Л Л Еж (-С(ж) Л y - ж Л -Ey R^, y))))).
Нетрудно видеть, что формула tilek(ж), во-первых, эквивалентна формуле Tk (ж), а во-вторых, содержит лишь три переменные (поскольку она содержит подформулы ж — y и y — ж, куда входит третья переменная z).
Пусть Tiling 1(T) — формула, получающаяся из Tiling(T) заменой10 каждого вхождения формулы Pk (ж) на tilek (ж) и каждого вхождения формулы Pk (y) на tile k (y).
Справедлив факт, аналогичный утверждению 1.
Утверждение 2. Формула Grid Л Tiling 1(T) выполнима тогда и только тогда, когда существует T-укладка плиток домино.
Доказательство. Достаточно повторить часть доказательства утверждения 1, заменяя в нем Pk (ж) на tile k (ж).
Пусть имеется T-укладка f: N х N ^ T. Чтобы получить модель, в которой истинна формула Grid Л Tiling 1 (T), достаточно взять сетку NxN, см. рис. 1, и для каждой пары (i, j) сетки сделать R-достижимым из (i, j)
10Фактически подстановкой; такая подстановка формул называется непрямой.
первый элемент R-последовательности «черных» элементов, число которых равно k + 1, где k определяется условием f (i, j) = tk, см. рис. 3. Тогда для элемента a = (i, j) условие tilek(a) будет истинным в точности тогда, когда f (i, j) = tk. Кроме того, условие G(a) будет истинным в точности тогда, когда a является элементом сетки. ■
9. Теорема Черча
Описанная выше техника позволяет получить следующее известное [Tarski, Givant, 1987, пункт (ii) раздела 4.8] уточнение теоремы Черча [Church, 1936] о неразрешимости классической логики предикатов.
Теорема 1. Логика QCl является X0-полной в языке, содержащем бинарную предикатную букву и три предметные переменные.
Доказательство. Согласно утверждению 2, формула Grid Л Tiling(T) выполнима тогда и только тогда, когда существует T -укладка домино. Формула Grid Л Tiling(T) не содержит предикатных букв, отличных от R, и предметных переменных, отличных от ж, y и z. Поэтому как проблема выполнимости, так и проблема общезначимости формул соответствующего фрагмента неразрешимы; Х^-полнота мгновенно следует из П0-полноты проблемы домино, которую мы рассматриваем, и из принадлежности логики QCl классу Х0. ■
Заметим, что в доказательстве утверждения 2 можно обойтись использованием только позитивных формул, т.е. не содержащих вхождений константы ±. Для этого достаточно заменить вхождения константы ± вхождениями формулы VxVy R(x, y), а также заменить в утверждениях требование выполнимости формулы Grid Л Tiling(T) на требование опровержимости формулы Gridpos Л Tiling^ VxVyR(x,y), где Gridpos и Tilingполучаются из Grid и Tiling (T) соответственно заменой каждого вхождения константы ± вхождением формулы VxVy R(x,y). Как следствие, получаем следующее уточнение теоремы 1.
Теорема 2. Позитивный фрагмент логики QCl является Т,0-полным в языке, содержащем бинарную предикатную букву и три предметные переменные.
Итак, мы получили очень короткое доказательство неразрешимости классической логики предикатов в языке с одной бинарной буквой и тремя предметными переменными. Отметим, что усилить этот результат, пытаясь уменьшить валентность букв или число переменных, невозможно: как логика унарных предикатов (и даже с равенством), так и логика предикатов с двумя предметными переменными (и любым набором предикатных букв любой валентности) являются разрешимыми. Тем не менее ниже мы покажем, что при добавлении композиции и равенства число предметных переменных можно уменьшить до двух.
10. Добавление транзитивного замыкания
Покажем, что добавление транзитивного замыкания к языку классической логики предикатов с одной бинарной предикатной буквой и тремя предметными переменными приводит к ^-трудной проблеме выполнимости, причем даже в слабом случае, когда оператор транзитивного замыкания применяется только к атомарным формулам.
Изменим определения для G, —, —н и —y:
3y (W(y) Л R+ (x, y));
R(x, y) Л x ф y Л Vz (R+ (x, z) Л R+(z, y) ^ z ф x V z ф y); x —' y Л x и y; x —' y Л x и y.
Введем следующее сокращение:
L(x) = —3yy —н x.
Если для x выполнено L(x), то x не имеет непосредственного предшественника слева.
G'(x) =
x —' y =
x —H y =
x —y y =
Заменим в Grid формулы О0—О4 на О0—О4, а также добавим G0 и О'5:
О0 = G1 = G =
G's =
G4 = О5 =
Grid5 =
Переопределим формулы вида tilek(ж), а также формулы T0, T1, T2, заменив в них — на —' и О на О'; получившиеся в результате такой замены формулы обозначим соответственно tilek (ж) и T0, T0, T2. Положим
T3 = Vx (О'(ж) Л ¿(ж) ^
^ 3y (ж ^ y Л R+(x, y) Л О'(y) Л L(y) Л tile0(y))); TilingT = To Л T1 Л T2 Л T3.
При условии истинности формулы Grid' формула T3 требует, чтобы в крайней левой колонке было бесконечно много плиток домино типа to, поэтому получаем следующее утверждение.
Утверждение 3. Формула Grid' Л TilingT выполнима тогда и только тогда, когда существует T-укладка плиток домино, удовлетворяющая условиям (Ti)—(T3).
Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 2, но в части нужно воспользоваться новыми конъюнктивными членами, которые обеспечат выполнение дополнительного условия (T3). ■
Теорема 3. Логика QClwtc является П0-трудной в языке, содержащем бинарную предикатную букву и три предметные переменные.
Доказательство. Следует из утверждения 3 и Х1-полноты проблемы укладки домино с условиями (Ti)—(T3). ■
Как следствие, логики, содержащие QClwtc, тоже имеют ^-трудный фрагмент с бинарной предикатной буквой и тремя предметными переменными.
Из теоремы 3 получаем, в частности, что классическая логика предикатов, обогащенная оператором транзитивного замыкания, не является ариф-метичной (в частности, рекурсивно перечислимой) уже в языке с одной бинарной буквой и тремя предметными переменными. Ниже мы покажем, что при добавлении композиции и равенства число предметных переменных можно уменьшить до двух.
VжVy (Я(ж, y) Л -R(y, ж) ^ ж —' y); Vж (О'(ж) ^ 3y (О'(y) Л ж — H y)); Vж (О'(ж) ^ 3y (О'(у) Л ж y)); VжVy (О'(ж) Л О'(у) ^
^ (3z (ж —H z Л z y) о 3z (ж z Л z —H y))); Зж (В(ж) Л О'(ж) Л £(ж)); Vж (О'(ж) Л ¿(ж) ^ Vy (О'(y) Л ж y ^ L(y));
О0 л О1 л О'2 л О3 л О4 л О'5.
11. Добавление композиции
Заменим условием, утверждающим, что Я определяет антисимметричное отношение, при котором рефлексивными могут быть только «последние» элементы:
G0 = VxVy (R(x, y) Л R(y, x) ^ x = y) Л
Л Vx (W(x) ^ Vy (R(x,y) ^ ж = y)).
Пусть, как и раньше, T = {¿о,..., tn}. Мы будем использовать формулы вида tilek(x), кодирующие типы домино, а также новые формулы, похожие на формулы вида tile k (x):
num f (x) num f (x) num ^ (x) num V (x)
= Ely (B(y) Л R(x, y) Л Elx (W(x) Л R(y, x)));
= 3y (R(x,y) Л numf(y));
= 3y (R(x,y) Л numf (y));
= 3y (R(x,y) Л num^(y)),
при этом считаем, что формулы numf (y), numf (y), num^(y), numV(y) получаются из numf (x), numf (x), num^ (x), numV (x) одновременной заменой вхождений x на y и вхождений y на x. Главное отличие этих формул от формул вида tilek(x) состоит в том, что в конце Д+-цепи требуется наличие R-рефлексивного (т.е. «белого») элемента.
Далее, чтобы получить описание сетки N х N для укладки домино, будем придерживаться идей, изложенных в [Gradel et al., 1999]; основные отличия состоят в том, что, во-первых, вместо дюжины бинарных предикатных букв и бесконечного множества унарных используется лишь одна бинарная буква, а во-вторых, что мы задействуем композицию (которая частично восполнит «потери» в бинарных буквах).
Положим
g00(x) = numf (x) Л num^ (x) Л -numf (x) Л -numV (x)
ч
g0i(x) = numf (x) Л numV(x) Л -numf (x) Л -num^(x) gi0(x) = numf (x) Л num^(x) Л -numf (x) Л -numV(x) g11(x) = numf (x) Л numV (x) Л -numf (x) Л -num^ (x) G''(x) = goo(x) V goi(x) V gio(x) V gii(x).
Пусть также
х <я у = Я(х,у) Л ((000(х) Л 010(у)) V (001(х) л 011(у)));
х <я у = Я(х,у) Л ((010(х) Л 000(у)) V (011(х) Л 010(у)));
х <у у = Д(х,у) Л ((000(х) Л 001(у)) V (010(х) л 011(у)));
х <у у = Я(х,у) Л ((001 (х) Л 000(у)) V (011(х) Л 010(у)));
х <я у = х <я у V х <я у;
х < у у = х <у у V х <у у.
Пусть ф(х, у) — формула, свободными переменными которой являются только х и у. Будем считать, что ф(у, х) получается из ф(х, у) одновременной заменой вхождений х на у и наоборот. Положим
/ху[ф(х, у)] = Ух-(Зуф(х,у) ЛЗуф(у,х)) Л í[ф(х, у) V ф(у,ж) V х = у].
Тогда можно доказать (см. [Огаёе1 е1 а1., 1999]), что /Ху[ф(х, у)] утверждает, что ф(х, у) задает инъективное функциональное отношение, для которого область определения и область прибытия не пересекаются. Ниже мы будем использовать упрощенные обозначения, опуская в записи /Ху[ф(х,у)] переменные.
Переопределим
¿''(х) = -Зу у <я х.
Теперь все готово для того, чтобы описать сетку N х N сделаем это (см. рис. 4):
пи
Г<П
Г<П сб
СШ "
Ух (С''(х) ^Зу (С''(у) Л х <я у)); Ух (С''(х) ^Зу (С''(у) Л х <у у)); Ух (С''(х) ^ Зу (С''(у) Л х[<я ◦ <у]у Л х[<у о <я]у)); Зх (^оо (х) Л ¿'(х));
Ух (С''(х) Л ¿(х) ^ Уу (С''(у) Л х <у у ^ ¿(у));
/[<Я] Л/[<Я] Л/[<У] Л/[<у]; со л с/ л С2' л С л С4 л С л сб.
Поясним только формулу Сб, поскольку она описывает новое условие. Эта формула требует, чтобы отношения, определяемые формулами х<°° у, х<яу, х<уу и х<уу, были функциональными, причем инъективными и не имеющими элементов в пересечении области определения и области прибытия каждого из них. В результате получаем четыре типа «дуг», соединяющих элементы сетки: два вида горизонтальных и два вида вертикальных.
Причем «дуги» этих типов чередуются, чтобы могли быть истинны формулы G'/ и G 2'.
Осталось переопределить формулы, описывающие укладку плиток домино. Пусть tile'k(ж) — формула, получающаяся из tilek(ж) заменой G на G'' и — на R в определении tile k (ж). Заметим, что tile'k (ж) содержит лишь две переменные. Положим
n
то' = Уж (G' '(ж) ^ У (tile i (ж) Л Д -tile) (ж)));
г=° j=i
n
T1' = Уж ^"(ж) ^ Д (tilei/(ж) ^ Vy (G''(y) Л ж <я y ^ V tilej(у))));
i=0 Híí = И tj
n
T2' = Уж (G' '(ж) ^ Д (tile i (ж) ^Vy (G''(y) Л ж <у y ^ V (у))));
i=0 Htí = Н tj
T3' = Уж (G''(ж) Л ¿"(ж) ^ Ey (R+(ж, y) Л G''(y) Л L''(y) Л tileg(y))).
Пусть также
TilingT = Tó' Л T1' Л T2';
TilingT' = T0/ Л T1' Л T2' Л T'.
Заметим, что формулы TilingT и TilingT' содержат только две предметные переменные, при этом формула TilingT не содержит транзитивного замыкания.
Утверждение 4. Формула Grid" Л TilingT выполнима тогда и только тогда, когда существует T-укладка плиток домино.
Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 2. ■
Теорема 4. Логика QCl°t= является Е^-трудной в языке, содержащем бинарную предикатную букву и две предметные переменные.
Доказательство. Следует из утверждения 4 и П^-полноты проблемы укладки домино. ■
Как следствие, фрагменты с бинарной предикатной буквой и двумя переменными логик, содержащих QCl°t=, тоже Е°-трудны.
Утверждение 5. Формула Grid" Л TilingT' выполнима тогда и только тогда, когда существует T-укладка плиток домино, удовлетворяющая условиям (Ti)—(T3).
Доказательство. Аналогично доказательству утверждения 2; см. также указание в доказательстве утверждения 3. ■
Теорема 5. Логика QCl°wtc= является П1-трудной в языке, содержащем бинарную предикатную букву и две предметные переменные.
Доказательство. Следует из утверждения 5 и Ei-полноты проблемы укладки домино с условиями (Ti)—(T3). ■
Как следствие, фрагменты с бинарной предикатной буквой и двумя переменными логик, содержащих QCl°wtc=, тоже П-трудны; в частности, это относится к QCl°tc=.
Теоремы 4 и 5 дают некоторое дополнение к общей картине. Так, логики QCl°wtc= и QCl°tc= неарифметичны (а значит, не имеют не только конечной, но даже рекурсивной аксиоматики) уже при одной бинарной предикатной букве и двух предметных переменных в языке.
12. Заключение
В заключение к представленным результатам и их обоснованиям сделаем несколько замечаний, связанных с возможностью применения описанной техники в других системах и их фрагментах.
Прежде всего отметим, что во всех описанных выше случаях можно обойтись позитивными формулами: как и в доказательстве теоремы Черча, можно заменить константу ± во всех используемых формулах формулой УхУу Л(х, у) и рассмотреть соответствующую проблему опровержимости вместо проблемы выполнимости (см. раздел 8).
Следующее замечание касается теоремы Трахтенброта [Трахтенброт, 1950; Трахтенброт, 1953] о неперечислимости теории (логики) конечных моделей. На конечные модели описанная техника переносится несложно. Достаточно учесть, что неразрешимость проблемы домино следует, например, из проблемы неостановки машин Тьюринга на пустой ленте, и каждый тип плитки домино при соответствующем моделировании соответствует либо символу в ячейке ленты, либо паре «символ и состояние», когда ячейка с символом обозревается кареткой в соответствующем состоянии. Тогда становится возможным описать условие, состоящее в том, что при имеющемся (конечном) множестве элементов возможна укладка конечной «прямоугольной» области, где не встречается плитка домино, соответствующая ситуации, когда символ в ячейке обозревается кареткой в заключительном состоянии. При этом дополнительно требуем, чтобы первый ряд плиток соответствовал начальной конфигурации машины Тьюринга с пустой лентой. Детали оставляем читателю и ограничимся лишь уточненной формулировкой теоремы Трахтенброта.
Пусть — логика конечных моделей, т.е. множество 2£-формул,
истинных в каждой конечной модели.
Теорема 6. Логика является П\-полной в языке, содержащем би-
нарную предикатную букву и три предметные переменные.
Теорема останется справедливой, если рассматривать лишь позитивные формулы: для этого достаточно проделать манипуляции, направленные на элиминацию константы ±, о которых сказано выше. Конечно же, результаты, аналогичные теореме 6, включая замечание о позитивных формулах, справедливы и для других рассмотренных здесь языков.
Еще одно замечание касается первопорядковых теорий бинарного отношения. В построениях мы требовали, чтобы отношение, соответствующее бинарной букве Л, обладало определенными свойствами. Можно получить моделирование проблем домино, когда это отношение рефлексивно или иррефлексивно, симметрично или антисимметрично, транзитивно или интранзитивно, можно потребовать связность, серийность, а также другие свойства, например изучающиеся в теории графов: к-раскрашиваемость (для любого к ^ 2), двудольность, планарность и др. В итоге мы получим усиления представленных здесь теорем, распространив их на теории
бинарного отношения с соответствующими свойствами. Некоторые из этих свойств уже допускаются предложенными формулами (т.е. не противоречат им), а для получения остальных достаточно немного изменить как формулы, так и модели, в которых проверяется истинность формул, при этом можно учитывать, что предложенные формулы и возможные их модификации определяют такие модели неоднозначно, в частности одни и те же формулы могут быть использованы в разных классах моделей.
13. Благодарности
Автор благодарит Дмитрия Шкатова и Станислава Сперанского за обсуждение вопросов, связанных с темой работы.
Литература
Агаджанян, Рыбаков, 2022 - Агаджапяп И.А., Рыбаков М.Н. Сложность константного фрагмента слабой логики Гжегорчика. 2022. URL: arXiv: 2211.14571 (дата обращения: 11.03.2023).
Александров и др., 2021 - Александров К.И., Рыбаков М.Н., Шкатов Д.П. Сложность фрагментов произведений с логикой Т в языке с одной переменной. 2021. URL: arXiv: 2112.03833 (дата обращения: 10.04.2023). Булос, Джеффри, 1994 - Булос Дж., Джеффри Р. Вычислимость и логика. М.: Мир, 1994. (Перевод книги: Boolos G.S., Jeffrey R.C. Computability and Logic. Cambridge University Press, third edition, 1989.)
Котикова, Рыбаков, 2016 - Котикова Е.А., Рыбаков М.Н. Моделирование арифметики в языке первого порядка, обогащенном темпоральными кванторами // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2016. № 4. С. 5-19.
Маслов и др., 1965 - Маслов С.Ю., Минц Г.Е., Оревков В.П. Неразрешимость в конструктивном исчислении предикатов некоторых классов формул, содержащих только одноместные предикатные переменные // Доклады АН СССР. 1965. Т. 163. № 2. С. 295-297. Рыбаков, 2001 - Рыбаков М.Н. Перечислимость модальных предикатных логик и условия обрыва возрастающих цепей // Логические исследования. 2001. Вып. 8. С. 155-167.
Рыбаков, 2002 - Рыбаков М.Н. Об алгоритмической выразительности модального языка с одной лишь одноместной предикатной буквой // Логические исследования. 2002. Вып. 9. С. 179-201. Рыбаков, 2007 - Рыбаков М.Н. Сложность константного фрагмента пропозициональной динамической логики // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2007. № 5. С. 5-17. Рыбаков, 2014 - Рыбаков М.Н. Неразрешимость логики квазиарных предикатов // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2014. № 4. С. 17-32. Рыбаков, 2017 - Рыбаков М.Н. Неразрешимость модальных логик одноместного предиката // Логические исследования. 2017. Т. 23. № 2. С. 60-75.
Рыбаков, 2018a - Рыбаков М.Н. Аксиоматизируемость ненормальных и квазинормальных модальных предикатных логик первопорядково определимых классов шкал Крипке // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2018. № 3. С. 81-94.
Рыбаков, 2018b - Рыбаков М.Н. Алгоритмические свойства линейно аппроксимируемых квазинормальных модальных логик // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2018. № 4. С. 87-97.
Рыбаков, 2021 - Рыбаков М.Н. Сложность проблемы равенства слов в многообразиях модальных алгебр // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2021. № 3. С. 5-17.
Рыбаков, 2022 - Рыбаков М.Н. Алгоритмическая сложность теорий бинарного предиката в языках с малым числом переменных // Доклады Российской академии наук. Математика, информатика, процессы управления. 2022. Т. 507. № 6. С. 61-65.
Рыбаков, 2023 - Рыбаков М.Н. Деревья как средство моделирования неразрешимых проблем // Вестник ТвГУ. Серия: Прикладная математика. 2023. № 1. С. 5-23.
Рыбаков, Чагров, 2000 - Рыбаков М.Н., Чагров А.В. Стандартные переводы неклассических формул и относительная разрешимость логик // Труды научно-исследовательского семинара Логического центра Института философии РАН, XIV. М.: Институт философии РАН, 2000. С. 81-98.
Трахтенброт, 1950 - Трахтенброт Б.А. Невозможность алгорифма для проблемы разрешимости на конечных классах // Доклады АН СССР. 1950. Т. 70. № 4. С. 569-572.
Трахтенброт, 1953 - Трахтенброт Б.А. О рекурсивной отделимости // Доклады АН СССР. 1953. Т. 88. № 6. С. 953-956.
Balbiani, Tinchev, 2014 - Balbiani P., Tinchev T. Definability and computability for PRSPDL //In Advances in Modal Logic. 2014. Vol. 10. P. 16-33.
Berger, 1966 - Berger R. The Undecidability of the Domino Problem // Volume 66 of Memoirs of AMS. AMS, 1966.
Bianchi, Montagna, 2015 - Bianchi M., Montagna F. Trakhtenbrot theorem and firstorder axiomatic extensions of MTL // Studia Logica. 2015. Vol. 103. P. 1163-1181.
Boolos et al., 2007 - Boolos G.S., Burgess J.P., Jeffrey R.C. Computability and Logic. Cambridge University Press, fifth edition, 2007.
Borger et al., 1997 - Borger E., Gradel E., Gurevich Y. The Classical Decision Problem. Springer, 1997.
Chagrov, Rybakov, 2003 - Chagrov A., Rybakov M. How many variables does one need to prove PSPACE-hardness of modal logics? //P. Balbiani, N.-Y. Suzuki, F. Wolter, M. Zakharyaschev (eds.). Advances in Modal Logic. 2003. Vol. 4. P. 71-82.
Chagrov, Zakharyaschev, 1997 - Chagrov A., Zakharyaschev M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.
Church, 1936 - Church A. A note on the "Entscheidungsproblem" // The Journal of Symbolic Logic. 1936. Vol. 1. P. 40-41.
Gabbay, Shehtman, 1993 - Gabbay D., Shehtman V. Undecidability of modal and intermediate first-order logics with two individual variables // The Journal of Symbolic Logic. 1993. Vol. 58. No. 3. P. 800-823.
Gabbay et al., 2009 - Gabbay D., Shehtman V., Skvortsov D. Quantification in Nonclassical Logic. Vol. 1. Series: Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Vol. 153. Elsevier, 2009. 640 p.
Gabelaia et al., 2005 - Gabelaia D., Kurucz A., Wolter F., Zakharyaschev M. Products of "transitive" modal logics // The Journal of Symbolic Logic. 2005. Vol. 70. No. 3. P. 993-1021.
Gradel, 1999 - Gradel E. On the restraining power of guards // Journal of Symbolic Logic. 1999. Vol. 64. No. 4. P. 1719-1742.
Gradel et al., 1997 - Gradel E., Kolaitis P.G., Vardi M.Y. On the decision problem for two-variable first-order logic // Bulletin of Symbolic Logic. 1997. Vol. 3. No. 1. P. 53-69.
Gradel et al., 1999 - Gradel E., Otto M., Rosen E. Undecidability results on two-variable logics // Archive for Mathematical Logic. 1999. Vol. 38. P. 313-354.
Hajek, 1998 - Hajek P. Trakhtenbrot theorem and fuzzy logic // G. Gottlob, E. Grandjean, and K. Seyr (eds.). International Workshop on Computer Science Logic. CSL98. Vol. 1584 of Lecture Notes in Computer Science. 1998. P. 1-8.
Halpern, 1995 - Halpern J.Y. The effect of bounding the number of primitive propositions and the depth of nesting on the complexity of modal logic // Artificial Intelligence. 1995. Vol. 75. No. 2. P. 361-372.
Harel, 1986 - Harel D. Effective transformations on infinite trees, with applications to high undecidability, dominoes, and fairness // Journal of the ACM. 1986. Vol. 33. P. 224-248.
Hirsch et al., 2002 - Hirsch R., Hodkinson I., Kurucz A. On modal logics between K x K x K and S5 x S5 x S5 // The Journal of Symbolic Logic. 2002. Vol. 67. No. 1. P. 221-234.
Hodkinson et al., 2000 - Hodkinson I., Wolter F., Zakharyaschev M. Decidable fragments of first-order temporal logics // Annals of Pure and Applied Logic. 2000. Vol. 106. P. 85-134.
Hodkinson et al., 2001 - Hodkinson I., Wolter F., Zakharyaschev M. Monodic fragments of first-order temporal logics: 2000-2001 A.D. // R. Nieuwenhuis and A. Voronkov (eds.). Logic for Programming, Artificial Intelligence, and Reasoning. LPAR 2001. Vol. 2250 of Lecture Notes in Computer Science. Springer, 2001. P. 1-23.
Kontchakov et al., 2005 - Kontchakov R., Kurucz A., Zakharyaschev M. Undecidability of first-order intuitionistic and modal logics with two variables // Bulletin of Symbolic Logic. 2005. Vol. 11. No. 3. P. 428-438.
Kotikova, Rybakov, 2013 - Kotikova E, Rybakov M. First-order logics of branching time: on expressive power of temporal operators // Logical Investigations. 2013. Vol. 19. P. 68-99.
Kremer, 1997 - Kremer P. On the complexity of propositional quantification in intuitionistic logic // The Journal of Symbolic Logic. 1997. Vol. 62. No. 2. P. 529-544.
Kripke, 1962 - Kripke S. The undecidability of monadic modal quantification theory // Zeitschrift für Matematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1962. Vol. 8. P. 113-116.
Libkin, 2004 - Libkin L. Elements of Finite Model Theory. Springer, 2004.
Mortimer, 1975 - Mortimer M. On languages with two variables // Zeitschrift für
Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik. 1975. P. 135-140. Motohashi, 1990 - Motohashi N. A decision method for a set of first order classical formulas and its applications to decision problem for non-classical propositional logics //J. Math. Soc. Japan. 1990. Vol. 42. No. 1. P. 127-132.
Nerode, Shore, 1980 - Nerode A., Shore R.A. Second order logic and first order theories of reducibility ordering //J. Barwise, H.J. Keisler, and K. Kunen (eds.). The Kleene Symposium. 1980. P. 181-200.
Nies, 1996 - Nies A. Undecidable fragments of elementary theories // Algebra Universalis. 1996. Vol. 35. P. 8-33.
Papadimitriou, 1994 - Papadimitriou C.H. Computational Complexity. Addison-Wesley, 1994. 523 p.
Reynolds, Zakharyaschev, 2001 - Reynolds M., Zakharyaschev M. On the products of linear modal logics // Journal of Logic and Computation. 2011. Vol. 11. No. 6. P. 909-931.
Rogers, 1967 - Rogers H. Theory of Recursive Functions and Effective Computability. McGraw-Hill, 1967.
Rybakov, 2006 - Rybakov M. Complexity of intuitionistic and Visser's basic and formal logics in finitely many variables // G. Governatori, I.M. Hodkinson, and Y. Venema (eds.). Advances in Modal Logic 6. 2006. P. 393-411. Rybakov, 2007 - Rybakov M. Complexity of finite-variable fragments of EXPTIME-complete logics // Journal of Applied Non-classical Logics. 2007. Vol. 17. No. 3. P. 359-382.
Rybakov, 2008 - Rybakov M. Complexity of intuitionistic propositional logic and its fragments // Journal of Applied Non-Classical Logics. 2008. Vol. 18. No. 2-3. P. 267-292.
Rybakov, 2023 - Rybakov M. Predicate counterparts of modal logics of provability: High undecidability and Kripke incompleteness // To appear in Logic Journal of the IGPL (DOI: 10.1093/jigpal/jzad002).
Rybakov, Shkatov, 2019a - Rybakov M., Shkatov D. Trakhtenbrot theorem for classical languages with three individual variables // Proceedings of SAICSIT2019. ACM, 2019. Article No. 19.
Rybakov, Shkatov, 2019b - Rybakov M, Shkatov D. Undecidability of first-order modal and intuitionistic logics with two variables and one monadic predicate letter // Studia Logica. 2019. Vol. 107. No. 4. P. 695-717.
Rybakov, Shkatov, 2020 - Rybakov M, Shkatov D. Algorithmic properties of firstorder modal logics of finite Kripke frames in restricted languages // Journal of Logic and Computation. 2020. Vol. 30. No. 7. P. 1305-1329.
Rybakov, Shkatov, 2021a - Rybakov M, Shkatov D. Algorithmic properties of firstorder superintuitionistic logics of finite Kripke frames in restricted languages // Journal of Logic and Computation. 2021. Vol. 31. No. 2. P. 494-522.
Rybakov, Shkatov, 2021b - Rybakov M, Shkatov D. Complexity of finite-variable fragments of products with K // Journal of Logic and Computation. 2021. Vol. 31. No. 2. P. 426-443.
Rybakov, Shkatov, 2021c - Rybakov M, Shkatov D. Undecidability of QLTL and QCTL with two variables and one monadic predicate letter // Logical Investigations. 2021. Vol. 27. No. 2. P. 93-120.
Rybakov, Shkatov, 2021d - Rybakov M, Shkatov D. Algorithmic properties of firstorder modal logics of linear Kripke frames in restricted languages // Journal of Logic and Computation. 2021. Vol. 31. No. 5. P. 1266-1288.
Rybakov, Shkatov, 2022a - Rybakov M, Shkatov D. Complexity of finite-variable fragments of products with non-transitive modal logics // Journal of Logic and Computation. 2022. Vol. 32. No. 5. P. 853-870.
Rybakov, Shkatov, 2022b - Rybakov M, Shkatov D. Undecidability of the logic of partial quasiary predicates // Logic Journal of the IGPL. 2022. Vol. 30. No. 3. P. 519-533.
Sipser, 2013 - Sipser M. Introduction to the Theory of Computation. Cengage Learning, 3rd edition, 2013. 504 p.
Spaan, 1993 - Spaan E. Complexity of Modal Logics. PhD Thesis. Amsterdam, 1993.
Speranski, 2016 - Speranski S. A note on hereditarily n0- and £?-complete sets of sentences // Journal of Logic and Computation. 2016. Vol. 26. No. 5. P. 1729-1741.
Suranyi, 1943 - Suranyi J. Zur Reduktion des Entscheidungsproblems des logischen Funktioskalkiils // Mathematikai es Fizikai Lapok. 1943. Vol. 50. P. 51-74.
Tarski, Givant, 1987 - Tarski A., Givant S. A Formalization of Set Theory without Variables. American Mathematical Society, 1987. 318 p.
Turing, 1936 - Turing A.M. On computable numbers, with an application to the "Entscheidungsproblem" // Proceedings of the London Mathematical Society, 2 series, 1936. Vol. 42. P. 230-265.
Urquhart, 1984 - Urquhart A. The undecidability of entailment and relevant implication // Journal of Symbolic Logic. 1984. Vol. 49. No. 4. P. 1059-1073.
Urquhart, 2007 - Urquhart A. Four variables suffice // The Australasian Journal of Logic. 2007. Vol. 5. P. 66-73.
Wolter, Zakharyaschev, 2001 - Wolter F, Zakharyaschev M. Decidable fragments of first-order modal logics // The Journal of Symbolic Logic. 2001. Vol. 66. P. 1415-1438.
Mikhail Rybakov
Binary Predicate, Transitive Closure, Two-Three Variables: Shall We Play Dominoes?
Mikhail Rybakov
IITP of RAS,
19/1 Bolshoy Karetny per., Moscow, 127051, Russian Federation. HSE University,
20 Miasnitskaya str., Moscow, 101000, Russian Federation. E-mail: m_rybakov@mail.ru
Abstract: Tiling problems are a convenient tool for studying algorithmic complexity of problems arising in various branches of mathematics, including logic. The paper describes modelling of domino problems using the first-order language, as well as some additional language constructs, some of which are not elementary. This enables us both to obtain simple proofs of known facts about undecidability of satisfiability problems for various fragments of the first-order language and to obtain some new results. It is known that the satisfiability problem for the first-order formulas containing at most two individual variables is decidable; it is also known that the transitivity of a binary relation and the composition of binary relations are first-order definable with formulas of three individual variables. We show that addition of the operator of transitivity test for a binary relation (or a stronger tool, the transitive closure operator), together with the operator of composition, results in an undecidable satisfiability problem for formulas with two individual variables, a single binary predicate letter, and equality.
Keywords: first-order logic, transitive closure, undecidability
For citation: Rybakov M. "Binarniy predikat, trnzitivnoe zamykanie, dve-tri peremennye: sygraem v domino?" [Binary Predicate, Transitive Closure, Two-Three Variables: Shall We Play Dominoes?], Logicheskie Issledovaniya / Logical Investigations, 2023, Vol. 29, No. 1, pp. 114-146. DOI: 10.21146/2074-1472-2023-29-1-114-146 (In Russian)
Acknowledgements. The work on this paper, carried out at Institute for Information Transmission Problems of Russian Academy of Sciences, has been supported by Russian Science Foundation, project 21-18-00195.
References
Agadzhanian, Rybakov, 2022 - Agadzhanian, I., Rybakov, M. "Complexity of the variable-free fragment of the weak Grzegorczyk logic", [arXiv: 2211.14571, accessed on 11.03.2023]. (In Russian) Aleksandrov et al., 2021 - Aleksandrov, K., Rybakov, M., Shkatov, D. "Computational complexity of one-variable fragments of products with T", [arXiv: 2112.03833, accessed on 10.04.2023]. (In Russian)
Balbiani, Tinchev, 2014 - Balbiani, P., Tinchev, T. "Definability and computability for PRSPDL", Advances in Modal Logic, Vol. 10, 2014, pp. 16-33.
Berger, 1966 - Berger, R. The Undecidability of the Domino Problem, Vol. 66 of Memoirs of AMS. AMS, 1966.
Bianchi, Montagna, 2015 - Bianchi, M., Montagna, F. "Trakhtenbrot theorem and first-order axiomatic extensions of MTL", Studia Logica, Vol. 103, 2015, pp. 1163-1181.
Boolos, Jeffrey, 1994 - Boolos, G.S., Jeffrey, R.C. Computability and Logic. Cambridge University Press, third edition, 1989.
Boolos et al., 2007 - Boolos, G.S., Burgesss, J.P., Jeffrey, R.C. Computability and Logic. Cambridge University Press, fifth edition, 2007.
Borger et al., 1997 - Borger, E., Gradel, E., Gurevich, Y. The Classical Decision Problem. Springer, 1997.
Chagrov, Rybakov, 2000 - Rybakov, M.N., Chagrov, A.V. "Standartnye perevody neklassicheskih formul i otnositel'naya razreshimost' logik" [Standard translations of non-classical formulas and relative decidability of logics], Trudy nauchno-issledovatel'skogo seminara Logicheskogo centra Instituta filosofii RAN, XIV, Izda-tel'stvo Instituta filosofii RAN, Moscow, 2000, pp. 81-98. (In Russian)
Chagrov, Rybakov, 2003 - Chagrov, A., Rybakov, M. "How many variables does one need to prove PSPACE-hardness of modal logics?", in: P. Balbiani, N.-Y. Suzuki, F. Wolter, M. Zakharyaschev (eds.), Advances in Modal Logic, Vol. 4, 2003, pp. 71-82.
Chagrov, Zakharyaschev, 1997 - Chagrov, A., Zakharyaschev, M. Modal Logic. Oxford University Press, 1997.
Church, 1936 - Church, A. "A note on the 'Entscheidungsproblem'", The Journal of Symbolic Logic, Vol. 1, 1936, pp. 40-41.
Gabbay, Shehtman, 1993 - Gabbay, D., Shehtman, V. "Undecidability of modal and intermediate first-order logics with two individual variables", The Journal of Symbolic Logic, Vol. 58, No. 3, 1993, pp. 800-823.
Gabbay et al., 2009 - Gabbay, D., Shehtman, V., Skvortsov, D. Quantification in Nonclassical Logic, Volume 1, Volume 153 of Studies in Logic and the Foundations of Mathematics. Elsevier, 2009.
Gabelaia et al., 2005 - Gabelaia, D., Kurucz, A., Wolter, F., Zakharyaschev, M. "Products of 'transitive' modal logics", The Journal of Symbolic Logic, 2005, Vol. 70, No. 3, pp. 993-1021.
Gradel, 1999 - Gradel, E. "On the restraining power of guards", Journal of Symbolic Logic, 1999, Vol. 64, No. 4, pp. 1719-1742.
Gradel et al., 1997 - Gradel, E., Kolaitis, P.G., Vardi, M.Y. "On the decision problem for two-variable first-order logic", Bulletin of Symbolic Logic, 1997, Vol. 3, No. 1, pp. 53-69.
Gradel et al., 1999 - Gradel, E., Otto, M., Rosen, E. "Undecidability results on two-variable logics", Archive for Mathematical Logic, Vol. 38, 1999, pp. 313-354.
Hâjek, 1998 - Hâjek, P. "Trakhtenbrot theorem and fuzzy logic", in G. Gottlob, E. Grandjean, and K. Seyr, (eds.), International Workshop on Computer Science Logic. CSL98, volume 1584 of Lecture Notes in Computer Science, 1998, pp. 1-8.
Halpern, 1995 - Halpern, J.Y. "The effect of bounding the number of primitive propositions and the depth of nesting on the complexity of modal logic", Artificial Intelligence, Vol. 75, No. 2, 1995, pp. 361-372.
Harel, 1986 - Harel, D. "Effective transformations on infinite trees, with applications to high undecidability, dominoes, and fairness", Journal of the ACM, Vol. 33, 1986, pp. 224-248.
Hirsch et al., 2002 - Hirsch, R., Hodkinson, I., Kurucz, A. "On modal logics between K x K x K and S5 x S5 x S5", The Journal of Symbolic Logic, 2002, Vol. 67, No. 1, pp. 221-234.
Hodkinson et al., 2000 - Hodkinson, I., Wolter, F., Zakharyaschev, M. "Decidable fragments of first-order temporal logics", Annals of Pure and Applied Logic, Vol. 106, 2000, pp. 85-134.
Hodkinson et al., 2001 - Hodkinson, I., Wolter, F., Zakharyaschev, M. Monodic fragments of first-order temporal logics: 2000-2001 A.D., in: R. Nieuwenhuis and A. Voronkov (eds.), Logic for Programming, Artificial Intelligence, and Reasoning. LPAR 2001., Vol. 2250 of Lecture Notes in Computer Science, 2001, pp. 1-23.
Kontchakov et al., 2005 - Kontchakov, R., Kurucz, A., Zakharyaschev, M. "Undecid-ability of first-order intuitionistic and modal logics with two variables", Bulletin of Symbolic Logic, Vol. 11, No. 3, 2005, pp. 428-438.
Kotikova, Rybakov, 2013 - Kotikova, E., Rybakov, M. "First-order logics of branching time: on expressive power of temporal operators", Logical Investigations, Vol. 19, 2013, pp. 68-99.
Kotikova, Rybakov, 2016 - Kotikova, E.A., Rybakov, M.N. "Modelirovanie arifmetiki v yazyke pervogo poryadka, obogaschennom temporal'nymi kvantorami" [Modeling arithmetic in the first-order language enriched with temporal quantifiers], Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya Matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2016, No. 4, pp. 5-19. (In Russian)
Kremer, 1997 - Kremer, P. "On the complexity of propositional quantification in intu-itionistic logic", The Journal of Symbolic Logic, 1997, Vol. 62, No. 2, pp. 529-544.
Kripke, 1962 - Kripke, S. "The undecidability of monadic modal quantification theory", Zeitschrift für Matematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 1962, Vol. 8, pp. 113-116.
Libkin, 2004 - Libkin, L. Elements of Finite Model Theory. Springer, 2004.
Maslov et al., 1965 - Maslov, S.Yu., Mints, G.E., Orevkov, V.P. "Nerazreshimost' v konstruktivnom ischislenii predikatov nekotorykh klassov formul, soderzhaschikh tol'ko odnomestnye predikatnye peremennye" [Insolvability in the constructive calculus of predicates of certain classes of formulae containing only one-place predicate variables]. Doklady AN SSSR, 1965, Vol. 163, No. 2, pp. 295-297. (In Russian)
Mortimer, 1975 - Mortimer, M. "On languages with two variables", Zeitschrift für Mathematische Logik und Grundlagen der Mathematik, 1975, pp. 135-140.
Motohashi, 1990 - Motohashi, N. "A decision method for a set of first order classical formulas and its applications to decision problem for non-classical propositional logics", J. Math. Soc. Japan, 1980, Vol. 42, No. 1, pp. 127-132.
Nerode, Shore, 1980 - Nerode, A., Shore, R.A. "Second order logic and first order theories of reducibility ordering", in J. Barwise, H.J. Keisler, and K. Kunen (eds.), The Kleene Symposium, 1980, pp. 181-200.
Nies, 1996 - Nies, A. "Undecidable fragments of elementary theories", Algebra Universalis, 1996, Vol. 35, pp. 8-33.
Papadimitriou, 1994 - Papadimitriou, C.H. Computational Complexity. Addison-Wesley, 1994.
Reynolds, Zakharyaschev, 2001 - Reynolds, M., Zakharyaschev, M. "On the products of linear modal logics", Journal of Logic and Computation, 2001, Vol. 11, No. 6, pp. 909-931.
Rogers, 1967 - Rogers, H. Theory of Recursive Functions and Effective Computability. McGraw-Hill, 1967.
Rybakov, 2001 - Rybakov, M.N. "Perechislimost' modal'nykh predikatnykh logik i usloviya obryva vozrastayuschikh tsepey" [Enumerability of modal predicate logics and conditions of breaking increasing chains]. Logicheskie Issledovaniya [Logical Investigations], 2001, Vol. 8, pp. 155-167. (In Russian)
Rybakov, 2002 - Rybakov, M.N. "Ob algoritmicheskoy vyrazitel'nosti modal'nogo yazy'ka s odnoy lish' odnomestnoy predikatnoy bukvoy" [On algorithmic expressivity of modal language with just a single monadic predicate letter], Logicheskie Issledovaniya [Logical Investigations], 2002, Vol. 9, pp. 179-201. (In Russian)
Rybakov, 2006 - Rybakov, M. "Complexity of intuitionistic and Visser's basic and formal logics in finitely many variables", in G. Governatori, I.M. Hodkinson, and Y. Venema (eds.), Advances in Modal Logic, 2006, Vol. 6, pp. 393-411.
Rybakov, 2007a - Rybakov, M.N. "Slozhnost' konstantnogo fragmenta propozit-sional'noy dinamicheskoy logiki" [Complexity of the variable-free fragment of pro-positional dynamic logic], Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya Matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2007, No. 5, pp. 5-17.
Rybakov, 2007b - Rybakov, M. "Complexity of finite-variable fragments of EXPTIME-complete logics", Journal of Applied Non-classical Logics, 2007, Vol. 17, No. 3, pp. 359-382.
Rybakov, 2008 - Rybakov, M. "Complexity of intuitionistic propositional logic and its fragments", Journal of Applied Non-Classical Logics, 2008, Vol. 18, No. 2-3, pp. 267-292.
Rybakov, 2014 - Rybakov, M.N. "Nerazreshimost' logiki kvaziarnykh predikatov" [Undecidability of logic of quasiary predicates], Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya Matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2014, No. 4, pp. 17-32. (In Russian)
Rybakov, 2017 - Rybakov, M.N. "Nerazreshimost' modal'nykh logik odnomestnogo predikata" [Undecidability of modal logics of a monadic predidicate], Logicheskie Issledovaniya [Logical Investigations], 2017, Vol. 23, No. 2, pp. 60-75. (In Russian)
Rybakov, 2018a - Rybakov, M.N. "Aksiomatiziruemost' nenormal'nykh i kvazinor-malnykh modal'nykh predikatnykh logik pervoporyadkovo opredelimykh klassov shkal Kripke" [Axiomatizability of non-normal and quasi-normal modal predicate logics of first-order definable classes of Kripke frames], Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya Matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2018, No. 3, pp. 81-94. (In Russian)
Rybakov, 2018b - Rybakov, M.N. "Algoritmicheskie svoystva lineyno approk-simiruemykh kvazinormal'nykh modal'nykh logik" [Algorithmical properties of quasinormal modal logics with linear finite model property]. Vestnik TvGU. Se-riya: Prikladnaya Matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2018, No. 4, pp. 87-97. (In Russian)
Rybakov, 2021 - Rybakov, M. "Slozhnost' problemy ravenstva slov v mnogoobraziyax modal'nykh algebr" [Computational complexity of the word problem in modal algebras], Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya Matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2021, No. 3, pp. 5-17. (In Russian)
Rybakov, 2022 - Rybakov, M. "Computational complexity of binary predicate theories with a small number of variables in the language", Doklady Mathematics, 2022, Vol. 106, No. 3, pp. 458-461.
Rybakov, 2023a - Rybakov, M. "Derev'ya kak sredstvo modelirovaniya nerazre-shimykh problem" [Trees as a tool for modelling undecidable problems], Vestnik TvGU. Seriya: Prikladnaya Matematika [Herald of Tver State University. Series: Applied Mathematics], 2023, No. 1, pp. 5-23. (In Russian)
Rybakov, 2023b - Rybakov, M. "Predicate counterparts of modal logics of provability: High undecidability and Kripke incompleteness", To appear in Logic Journal of the IGPL (DOI: 10.1093/jigpal/jzad002).
Rybakov, Shkatov, 2019a - Rybakov, M., Shkatov, D. "Trakhtenbrot theorem for classical languages with three individual variables", in Proceedings of SAICSIT2019. ACM, 2019. Article No. 19.
Rybakov, Shkatov, 2019b - Rybakov, M., Shkatov, D. "Undecidability of first-order modal and intuitionistic logics with two variables and one monadic predicate letter", Studia Logica, 2006, Vol. 107, No. 4, pp. 695-717.
Rybakov, Shkatov, 2020 - Rybakov, M., Shkatov, D. "Algorithmic properties of firstorder modal logics of finite Kripke frames in restricted languages", Journal of Logic and Computation, 2020, Vol. 30, No. 7, pp. 1305-1329.
Rybakov, Shkatov, 2021a - Rybakov, M., Shkatov, D. "Algorithmic properties of first-order superintuitionistic logics of finite Kripke frames in restricted languages", Journal of Logic and Computation, 2021, Vol. 31, No. 2, pp. 494-522.
Rybakov, Shkatov, 2021b - Rybakov, M., Shkatov, D. "Complexity of finite-variable fragments of products with K", Journal of Logic and Computation, 2021, Vol. 31, No. 2, pp. 426-443.
Rybakov, Shkatov, 2021c - Rybakov, M., Shkatov, D. "Undecidability of QLTL and QCTL with two variables and one monadic predicate letter", Logical Investigations, 2021, Vol. 27, No. 2, pp. 93-120.
Rybakov, Shkatov, 2021d - Rybakov, M., Shkatov, D. "Algorithmic properties of first-order modal logics of linear Kripke frames in restricted languages", Journal of Logic and Computation, 2021, Vol. 31, No. 5, pp. 1266-1288.
Rybakov, Shkatov, 2022a - Rybakov, M., Shkatov, D. "Complexity of finite-variable fragments of products with non-transitive modal logics", Journal of Logic and Computation, 2022, Vol. 32, No. 5, pp. 853-870.
Rybakov, Shkatov, 2022b - Rybakov, M., Shkatov, D. "Undecidability of the logic of partial quasiary predicates", Logic Journal of the IGPL, 2022, Vol. 30, No. 3, pp. 519-533.
Sipser, 2013 - Sipser, M. Introduction to the Theory of Computation. Cengage Learning, 3rd edition, 2013.
Spaan, 1993 - Spaan, E. Complexity of Modal Logics. PhD Thesis. Amsterdam, 1993.
Speranski, 2016 - Speranski, S. "A note on hereditarily n0- and £?-complete sets of sentences", Journal of Logic and Computation, 2016, Vol. 26, No. 5, pp. 1729-1741.
Surânyi, 1943 - Surânyi, J. "Zur Reduktion des Entscheidungsproblems des logischen Funktioskalkuls", Mathematikai és Fizikai Lapok, 1943, Vol. 50, pp. 51-74.
Tarski, Givant, 1987 - Tarski, A., Givant, S. A Formalization of Set Theory without Variables. American Mathematical Society, 1987.
Trakhtenbrot, 1963 - Trakhtenbrot, B.A. "Impossibility of an algorithm for the decision problem in finite classes", American Mathematica Society Translations, 1963, Vol. 23, pp. 1-5. (Translation of: Trakhtenbrot B.A. Nevozmozhnost' al-gorifma dlya problemy razreshimisti na konuchnykh klassakh. [Impossibility of an algorithm for the decision problem in finite classes]. Doklady AN SSSR, 1950, Vol. 70, No. 4, pp. 569-572. (In Russian).)
Trakhtenbrot, 1953 - Trakhtenbrot, B.A. "O recursivnoy otdelimisti" [On recursive separability]. Doklady AN SSSR, 1953, Vol. 88, No. 6, pp. 953-956. (In Russian)
Turing, 1936 - Turing, A.M. "On computable numbers, with an application to the 'Entscheidungsproblem'", Proceedings of the London Mathematical Society, 2 series, 1936, Vol. 42, pp. 230-265.
Urquhart, 1984 - Urquhart, A. "The undecidability of entailment and relevant implication", Journal of Symbolic Logic, 1984, Vol. 49, No. 4, pp. 1059-1073.
Urquhart, 2007 - Urquhart, A. "Four variables suffice", The Australasian Journal of Logic, 2007, Vol. 5, pp. 66-73.
Wolter, Zakharyaschev, 2001 - Wolter, F., Zakharyaschev, M. "Decidable fragments of first-order modal logics", The Journal of Symbolic Logic, 2001, Vol. 66, pp. 14151438.
