CC BY
10
Бимерное адиабатическое смерзание сферических гранул льда
II.В. МИРОШНИКОВ, д-р техн. наук В.И. ПОЛТАВЦЕВ
Кемеровский государственный сельскохозяйственный институт, канд. фи з.-мат. наук В. В. РА ГУЛИН Кемеровский государственный университет
River ice crossing building are very actually in the Siberia and to the North of the «TRANSSIB». Fast freezing of river ice crossing is possible on the basis of process of adiabatic freezing a lot of ice granules together in ice water. We research kinetics of freezing of bi-granule (a couple of ice balls contacting each other). The process is accompanied with fast growing crosspiece between the balls and dinamic changing form of borders of the bi-granule. The article presented description of kinetics, mathematic two-measure (in view of axial symmetry in cylindrical co-ordinates) model of the process as the Stephan problem and experiments. We found correlations between mass and some geometric parameters (form, angle and radius of curve of slot) of freezing couple from freezing time etc.
Бездорожье в России в зимнее время на территориях севернее Транссиба заставляет строить ледовые переправы. Наиболее быстрым способом строительства является замораживание слоя мелкодробленого льда, залитого водой. При этом гранулы льда, смыкаясь боковыми гранями, удерживают воздушные пузыри, что приводит к понижению прочности замерзшего ледяного слоя. Нами применен кипящий слой для получения гранул льда сферической формы, которые не удерживают воздух при заливании гранулята водой |1|.
В данной статье рассматривается элементарный акт адиабатического смерзания двух ледяных шаров с целью определения его кинетических характеристик и последующего построения обобщенной модели для всего слоя.
В работах |1,2| показано, что охлажденная сферическая гранула льда адиабатически намораживает на своей поверхности слой льда, движение наружной границы которого соответствует условиям одномерной однофазной задачи Стефана [3, 4, 6|.
Решение одномерной задачи Стефана с использованием уравнения теплового баланса для пластины впервые получено Р.Планком и определяет время / замораживания слоя льда при постоянных значениях его физических параметров [5]. При этом полагают, что температура воды постоянна (О °С), теплоемкость льда нулевая, льдообразование происходит без переохлаждения (при О °С), коэффициент теплопроводности и удельная теплоемкость льда не зависят от его температуры.
«Бимерная гранула льда», или кратко «бигранула», — условное обозначение тела из пары соприкасающихся ледяных шаров в виде объемной «восьмерки» вращения вокруг продольной ее оси. Процесс смерзания двух гранул в ледяной воде сопровождается теплообменом — передачей тепла от воды льду. Наблюдаемые признаки смерзания — «обрастание» ледяных гранул оболочкой изо льда с образованием
быстрорастущей перемычки между гранулами при их соприкосновении в виде бигранулы. Граница лед — вода в бигрануле подвижна: во времени динамично меняются не только ее размеры, расстояние точек границы от центров гранул, но и форма, угол и радиус закругления щели между шарами, а также температура.
Цель настоящей статьи — прояснение кинетики процесса смерзания ледяных гранул на основе математического моделирования и экспериментальных исследований.
Математическая модель смерзания двух шаров льда (рис. 1) воднофазном варианте представляет собой следующую начально-краевую задачу:
срТ,=кАТ, хеЦ, / >0;
Т\,__0 = Т(>, х € £2,,;
71* =0,
В задаче (1) температура Топределяется из уравнения те пл о п ро вод н ости
срГ = к АТ. х е Ц, / > О, где с — коэффициент теплоемкости; р — плотность вещества; к — коэффициент теплопроводности.
дТ
ЭЛ',
хе dQ,, I >0.
т\м = 0,хеЭ£2,,/>0 - граничные условия, Г|;=() = Т0,
х е £2 — начальное условие.
Фазовый переход сопровождается выделением (или поглощением) определенного количества тепла. Поэтому тепловой поток на границе фазового перехода разрывен и определяется величиной
дТ
А.р,/)д =
ЭМ
где X - энтальпия фазового перехода;
— скорость движения границы фазового перехода по нормали.
Исходя из симметричности данных, будем рассматривать задачу для правой части верхней гранулы. Рассматриваемая задача Стефана (1) может быть записана в виде одного общего уравнения теплопроводности во всей области £2 [4]:
[с(Л + Ь8(7)]7; = <И*(7)У7], (2)
где 8(Г) — дельта-функция.
Функции коэффициентов теплоемкости и теплопроводности разрывны и имеют вид:
с(Т) =
с\, Т < 0;
к(Т) =
к,, Т < 0;
(3)
1С'|’ г-0; ' ' [*,, Г>0.
Простейший подход к приближенному решению задачи Стефана в формулировке (2) — (3) состоит в том, что коэффициенты уравнения (2) сглаживаются, то есть совершается переход к обычной задаче теплопроводности.
В уравнении (2) теплоемкость с(7) и слагаемое А.8(7) входят одинаковым образом. Заменим 8-функцию 8(7) некоторой функцией 8(Г,Д), которая отлична от нуля только внутри интервала сглаживания |-Д,Д]. и введем эффективную сглаженную теплоемкость
с(Т) = с(Т) + 8(Т, А)- (4)
Существуют различные аппроксимационные формулы для 8(Г,Д), которые строятся из условия сохранения баланса тепла на интервале |—Д,Д|. Мы будем использовать параболическую аппроксимацию
1—( 1-—1
4ДІ А2}
(5)
|Г|<Д;
И» А.
д
для которой выполняется условие | 5(Г,Д)йТ = 1-
-д
Можно провести также сглаживание коэффициента теплопроводности к(Т):
к(Т) =
А, + (к. - к.,)
Г + Д 2Д
Т < -Д;
-Д <Т< Д; Т > Д,
(6)
где кг к, — коэффициенты теплопроводности для льда и воды соответственно.
Осуществим переход к безразмерным переменным, начиная с выбора характерных значений в модели. В качестве масштаба измерения пространственной переменной х можно взять дли ну радиуса ¿ — линейный масштаб. Ис-
пользуя для безразмерных переменных те же обозначения, что и для размерных, но со штрихом, имеем х = ЬЛ
где У— безразмерная переменная.
В качестве масштаба температуры можно взять абсолютное значение начальной температуры:
т= т Г,
с 7
где Т' — безразмерная температура.
Аналогично пусть /= /п/\ где характерный масштаб времени /0 пока не определен. В результате получим следующую замену: х = 1У\ / = /„/'; Т= Т Г. (7)
Подстановка в (2) приводит к уравнению в безразмерных переменных:
Т кТ , , срТ1
ср — Т,-—~-АТ ИЛИ -і—і—Т.-АТ-
I, г Т/Л '
Если /0 = срЬ2/к, то
Т; = А'Т\ ґ> 0; Т'\ =-1.
(8)
(9)
1. выберем так, чтобы начальный шар имел единичный радиус (7 = /?).
дТ
ЭЛ',
э г.
ІХТ, ' 1 ЭМ’
)Я3р2
!__к ЭГ Т.
Я2 ~ 2 ЭМ Я2’
1 _ ях _ эг 1 ~ с2т.’ Л “ эм'
(10)
(11)
В итоге получим:
Т, - А Т, I > 0, л: є £2,;
7"|. =—1, .г є £2(( (шар с единичным радиусом);
э т
Т эп =0, а1\ =—-1К (условие Стефана).
(12)
Запишем задачу в цилиндрической системе координат: Э
[с(Т) + а8(Т)\Т,=-
дг
Г Э7-1 Э Г, ^ эг 1
гк(Т) — + — А Г)—
1 дг. гЪ э-
Т\
(13)
(14)
\-Т^г +(г-Я)г <Я2,г>0-0, г2 + (г - И)2 > /?:, г > 0,0 < г < ЗЛ.
ЭГ/Эг = 0, г = 0; дT/дz = 0. г = ЗЯ;
ЭГ / Эг = 0, г = 0; ЭГ / Эг = 0, г = 3/?. (15)
Будем решать задачу с осевой симметрией, то есть решение не будет зависеть от угла <р в цилиндрической системе координат /',ф,г. Границы воды, в которую помещен шар льда, г= ЗЯ и ^ = 3/?.
Так как і = Я, то в твердой фазе:
[1, Т <0;
/0 = с,р2Г7А\ = с2р:Я2/к\ к(Т) = ^ т > о
к,
г1, 7" < 0;
с,р.
, Г >0; а= я/(с,р,)( 1/7); Г = Т0
(16)
(17)
где с - коэффициент теплоемкости в новых переменных. Следовательно, в новых переменных:
[с( 7) + о8( 7)| Г = (1 /г)(Э/Э/')|/'/с( 7) (ЭГ/Э/*)| +
+ (Ыд1)[к(Т) (ЭГ/Э*)]. (18)
с(Т)
Т <0; _ с’іР
[1,7' < 0;
,Т> 0; *(П-и г>0
С':Р2 А, ’
(19)
Т
1, /--+(2-/?)2 <1, 0, г2 +(г —/Г)2 <1,
Э77Эг= 0, г = 0 и г = 3; дТ/дг= 0, /•= 0 и /? = 3.
/•>0;
г < 0, 0 < г < 3;
(20)
Для численного решения задачи (18) — (20) использовались локально-одномерные неявные разностные схемы. При этом итоговые системы линейных алгебраических уравнений решались методом прогонки.
Экспериментальное исследование кинетики намораживания льда на бигранулу проводилось при температуре воздуха —11...—19 °С. Ледяные шары (30 шт.) изготавливались из 60 полушарий путем их шлифовки и смора-живания парами по отработанной технологии (2|. Но вместо медной проволоки с крючком ввиду ее высокой теплопроводности авторы использовали капроновую нить диаметром 2 мм, длиной 260 мм, на которую с трением нанизывались с обоих концов 2 шара с заранее просверленными отверстиями. Получилось 15 «вишенок». Однородность структуры шаров достигалась заполнением водой неровностей или трешин с выравниванием (подгонкой) формы, массы и диаметров шаров под образец (шары погружали в воду на 5 — 10 — 15с без взаимного соприкосновения). Это начальное погружение обозначено как «нулевое» (п = 0). Диаметры шаров бигранул на нитях в виде «вишенок» составляли после «нулевого» погружения 26,5 ± 0,3 мм, масса вишенок 19,5 ± 0,5 г (в том числе нитей — 1,5 г). Стягиванием упругих нитей скотчем (с биркой из бумаги под скотч) достига-
Рис. 2. Кинетика намораживания льда на бигранулу:
Я — усредненный радиус шаров бигранулы после п-го погружения, мм; 5 — усредненный диаметр перемычки («шейки»), мм; б — усредненный угол клиновидной щели, град (измеряется как угол между касательными к кривым в точках перегиба); гн — усредненный радиус закругления клина щели, мм; п — число произведенных погружений на момент измерений, п = О, 1, 2,..., /, ..., 12
Рис. 3. Прирост удельной массы бигранул 8/и = (Ат/т{) ■ 100 % от времени 1 однократного погружения в воду. Температура льда (воздуха) —13...— 18 °С
лось устойчивое соприкосновение шаров бигранул. Затем проводились погружения 8 вишенок в воду на короткие промежутки времени (г = 5, 10, 25... 60 с), осталь-
ных — сериями по 12 погружений длительностью 60 с каждое с интервалами между погружениями не менее часа.
До и после погружений измеряли массы «вишенок» на аптечных весах и геометрические параметры бигранул штангенциркулем, калибровками — заготовками уголков (20, 30, ..., 160°), проволоки и прутков разного диаметра (прикладыванием их в клиновую щель между шарами), а также при помоши фотосъемки (с линейкой).
Рис. 4. Графики зависимости роста диаметров йп шаров и перемычки 5( от числа погружений п (по 60 с)
Гп, мм
15
10
0 10 20 30 40 й/?„, %
Рис. 5. Графики зависимостей величин радиуса гп закругления в районе перемычки бигранулы и угла ап клина щели от относительного прироста радиусов шаров ЪЯ=(АЯ/п)- 100%
// Ьтп = |(w„ — m„)/mo]100 % ôR = [(Ä„- Ä„)/RJtoo % (5 /</,)• 100 % rn, MM an, град
0 0 0 0 0 0
1* II <3 20 <0,5 30
2* 16 5 30 <0,5 50
3 30 11 50 0,5... 1 65...70
6 70 18...20 73 1,5...2 90
9 120 32 80 3...5 110...130
12 180 44 91 10 140... 160
* Трудности в измерениях г и (присутствуют капиллярные эффекты), ~ гг~ гх.
На рис. 2 представлена схема для определения геометрических параметров бигранулы (после «-го погружения в воду).
По результатам эксперимента построены графики зависимостей удельной массы 6т и основных геометрических параметров бигранул (с1п, 1п, Бп) от времени Г (от 0 до 60 с) и числа я погружений по 60 с (рис. 3, 4), а также графики зависимостей величин радиусов гп образующихся закруглений и углов а_ клиновой тороидальной щели в «шейках» бигранул от относительного прироста радиусов шаров ДЛп (рис. 5).
Эмпирическая зависимость Ьт = (Ат/тп)-100 % от времени ! (см. рис. 3) может быть представлена соотношением 6т = 4,775/1и 111(0,345 /), И1(х) =
= (еЛ - е-)/(е'+ е->), /е |0;50|; (21)
зависимости с!п = с!п(п) и Бп = 5 (п) — формулами ¿/„ = 25 +27,29я/(я + 12,34),
5 = 8,286 я0-577, я е [0; 12]. (22)
Для зависимостей (рис. 5) угла апи радиусов гп закругления клина щели от относительного прироста радиусов шаров 5/?л = (Д/?/Л0) 100 % наиболее близкой аналитической аппроксимацией могут служить соотношения: а = 27,15(5Я )"447 Ит(0.1065Л),
/= 0,000115Л(5Л)3 (1+6,045Ле-°-2848я"), Ле[0;44]. Обобщенно-выборочные результаты эксперимента приведены в таблице. •
Неравномерность толщины 8Л наморозки для различных я объясняется различием температур (—11 ...—19 °С) и количества получаемой из воды теплоты для различных при постоянном времени погружения (60 с), а также различием интервалов времени «сушки».
С ростом п ал достигнет 180°, а гп, неограниченно возрастая, перейдет в свой противоположный радиус (инверсия). Бигранула превратится в одиночную гранулу — эллипсоид вращения, а при дальнейшем росте п эллипсоид превратится в шар (5 —» / при я —» <*>).
Результаты эксперимента хорошо согласуются с предшествовавшими исследованиями [1,2] изменений масс и размеров одиночных шаров по времени.
Выводы
У Намораживание слоя льда на бигранулу происходит неравномерно по поверхности с образованием перемычки между шарами. Отмечены практически мгновенное появление и значительно опережающий рост диаметра перемычки S по сравнению с ростом длины /п бигранулы и диаметров dn шаров — почти на порядок за первую минуту (при /?=1).
г Визуальные наблюдения формирования перемычки бигранулы позволяют говорить о первоначально (я = I,
2, 3) клинообразной, почти остроугольной форме щели между шарами вместо ожидаемого (до эксперимента) плавного (по радиусу rj перехода окружности в окружность. Радиус г закругления появляется лишь при л > 3...6, достигая при я = 6 величины г = 1,5...2 мм, а затем (при я > 6) быстро возрастает. В то же время угол ап клиновой щели после существенного роста (от 0 до 70°) при первых трех погружениях теряет темп роста при я > 3, квази-асимптотически приближаясь к значению 180° при я > 6. При ап = 180° S > dn, бигранула превратится в одиночную — эллипсоид вращения, затем в шар (S —» / при Я —> со).
Список литературы
1. Ащеулова A.C., Храпов A.A., Рагулин ВВ., Полтавцев В.И. Математическая модель намораживания гранул льда для ледовых переправ в виде задачи Стефана // Бурение и нефть. 2007. № 4.
2. Ащеулова A.C., Храпов A.A., Рагулин ВВ., Полтавцев В. И. Задача Стефана для адиабатического намораживания воды холодом гранул // Вестник КрасГАУ. 2007. № I.
3. Мейрманов А.М. Задача Стефана. - Новосибирск: Наука, 1986.
4. Самарский A.A., Вабищевич П.Н. Вычислительная теплопередача. — М.: Едиториал УРСС, 2003.
5. Рогов И.А., Куцакова В.E., Филиппов В.И., Фролов С.В. Консервирование пищевых продуктов холодом. — М.: Колосс.
6. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана. — Рига: Звайгз-не, 1967.
