Бифуркация Андронова-Хопфа в системах с негладкими нелинейностями Текст научной статьи по специальности «Математика»

Keywords: system of linear equations; factorization problem; Krylov spaces; Montgomery’s algorithm.

Черепнев Михаил Алексеевич к. ф.-м. и., доцент

Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова Россия, Москва e-mail: cherepniov@gmail.com

Mihail Cherepniov

candidate of phys.-math. sciences,

senior lecturer

Moscow State University

named after M.V. Lomonosov

Russia, Moscow

e-mail: cherepniov@gmail.com

УДК 517.91

БИФУРКАЦИЯ АНДРОНОВА-ХОИФА В СИСТЕМАХ С НЕГЛАДКИМИ

НЕЛИНЕЙНОСТЯМИ

© И. В. Шарафутдинов

Ключевые слова: точка бифуркации; задача о бифуркации Андронова-Хопфа; негладкие нелинейности.

Аннотация: Рассматривается задача о бифуркации Андронова-Хопфа в случае, когда нелинейные части системы разрывны в точке бифуркации или в некоторой ее окрестности.

Пусть в пространстве задан некоторый вектор Ь = (Ь\,Ь2,..., ЬN)■ Определим гиперплоскость Ро следующим образом:

Р0 = х Е М : (х, Ь) = 0.

Положим

Р+ = х Е М : (х,Ь) ^ 0 , Р- = х Е М : (х,Ь) < 0.

Пусть Т(0, 6) - замкнутый шар с центром в начале координат и радиусом, равным 6. Положим

Б+(5) = Р+ П Т(0,6)

Ро

Рассмотрим систему дифференциальных уравнений

х = / (х,У), (1)

где /(0, Л) = 0 , /(х,\) Е Ск(Б+(6)) , к ^ 2. В этом случае никаких требований относительно гладкости функции /(х, Л) во множестве МN\Б+(6) не накладывается.

В полушаре Б+(6) система (1) запишется в виде

х = /х(0, Л)х + о(х).

Здесь / - односторонняя производная функции /(х, Л) в полушаре Б+(6). Положим А(Л) = = /'х(0,Л). Получим

х = А(Л)х + е(х, Л) , х Е Б+(6), х = /(х, Л) , х Е Б+(6)

Аналогично можно ввести в рассмотрение систему

х = А(Л)х + е1(х, Л) , х Е Б+(6), х = А(Л)х + е2(х, Л) , х Е Б-(6)

В качестве примера рассмотрим систему

^2А - 1 А(А) = | 1

0

-1 0

2А - 1 0

0А

' Х1

Х2 | + а(х, А),

\х3/

ГД6

Х1Х3 \ I -Х1Х3

а(х, А) = | х2х3 | при х3 < 0 , а(Х, А) = I —х2х3

—(х\ + х2 + х3У \—(хі + х2 + х3)у

при Х3 > 0.

В нуле вектор-функция а(х, Л) непрерывна, но не гладкая.

Проведя исследование, можно убедиться, что эта система с кусочно заданной нелинейностью

не имеет ЦИКЛОВ при Л < 2 ’ а ПРИ Л > 2 имеет семейство циклов в полупространстве хз < 0.

Далее рассмотрим двумерный пример. Пусть плоскость (х1, х2) разделена надвое прямой х1 = = х2- прямой, имеет координаты Ь = (—1,1). Рассмотрим систему,

заданную по-разному в двух полуплоскостях:

х1 = Ах1 — х2 — х1(х2 + х2) х2 = х1 + Ах2 — х2(х1 + Х2)

х1 = Ах1 — х2 + х1(х2 + х2) х2 = х1 + Ах2 + х2(х1 + х2)

Матрицы Якоби для каждой нелинейности такие:

(Ь, х) < 0

а1(х, А) =

—3х2 — х2 —2х1х2

—2х1х2 — х1 — 3х2

, (х А) = /3х2 + х2 2х1х2 N

а2(х,А) ^ 2Х1Х2 х2 + Зх22)

(0, 0) а(х, А)

прямой Х1 = Х2, кроме точки (0, 0) нелинейность а(х, А) не гладкая и даже разрывна.

А = 0 А = 0

ЛИТЕРАТУРА

1. Марсден Док., Мак-Кракен М. Бифуркация рождения цикла и ее приложения. М.: Мир, 1980.

2. Красносельский М.А., Кузнецов Н.А., Юмагулов М.Г. Операторный метод анализа устойчивости циклов при бифуркации Хопфа // АиТ. 1996. № 12. С. 24-30.

3. Розо М. Нелинейные колебания и теория устойчивости. М.: Наука, 1971.

4. Козякин B.C., Красносельский М.А. Метод функционализации параметра в задаче о точках бифуркации // Докл. АН СССР. 1980. Т. 254. № 5. С. 1061-1064.

Abstract: The problem of Andronov-Hopff bifurcation in the case when the nonlinear parts of the system are discontinuous at the bifurcation point or in some its neighborhood is considered.

Keywords: bifurcation point; the problem of Andronov-Hopff bifurcation; non-smooth nonlinearities.

Шарафутдинов Ильдар Вакильевич старший преподаватель Стерлитамакская государственная педагогическая академия им. Зайнаб Биишевой Россия, Башкортостан, Стерлитамак sh_ildar_79@mail.ru

УДК 517.929

SINGULAR PERTURBATION ANALYSIS FOR WALLS AND GENE REGULATORY

NETWORK WITH DELAY 1

© I. Shlykova, A. Ponossov

Keywords: gene regulation; delay equations; singular perturbation analysis.

Abstract: The main result of the work provides a mathematical justification of the simplified analysis of gene regulatory networks under the present of delays. The emphases are put on sliding modes along one or more thresholds, which requires singular perturbation analysis.

We study the delay system

Xi = Fi(Zi,Zm) - Gi(Zi,Zm)xi

Zk = 'E(Vi(k),0k ,qk) (1)

yi(t) = (^ixi)(t), t ^ 0, i = 1,...,n, k = 1,...,m.

This system describes a gene regulatory network with autoregulation [1], [2], where changes in one or more genes happen slower than in the others, which causes delay effects in some of the variables. The functions Fi, Gi are affine in each Zk, Fi(Zi, ...,Zm) ^ 0, Gi(Zi, ...,Zm) > 0 for 0 ^ Zk ^ 1 (k = 1,..., m). Fi and Gi stand for the production rate and the relative degradation rate of the product of gene i, respectively, and xi denotes the gene product concentration. The input variables yi endow Equations 1 with feedbacks which, in general, are described by nonlinear Volterra ("delay") operators

1The present study was partially supported by the National Programme for Research for Functional Genomics in Norway (FUGE) in the Research Council of Norway and by the Norwegian Council of Universities’ Committee for Development Research and Education (NUFU), grant no. NUFUSM-2008/10229.

Ildar Sharafutdinov senior teacher

Sterlitamaksk State Pedagogical Academy named after Zainab Biisheva Russia, Bashkortostan, Sterlitamak sh_ildar_79@mail.ru