Бифуркационный анализ порогов параметрической генерации терагерцовых волн в нелинейных многослойных графеновых наноструктурах Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 621.371.334:537.874.6 doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-10

Бифуркационный анализ порогов параметрической генерации терагерцовых волн в нелинейных многослойных графеновых наноструктурах

Г. С. Макеева

Пензенский государственный университет, Пенза, Россия radiotech@pnzgu.ru

Аннотация. Актуальность и цели. Целью данной работы является разработка метода математического моделирования нелинейных эффектов (параметрической генерации, параметрического возбуждения волн и нестабильностей), возникающих при взаимодействии электромагнитных волн с сильно нелинейными графеновыми многослойными наноструктурами на основе решения нелинейной задачи дифракции для уравнений Максвелла с учетом ограничивающих геометрий. Материалы и методы. Разработан численный метод бифуркационного анализа нелинейных эффектов (параметрическая генерация, параметрическое возбуждение волн), возникающих в графеновых наноструктурах в терагерцовом (ТГц) диапазоне частот. Метод заключается в нахождении точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла с помощью разработанного вычислительного алгоритма, усовершенствованного качественным методом анализа, основанным на теории устойчивости Ляпунова. Результаты. С помощью разработанного вычислительного алгоритма получены результаты электродинамического расчета порогов генерации ТГц-волн и областей нестабильности в многослойной графеновой наноструктуре в зависимости от бифуркационных параметров: амплитуды волны накачки и нормированной частоты. Выводы. Из результатов строгого математического моделирования следует, что пороги генерации ТГц-волн зависят от значения химического потенциала, следовательно, характеристики параметрических ТГц-генераторов на основе многослойных графеновых наноструктур могут перестраиваться внешним электрическим полем смещения, а также контролироваться конфигурацией и размерами наноструктур.

Ключевые слова: графеновые наноструктуры, параметрическая генерация, точки бифуркации, нелинейный оператор Максвелла, терагерцовый диапазон частот

Для цитирования: Макеева Г. С. Бифуркационный анализ порогов параметрической генерации терагерцовых волн в нелинейных многослойных графеновых наноструктурах // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. 2023. № 3. С. 127-142. doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-10

Bifurcation analysis of the thresholds of parametric generation of terahertz waves in nonlinear multilayer graphene nanostructures

G.S. Makeeva

Penza State University, Penza, Russia radiotech@pnzgu.ru

Abstract. Background. The purpose of this work is to develop a method for mathematical modeling of nonlinear effects (parametric generation, parametric excitation of waves, and instabilities) arising from the interaction of electromagnetic waves with strongly nonlinear

© Макеева Г. С., 2023. Контент доступен по лицензии Creative Commons Attribution 4.0 License / This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 License.

multilayer graphene nanostructures based on the solution of a nonlinear diffraction problem for Maxwell's equations, taking into account geometries. Materials and methods. A method has been developed for the bifurcation analysis of nonlinear effects (parametric generation, parametric excitation of waves) arising in graphene nanostructures in the terahertz (THz) frequency range. The method consists in finding the bifurcation points of the nonlinear Maxwell operator using the developed computational algorithm, improved by a qualitative analysis method based on the Lyapunov stability theory. Results. A numerical method has been developed for the bifurcation analysis of nonlinear effects (parametric generation, parametric excitation of waves) arising in graphene nanostructures in the terahertz (THz) frequency range. The method consists in finding the bifurcation points of the nonlinear Maxwell's operator using the developed computational algorithm, improved by a qualitative analysis method based on the Lyapunov stability theory. Conclusions. It follows from the results of rigorous mathematical modeling that the thresholds of THz wave generation depend on the value of the chemical potential, the characteristics of parametric THz generators based on the multilayer graphene nanostructures can be tuned by an external bias electric field, and also controlled by the configuration and sizes of nanostructures. Keywords: graphene nanostructures, parametric generation, bifurcation points, nonlinear Maxwell's operator, terahertz frequency range

For citation: Makeeva G.S. Bifurcation analysis of the thresholds of parametric generation of terahertz waves in nonlinear multilayer graphene nanostructures. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki = Universiy proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences. 2023;(3):127-142. (In Russ.). doi: 10.21685/2072-3040-2023-3-10

Введение

С момента первого получения в 2004 г. графен (одноатомный слой углерода, упакованный в гексагональную решетку) привлек внимание благодаря своим замечательным электрическим, оптическим и физическим свойствам [1]. Кроме того, необычайно большой нелинейно-оптический отклик графена в терагерцовом (ТГц) и инфракрасном (ИК) диапазонах исследован в последние годы. Нелинейные процессы третьего порядка, такие как оптический эффект Керра, генерация третьей гармоники и четырехволновое смешение, экспериментально проверены на тонких пленках графена с одним или несколькими слоями и графеновых метаповерхностях [1-6].

Плазмонный отклик многослойного стейка графена аналогичен отклику высоколегированного однослойного графена с сохранением подвижности и поддержки плазмонных резонансов с более высокой интенсивностью генерации, чем ранее исследованные однослойные устройства [5]. Кроме того, электростатическое смещение в многослойном графене увеличивается в сравнении с одиночным слоем из-за перераспределения носителей заряда по различным слоям, тем самым расширяя диапазон частотной перестройки плаз-монной структуры [5, 6].

Эффективное легирование и улучшенная перестраиваемость многослойных графеновых стейков обеспечивают возможность создания будущих нелинейных плазмонных ТГц-, ИК-устройств с высокими оптическими характеристиками и перестраиваемостью [7].

Целью данного исследования является разработка метода математического моделирования нелинейных эффектов (параметрической генерации, параметрического возбуждения волн и нестабильностей), возникающих при взаимодействии электромагнитных волн (ЭМВ) с сильно нелинейными мно-

гослойными графеновыми наноструктурами на основе решения нелинейной задачи дифракции для уравнений Максвелла с учетом ограничивающих геометрий.

Однако в общем случае увидеть физический смысл полученных численно решений уравнений Максвелла непросто. Поэтому для анализа нелинейных явлений, связанных с нестабильностью (параметрическое возбуждение ЭМВ), используется разработанный специальный вычислительный алгоритм для определения точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла [8].

1. Математическая модель. Постановка нелинейной задачи дифракции

Модель параметрического устройства (параметрический генератор, параметрический усилитель) ТГц-диапазона на основе многослойной графено-вой наноструктуры в виде волноводного трансформатора (ВТ) с каналами Флоке [9] на входных сечениях 51, 52,5з, 54 показана на рис. 1. Основная область ВТ содержит многослойную наноструктуру из графеновых и диэлектрических (ЙО2) слоев.

Дю.)

Рис. 1. Модель параметрического ТГц-устройства (параметрический генератор, параметрический усилитель) в виде ВТ, содержащего многослойную графеновую наноструктуру в основной области У0 и каналы Флоке на входных

сечениях 51,52,5^, 54 : Щй^), П(Й2) - векторы Пойнтинга

Пусть на входное сечение 52 ВТ падает ТЕМ-волна накачки (большой амплитуды) с частотой й, на входное сечение 5 - ТЕМ-волна сигнала (малой амплитуды) с частотой й . Вектор электрического поля £¿(^2) ТЕМ-волны накачки, как и вектор внешнего постоянного электрического поля £0 = направлены ортогонально слоям графена (рис. 1).

Электрическое поле ТЕМ-волны накачки Б(1) = EzmCOS ©2^ (сигнал большой амплитуды) действует как переменное во времени поле смещения, изменяя химический потенциал цс. графена, следовательно, и поверхностную проводимость о5 графена [10]. Поверхностная проводимость графена аХмДЕ)) является нелинейной функцией химического потенциала ц [10], а значит, и электрического поля Ео + Ez(t) = Ео + Eznfios ©2^.

Нелинейную зависимость os(Ez(t)) аппроксимируем многочленом:

(0 =ао +02 е1(1) + С4 Е^) + а6 Е%(1), (1)

где Оо - линейная проводимость графена; 02, 04, Об - нелинейная проводимость графена второго и более высокого порядка.

Представим электромагнитное поле Е((), И(() в основной области Ц) ВТ и на входных сечениях 51,52,5з, 54 в виде разложения по комбинационным частотам [11]:

< <

Е(0 = ^ Е(®к,п)ехр(УюА,л), И(0 = ^ И(щп)ехр(/юА п), (2)

к,п=-< к,п=-<

где ®к п = к®1 + - комбинационные частоты; к, п - целые числа.

Запишем Е((), И(() в декартовой системе координат:

Е(0 = Ех (О7 + Еу (0 ] + Ег (0к,

И (0 = Их (О7+Ну (0 7 + нг (0к.

(3)

Пусть Е(^), И(0, следовательно, и компоненты Ех(¿), Еу(0, Ег(¿), Их(0, Иу(0, Иг(0 - периодические функции времени (период Т).

Разложим компоненту Ех(() вектора Е(() (3) в ряд Фурье, используя частоты ю и ®2 :

1 < 1 Е2(Ц = ^ Е2(кю1)ехр(/кю1), (4)

к=-<

1 < 1 ЕгО = £ Е2 (п®2) ехр(Упю2), (5)

к=-<

где

1 Ю^ 1 1 Ю2 1

Е|(кЮ1) = ^ | Ех (()ехр(-кщ)Л, Е|(пю2) = ^ { Е%(()ехр(-1пю2)Л.

ю Ю2

Из (4) и (5) следует

п

Ex(О = Z Z Ex(M, nM2)exp(i(kro1 + ПЮ2)), (6)

k=-<» n=-»

где Ex(кю>!, пю2) = E| (ко^) E| (пю2).

Представим ряд (6) в терминах комбинационных частот

Ex(О = Z Ex(Юк,п)exp(^n), (7)

k ,n=-~

где Юк n = кю1 + пю2 - комбинационные частоты; k, n - целые числа.

Таким же образом можно представить и другие компоненты Ex(t),

Ey(t), Ez(t), Hx(t), Hy(t), Hz(t) векторов E(t), H(t).

Электрическое поле E& + Ez(t) представим в виде

1 1 Ez(0 = Ez0 + Ezmcosю2^ = Z Ez(ю01 )exp(i^2t) = Z Ez(«01)exp(^/), (8)

l=-1 l=-1

где Ez(ю00 ) = Ez0- Ez(ю01) = Ez(ю0,-1) = 2 Ezm ■

Подставляя (8) в (7), получаем следующее выражение для поверхностной проводимости графена os (1) как функции электрического поля Ez0 + Ez(t):

4 X

1 1

°s(0 = °0 + °2 Z Ez(ю0,11) Z EzK^exp«^ + ю0,12)0 + o.

i1=-1 12 =-1

1111

X Z Ez(ю0,11) Z Ez(Ю0,12) Z Ez(ю0,13) Z Ez(ю0,14) X

4=-1 12 =-1 1Ъ =-1 I4 =—1

1 1

Xexp№0,i, + ю0,12 + ю0,13 + ю0,14 )t) + °6 Z Ez(ю0,А) Z Ez(ю0,12) X

11 =-1 12 =-1

1111

X Z Ez(ю0,13) Z Ez(ю0,14) Z Ez(ю0,15) Z Ez(Ю0,16) X

13 =-1 14=-1 15 =-1 16 =-1

Xexp (0,4 + ю0,12 + ю0,13 + ю0,14 + ю0,15 + ю0,16 . (9)

Подставляя (2) и (9) в уравнения Максвелла, получаем системы стационарных нелинейных уравнений Максвелла на комбинационных частотах

юк ,n:

rot H(Юк,n) = Щ^ьb(Юк,n)E(Юк,n) + Jb(Юк,n),

rot E(Юк,n) = -^Юк,пМюМь(Юк,n) ), (10)

• а0

где £ь = £ь -1 и

£0Юк

« 1 1

УЬ(Щ,П) = °2(юк,п) 2 Е(Ю5,и) 2 Ег^^ 2 («0,12)У2 +

5,Ц=-« 4=-1 12 =-1

«111

+<МЮк,п) 2 Е(Ю5,и) 2 Ег(«0,0 2 Ег(Ю0,12 ) 2 (Ю0,13) х 5,и=-« 4=-1 12 =-1 13 =-1

1 «11

X 2 Ег(®0,/4)У4 + °6(юк,п) 2 Е(Ю5,и) 2 Ег(«Ц ) 2 (Ю0,12 ) х 14 =-1 5,и=-« ^ =-1 12=-1

1111

X

2 Е?(Ю0,13) 2 (®0,14) 2 Ег(®0,15) 2 Ez(ю0J6Уí6, (11)

Тз =-1 14 =-1 15 =-1 1б=-1

здесь

|0, если + «о,./; + ю0,12 * «к,п, |1, если + «ц + ю0,12 = юк,п,

= Г°, если Юг ч + Юо,11 + Ю0,12 + Ю0,13 + Ю0,14 * Юк,п,

У4 I1, если + Ю0,11 + Ю0,12 + Ю0,13 + Ю0,14 = Юк,п,

Г0, если Юг „ + «ц + Ю0,12 + Ю0,13 + Ю0,14 + Ю0,15 + Ю0,16 * Юк,п, Уб = I

[1, если + «ц + Ю0,12 + Ю0,13 + Ю0,14 + Ю0,15 + Ю0,16 = Юк,п•

Здесь д ={5,и}, г ={0,^}, 12 ={0,12}, ..., щ ={0,1б}•

Выражение для тока Уь,(ют) (11) получено в предположении, что напряженность электрического поля Е^ + Е^/) в графене не зависит от координат вследствие малой толщины моноатомного слоя графена.

Постановка нелинейной задачи дифракции состоит в следующем: электромагнитное поле в основной области ВТ (рис. 1) должно удовлетворять:

- в области графеновых слоев - системе стационарных нелинейных уравнений Максвелла на комбинационных частотах (10);

- в области диэлектрических слоев - системе однородных уравнений Максвелла

гоШ"(юк ,п ) = 1Юк ,п£0£а (юк ,п )Е( Юк,п X (12)

rotE(Юk,n ) = -1Юк,п а (Юк,п ) Я(Юк,п ),

где £а, - относительные диэлектрическая и магнитная проницаемости диэлектрика;

- на входных сечениях 51,52,53,54 ВТ - условиям неасимптотического излучения [12].

2. Построение вычислительного алгоритма решения нелинейной задачи дифракции

Построим вычислительный алгоритм решения нелинейной задачи дифракции для определения дескриптора ВТ - матрицы проводимости Y.

Запишем систему уравнений (10), используя кусочно-неоднородное заполнение области ВТ [5, 13]:

rot й(тш) = 1ют£o£(Wm) E(®m) + J(®m),

rot E(Wm) = -i®mM(®m)H(Mm), m = 1,2,..., (13)

где m - обобщенный индекс, определенный на множестве индексов {k, n}.

Построим проекционную модель [14] для системы дифференциальных уравнений (13). Используя тождество векторного анализа brot a — a rot b =

= rot (a x b), формулу Остроградского - Гаусса и условие неасимптотического излучения [12], запишем для уравнений Максвелла на комбинационных частотах (13) проекционную модель в интегральной форме [14]:

ф (E(Mm) x Щ) • dS = — iM |!o J | H(Mm) • Щ dV+1щ £o J E(Mm) • Ц dV,

Sx Vo Vo

<j) (H(Mm) x E|) • dS = im eo J £ E(Mm) • Щ dV — iMk |0 J H(Mm) • Щ dV+

Sx Vo Vo

+ J J(Mm) • Щ dV, k = 1,2,..., m = 1,2,... (14)

Vo

Дополним уравнения (14) условием неасимптотического излучения

[12]:

2 J (Ea(Mm)xhk(a)) • dSa — 1 J (Sk(a) xHa(Mm)) • dSa = c—(a)(Mm), (15)

S S

k = 1,2,...,N, m = 1,2,...,M, a = 1,3.

Решение нелинейной задачи дифракции ищем в виде рядов Фурье по системам базисных функций {Ёп}, {Hn} (собственные функции прямоугольного резонатора с областью Vq ) в основной области Vq ВТ:

_ N^ __ __ Nбаз _ __

E(Mm) = Z an (Mm)En, H(Mm) = £ bn (Mm)Hn, m = 1,2,...,M, (16)

n=1 n=1

где ^^ - число учитываемых базисных функций; M - число учитываемых комбинационных частот, S^ = S1 и S3; и {^др)} , {h(p)} (собственные функции каналов Флоке) на входных сечениях S и S3 ВТ:

Ь

Ев (ют ) = 2 ( () (Ют ) + С/(Р) (ют) ) ), 1=1

Ь

Яр (ют) = 2 (С+Р)(ют) - С1(Р) (ют) )) Р = 1,3, (17)

1=1'

где Ь - число учитываемых типов волн в канале Флоке.

Подставляя (16), (17) в (13) и (16) в (15), получаем следующую систему матричных уравнений на комбинационных частотах:

N • С- (Ют ) - А • а (Ют ) + В • Ь (Ют ) = ^ • С+ (Ют ),

Ь

М • С- (Ют ) + с • а (Ют ) - D • Ь (Ют ) + 2 V • С- (Юд ) =

д=1

Ь

= М • с+ (Ют) - 2 Адг • с+ (Юд),

д=1

I • с- (Ют) - R • а(Ют)+и • Ь(ют) = 0, т = 1,2,...М, (18)

где I - единичная матрица, А, В, М, С, D, Е, R, и - матрицы с элементами:

N

к1(Р)

= | (ёкр)х Як) • ^р; Акп =1 Юк£01(Еп • Ек) ¿V;

5р ^0

Вкп =1 ю ц 01 Яп • Як) м;

Мк1(в) = | (% х Ек) • ^р; скп =1Ю £01£( Еп • Ек) ¿V;

5р ^0

Вкп =1 Юк^01(Яп • Як) м;

Ркп = | (Еп ■ Ек) М ; ид(а)п =1 | (%а) х Ял) • 5 ;

^0 5а

—д(а)п = "2 { (^д(а)) • ^5а ,

5

а

а,р = 1,3; к,п = 1,2,...,Ж; д,1 = 1,2,...,Ь.

Здесь N, Ь - число базисных функций, учитываемых в объеме ^0 ВТ и на входных сечениях ВТ соответственно.

Векторы а(ющ), Ь(ющ), с (ющ), с+ (ющ) (18) составлены из коэффициентов {ап(Ющ)} , {ьп(Ющ)} и {с+р^Ющ)} , {с7(р)(Ют)} рядов Фурье (16) и

(17) соответственно.

Известными в системе линейных алгебраических уравнений (СЛАУ)

(18) являются амплитудные коэффициенты Сч"ц1)(ш1), С^1(2)(ю2) падающих ТЕМ-волн сигнала и накачки на входных сечениях 5р, в = 1, 2. Амплитудные коэффициенты остальных типов волн канала Флоке на входном сечении 51 ВТ

равны нулю, т.е. вектор с+ (ю^) в (18) имеет только одну компоненту {с+1)(ю1)} .

Из решения СЛАУ (18) определяем векторы с-(ю^), с-(Ю2),...,с-(ющ) (амплитуды отраженных волн с-р) (ющ) различных типов в каналах Флоке на входных сечениях 51, 5з ВТ на комбинационных частотах Ют).

Для рассматриваемого случая комбинационные частоты Ю^ = 1ю^ + 0 Ю2, Ю2 = 0 Ю +1Ю2 совпадают с частотой сигнала Ю^ и накачки Ю2 соответственно. В этом случае система матричных уравнений (18) несколько упрощается, запишем СЛАУ в развернутом виде:

N • с- (ю^ - А • а (ю^ + В • Ь (ю^ = -N • с+ (ю^, (М)• с- (ю1)+С • а (о^) - D • Ь (ю1) + A2F • с- (ю2) + Л3Е • с- (Юд) +... ... + Л^ • с-(ю?) +... + Л^ • с-(ют) = М • с+ (ю1) - • с + (ю1),

I • с-(Ю!) - R • а(ю1)+и • 1Ь(Ю1) = 0, (19)

N • с- (ю2) - А • а(ю2) + В • Ь (ю2) = 0, (M+Л2F )• с- (ю2)+С • а (ю2) - Б • Ь (ю2) + А^ • с- (ю1) + Л3Е • с- (Ю3) + +A4F • с- (ю4) +... + Лц F • с- (юд) +... + Лт F • с- (ют) = 0, I • с- (ю2) - R • а (ю2)+и • Ь (ю2) = 0,

N • с- (ю?) - А • а(ю?) + В • Ь(ю?) = 0,

(М+Л? Е )• с- (юд)+С • а (юд) - Б • Ь (юд) + Л^ • с- (ю1) + Л^ • с- (ю2) +...

... + Лч-^ • с-(ю?-1 ) + Лч+г¥ • с-(ю?+1)... + ЛщЕ • с-(Ют) = 0,

I • с- (ю? ) - R • а (ю? )+и • Ь (ю? ) = 0, СЛАУ (19) приведем к виду, удобному для программирования:

' N 0 .. . 0 - А 0 .. 0 В 0 . .. 0 ^

М + 4Е а2е А Е т С 0 . .. 0 - D 0 ... 0

I 0 . .. 0 - R 0 .. . 0 и 0 .. 0

0 N . .. 0 -А 0 .. . 0 В 0 . . 0

ДЕ М + а2е . А Е т 0 с .. 0 0 - D ... 0

0 I .. 0 0 - R .. 0 0 и .. 0

0 0 .. N 0 0 .. -А 0 0... В

А1Е 4Е ...М + АтЕ 0 0 . . с 0 0.. - D

V 0 0 . . I 0 0 ... - R 0 0 .... и ,

С («1) С- (Ю2)

С- (Ют )

а («1)

а (Ю2) а («т )

Ь (Ю1)

Ь (Ю2)

Ь (ют ) у

( у(Ю1) >

w(ю1)

0 0 0

0 0 0

где у(01) = N • с («1), w(ю1) = М • с+ (о^) - ДЕ • с+ (о^)

3. Результаты численного анализа порогов

параметрической генерации ТГц-волн по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла

Численный метод исследования нелинейных эффектов (в том числе параметрическая генерация, параметрическое возбуждение волн) заключается в нахождении точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла для нелинейной задачи дифракции (12) с использованием разработанного оригинального вычислительного алгоритма [8], усовершенствованного за счет его сочетания с качественным методом анализа, основанным на теории устойчивости Ляпунова [15]. Согласно принципу линеаризации [16] обнаружение точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла (12) сводится к нахождению собственных значений линеаризованного оператора Максвелла (18).

На рис. 2 показаны структура и модель параметрического ТГц-генератора на основе многослойной графеновой наноструктуры, состоящей из чередующихся N слоев графен-диэлектрик SiO2 (£а = 2,2) ^ = 10 нм; центральный диэлектрик - аморфный германий а-Ge (£а = 18,5), </2 = 2800 нм.

Методом автономных блоков с каналами Флоке (ФАБ) [9] проведен электродинамический расчет частотных зависимостей элемента матрицы рассеяния ^31| многослойной графеновой наноструктуры (рис. 2) в линейном (малосигнальном) режиме для различных значений химического потенциала цс (внешнего постоянного электрического поля Ег) в ТГц-диапазоне частот.

Результаты электродинамического расчета частотных зависимостей элемента матрицы рассеяния 18311 многослойной (Ж = 79) графеновой наноструктуры представлены на рис. 3.

Из результатов расчета (рис. 3) следует, что имеется максимум 18311, определяющий полосу пропускания на собственной резонансной частоте 1 многослойной графеновой наноструктуры (10 = 14,15 ТГц при ц = 0,2 эВ). Положение максимума 18311 зависит от значения химического потенциала цс, т.е. резонансные частоты 10 структуры изменяются при изменении химического потенциала Цс.

Как следует из результатов электродинамического расчета (рис. 3), при изменении внешнего постоянного электрического поля Ezo на величину AE^O = 0,5В/нм собственная резонансная частота f многослойной графе-новой наноструктуры изменяется при N = 79 на 18 % (рис. 3), что определяет управляемость характеристик параметрического ТГц-генератора.

Каналы Флоке ¡ /

-*>E„

Графен di d2 / ,-¿-

Si

У J

Диэлектрик SiO2

Диэлектрик a-Ge

ТЕМ-волна k2 накачки

-+■ E2

z

«1+(2)(®2)

ci(3)(®i)

Каналы Флоке

4

3

o

Рис. 2. Структура и модель параметрического ТГц-генератора на основе многослойной графеновой наноструктуры в виде ВТ c каналами Флоке на входных сечениях 51, S2, 53, S4: ТЕМ-волна накачки (частота о>2, амплитуда С+1(2)(Ю2)); генерируемая TEM-волна (частота , амплитуда Cip^ffli)); d1 = 10нм SiO2 (еа = 2,2), d2 = 2800нм a-Ge (еа = 18,5)

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ДТГц

Рис. 3. Частотные зависимости элемента матрицы рассеяния ^з! многослойной (Ы = 79) графеновой наноструктуры при различных значениях химического потенциала цс кривые 1 - Ег0 = 0, = 0; 2- Ег0 = 0,5 В/нм-цс = 0,2 эВ ; 3 - Ег0 = 1,0 В/нм-цс = 0,4 эВ; N = 79

При анализе устойчивого режима регенеративного параметрического усиления (амплитуда падающей волны сигнала C+i(i)(Wi) Ф 0) СЛАУ (20) является неоднородной и имеет решение, если определитель матрицы СЛАУ отличен от нуля. При анализе режима генерации (амплитуда падающей волны сигнала C+i(i)(roi) = 0), СЛАУ (20) является однородной и имеет отличное от нуля решение, если определитель матрицы СЛАУ равен нулю.

Из результатов математического моделирования следует, что в 39-слой-ной графеновой наноструктуре имеется единственное устойчивое состояние -режим регенеративного параметрического усиления, параметрическое возбуждение колебаний невозможно, и генерация волн на частоте 14,15 ТГц не наблюдается. Для перехода устойчивого режима параметрического усиления в нестабильный режим параметрической генерации необходимо увеличивать либо амплитуду C+1(2)(œ2) волны накачки, либо число слоев (N = 79) гра-фена в наноструктуре, что приводит к возрастанию нелинейности среды (графена).

Согласно методу Ляпунова [15], если хотя бы одна из действительных частей собственных значений линеаризованного оператора Максвелла положительна, то решение СЛАУ (19) неустойчиво. Смена знака действительной части собственных значений линеаризованного оператора Максвелла происходит в точках бифуркации. Поэтому необходимо определить бифуркационные значения параметров, в которых возникают параметрические неустойчивости, с помощью разработанного алгоритма [8].

Нелинейный режим возникновения нестабильной моды колебаний, вызывающей неустойчивость волн за счет параметрического возбуждения падающей волной накачки ЭМВ в графеновой наноструктуре (рис. 1), моделируем с использованием вычислительного алгоритма [8] для численного анализа точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла с учетом ограничивающих геометрий.

Результаты электродинамического расчета порогов генерации ЭМВ и областей нестабильности в зависимости от бифуркационных параметров, т.е. амплитуды C+1(2)(œ2) волны накачки и нормированной частоты (Ю0/Ю2)2 (Ш0 - собственная резонансная частота многослойной графеновой наноструктуры, Ш2 - частота волны накачки), приведены на рис. 4 для fQ = 14,15ТГц; N = 79; цс = 0,2 эВ (Eo = 0,5 В/нм).

Пороговые величины амплитуды C+1(2)(œ2) волны накачки (кривые на рис. 4) определяются путем вычисления точек бифуркации. Поэтому легко увидеть физический смысл численных решений. Согласно методу Ляпунова [10] эти кривые отделяют нестабильный режим генерации при параметрическом возбуждении ЭМВ (над пороговыми кривыми рис. 4) от устойчивого режима регенеративного параметрического усиления (под кривыми).

В областях нестабильности многослойная (N = 79) графеновая наноструктура (рис. 1) становится параметрическим генератором на частотах Юо = ЛЮ2/2, где n = 1, 2, 3, ... (fo = f / 2 = 14,15 ТГц для процессов параметрического возбуждения первого порядка n = 1 и fo = £ = 28,3 ТГц для процессов второго порядка n = 2 (рис. 4)), перестраиваемых изменением собственной резонансной частоты fQ графеновой наноструктуры.

0.5 0.45 0.4 0.35 0.3 0.25

0.2 „ 0 025 0 5 075 1 (ю0/ ю)2

Рис. 4. Пороги генерации ТГц-волн при параметрическом возбуждении ЭМВ в многослойной графеновой наноструктуре ТЕМ-волной накачки с амплитудой С+1(2)(Ю2) в зависимости от нормированной частоты (Ю0/Ю2)2 (Ю0 - собственная резонансная частота многослойной графеновой наноструктуры, ю2 - частота волны накачки): N = 79, Ю = 14,15 ТГц, Цс = 0,2 эВ (Ею = 0,5 В/нм)

Заключение

Из результатов строгого математического моделирования следует, что пороги генерации ТГц-волн зависят от значения химического потенциала, характеристики параметрических ТГц-генераторов могут перестраиваться внешним электрическим полем смещения, а также контролироваться конфигурацией и размерами графеновых наноструктур.

Используя развитый подход к электродинамическому моделированию, можно оценить эффективность сильных нелинейных эффектов (нелинейная дифракция, преобразование частоты, четырехволновое смешение, умножение частоты, мультистабильность, генерация временных гармоник высокого порядка, солитонов) в графеновых наноструктурах произвольной формы с учетом ограничивающих геометрий, для проектирования перспективных перестраиваемых нелинейных графеновых ТГц-устройств: смесителей, умножителей частоты, переключателей.

Используя разработанный численный метод анализа нелинейных явлений в графеновых наноструктурах путем вычисления точек бифуркации нелинейного оператора Максвелла, можно разработать надежные инженерные методы для систем автоматизированного проектирования нанометамате-риалов на основе графена, метаповерхностей и будущих реконфигурируемых нелинейных графеновых ТГц-устройств для высокоскоростной оптической связи следующего поколения, радиочастотной оптоэлектроники и полностью оптической обработки сигналов.

Соавтором в части, касающейся разработки вычислительного метода и реализующего его алгоритма, являлся Голованов Олег Александрович.

C 1(2)(Ш2>, V/nm

1 1 1

/

V f n=2

/

V

Список литературы

1. Jiang Т., Kravtsov V., Tokman M., Belyanin A. [et al.]. Ultrafast coherent nonlinear nanooptics and nanoimaging of graphene // Nature Nanotechnology. 2019. Vol. 14. P. 838-843.

2. Deinert J. C., Alcaraz Iranzo D., Perrez R., Jia X. [et al.]. Grating-graphene metamaterial as a platform for terahertz nonlinear photonic // ACS Nano. 2021. Vol. 15, № 1. P. 1145-1154.

3. Cox J. D., Marini A., Garcia de Abajo F. J. Plasmon resonance enhanced mid-infrared generation by graphene on gold gratings through difference frequency mixing // Optics Communications. 2018. Vol. 406. P. 183-187.

4. Романенко П. М., Микаева С. А. Оптоэлектронные модуляторы излучения тера-герцового диапазона на основе однослойного графена как перспективного компонента наноструктурированных метаповерхностей // Информатика и технологии. Инновационные технологии в промышленности и информатике : сб. докл. конф. МИРЭА - Российский технологический университет. М., 2019. Т. 2. С. 268-274.

5. Rodrigo D., Tittl A., Limaj O., Garcna de Abajo F. J. [et al.]. Double-layer graphene for enhanced tunable infrared plasmonics // Light: Science & Applications. 2017. P. 16277.

6. Menendez G. A., Maes B. Frequency comb generation in a time-dependent graphene ribbon lattice // Physical Review B. 2017. Vol. 95. P. 144307.

7. Cox J. D., Garcrn de Abajo F. J. Nonlinear Graphene Nanoplasmonics // Accounts of Chemical Research. 2019. Vol. 52, № 9. P. 2536-2547.

8. Макеева Г. С., Голованов О. А. Численное исследование нестабильностей волн и колебаний в нелинейных гиромагнитных структурах по точкам бифуркации нелинейного оператора Максвелла // Радиотехника и электроника. 2007. Т. 52, № 1. С. 106-113.

9. Голованов О. А. Автономные блоки с виртуальными каналами Флоке и их применение для решения прикладных задач электродинамики // Радиотехника и электроника. 2006. Т. 51, № 12. С. 1423-1430.

10. Hanson G. W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of grapheme // Journal of Applied Physics. 2008. Vol. 103. P. 064302.

11. Голованов О. А., Макеева Г. С. Метод автономных блоков с магнитными нано-включениями и каналами Флоке для математического моделирования магнитных наноструктур с учетом обмена и граничных условий // Радиотехника и электроника. 2009. Т. 54, № 12. С. 1345-1352.

12. Голованов О. А. Численный алгоритм решения задач дифракции для волноведу-щих устройств СВЧ с нелинейными средами // Радиотехника и электроника. 1990. Т. 35, № 9. С. 1853-1863.

13. Голованов О. А., Макеева Г. С., Ринкевич А. Б. Взаимодействие электромагнитных волн с периодическими решетками микро- и нанолент графена в терагерцо-вом диапазоне // Журнал технической физики. 2016. Т. 86, № 2. С. 119-126.

14. Никольский В. В. Проекционные методы в электродинамике : сб. науч.-метод. ст. по прикладной электродинамике. М. : Высшая школа, 1977.

15. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М. ; Л. : Гостехиздат, 1950.

16. Красносельский М. А. Функциональный анализ. М. : Наука, 1964.

References

1. Jiang T., Kravtsov V., Tokman M., Belyanin A. et al. Ultrafast coherent nonlinear nanooptics and nanoimaging of graphene. Nature Nanotechnology. 2019;14:838-843.

2. Deinert J.C., Alcaraz Iranzo D., Perrez R., Jia X. et al. Grating-graphene metamaterial as a platform for terahertz nonlinear photonic. ACS Nano. 2021;15(1):1145-1154.

3. Cox J.D., Marini A., Garcia de Abajo F.J. Plasmon resonance enhanced mid-infrared generation by graphene on gold gratings through difference frequency mixing. Optics Communications. 2018;406:183-187.

4. Romanenko P.M., Mikaeva S.A. Optoelectronic terahertz radiation modulators based on single-layer graphene as a promising component of nanostructured metasurfaces. Informatika i tekhnologii. Innovatsionnye tekhnologii v promyshlennosti i informatike: sb. dokl. konf. MIREA - Rossiyskiy tekhnologicheskiy universitet = Informatics and technology. Innovative technologies in industry and informatics: proceedings of the conference of MIREA - Russian Technological University. Moscow, 2019;2:268-274. (In Russ.)

5. Rodrigo D., Tittl A., Limaj O., Garcna de Abajo F.J. et al. Double-layer graphene for enhanced tunable infrared plasmonics. Light: Science & Applications. 2017:16277.

6. Menendez G.A., Maes B. Frequency comb generation in a time-dependent graphene ribbon lattice. Physical Review B. 2017;95:144307.

7. Cox J.D., Garcna de Abajo F.J. Nonlinear Graphene Nanoplasmonics. Accounts of Chemical Research. 2019;52(9):2536-2547.

8. Makeeva G.S., Golovanov O.A. Numerical study of wave and oscillation instabilities in nonlinear gyromagnetic structures by bifurcation points of the nonlinear Maxwell operator. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 2007;52(1):106-113. (In Russ.)

9. Golovanov O.A. Autonomous blocks with virtual Floquet channels and their application for solving applied problems of electrodynamics. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 2006;51(12):1423-1430. (In Russ.)

10. Hanson G.W. Dyadic Green's functions and guided surface waves for a surface conductivity model of grapheme. Journal of Applied Physics. 2008;103:064302.

11. Golovanov O.A., Makeeva G.S. Autonomous Blocks method with magnetic nano-inclusions and Floquet channels for mathematical modeling of magnetic nanostructures with account for exchange and boundary conditions. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 2009;54(12):1345-1352. (|In Russ.)

12. Golovanov O.A. Numerical algorithm for solving diffraction problems for waveguide microwave devices with nonlinear media. Radiotekhnika i elektronika = Radio engineering and electronics. 1990;35(9):1853-1863. (In Russ.)

13. Golovanov O.A., Makeeva G.S., Rinkevich A.B. Interaction of electromagnetic waves with periodic gratings of graphene micro- and nanoribbons in the terahertz range. Zhur-nal tekhnicheskoy fiziki = Journal of technical physics. 2016;86(2):119-126. (In Russ.)

14. Nikol'skiy V.V. Proektsionnye metody v elektrodinamike: sb. nauch.-metod. st. po pri-kladnoy elektrodinamike = Projection methods in electrodynamics: collected papers on applied electrodynamics. Moscow: Vysshaya shkola, 1977. (In Russ.)

15. Lyapunov A.M. Obshchaya zadacha ob ustoychivosti dvizheniya = General problem of motion stability. Moscow; Leningrad: Gostekhizdat, 1950. (In Russ.)

16. Krasnosel'skiy M.A. Funktsional'nyy analiz = Functional analysis. Moscow: Nauka, 1964. (In Russ.)

Информация об авторах / Information about the authors

Галина Степановна Макеева доктор физико-математических наук, профессор, профессор кафедры радиотехники и радиоэлектронных систем, Пензенский государственный университет (Россия, г. Пенза, ул. Красная, 40)

E-mail: radiotech@pnzgu.ru

Galina S. Makeeva

Doctor of physical and mathematical

sciences, professor, professor

of the sub-department of radioengineering

and radioelectronic systems,

Penza State University

(40 Krasnaya street, Penza, Russia)

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов / The author declares no conflicts of interests.

Поступила в редакцию / Received 26.04.2023

Поступила после рецензирования и доработки / Revised 06.06.2023 Принята к публикации / Accepted 29.07.2023