CC BY
75
С.Н. Владимиров, А.А. Штраух
БИФУРКАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ МОДИФИЦИРОВАННЫХ ЛОГИСТИЧЕСКИХ ОТОБРАЖЕНИЙ
Исследуется нелинейная динамика системы двух связанных модифицированных логистических отображений - динамических систем с дискретным временем, основные свойства которых были установлены совсем недавно. Детально исследованы бифуркационные явления и процессы, управляющим параметром являлся коэффициент взаимной связи. Обнаружены два важных с точки зрения практических приложений, ранее неизвестных явления. Первое из них заключается в возникновении «перемежаемой синхронизации» двух хаотических процессов, второе - в формировании в фазовом пространстве геометрически упорядоченных структур при строго положительном значении энтропии Колмогорова - Синая.
Одним из важнейших достижений теории колебаний на рубеже XX - XXI веков является открытие ограниченных непериодических движений в нелинейных гамильтоновых и диссипативных системах, обладающих малой размерностью фазового пространства [1 - 5]. Главными отличительными чертами таких движений являются неустойчивость в смысле Ляпунова и дробная размерность фазового пространства. Стохастические и хаотические типы колебаний к настоящему времени обнаружены в механических, электромагнитных, химических, биологических и других структурах. Под влиянием целого ряда неопровержимых теоретических и экспериментальных результатов в рекордно короткие сроки произошли принципиальные перемены во взглядах исследователей на поведение даже самых простых динамических систем. Как результат, появились новые разделы теории колебаний, такие, как теория детерминированного хаоса и синергетика. Современные физические представления базируются на полном равноправии систем с регулярным, полностью предсказуемым поведением и систем, поведение которых может быть предсказано лишь на коротких, а часто и почти незаметных интервалах их эволюции.
Основными объектами исследования нелинейной динамики являются системы с непрерывным временем - потоки и системы с дискретным временем - отображения. Каждый из этих объектов по-своему неповторим и интересен, но отображения являются весьма удобными объектами исследования по двум причинам. Во-первых, дискретным системам почти всегда можно сопоставить некоторый поток, при этом отображение несет на себе отпечаток основных черт порождающей системы [6]. Во-вторых, исследование отображений существенно проще исследования потоков. Кроме того, важно отметить, что отображения легко реализуемы на основе микропроцессоров, цифровых автоматов и комбинационных схем, что определяет практическую направленность исследований их динамики.
Настоящая работа посвящена исследованию динамики системы связанных модифицированных логистических отображений. Основные свойства модифицированного логистического отображения (МЛО) были установлены совсем недавно [6], а свойства систем связанных отображений такого рода ранее не изучались. Методом исследования был выбран численный эксперимент. При вычислении спектра ляпуновских характеристических показателей использовался хорошо зарекомендовавший себя метод [3], заключающийся в совместном решении динамических уравнений и уравнений в вариациях, описывающих эволюцию бесконечно малых возмущений базовой траектории.
1. МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ
Математическая модель системы двух связанных МЛО может быть записана в следующем виде:
=1 -аЫ + кхуУп, то^
1
1 -а
Уп+1 = 1 -а| Уп| + кухХп , т0^
11 -а
(1)
Здесь хп,уп - переменные состояния; п = 0,1,2,... -дискретное время; а - параметр порядка; к, кух - коэффициенты однонаправленной взаимной связи.
В работе [6] показано, что бассейн притяжения МЛО ограничен следующими значениями:
Хш1п = 1 -^ Хшах = 1
Вследствие этого, после введения взаимодействия между двумя отображениями становятся возможными ситуации, при которых траектории движения будут уходить на бесконечность, независимо от выбора начальных условий х0, у0. Для исключения подобных ситуаций мы использовали стандартный прием, заключающийся в использовании операции взятия тоё(-) от правых частей системы (1).
Модель (1) использовалась в настоящей работе для построения временных рядов {хп}, {уп}, которые
подвергались дальнейшему численному анализу. При построении временных рядов параметру порядка придавалось значение а ^ 2 снизу, обеспечивающее максимальную энтропию Колмогорова - Синая [6], а именно а = 1,999 .
2. БИФУРКАЦИОННЫЕ ЯВЛЕНИЯ И ПРОЦЕССЫ В СИСТЕМЕ СВЯЗАННЫХ МЛО
В настоящем разделе для ограничения числа возможных вариантов полагалось, что к^ = к = к , что
обеспечивало равноправность влияния друг на друга двух отображений.
Анализ возможных типов колебаний автономной динамической системы (1) начнем с исследования зависимости спектра ляпуновских показателей от коэффициента взаимной связи к. Именно спектр показателей Ляпунова является важнейшей информационной характеристикой движения [7,8]. Число показателей равно числу динамических уравнений и в нашем случае равно двум. Показатели могут принимать отрицательные, нулевые и положительные значения. Наличие хотя бы одного положительного
показателя всегда свидетельствует о перемешивании траекторий в фазовом пространстве, т.е. на хаотические состояния.
Обратимся к рис. 1, на котором представлены зависимости ляпуновских характеристических показателей Лг, Л2 от коэффициента взаимной связи к в различных диапазонах изменения последнего.
Л. А
( А, ■
/ -
/
а
Из рассмотрения рис. 1, а следует, что почти во всем диапазоне изменения к оба показателя положительны, что свидетельствует о наличии режимов развитого гиперхаоса, поскольку любая изначальная область фазовой плоскости £0 расширяется как вдоль координаты х, так и вдоль координаты у по закону £ (и) = 50 2( Л1+Л2 )п.
-100 -75 -50 -25 0 25 50 75 к
Рис.1. Фрагменты зависимостей ляпуновских показателей Л1,Л2 от коэффициента взаимной связи к
Интересно отметить, что в системах с непрерывным временем состояние, в котором все показатели одновременно положительны, является невозможным, противоречащим самим принципам функционирования диссипативных систем. Иное дело в нашем случае, поскольку МЛО является необратимым. Действительно, любому образу состояния хп могли предшествовать как прообраз хп-1, так и прообраз -хп-1. А, как известно [3], для необратимых отображений свойство диссипативности не является обязательным.
Из растянутого фрагмента зависимости (рис. 1, б) видно, что старший ляпуновский показатель Л1 положителен всегда, в то время как младший принимает отрицательные значения в окрестностях значений к « ±а . При этом происходит сжатие фазового пространства вдоль одной из переменных, что может привести к реализации необычных динамических режимов, что и будет показано ниже.
Перейдем к бифуркационному анализу динамических состояний, который проведен в тех пределах изменения к, которые соответствуют отрицательным значениям младшего показателя Ляпунова. Бифуркационные диаграммы могут быть построены различными способами, мы остановились на следующем. Зададимся случайными начальными условиями
х0, у0 и при фиксированном значении к вычислим достаточно длинную (представительную) реализацию временного ряда для какой-либо динамической переменной. После этого по оси абсцисс откладываем значение к, а по оси ординат - все полученные значения динамической переменной. Изменяя к в необходимых пределах, получаем бифуркационную диаграмму. В случае регулярных движений диаграмма будет представлять собой четкую линию или набор таких линий. В случае непериодического движения временные отсчеты будут заполнять собой целые области диаграммы. Поэтому бифуркационная диаграмма позволяет уверенно разделить периодические и непериодические процессы.
На рис. 2, а,б представлены бифуркационные диаграммы для переменных хп, уп при отрицательных значениях к. Нетрудно видеть, что при вариациях коэффициента связи в пределах к е (-1,65... - 2,8) сложность колебательных режимов существенно изменяется, что отражается на насыщенности диаграмм. Так, например, при к «-2,3 существуют достаточно простые, близкие к регулярным режимы, однако соответствующая им площадь бифуркационных диаграмм незначительна. Основная часть площади соответствует развитым хаотическим режимам.
Рис.2. Бифуркационные диаграммы для переменной хп (а), переменной уп (б) и зависимость разности переменных хп от коэффициента взаимной связи к при его отрицательных значениях (в)
п
Следует обратить внимание на сходство диаграмм для обеих переменных. Последнее наталкивает на мысль о возможности полной синхронизации переменных хп, уп, т.е. о синхронизации движений по форме. Синхронизация по форме является недавно открытым явлением [9] и заключается в том, что имеет место соотношение следующего вида:
|Хп - Уп\ ^ °> и (2)
В отличие от классического определения синхронизации, принятой в физике, радиофизике и многих других науках (синхронное изменение фаз двух или более колебательных процессов), синхронизация по форме является более жесткой, поскольку процессы полностью совпадают в непрерывном или дискретном времени. На основе этого явления в настоящее время разрабатываются бинарные и аналоговые системы конфиденциальной связи, хранения и обработки информации.
С целью доказательства наличия в исследуемой системе синхронизации хаотических движений по форме нами была построена бифуркационная диаграмма несколько иного от рассмотренного выше вида. Теперь на график выводились не значения переменных состояния хп, уп , а их разность хп - уп . Эта диаграмма представлена на рис. 2, в. Ее анализ однозначно свидетельствует о существовании областей значений к , при которых наблюдается синхронизация по форме, удовлетворяющая соотношению (2).
Убедиться в том, что синхронизируются именно хаотические движения, можно, обратившись к рис. 3. Действительно, временные реализации переменных хп, уп носят ограниченный непериодический характер, а их фурье-спектр имеет непрерывный характер. Для повышения информативности рис. 3, б мы исключили из него превалирующую постоянную составляющую.
5(ю)
0.06
0.04
0.02
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.0 СО
Рис.3. Временная реализация переменной хп, а следовательно, и уп (а) и их фурье-спектр (б) при к = - 1,5
Трансформации видов движений, соответствую- хп (напомним, что уп = хп) и ее фурье-спектр, пред-
щих положительным значениям коэффициента вза- ставленные на рис.4. Вследствие отсутствия каких-
имной связи, принципиально не отличаются от явле- либо особенностей, дальнейшее обсуждение бифур-
ний, рассмотренных выше, о чем свидетельствуют каций, происходящих при к > 0, представляется не-
бифуркационная диаграмма для разности динамиче-
целесообразным.
ских переменных, временная реализация переменной
2.2
2.4
2.6 к
5(ю)
0.05
0.04
0.03
0.02
0.01
0.0 0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 3.005
Рис.4. Бифуркационная диаграмма для разности переменных хп - уп (а), временная реализация переменной хп. а следовательно, и уп (б) и их фурье-спектр (в) при к = 2,34
Перейдем к обсуждению еще одного необычного явления, обнаруженного в рамках настоящей работы, для чего вернемся к рис. 1, б. Обратим внимание, что на кривой зависимости младшего ляпуновского показателя Л2 существуют размытые, осциллирующие области значений. Эти области существуют как при отрицательных, так и при положительных значениях
коэффициента взаимной связи. Детальный численный анализ позволил установить, что в указанных областях случайным образом чередуются синхронные и асинхронные хаотические режимы, причем чередование происходит при малейших вариациях коэффициента взаимной связи.
Бифуркационные диаграммы, иллюстрирующие бифуркационные процессы такого рода, представлены на рис. 5. Как следует из рис. 5, а при изменении к в весьма малых пределах происходят множественные трансформации режимов синхронизации (хп - уп = 0) в асинхронные режимы (хп - уп Ф 0 ) и
обратно. Причем на этом рисунке представлена лишь очень малая часть трансформаций, что обу-
словлено конечной разрешающей способностью рисунка. Для пояснения данного утверждения на рис. 5, б отражены бифуркационные процессы в случае, когда пределы изменения коэффициента взаимной связи уменьшены еще в десять раз. Ситуация не изменяется! Ситуация не изменяется и при дальнейшем уменьшении пределов изменения к .
X -у
п ^ п
0.02
0.00
-0.02
-0.04
■ 1-й л -у п ■ п
0.02
л-: ■,..........-;;—у - 0.00 .......
-0.02
-0.04
^ . . , 6
2.2800
2.2801
2.2802
к
2.28000
2.28001
2.28002
Рис. 5. Бифуркационные диаграммы для разности динамических переменных хп - уп при вариации коэффициента взаимной связи к
Сомнения в достоверности полученных результатов, связанные с возможным влиянием погрешности построения временных реализаций динамических переменных, рассеиваются, если задаться следующим вопросом. Почему погрешность вычислений сказывается лишь в определенных, малых пределах изменения коэффициента взаимной связи (-2,245 < к < -2,144 и 2,23 < к < 2,37) и не сказывается ни при меньших, ни при больших его значениях? Ответ очевиден - имеет место новое, необычное явление, существенно отли-
чающееся от классических представлений о синхронизации осцилляторов [10 - 12]. Кроме того, сходные явления не отмечались ранее и в хаотических системах, что следует из обзора по синхронизации хаоса [13] и ряда других доступных литературных источников.
Именно эти отличия позволили нам назвать обнаруженное явление перемежаемой синхронизацией.
Проведенные исследования модели (1) позволили систематизировать изученные типы движений и свести их в следующую таблицу:
Зависимость типов движений от значения коэффициента взаимной связи
Значения параметра связи Типы движения при а ^ 2
0 < к < 2 Отсутствие синхронизации: хп, уп изменяются независимо
2 < к < 2,23 Синхронизация по форме: хп - уп = 0
2,23 < к < 2,37 Перемежаемая синхронизация.
к > 2,37 Отсутствие синхронизации: хп, уп изменяются независимо
-1,35 <к <0 Отсутствие синхронизации: хп, уп изменяются независимо
-2,144 < к <-1,35 Синхронизация по форме: хп - уп = 0
-2,245 < к <-2,144 Перемежаемая синхронизация
к <-2,245 Отсутствие синхронизации: хп, уп изменяются независимо
В рамках настоящей работы обнаружено еще одно нетривиальное явление, заключающееся в формировании геометрически упорядоченных структур в фазовом пространстве исследуемой модели. Некоторые из них представлены на рис. 6. Суть явления заключается в том, что в фазовом пространстве появляются области запрещенных значений, которые не посещаются фазовыми траекториями. Происходит некая самоорганизация фазового пространства, растет его степень упорядоченности.
Обратим внимание на то, что в рассматриваемых случаях модуль коэффициента взаимной связи существенно превышает единицу. Рассчитаем значение энтропии Колмогорова - Синая K , которое, согласно теореме Песина [14], равна сумме положительных показателей Ляпунова. Наши расчеты показали, что при к >> 1с высокой точностью выполняются соотношения Л1 «log2 |а + к|, Л2 « log2 |а-к|,
что, например, при к = 2000 дает значение энтропии K « 22 бит / итерацию .
Рис. 6. Примеры фазовых портретов, построенные при различных значениях коэффициента взаимной связи, иллюстрирующие формирование упорядоченных структур в фазовом пространстве: к = -500 (а); к = -2000 (б); к = 2000 (в)
Полученное значение энтропии свидетельствует о колоссальной степени хаотичности системы! И в то же время движение в ней принимает упорядоченный характер.
В литературе известно множество примеров образования упорядоченных структур в распределенных системах, например, в жидкостях, первоначально находившихся в турбулентном состоянии. Но при этом всегда старший ляпуновский показатель становится равным нулю. При этом говорят о синергетических, кооперативных эффектах.
В нашем же случае порядок возникает в крайне ра-зупорядоченной системе, все показатели Ляпунова которой строго положительны. Это позволяет нам заявить о новизне явления и констатировать тот факт, что наши представления о нелинейной динамике пока далеки от полноты.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
В работе исследованы бифуркационные явления и процессы, характерные для системы двух связанных модифицированных логистических отображений. В роли управляющих параметров выступали коэффициенты взаимной связи.
Проанализированы особенности синхронных и асинхронных режимов хаотических типов колебаний в случаях положительных и отрицательных коэффициентов взаимной связи.
Впервые обнаружены и описаны явление перемежаемой синхронизации двух хаотических процессов и явление формирования геометрически упорядоченных структур в фазовом пространстве исследуемой системы при строго положительных значениях энтропии Колмогорова - Синая.
ЛИТЕРАТУРА
1. Заславский Г.М., Сагдеев З.З. Введение в нелинейную физику: От маятника до турбулентности и хаоса. М.: Наука, 1988. 368 с.
2. Малинецкий Г.Г. Хаос. Структуры. Вычислительный эксперимент: Введение в нелинейную динамику. М.: Наука, 1977. 255с.
3. Кузнецов С.П. Динамический хаос. М.: ИФМЛ, 2001. 296 с.
4. Пригожин И. Конец определенности. Время, хаос и новые законы природы. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. 208 с.
5. Табор М. Хаос и интегрируемость в нелинейной динамике: Пер с англ. М.: Эдиториал УРСС, 2001. 320 с.
6. Владимиров С.Н., Негруль В.В. // Изв. вузов. Прикладная нелинейная динамика. 2001. № 4-5. С. 67-77.
7. Мун Ф. Хаотические колебания: Пер. с англ. М.: Мир, 1990. 312 с.
8. Шустер Г. Детерминированный хаос: Пер. с англ. М.: Мир, 1988. 240 с.
9. Pecera L.M., Carrol T.L. // Phys. Rev.Lett. 1990. V. 64. No. 8. P. 821-824.
10. Рабинович М.И., Трубецков Д.И. Введение в теорию колебаний и волн. М.: Наука, 1984. 432 с.
11. Блехман И.И. Синхронизация в природе и технике. М.: Наука, 1981.- 896 с.
12. Ланда П.С. Автоколебания в системах с конечным числом степеней свободы. М.: Наука, 1980. 322 с.
13. Анищенко В.С., Вадивасова Т.Е., Астахов В.В. Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Фундаментальные основы и избранные проблемы. Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1999. 368 с.
14. Песин Я.Б. Характеристические показатели Ляпунова и гладкая эргодическая теория // УМН. 1977. Т. 32. № 4. С. 55-112.
