Бифуркационные диаграммы Пуанкаре-Четаева в задаче о движении по гладкой плоскости неоднородного, динамически и геометрически симметричного эллипсоида Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.6

БИФУРКАЦИОННЫЕ ДИАГРАММЫ ПУАНКАРЕ-ЧЕТАЕВА В ЗАДАЧЕ О ДВИЖЕНИИ ПО ГЛАДКОЙ ПЛОСКОСТИ НЕОДНОРОДНОГО, ДИНАМИЧЕСКИ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИ СИММЕТРИЧНОГО ЭЛЛИПСОИДА

Обсуждается проблема существования, устойчивости и ветвления стационарных движений неоднородного, динамически и геометрически симметричного эллипсоида, движущегося по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости, со смещенным центром тяжести, находящимся на оси симметрии.

Ключевые слова: эллипсоид, бифуркационные диаграммы, стационарное движение.

The problem of existence, stability and bifurcation of steady motions of an inhomogeneous, dynamically and geometrically symmetric ellipsoid with the shifted center of gravity located at the symmetry axis and moving on a perfectly smooth horizontal plane is considered.

Key words: ellipsoid, bifurcation diagrams, steady motion.

Рассмотрим тяжелый, неоднородный, динамически и геометрически симметричный эллипсоид на горизонтальной плоскости. Пусть с — длина полуоси, на которой лежит центр масс, а — длина двух других полуосей, Ь — расстояние между геометрическим центром О и центром масс Прямая Б О предполагается главной центральной осью инерции эллипсоида — осью динамической симметрии. Пусть А и С — экваториальный и осевой моменты инерции эллипсоида, т — масса, д — ускорение свободного падения. Уравнение поверхности эллипсоида в осях, жестко связанных с ним, запишется в виде

Введем следующие переменные: и — скорость центра масс эллипсоида, ^ — его угловая скорость, 7 — единичный вектор восходящей вертикали. Скорость скольжения тела определяется соотношением и = V + г], где г = г (7) — радиус-вектор точки контакта эллипсоида и опорной плоскости. На эллипсоид действуют сила тяжести Р = — тду и нормальная реакция N = N7.

Уравнения движения эллипсоида, отнесенные к его главным центральным осям инерции, имеют вид

Здесь Js = diag (А, А, С) — тензор инерции эллипсоида относительно центра масс. Уравнение (1) выражает теорему об изменении импульса эллипсоида, уравнение (2) — теорему об изменении кинетического момента относительно центра масс, уравнение (3) — условие постоянства вектора 7 в абсолютной системе отсчета, а уравнение (4) — условие безотрывного движения эллипсоида. Система (1)-(4) замкнута относительно переменных V, 7, N и допускает четыре первых интеграла:

П. А. Елкин1

ж2 + (жэ + b)2

mv + [ш, mv] = (N — mg)y, Jsш + [u,Jsu] = [r, NY],

Y + [ш, Y] = 0,

(v + [ш, r], Y) = 0.

(1) (2)

(3)

(4)

(5)

Kz = ^ш, Y) = ki, Kx3 = (Jsi^, e) = k2, G = (Y , Y ) = !•

(6)

(7)

(8)

1 Елкин Павел Андреевич — студ. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

pavelaelkinQgmail.com.

Здесь е — единичный вектор оси симметрии эллипсоида, (5) — интеграл полной механической энергии. Наличие линейных интегралов (6) и (7) позволяет ввести эффективный потенциал

Ук = ^1? Н7) К(^п)=к1 = Н(0, , 7) = Ук(7), (9)

' КХ3 (ш,-у)=к2

где

'у) = (Ш1,Ш2,Ш3)'Г, = 2 71? = '7 О оч 72, =

т _ кг~ к27з _ - ^7з _

¿(7? + 71) 71' ~ А(т? + Ъ2) 72' Ш3 ~ С

Таким образом, эффективный потенциал (9) определен на сфере Пуассона (8) и с точностью до постоянной имеет вид

ук = \

(кг — Й27З)2

+ тд ( ^'а2(72 + 7г) + с271 + &7з

. А(72 + 72) _

С учетом (8) эффективный потенциал можно представить как функцию одной переменной 7 = 73 € [-1,1]:

ук (7) с2 = т£с/ (7),

где

/(7) = д/а2 + 72(1 — а2) +/?7 + ^ ~ ^ •

1 — 72

Функция /(7) зависит от следующих безразмерных параметров:

а Ь кг к2

а = - € (0, оо), /3 = -<Е[0,1], Р2 = л 2 € [0, +оо).

с с к2 Атдс

Согласно классической теории Рауса (см. [1]), критическим точкам эффективного потенциала на сфере Пуассона соответствуют стационарные движения эллипсоида, причем точкам минимума — устойчивые стационарные движения.

Таким образом, исследование стационарных движений динамически симметричного эллипсоида со смещенным центром масс на гладкой горизонтальной плоскости сводится к задаче анализа критических точек функции /(7) на отрезке [—1,1]. Заметим, что случай в = 0 был исследован в [2].

Функция / (7) всегда имеет критические точки 7 = ±1, отвечающие равномерным вращениям эллипсоида вокруг вертикально расположенной оси симметрии, и при соответствующих значениях параметра р2 критические точки 70 € (—1,1), отвечающие прецессионным движениям эллипсоида. Последние определяются из уравнения /'(7) = 0, которое можно представить в виде

Л) = ( 7(1 "а2) +(*)= (10)

Характер критических точек 7 = ±1 а также количество и характер критических точек 70 € (—1,1), удовлетворяющих уравнению (10), существенно зависят как от параметров эллипсоида а и в: так и от параметров р2. Множество всех стационарных движений эллипсоида, соответствующих критическим точкам 7 = ±1 и 70 € (—1,1), можно представить в виде обобщенной диаграммы Пуанкаре-Четаева на плоскости р2 € [0, 7 € [—1,1].

Вид диаграмм Пуанкаре-Четаева существенно зависит от параметров эллипсоида. На основе детального анализа функции ^(7) плоскость параметров разбивается на шесть областей, каждой из которых соответствует своя диаграмма Пуанкаре-Четаева. Области (а)-(/) определяются следующими соотношениями:

0 < а < л/1 - ¡3, (а) л/1-13 <а< 1, (6)

1 < а < у/1+Р, (с)

<а< + (с!)

+ < « < л/1 + >0, (е)

< а. (/)

На диаграммах Пуанкаре-Четаева плюсами обозначены участки кривых, соответствующие локальным минимумам эффективного потенциала, т.е. устойчивым стационарным движениям, а минусами — участки кривых, которые соответствуют локальным максимумам эффективного потенциала, т.е. неустойчивым стационарным движениям. Имеет смысл отделить два частных случая ^ = ±1 от общего ^ £ К. В первом частном случае из условия ^ = 1 следует 7 £ ( — 1,1] и, значит, для любой величины р2 существует стационарное движение при 7 = 1. Во втором частном случае из условия ^ = — 1 следует 7 £ [—1,1) и для любого р2 существует стационарное движение при 7 = —1. А если ^ = ±1, то 7 £ ( —1,1) и, следовательно, для любого р2 будут иметь место прецессионные движения.

Стоит отметить, что в общем случае диаграммы Пуанкаре-Четаева для ^ = V и ^ = 1/^ похожи (они различаются лишь растяжением или сжатием вдоль горизонтали в V2 раз). Таким образом, можно рассматривать значения ^ £ ( — 1,1). В областях (Ь)-(е) диаграммы Пуанкаре-Четаева похожи и отличаются друг от друга более или менее выпуклым участком кривой. При этом характер особых точек одинаков. Поэтому области (Ь)-(в) стоит объединить в одну (Ь — е).

Рис. 1. Общий случай при 0 < ^ < 1

Рис. 2. Общий случай при —1 < ^ < 0

Рассмотрим общий случай при 0 < ц < 1: в области (Ь — е) существуют схожие диаграммы, отличные от (а), где 70 € (—1,^) при р2 = 0, и отличные от (/), где при малых значениях р2 имеются ненулевые 7о-При этом случай в области (/) распадается та два подслучая: 7г > ^обозначим его (/1), и 7г < ^ обозначим его (/2) где 7* — точка пересечения 70 с осью коордипат О7, которая определяется из равенства

74 = а/ Диаграммы Пуанкаре-Четаева для общего случая при 0 < ¡1 < 1 приведены на

V«2 — 1у а2+в2 —1

рис. 1.

И наконец, в общем случае при —1 < ^ < 0 существуют диаграммы Пуанкаре-Четаева для области (Ь — е), отличающиеся от диаграмм для области (а) где 70 € (—1, 0) при р2 = 0, и от (/) отсутствием 70 > 0 при малых значениях р2. При этом случай для области (а) распадается та два подслучая: 7* > обозначим его (аг), и 7г < обозначим его (а2), где 7* — точка пересеч ения 70 с осью коорди пат О7,

которая определяется из равенства 74 = — Диаграммы Пуанкаре-Четаева для общего

VI—а2 у 1—а2—в2

случая при —1 < ц < 0 приведены на рис. 2.

Таким образом, в работе построен полный атлас бифуркационных диаграмм Пуанкаре-Четаева для неоднородного, динамически и геометрически симметричного эллипсоида со смещенным центром тяжести, движущегося по абсолютно гладкой горизонтальной плоскости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Карапетян А.В. Устойчивость стационарных движений. М.: Эдиториал УРСС, 1998.

2. Ивочкин М.Ю. Топологический анализ движения эллипсоида по гладкой плоскости // Матем. сб. 2008. 199, № 6. 85-104.

Поступила в редакцию 09.11.2011