Бифуркации в одной диссипативной системе с полутора степенями свободы Текст научной статьи по специальности «Математика»

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2010. Вып. 2. С. 204-210 Информатика

УДК 519.86

Бифуркации в одной диссипативной системе с полутора степенями свободы

Н.С. Пастухова

Аннотация. Выполнен анализ диссипативной системы обыкновенных дифференциальных уравнений с полутора степенями свободы. Представлен расчет координат особых точек, построена бифуркационная диаграмма, подтверждающая наличие в системе каскада бифуркаций удвоения периода, субгармонического и полного гомо-клинического каскадов как единственного сценария перехода к хаосу в рамках теории Фейгенбаума- Шарковского-Магницкого.

Ключевые слова: диссипативные системы, аттракторы, сценарий перехода к хаосу, бифуркации, контрастные структуры.

1. Постановка задачи. Рассмотрим диссипативную систему уравнений вида:

(іх = а [(X — х) + ку — шг] (2 — г) — Ь (У — у) (2 — г);

< у = с [(У — у) + іх + пг] г — й (X — х) г; (1)

(г = ех — /у + g.

Перепишем уравнения (1) в явном виде относительно переменных:

!іх = кі — к2х + к3у — к4г + к5х г — к6у г + к7 г2; у = к8г — кдуг + кю хг + кцг2; г = кі2х — кізу + кі4.

Здесь кі = аХ2 — ЬУ2, к2 = а2, к3 = ак2 + Ь2, к4 = аш2 — аХ — ЬУ,

к5 = а, к6 = ак — Ь, к7 = аш, к8 = сУ — йХ, к9 = с, к10 = сі + й, к11 = сп,

кі2 = е, кіз = /, кі4 = g.

Условие диссипативности системы (1) представляет собой неравенство

йтГ (х, у, г) = г (а — с) — а2 < 0 (2)

Из которого следует, что рассматриваемая система не является всюду диссипативной в фазовом пространстве. Неравенство (2) означает, что точка фазовой траектории принадлежит области диссипативности, если ее координата г < а2/ (а — с) при а > с и г > а2/ (а — с) при а < с. Следовательно,

имеется предположение о возможности существования гетероклинических контуров, определяющих вид траектории в фазовом пространстве.

Найдем особые точки системы, решая систему Е (х, у, г) = 0:

1а [(X — х) + ку — тг] (2 — г) — Ь (У — у) (2 — г) = 0; с [(У — у) + 1х + пг] г — й (Х — х) г = 0; ех — /у + g = 0.

В общем случае, при ненулевых координатах в (1), система имеет три точки. Первая с координатами

аХ — ЬУ + g (ак + Ь) // УЬе — ахе — ag 0

х1 а — е (ак + Ь) // ’ у1 аке + Ье — а/ ’ г1 '

Вторая:

сУ — йХ + с (п2 — g//) ех2 + g

х2 = еш — о—й ' у2 = —' г2 = 2

Третья:

(у — g//) (1 — т) + п (Х + Т ) /т — <%■ ехъ + g

х3 ( ) ( и ь ) , у3 / ,

\7 — 0 + п ( — — Т — Т) /т — й/с /

гз = — [(X — хз) + (к + Ь/а) уз — ЬУ/а] . т

Условия существования особых точек выглядят следующим образом:

/ = 0, аке + Ье — а/ = 0, ^ + п ^ 1 — / — /т — й/с.

В частном случае при т = п = 0 в системе могут быть две особые точки. Состояние равновесия особых точек определяется корнями характеристического уравнения

А3 — А2 (ц. + 7") + X (/х + т — еР — Ю — [/ Ьх — 1вР) + е (£Х — Ир)] = 0 (3)

Здесь обозначено:

7 = —а(2 — гг); £ = (ак + Ь)(2 — гг);

р = Ь(У — уг) — а(Х — хг) — а(куг + т2 — 2тгг);

в = (с1 + й)гг; ц = —сгг; х = с(У — уг) + хг(с1 + й) — йХ + 2спгг,

где хг, уг, гг координаты особых точек, г = 1... 3.

Устойчивость особых точек, как обычно, определяется из условия Раусса-Гурвица для многочлена (3):

— (V + 1) > 0;

- (Р + 7) (/Х + Р1 - ер - ) - [/ (ТХ - Рр) + е Их - РР)] > 0.

2. Исследования системы. Сразу отметим, что говорить о полном исследовании системы (1) в силу огромной размерности параметрического пространства не приходится. Наиболее актуальным на данном этапе является получение всех возможных видов аттракторов и их исследование при изменении бифуркационного параметра.

В основе подхода при исследовании системы лежат результаты, полученные Н. А. Магницким и С. В. Сидоровым [3]. Исследование выполнялось численно методом Рунге-Кутта 4-го порядка с постоянным шагом с точностью 1 • 10_6. Рассмотрим вариант системы (1) приняв параметры равными соответственно ниже приведенной таблицы.

Таблица 1

Параметры системы (1)

а Ъ с й е к 1 т п ё X У Z

1.2 5 2 1 0.3 5 2 6 0.4 1 4 5 7

В качестве бифуркационного выбираем параметр /. Проследим эволюцию фазового портрета системы при изменении параметра / от 0.059 до 0.4. Сначала наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода. При / = 0.4 в системе можно обнаружить устойчивое стационарное состояние (рис. 1, а). При / = 0.19 существует цикл периода 1 (рис. 1, б). При / = 0.14 существует цикл периода 2 (рис. 1,в). При / = 0.124 — цикл периода 4 (рис. 1,г).

. V 0.2 1

1 10* -0 М / 1 г2 1 [\ ут0-*

/л

4

(ХьУцй) (Xi.Yi.Zi) (Xi.Yi.Zi) (Х^УШ

а) б) в) г)

Рис. 1. Устойчивое стационарное состояние (а), цикл периода 1 (б), цикл периода 2 (в), цикл периода 4 (г)

При / = 0.11 наблюдается аттрактор Фейгенбаума — простейший хаотический аттрактор.

Последующий субгармонический каскад бифуркаций аттрактора Фейген-баума приводит в соответствии с порядком Шарковского к циклу периода 3 при / = 0.095 (рис. 2).

Дальнейшее уменьшение параметра / ведет к гомоклиническому каскаду (по терминологии Н. А. Магницкого гомоклиническим называется каскад бифуркаций, являющийся продолжением порядка Шарковского и заклю-

(Xi.Yi.Zi)

Рис. 2. Цикл периода 3 в субгармоническом каскаде бифуркаций

(х,у,г>

Рис. 3. Аттрактор при / = 0.059

чающийся в многостадийном появлении устойчивых циклов типа Сп, где п — номер стадии, приближающихся к гомоклиническому контуру и претерпевающих собственные субгармонические каскады бифуркаций) [3]. Были обнаружены циклы С8 при = 0, 0703, С7 при = 0, 08, С5 при = 0, 0867, С4 при f = 0, 0765. При f = 0.059 «глаз» аттрактора закрывается полностью (рис. 3), что свидетельствует о полноте гомоклинического каскада.

Бифуркационная диаграмма системы (1) выглядит, как показано на рис. 4.

0.4-

0.2

01~

- 0.2-

0.059 0.073 0.087 0.101 0.115 0.13 0.144 0.158 0.172 0.186 0.2

(0>

С

Рис. 4. Полная бифуркационная диаграмма системы (1)

Заметим, что данная диаграмма не меняется при увеличении значения шага интегрирования даже в 20 раз. Это позволяет сделать вывод о независимости решения от шага интегрирования. Таким образом, наблюдаемые решения реально существуют в фазовом пространстве.

Эволюция аттракторов в рассматриваемой системе при уменьшении параметра f приводит к решениям, которые подходят согласно [4] под понятие «контрастных структур». Контрастными структурами называются такие режимы скачков медленных переменных х в сингулярно возмущенной задаче Коши вида X = А (х, у), ту = В (х, у), х(0) = хо, у(0) = уо, когда выполняются следующие условия:

1) существует по крайней мере два многообразия медленных движений, из которых только одно устойчиво;

2) существует область начальных значений, при которых возможен уход фазовой траектории в бесконечность при т ^ 0;

3) существует особенность структуры, которая обеспечивает возврат фазовых траекторий из бесконечности;

4) в фазовом пространстве существует механизм срыва фазовой точки с устойчивого многообразия.

Продолжим бифуркационную диаграмму системы (1) приближая параметр f к 0. Обнаруженные результаты изображены на рис. 5.

<>t____’_______»miiiiiM«».».I..................г*..*

0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.1

с0'’

Рис. 5. Бифуркационная диаграмма системы (1) при f приближаемым к 0

Бифуркации проходят последовательность, начиная с удвоения периода предельного цикла, затем наблюдается субгармонический и гомоклиниче-ский каскады, а далее более сложный каскад, приводящий к контрастным структурам. Например, при f = 0, 03 имеем аттрактор, показанный на рис.6.

Таким образом, исследуемый пример представляет собой гладкую диссипативную систему, в которой наблюдаются скачки и всплески.

3. Приложения модели. Рассматриваемая система (1) может иметь приложение в теории транспортных систем [1], например, при моделировании логистических систем, складов и т.п.

- ю-

(XI, У!, й)

а) б)

Рис. 6. Аттрактор с контрастными структурами (а), временная

динамика (б)

При этом переменные имеют следующий смысл: х — автомобили, доставляющие груз; у — автомобили, развозящие груз; г — количество груза на складе. Параметры в системе уравнений (1) обозначают: X — число автомобилей, участвующих в доставке груза; У — число автомобилей, участвующих в развозе груза; 2 — предельная или наиболее вероятная емкость склада; g — интенсивность восполнения груза другими видами транспорта.

При формулировке данной модели использовалось представление о балансе транспортных средств и груза, а также учет основных причинноследственных связей, приводящих к изменению поведения участников транспортной системы. Например, в первом уравнении системы (1) учтено: чем больше автомобилей на складе, тем больше автомобилей снимают с маршрута (—тг); чем меньше запас г, тем интенсивнее будут поступать автомобили (2 — г); чем больше автомобилей стоит на погрузку, тем медленнее отбывают автомобили типа х (множитель У — у); чем больше груза, тем сложнее выполнить операцию разгрузки (множитель 2 — г) и т.д. Отсюда становится ясным смысл коэффициентов а... /, которые выражают интенсивность прироста или убывания переменных в результате действия соответствующих причин.

В системе (1) могут быть обнаружены упоминавшиеся выше режимы типа контрастных структур, вполне напоминающие известные стратегии управления запасами. При этом участки быстрого изменения переменных (восполнение запаса) чередуются с участками медленного изменения (расходования запасов).

Список литературы

1. Агуреев И.Е. Нелинейные модели транспортных процессов и систем // Изв. ТулГУ. Сер. Автомобильный транспорт. 2006. Вып. 10. С.3—11.

2. Агуреев И.Е. Применение теории Фейгенбаума-Шарковского-Магницкого для анализа модели конкуренции двух автомобильных перевозчиков // Труды Института системного анализа РАН. 2008. Т.33. С.159-175.

3. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М.:

URSS, 2004. 320 с.

4. Неймарк Ю.И., Смирнова В.Н. Контрастные структуры, предельная динамика и парадокс Пэнлеве // Дифференциальные уравнения. 2001. Т.37, №11.

С.1507-1515.

Пастухова Наталья Сергеевна (natusya-e@rambler.ru), аспирант, кафедра математического анализа, Тульский государственный университет.

Bifurcations in one dissipative system of ordinary differential equations with one and a half degree of freedom

N.S. Pastukhova

Abstract. The analysis of a dissipative system of ordinary differential equations with one and a half degree of freedom is done. The calculation of coordinates of singular points is shown. The bifurcation diagram verifying the existence of cascade of period doubling bifurcations, subharmonic and complete homoclinic cascades of bifurcations as a single scenario of transition to chaos in the frameworks of the Fiegenbaum-Sharkovskii-Magnitskii theory is built.

Keywords: dissipative systems, attractors, a single scenario of transition to chaos, bifurcations, contrasting structures.

Pastukhova Natalya (natusya-e@rambler.ru), postgraduate student, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 05.05.2010