Bifurcations of period annuli and multiple solutions of two-point boundary value problems Текст научной статьи по специальности «Математика»

Пример. Решить систему уравнений

Г x"(t) + x'(t) + y"(t) — y(t) = et,

\ x'(t) + 2x(t) - y'(t) + y(t) = e-t.

Начальные условия: x(0) = 0; x'(0) = 1; y(0) = y'(0) = 0.

Описание задачи на входном языке:

systLDE(D(x, t, 2) + D(x, t) + D(y, t, 2) — 3 = exp(t), D(x, t) + 2x — D(y, t) + y = exp(-t))

InitCond(D(x, t, 0, 0) = 0, D(x, t, 0,1) = 1, D(y, t, 0, 0) = 0, D(y, t, 0,1) = 0).

Решение системы дифференциальных уравнений: x(t) = 0.125et — 0.125e-t + 0.750te-t, y (t) = 0.375tet — 0.375te-t.

В докладе обсуждаются эксперименты, в которых решались системы дифференциальных уравнений различной степени сложности, с использованием Межведомственного суперкомпыо-терного центра РАН.

Abstract: the algorithm of solving systems of differential equations be means of Laplace transform method is realized in ParCA.

Keywords: systems of differential equations; Laplace transform; system of parallel computer algebra.

Рыбаков Михаил Анатольевич аспирант

Тамбовский государственный университет им. P.P. Державина Россия, Тамбов e-mail: mixail08101987@mail.ru

Mikhail Ribakov post-graduate student Tambov State University named after G.R. Derzhavin Russia, Tambov e-mail: mixail08101987@mail.ru

УДК 517.911

BIFURCATIONS OF PERIOD ANNULI AND MULTIPLE SOLUTIONS OF TWO-POINT BOUNDARY VALUE PROBLEMS 1

© F. Sadyrbaev

Keywords: nonlinear boundary value problem; multiple solutions; positive solutions; period annuli.

Abstract: The second order nonlinear boundary value problem is considered where the boundary conditions are of the Dirichlet type. The so called period annuli are possible if the graph of the primitive function satisfies certain conditions. Period annuli may generate solutions of the BVP. We obtain the conditions which ensure the existence of positive solutions of the BVP. These solutions are contained in period annuli.

1The author acknowledges financial support of Latvian Council of Science under grant N 09.1220.

We consider equations

x" + Л g(x) = 0 (1)

together with the boundary conditions

x(0) = 0, x(1) = 0. (2)

A function g(x) is C^function with simple zeros only and Л is a parameter. A zero z is called simple if g(z) = 0 and g'(z) = 0. A solution of the problem (1), (2) is a pair ^,x) such that (1) and (2) are satisfied. We provide conditions which ensure the existence of multiple positive (x(t) > 0 for t E (0,1)) solutions of the problem (1), (2).

Consider also equation

x'' + g(x) = 0 (3)

and equivalent system

x = y, y = —g(x). (4)

Recall that a critical point О of (4) is a center if it has a punctured neighborhood covered with nontrivial cycles.

Definition. Due to terminology in [1], the largest connected region covered with cycles surrounding О is called a central region. Every connected region covered with nontrivial concentric cycles is called a period annulus.

We will call a period annulus associated with a central region a trivial period annulus. Periodic trajectories of a trivial period annulus encircle exactly one critical point of the type center. Respectively a period annulus enclosing several (more than one) critical points will be called a nontrivial period annulus.

Theorem. Suppose that there exist two non-neighbouring points of maxima M1 and M2 (M1 <

M2) of the function G(x) = fx g(s) ds. Assume that G(x) < min{G(M1), G(M2)} at any other point

of maximum in the interval (M1,M2). Then there exists at least one nontrivial period annulus.

g( x) g

graph of G(x). Therefore birth of period annuli can be controlled.

Period annuli may contain positive solutions of the problem (3), (2) and (1), (2) if they are located

(x, x')

period annuli.

Corollary. Suppose equation (3) has multiple centered period annuli. Then the problem (1), (2) has multiple positive solutions.

REFERENCES

1. Sabatini M. Lienard limit cycles enclosing period annuli, or enclosed by period annuli. // Rocky Mount. J. Math. 2005. V. 35. № 1. P. 253-266.

Аннотация: Рассматривается нелинейная краевая задача для уравнения второго порядка с условиями Дирихле. В зависимости от профиля первообразной функции возможны так называемые периодические кольца на соответствующей уравнению фазовой плоскости. Каждое периодическое кольцо при соответствующих условиях может порождать решения рассматриваемой краевой задачи. В докладе приводятся условия, при выполнении которых задача имеет порожденные периодическими кольцами положительные решения.

Ключевые слова: нелинейная краевая задача; неединственность решений; положительные решения; периодические кольца.

Felix Sadyrbaev Садырбаев Феликс

doctor of phys.-math. sciences, professor д. ф.-м. и., профессор

Daugavpils University Даугавпилсский университет,

University of Latvia Университет Латвии

Latvia, Daugavpils - Riga Латвия, Даугавпилс - Рига

e-mail: felix@latnet.lv e-mail: felix@latnet.lv

УДК 517.958

О СМЕШАННОЙ ЗАДАЧЕ ДЛЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

ВТОРОГО ПОРЯДКА1

©

А. Ю. Сазонов, Ю. Г. Фомичева

Ключевые слова: оператор Бесселя; параболический оператор; сингулярный оператор.

Аннотация: В ограниченной области рассматривается смешанная задача для сингулярного параболического уравнения, содержащего оператор Бесселя по части пространственных переменных. Получены достаточные условия на границу области, начальные функции и правую часть этого уравнения, при которых существует классическое решение этой задачи.

В работе изучается вопрос о разрешимости в классическом смысле смешанной задачи для параболического уравнения

ди

— - Ру,и = f,Q+ = Q+ х [0,T],

(1)

4=0 и, и1г+х[0,Т] °’ "

ди

dyi

Г°х[°,Т]

= 0, i = 1,m

(2)

х=(х1, ...,хп,у1, ...,ут) = (X,у') € Rn+m', 0+ С Rn+m■ - произвольная ограниченная область, прилегающая к гиперплоскостям у1 = 0,...,ут = О;Г0,...,Г^ - часть границы области 0+, лежащей на этих гиперплоскостях; Г+ - замыкание оставшейся части границы области 0+, <^(х) - заданная функция, х € 0+, f (£, х) - функция, заданная в цилиндре Q+, Ру> - дифференциальный оператор, равномерно эллиптический по х € 0+, и содержащий по т пространственным переменным оператор Бесселя

Р

£■

i,j=i

ij Oxidx

д 2 д2 k■ д ______

+ V biByi + c, c ^ 0, Byi = —^ ,ki > 0, i = 1, m.

^ (Щ yi Oyi

i=1

Предполагается, что Ру> - оператор В-эллиптического типа (см. [1]):

существует 6 > 0, такое, что для любого а = (а,1,..., ап+т), |а| = 0, имеет место неравенство

1Работа поддержана грантами РФФИ (№ 07-01-00305, 09-01-97503), научной программой "Развитие научного потенциала высшей школы"(РНП № 2.1.1/1131), и включена в Темплан № 1.6.07.