Биективно координатно-запретные k-значные функции в задачах синтеза подстановочных преобразований Текст научной статьи по специальности «Математика»

1.2. БИЕКТИВНО КООРДИНАТНО-ЗАПРЕТНЫЕ k-ЗНАЧНЫЕ ФУНКЦИИ В ЗАДАЧАХ СИНТЕЗА ПОДСТАНОВОЧНЫХ

ПРЕОБРАЗОВАНИЙ

Никонов Владимир Глебович, доктор технических наук, член Президиума РАЕН

Чуров Дмитрий Валерьевич, сотрудник ФГУП «НИИ «КВАНТ». E-mail: [email protected]

Аннотация: Внимание к изучению преобразований в k-значной логике в значительной степени стимулируется развитием современной компьютерной техники, в частности, повышением скоростей обработки информации и увеличением её объёмов. Переход от булевых операций к k-значным не сводится лишь к количественному росту сложностных характеристик, но затрагивает внутренние логические основы реализации и функционирования схем.

В данной статье внимание будет сосредоточено на исследовании одной частной проблемы k-значной логики в её локальной постановке, а именно, проблемы расширительной трактовки операции логического отрицания, которая, несмотря на простоту её исходной постановки, привела к построению теории функций с запретными знаками подфункций. Интерес представляют также оригинальные практические приложения этой теории, связанные с изучением ряда типовых узлов переработки информации с применением функций изучаемого класса.

Ключевые слова: биективные отображения, k-значные функции с запретными знаками подфункций.

1.2. BIJECTIVE COORDINATE-FORBIDDEN k-VALUED FUNCTIONS IN A PROBLEM OF SYNTHESIS OF SUBSTITUTIONS

Nikonov Vladimir Glebovich, Doctor of Technical Sciences, a member of the Presidium of Russian Academy of Natural Sciences

Churov Dmitry Valeryevich, employee of Federal State Unitary Enterprise Scientific Research Institute KVANT

Abstract: The interest towards the study of transformations in a k-valued logic is driven to a great extent by the development of modern computer technology, particularly by the increase in the amount of information and the increasing speed of information processing. The transition from Boolean operations to k-valued operations is not limited to a quantitative increase in complexity, as it also affects the internal logical framework of the schemes' implementation and functioning.

This article will focus on the study of a specific locally defined problem of k-valued logic, namely, the problem of expansive interpretation of the logical negation operation, which, despite the simplicity of its original definition, has led to the creation of a theory of functions with forbidden signs of subfunctions. Of additional interest are original practical applications of this theory associated with the study of a range of typical information processing nodes using functions of the studied class.

Index terms: bijections, k-valued functions with forbidden signs of subfunctions.

Определение 1. Будем говорить, что функция к-значной логики ¡(хг,...,хп) обладает запретным знаком а подфункции при фиксации

(Хк, Х]2.....Х},) = 0*1, £12.....£h), если

f{{xh, ХЬ.....х1ь)/(£к, £12.....£ч)) * а-

Определение 2. Функция к-значной логики ¡(х1,., хп), обладающая запретными знаками подфункций при любой фиксации переменных, называется биективно координатно-запретной, если существует подстановка

) такая, что для любого

к)

( а1 - а1 - ак' [ра1 ... Ра. ... (Зак; _ _

а.1 е 1к, при любых I е 1Д,] е 1 ,п выполняется неравенство /(х1,...,х¡-1, аI,Xj+1,...,хп) * ра. на всех наборах

(х1, ..• , Х]-1, Х] + 1, ..■, хп)-

Пример 1. При к = 3, п = 2, рассмотрим функцию /'1(х1,...,хп), заданную таблично:

Таблица 1.

(Xi, Х2) fl(Xi, Х2)

00 2

01 2

02 1

10 2

11 0

12 0

20 1

21 0

22 1

Из табличного задания вытекает, что функция f1(x1, х2) - биективно координатно-запретная, так как для неё выполняется определение 2.

Для изложения элементов теории биективно координатно-запретных функций необходимо ввести следующие понятия:

Множество всех биективно координатно-запретных k-значных функций от n переменных обозначим Ж^. В дальнейшем для краткости функции из класса будем называть БКЗ функциями.

/ai ... ai ... ап\ Подстановку IR R R ) назовём

\Pat Pat ■■■ PanJ

подстановкой соответствия биективно коор-динатно-запретной функции f.

Множество всех биективно координатно-запретных k-значных функций от n переменных с подстановкой соответствия а обозначим (а).

Определение 3. Весом вектора (х1,..., хп) назовём вектор

W(Xi,..., хп)

(П П П \

^Indo(xt),^YjIndi(xi),...,^Indk-i(xt) I,где

i=1 i=1 i=1 '

1 , Л (1, если Xi = а Inda (xi) = , .

w (0, если х^Ф a

Обозначим

pw (Xi,..., xn ) = \{ae1k \ T1f=ilnda(xi) Ф 0}| - количество ненулевых координат в весе вектора

(Xi, ..., xn).

Очевидно, что множество представляется следующим образом:

*kn = U *kn(0) .

ves(lk)

Множества (a), aeS(1k), могут иметь общие элементы.

Пример 2. При п = 2, к = 4, рассмотрим пример функции /2(х1,х2) с табличным заданием:

Таблица 2.

Xi Х2 f2(Xi, X2)

0 0 2

0 1 2

0 2 3

0 3 2

1 0 2

1 1 2

1 2 3

1 3 2

2 0 3

2 1 3

2 2 3

2 3 0

3 0 2

3 1 2

3 2 0

3 3 0

Нетрудно проверить, что заданная функция /2(х1,х2) принадлежит к двум классам:

&2(°1) и Ъ*2(Ъ), где ^ = (0}2 3) и

/0 12 3^ 02 = (1 0 2 3)■ Утверждение 1. Если функция [ е , то

п < к■

Доказательство. Предположим, что/ - БКЗ функция и для неё выполняется неравенство п> к. Рассмотрим подфункцию, полученную фиксацией её первых к переменных. Зафиксируем первую переменную числом 0, вторую 1 и так далее. При фиксации каждой новой переменной новым числом количество значений, которые может принимать эта подфункция, уменьшается на единицу. Следовательно, при фиксации к переменных различными числами, функция не может принимать ни одно значение из Ък. Из полученного противоречия следует, что п < к для любой БКЗ функции.

Теорема 1. При любой подстановке а е Б(Жк) мощность класса функций ^>п(а) равна

п

№п(°)\ = П(к-1Р5(п'т[,

1=1

где 5(п, I) - числа Стирлинга второго рода. При п = к — 1 класс представим в виде

К = Ц К(а),

и в этом случае его мощность определяется по формуле

к-1

= £ №-1(о)\ = к!П^-о^-1^.

ие5(гк) 1=1

Доказательство. Заметим, что число вариантов значений, которые может принимать функция на векторе х = (х1,...,хп) зависит только от значения рш(х). Если рш(х) = ¿, то функция может принять на этом векторе одно из к-1 значений. Следовательно, количество функций из класса ^>п(а) равно

хеЩ

В свою очередь это число можно представить в виде

к

1=0

Осталось найти значение \{х е 1к\рш(х) = ¿}\, которое равно числу векторов из ГЦС, содержащих ровно / различных значений координат. Сначала нужно выбрать / различных чисел из , что можно сделать способами. Далее требуется разбить п-элементное множество на / непустых подмножеств, что соответствует выбору номеров координат, на местах которых будут находиться одинаковые числа. Эти значения описываются числами Стирлинга второго рода (см. [1]). Остаётся только установить соответствие между множествами из разбиения и числами из выбранного подмножества множества 1к. Таких вариантов П. Получаем

\{хе11 \рт(х) = Ц\ = С1)5(п, 1)И.

Подставляя полученное значение в предыдущую формулу получаем искомое выражение.

Пусть теперь п = к- 1. Зафиксируем переменные к- 1 различными значениями из 1к. Тогда среди значений зафиксированных переменных не встретится только одно число а из 1к и функция на этом наборе однозначно определяет запретный знак, соответствующий числу а. Перебирая по очереди к - 1 наборов переменных, тем же способом однозначно определяем подстановку соответствия для

рассматриваемой функции. Из этого следует, что классы ) и %к-1(а2) не пересекаются

для любых а1 * а2. Следовательно,

К-1\ = £ К-1(°)\.

ае5(1к)

Учитывая сказанное выше, имеем

\*и\ = £ = £ П(*-^>(*-Ш!.

аеБ(1к) аеБ(1к) 1=1

Так как №(1к)\ = к!, получаем:

к-1

= £ №-1(о)\ = к!П^-о^-1*0".

аеБ(1к) 1 = 1

Структура графа автономного регистра сдвига с БКЗ функцией обратной связи

Определение 4. Графом де Брейна регистра длины п с функцией обратной связи (х^...,хп) называется ориентированный граф ]*(!), вершинами которого являются все кп состояний регистра ^ ={х1р,..., х^), х() е {0,., к- 1}, ] е 1,кп, I е 1/п, а ориентированной дугой соединяется вершина х^ с вершиной х^, если состояние х^ преобразуется в состояние х^ вследствие сдвига на один такт влево:

^' - ( у(}1) у и^л . ^ -

— ^ , ..., Лп ) л.]2 —

= (х2к).....г{х{^1).....х^)).

Схема, представленная на рисунке 1 аналогична схеме фильтрующего

генератора (см [2]), функция усложнения которого является функцией обратной связи.

Рис. 1.

Теорема 2. Пусть ¡(х1,..., хк-1) е^^-1(е), е -тождественная подстановка. Тогда верны следующие утверждения, описывающие строение графа де Брейна регистра с функцией обратной связи [(х1,..., хк-1).

Граф де Брейна регистра длины к - 1 с функцией обратной связи х1,..., хк-1) в точности состоит из (к - 1)! компонент связности, каждая из которых представляется в виде цикла

длины к с подходами. Каждый цикл имеет вид:

, 0)~ О) ЛЛ

Ч л,2 ...лк_1

ХЛ~ 01 „ СО- 01

л4 ■■■ лк Л1

гО)у О) у О) V 1.2 Л3 ...лк —г

„О) V 0) лл

Ч ^2 ■■■лк_1,

где х(п Ф х\п. при Б Ф1,] Е1,(к- 1)!.

Между произвольной вершиной х вида х'х2...х'к-1, находящейся на подходе, и у -ближайшей к ней цикловой вершине, существует ориентированный маршрут длины к- 1 - б, где 5 - длина максимально возможной последовательности вида х!т,х'т+1,...,хк-1,

те1,к-1, содержащей попарно различные числа. Количество вершин, находящихся на расстоянии / от цикла равно к1-1(к -1- 1).

Степень исхода любой вершины равна 1, степень захода не превосходит к - 1, если её последняя координата не равна ни одной предыдущей, и равна 0 в противном случае.

Доказательство. 1) Заметим, что вершина вида х[х'2 ... хк-1, где значения всех координат попарно различны, может перейти только в вершину вида х'2х'г ... х'к, где значения всех координат также попарно различны. Отсюда следует, что вершины такого вида образуют цикл, длина такого цикла равна к.

Рассмотрим вершину, в которой встречаются координаты с одинаковыми значениями. При переходе одной вершины в другую её координаты сдвигаются влево на 1, при этом первая координата исключается, а на место последней становится число, не равное ни одной координате начальной вершины. Это означает, что если вершина у была достигнута из вершины х за 5 шагов, где 5 < к -1, то последние 5 + 1 координат будут иметь попарно различные значения. Из этого следует, что не более чем за к - 2 шагов любая вершина переходит в вершину, у которой значения всех координат попарно различны. Таким образом, делаем вывод, что если вершина, в которой встречаются координаты с одинаковыми значениями, лежит на цикле, то на этом же цикле лежит и вершина, у которой значения всех координат попарно различны. Но такая вершина, как было показано выше, уже лежит на другом цикле, из чего следует противоречие.

Следовательно, в графе цикловыми вершинами являются те и только те, у которых значения всех координат попарно различны. Они образуют циклы длины к. Так как таких вершин всего к!, то количество циклов равно в точности (к -1)!.

2) Очевидно, что в конце любого вектора, соответствующего одноимённой вершине, содержится подвектор, состоящий из попарно различных координат (в худшем случае длины 1). При каждом переходе по дуге графа длина этого подвектора увеличивается на единицу. Как только его длина станет равной к-1, подход завершится. Следовательно, любая вершина попадает в цикл ровно за к - 1 - б переходов, где 5 - длина указанного выше подвектора.

Найдём число вершин, которые попадают в ближайшую к ним цикловую вершину ровно за / шагов. По предыдущим рассуждениям получаем, что последние к-1-1 координат каждой такой вершины попарно различны. При этом координата с номером / равна одной из последних к-1- 1 координат. Первые I - 1 координат выбираются произвольно, это можно сделать к1-1 способами. Координату с номером / можно выбрать к-1- 1 способами, а последние к -1-1 координат -(к \ 1) №-1- 1)! способами. Получили, что число вершин такого вида равно

{к-\- ^ (к-(- 1)! к1-1(к-1- 1) = —

к1-1 (к-1- 1)

(¿+1)!

3) Очевидно, что степень исхода любой вершины равна единице. Для описания степени захода произвольной вершины х = х'х2...хк-1 рассмотрим все возможные случаи:

а) Существует г е 1,к-2\хк-1 = х'г. Известно, что, при переходе по дуге, к новой вершине добавляется координата со значением, отличающимся от всех предыдущих. Этот факт означает, что в вершину с указанным свойством не может входить ни одно ребро. Следовательно, степень захода этой вершины равна нулю.

б) Не существует г е1,к-2\хк-1 = х' и 1 < рш(х) <к - 1. В вершину х могут перейти

только вершины у(Л = у()х'2...х'к-1со свойством рш(у) = рш(х) или рш(у) = рш(х) - 1. Очевидно, что при переходе в графе де Брейна случай рш (у) = рш(х) + 1 невозможен согласно определению функции f. Действительно, это означало бы, что функция [ приняла значение, равное значению одной из своих переменных. Рассмотрим два случая:

Пусть для у выполняется рш(х) = рш(у), значит не существует г е2,к -1: у1 = х^. Тогда рК(У1Х'-2 ... х'к-1) = рш(Х^> - 1 и Уо* Хк-1. След°ва-тельно, у0 может принимать ровно к - (рш(х) - 1) - 1 = к- рш(х) значений.

Пусть рш(у) = рш(х) - 1, значит существует г е 2,к-1: у1 = х'. Тогда

Рш (У1Х2 . х'к-1) = Рш (х) - 1 и Уо равно одному из значений у1,х2,...,х'к-1. Следовательно, уг может принимать ровно Рш(х) -1 значений.

Таким образом, степень захода х не превышает суммы этих значений, то есть к - Рш(х) + Рш(х) - 1 = к - 1. Следствие: Пусть [ е (е), п < к - 1 . Тогда: 1) Все циклы графа де Брейна регистра длины п имеют вид:

Xl X2

Чл2 ..■ лп ^ Х2Х3 лп+1 ^ ■■■ ^ ^¿^¿+1.. . лп+1-1 ^

••• ^ х1х2 ...хп, где х3 * XI при 5*1.

2) Степень исхода любой вершины равна 1, степень захода не превосходит к - 1, если её последняя координата не равна ни одной предыдущей, и равна 0 в противном случае. Пример 3. Рассмотрим функцию

Г(Х1,Х2,Х3) е®$(£).

Её граф имеет вид:

Рис. 2

Синтез подстановочных преобразований на основе БКЗ функций

Рассмотрим возможность использования БКЗ функций для построения подстановок п е 5(Ък), осуществляющих биективное отображение векторов (х1, х2,..., хп) е по формуле п(х1,х2,...,хп) =

= (л1&1 , Х2, ..■, хп), И2 (Х1, Х2, ..., хп), ..., Пп{хъ Х2, ..., ХпУ) , где п1, п2,..., пп - координатные функции подстановки п.

В данном разделе рассматриваются вопросы построения и изучения свойств подстановок, с координатными БКЗ функциями из класса Класс всех таких подстановок обозначим п = {п е 5(тц)\п = (п1, п2,..., пп), п1, щ,..., кпе%*(£)}, а сами подстановки назовём БКЗ подстановками.

Как было замечено в доказательстве теоремы 1, ни одна БКЗ функция из класса %п(£) не может принимать на векторе(х1, х2,..., хп)

значение, равное любой из его координат. Таким образом, для каждого вектора (х1,х2,...,хп) образуется некоторое множество значений, которые не может принимать ни одна функция из (е) при фиксации её переменных значениями из мультимножества (х1,х2,...,хп). Назовём такое множество множеством недостижимых значений для вектора (х1,х2,...,хп). Аналогичное свойство наблюдается и в случае БКЗ подстановок с тем отличием, что значением подстановки является не элемент множества Ък, а вектор из ГЦС.

Обратим внимание на то, что для некоторых наборов фиксаций всех переменных подстановки л е П такие множества совпадают.

Пример 4. В данном примере представлено табличное задание БКЗ подстановки п.

Таблица 3.

Как можно было заметить, множество недостижимых значений определяется только значениями различных координат в векторе (х1,х2,...,хп). Далее будет удобным объединить вектора с одним и тем же множеством недостижимых значений во множества

> 0,

аегк\{У1У2..*.;}\]=1 ) )

где [у1, у2,..., - множество недостижимых значений для любого элемента А-у^..^.

Фактически такое определение множества говорит о том, что в него входят только те элементы, у векторов веса которых множества ненулевых координат совпадают. Или, иными словами, множество АУлУг:У;. состоит из векторов, в которых в качестве координат встречаются все элементы множества [у1,у2,...,и только они.

Из вышесказанного следует, что ни одна БКЗ подстановка не сможет перевести вектор из Ау1у2.у5 в вектор, содержащий в качестве одной из своих координат элемент множества [у1,у2, ..., Этот факт позволяет ввести новое определение.

Определение 5. Множеством запретных векторов для А^^.^ назовём множество Ву^..^ = {(*1,*2.....хп) е е1/п:х1е К,У2.....у5}].

Для дальнейших рассуждений требуется выделить множество преобразований

М = {ае 5(1£)№ еТ^гЫ^У2.....V, е 2к =

Множество М состоит из тех и только тех подстановок, которые переставляют элементы внутри множеств АУ1У2Лв, не выходя за их пределы.

Пример 5. В данном примере представлено табличное задание подстановки о из класса М.

(%1, Хз) п(х1, х2, х3)

314 200

320 414

321 404

322 014

323 401

324 110

330 124

331 240

332 041

333 024

334 012

340 212

341 220

342 001

343 211

344 120

400 231

401 332

402 311

403 121

404 123

410 323

411 023

412 003

413 020

414 232

420 113

421 033

422 133

423 101

424 330

430 122

431 202

432 010

433 021

434 210

440 321

441 230

442 130

443 201

444 102

(%1, Х2, Х3) л(х1, х2, х3)

000 143

001 234

002 413

003 421

004 312

010 342

011 324

012 444

013 422

014 222

020 431

021 434

022 341

023 144

024 331

030 412

031 244

032 114

033 214

034 221

040 213

041 032

042 313

043 112

044 132

100 423

101 233

102 433

103 424

104 223

110 432

111 243

112 340

113 440

114 302

120 443

121 034

122 043

123 040

124 030

130 224

131 402

(%1, %2, Хз) п(х1, х2, х3)

132 000

133 204

134 022

140 322

141 320

142 333

143 002

144 203

200 134

201 343

202 314

203 441

204 301

210 344

211 403

212 304

213 004

214 303

220 334

221 430

222 013

223 410

224 031

230 141

231 044

232 140

233 104

234 100

240 131

241 300

242 310

243 011

244 103

300 142

301 242

302 411

303 241

304 111

310 442

311 042

312 400

313 420

= (хъ Х2, ..., хп) е

П(

fall %2> Хз) а{хъ Х2, Хз)

000 000

001 110

002 020

003 030

004 040

010 100

011 001

012 021

013 031

014 041

020 200

021 102

022 002

023 032

024 042

030 300

031 103

032 203

033 003

034 043

040 400

041 104

042 204

043 304

044 004

100 011

101 101

102 120

103 130

104 140

110 010

111 111

112 121

113 131

114 141

120 201

121 211

122 112

123 132

124 142

130 301

131 311

(xv Х21 Хз) а{хи Х21Х3)

132 213

133 113

134 143

140 401

141 411

142 214

143 314

144 114

200 220

201 210

202 022

203 230

204 240

210 012

211 221

212 122

213 231

214 241

220 202

221 212

222 222

223 232

224 242

230 302

231 312

232 322

233 223

234 243

240 402

241 412

242 422

243 324

244 224

300 330

301 310

302 320

303 033

304 340

310 013

311 331

312 321

313 133

Таблица 4.

(xv Х21 Хз) о(х1, х2, х3)

314 341

320 023

321 123

322 332

323 233

324 342

330 303

331 313

332 323

333 333

334 343

340 403

341 413

342 423

343 433

344 334

400 440

401 410

402 420

403 430

404 044

410 014

411 441

412 421

413 431

414 144

420 024

421 124

422 442

423 432

424 244

430 034

431 134

432 234

433 443

434 344

440 404

441 414

442 424

443 434

444 444

Утверждение 3. Мощность множества М составляет

Утверждение 2. Множество М является группой.

Доказательство. Напомним что, конечное непустое подмножество Н группы G является её подгруппой тогда и только тогда, когда для любых д, КеН (д •КеН). (см [3]).

Пусть 01,а2еМ, тогда ^ • а2(АУ1У2^У5) = = аг ^А^...^) = о2{ау1у2...уб) = . По

определению аг

IL

1=1

Доказательство. Из определения следует, что в разложениях подстановок из класса М в произведение независимых циклов циклы не могут состоять одновременно из элементов двух и более множеств АУ1У2..У5. Следовательно, множества элементов этих циклов являются подмножествами множеств АУ1У2.У5. Таким образом, элементы множества М задают локальные подстановки на Ау, что верно и в обратную сторону - набор преобразований всех множеств АУ1У2..У5 задаёт подстановку из М. Общее число способов выбора такого набора очевидно равно

П ((к™-.1)0-

Из теоремы 1 следует, что множество АУ1У2..У5 имеет мощность Б(п, ¿^. Общее количество преобразований этого множества составляет ((5(п,¿^О!). При этом для заданного числа 5 количество множеств А,,.,,.. равно (*), что

'У1У2...УВ равно О позволяет привести указанное выше выражение к виду

Теорема 3. Для существования подстановки

П = (*1, .......ппУ- Ч ^ Ч, где П1, П2.....Пп е (е),

необходимо выполнение неравенства

К > 42-1

Доказательство.

Обозначим

п(Ву) = {п(Х1,

х2' , Хп) \(хЪ х2' . , Хп) еву}. Заметим, что по условию п(Ву) с \ву для любого V е 1к. Так как [ - подстановка, то \л(Ву)\ = \ВУ\. Значит, выполняется условие \ВУ\ <кп- \ВУ\. Нетрудно показать, что

\ВУ

=Ю

1)п- = кп- (к- 1)

■а2ем.

п

Преобразуем полученное неравенство:

кп- (к- 1)п < ^

Vji+i е А,

И {Ц!, Ц2,-, П К, V2,..., Vs} =

т<к 1;

1 <к{1 -1ш)'

< к.

где yh е А

V±V2 ...VS!

Ук+1

№

V±V2...VS

для любо-

го le1,\AViV2.„Vs\.

После её сопряжения подстановкой а имеем:

(a(yiX a(y2),..., a(Уi1), a(yh+l),..., o(yj2),

.....,),

У>\Лу

i),..., а{укп

где а(У]д е "■УIV2 ..-Уб

для любого I е 1,\А Достаточно доказать, что а(у]1+1) е 11 \ВУ1У2.„У5 для любого I е

Известно, что уп+1 е К\ВУ1У2.У5 для любого I е1,\АУ1У2. У;\. Зафиксируем I значением из диапазона 1,\АУ1У2\У;\. Тогда существует единственный набор попарно различных чисел д1,у.2,...,у.т, ^ е 1к, те1,п — з, удовлетворяющий условию

^\В;

а

■V1V2...VS. По

имеем:

Следствие: Данное условие также можно представить в виде:

п < log к 2.

к-1

Доказательство.

тщ<к- 1;

1п(—) <11п2;

п < log к 2.

к-1

Теорема 4. Пусть п. - полноцикловая

подстановка и и е П. Тогда для любой подстановки а е М £ s(lk) выполняется т = а-1 •п • а -полноцикловая подстановка, где

Ti, т2,..., тп е (£).

Доказательство. Построим цепочку равносильных утверждений. п - подстановка с координатными функциями из (£) для любого (Xi, Х2, ..., хп) е AV1V2.Vs n(Xi, Х2,..., Хп) £ BV1V2.Vs ^ КAVlV2...Vs)nBViV2.„Vs = ф.

Подстановка п представляется циклом: (9i, У2.....у1 у 1+1.....у,2, Уи+2.....

^j\Av1V2...Vs\, ^j\Av1V2...Vs\ + 1' , ^ ),

Отсюда следует, что А^...^ определению подстановки

°(Уп+1) е 1пк\В^2..^. Следовательно,

т{а(У]1)) = а(Уп+1) е 11 \BviV2.vs для любого

т(А

¡\В,

■V1V2..:vsi

I е 1, К^.^. Тогда т{ау1у2.уб) с откуда т(А

У1У2..-У5 ) п ^ ...Vч

Следствие: Пусть п е П. Тогда для любой подстановки а еМ с Б(Щ) т = а-1 •п • а - подстановка, где т1,т2,...,тп е %п(£). При этом цикловые структуры подстановок п и х совпадают.

Доказательство. Доказательство следствия проводится аналогично доказательству теоремы.

Замечание. Подстановки п: с коор-

динатными функциями из (е) не содержат единичных циклов.

Доказанная теорема позволяет ввести отношение эквивалентности на множестве П.

Определение 6. Подстановки п,теп назовём эквивалентными и обозначим п~т, если существует подстановка а е М такая, что а-1 •л • а = т.

Утверждение 4. Бинарное отношение «~» на множестве П является отношением эквивалентности.

Доказательство. Доказательство очевидно, так как множество М является группой.

Предыдущее утверждение позволяет представить множество П в виде объединения попарно непересекающихся классов эквивалентных элементов вида

= { а-1 • и • а\а е М}, где и е П. Причем все подстановки из одного класса будут иметь одну и ту же цикловую структуру. Тот факт, что сопряжение подстановки п из П подстановкой из М приводит лишь к перестановке элементов множеств АУхУ2 :У;. в разложении п в произведение независимых циклов (то есть если на каком-либо месте в цикле находился элемент из АУхУ2:У;,, то после сопряжения там также будет элемент множества АУ1У2..У5), позволяет ввести некоторое обоб-

щение разложения подстановки в произведение независимых циклов.

Рассмотрим множество

К = ... < 12 < ■■■ < б < п, ц, 12,..., е 1к} и введём в функцию-индикатор 1-.которая определяется следующим образом: если

(Х1, Х2,..., Хп) еАу^.ъ, то 1(ХЪ Х2,..., хп)= У1У2 ... уБ.

(Так как множества аУ1У2..^ не пересекаются, функция определена корректно)

Определение 7. Пусть и е П. Назовём обобщённым разложением подстановки п таблицу, построенную следующим способом:

Подстановка п раскладывается в произведение независимых циклов, каждый цикл записывается в качестве строки таблицы;

К элементам строк применяется функция I.

Замечание. Для любой подстановки пеп обобщённое разложение определено однозначно с точностью до перестановки строк и циклического сдвига элементов в них.

Приведённые рассуждения позволяют предложить алгоритм построения функций из множества П с любой заранее заданной цикловой структурой, если множество П не пусто. Основная идея алгоритма заключается в том, что вместо всех возможных подстановок опробуются их обобщённые разложения, количество которых значительно меньше (кп)!.

Алгоритм

Вход: Цикловая структура подстановки п.

Выход: Подстановка л е П либо сообщение, что такой подстановки не существует.

Шаг 1. Составляется таблица с количеством строк равным количеству циклов в цикловой структуре, длина строки равна длине соответствующего ей цикла. Пусть для определённости число строк равно т.

Шаг 2. Создаётся мультимножество

(1(Х1,Х2.....хп)\(Х1,Х2.....хп) ег%), состоящее из

всех образов функции I от элементов множества .

Шаг 3. Последовательно опробуются все варианты размещений элементов мультимножества в ячейках таблицы до достижения успеха. Успехом считается такое заполнение таблицы, при котором для любых двух соседних элементов ¿^ ... ц и ]1]2...любой строки

(соседними также считаются первый и последний элементы строки) выполняется условие {¿1,Ь2,..., ^} п {¡1,]2,...,= 0. В случае, если были опробованы все возможные размещения, а успех не был достигнут, алгоритм заканчивает работу сообщением о невозможности существования подстановки п.

Шаг 4. Последовательно перебираются все элементы множества К , при этом если выбран элемент ¿^ ... ^, то все элементы таблицы с таким же значением заменяются элементами множества Ац.,. по схеме случайной выборки без возвращения. Таким образом, в строках полученной таблицы выписаны все циклы из разложения подстановки п в произведение независимых циклов. Оно и подаётся на выход алгоритма.

Теорема 5. Алгоритм построения подстановки из класса П работает корректно.

Доказательство. В процессе работы алгоритма происходит опробование всех возможных обобщённых разложений подстановок из 5(1%). Для каждого опробуемого варианта производится проверка выполнения условия, эквивалентного условию п(аУ1У2.^) ^ = 0, которое является критерием проверки принадлежности подстановки к классу П. Таким образом, любая подстановка, обладающая обобщённым разложением, удовлетворяющим данному условию, принадлежит к множеству П. Из способа построения строк таблицы видно, что цикловая структура полученной в результате работы алгоритма подстановки соответствует искомой.

Замечание. Данный алгоритм применялся для построения примера 4.

Утверждение 5. В процессе работы алгоритма происходит не более

----тщ- опробований запол-

(п[=1ш;!гН(пГ=1(№Л;;!)!)и)]

нений таблицы, где [I™1,1™2,..., 1™г] - цикловая структура подстановки п.

Доказательство. Общее количество подстановок с заданной цикловой структурой

[I™1,1™2.....равно , (кП) т.Л. Заметим, что

11 2 г J (Щ=1гт! I¡1)

подстановки ср,теБ(Щ) обладают одинаковым обобщённым разложением тогда и только то-

гда, когда существует а е М, для которой Ф = а-1 •та. Отсюда получаем, что каждому варианту обобщённого разложения соответствуют ровно П"=1((5(п, i)s\)ty(sJ подстановок с одинаковой цикловой структурой. Тогда количество возможных обобщённых разложений

для заданной цикловой структуры в

m

ПГ=1((5(п, i)s\)ty(sJ раз меньше количества всех подстановок. Следовательно, их количество

равно-j-^-щт.

(П=1 тг!гГО(пГ=1((5(п,0*!)!)Ы]

Список литературы:

1. Сачков В.Н. Курс комбинаторного анализа. М.Ижевск: НИЦ «РХД», 2013.

2. Фомичёв В.М. Дискретная математика и крип-тология. -Москва: «Диалог-МИФИ», 2003.

3. Глухов М.М., Елизаров В.П., Нечаев А.А. Алгебра . 2003. Т. 1, 2.

4. Алфёров А.П., Зубов А.Ю., Кузьмин А.С., Черё-мушкин А.В. Основы криптографии. -Москва: Ге-лиос АРВ, 2005.

5. Глухов М.М., Шишков А.Б. Математическая логика. Дискретные функции. Теория алгоритмов. СПб. -М. -Краснодар: Лань, 2012.

сдвига с функцией обратной связи из выделенного класса. Наибольший интерес представляет третья часть статьи, в которой разработаны способы синтеза биективных отображений с помощью изучаемых функций.

Авторы придерживаются математического стиля изложения материала, формулируя основные результаты в виде теорем, которые строго доказываются. Возможно, статья бы выиграла, если бы она содержала большее количество примеров и пояснений.

В целом, можно заключить, что данная статья посвящена анализу перспективных подходов к созданию узлов переработки k-значной информации на новой элементной базе и может быть рекомендована к опубликованию в журнале Computational Nanotechnology.

Кандидат физико-математических наук,

доцент

Рыбников К.К.

РЕЦЕНЗИЯ

Высокоскоростная передача больших объемов информации в современных каналах связи и управления делает актуальным переход к обработке даже не битовых, а векторных массивов данных (по существу, к-значных при к = 2т). В связи с этим возрастает интерес к проведению теоретических и прикладных исследований в области реализации дискретных преобразований в к-значной логике. Переход от булевых операций к к-значным приводит к обнаружению их новых интересных свойств. В представленной статье внимание авторов сосредоточено на изучении класса к-значных функций с запретными знаками подфункций, существующего при к > 3. Исследуемый класс введен в рассмотрение впервые, поэтому данная статья характеризуется несомненной новизной и, как показали полученные результаты, оригинальностью постановок задач и выводов.

В статье выделяются три части, первая из которых посвящена общей характеризации изучаемого класса функций. Во второй части проведено изучение периодических свойств автономного регистра