CC BY
24
Приведено до безрозмірного вигляду диференціальні рівняння, що описують стійкість основних рухів системи, складеної з незрів-новаженого ротора з нерухомою точкою, корпуса і автобалансира. Зроблена оцінка малості введених безрозмірних параметрів, визначені межі їх зміни
Ключові слова: ротор, дисбаланс, автобалансир, безрозмірні диференціальні рівняння
□-----------------------------------□
Приведены к безразмерному виду дифференциальные уравнения, которые описывают устойчивость основных движений системы, состоящей из неуравновешенного ротора с неподвижной точкой, корпуса и автобалансира. Сделана оценка малости введенных безразмерных параметров, определены границы их изменения
Ключевые слова:ротор, дисбаланс, автобалансир, безразмерные дифференциальные уравнения
□-----------------------------------□
The differential equations that describe the stability of the main motions of system consisting of unbalanced rotor with a fixed point, corps and autobalancer are reduced to dimensionless form. The estimation of smallness of introduced dimensionlessparameters is made; the boundaries of their changes are defined
Key words: rotor, imbalance, autobalancer, dimensionless differential equations -------------------□ □----------------------
УДК 62-752+62-755
БЕЗРОЗМІРНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ, ЩО ОПИСУЮТЬ СТІЙКІСТЬ ОСНОВНИХ РУХІВ ОДНІЄЇ РОТОРНОЇ СИСТЕМИ
Г.Б. Філімоніхін
Доктор технічних наук, професор Кафедра деталей машин та прикладної механіки** Контактний тел.: (0522) 39-05-47, 067-520-57-42 Е-mail:fil¡[email protected], [email protected]
В.В. Гончаров
Кандидат фізико-математичних наук, доцент* Контактний тел.: (0522) 39-05-64, 050-341-00-11 Е-таіІ: [email protected]
1.1. Філімоніхіна
Кандидат фізико-математичних наук, старший викладач* Контактний тел.: (0522) 39-05-64, 067-520-57-42
[email protected] *Кафедра вищої математики та фізики** **Кіровоградський національний технічний університет пр. Університетський, 8, м. Кіровоград, 25006
Вступ
В роботі [2] за допомогою розробленої в роботі [1] методики складання спрощених диференціальних рівнянь руху роторних систем отримані диференціальні рівняння у розмірному вигляді, які описують стійкість основних рухів системи, складеної з незрівноваженого ротора з нерухомою точкою, корпуса і автобалансира (АБ) у випадку, коли коригувальні вантажі (КВ) однакові, рухаються по одній біговій доріжці і на них діють однакові сили в’язкого опору. В даній роботі ці рівняння приводяться до безрозмірного вигляду, робиться оцінка малості введених безрозмірних параметрів, визначаються межі їх зміни.
1. Опис моделі, диференціальні рівняння, які описують стійкість основного руху системи
У роботі [2] була розглянута така роторна система з АБ. Осесиметричний ротор встановлений у масивному
корпусі, із можливістю повороту навколо власної подовжньої осі, яка є його головною центральною віссю інерції (рис. 1). Корпус утримують опори: шарнірна - у точці О, завдяки якій ротор має нерухому точку О на подовжній осі та в’язко-пружні.
Нерухомі осі Oxyz введені для положення статичної рівноваги системи: вісь Oz спрямована по подовжній осі ротора, осі Ох, Оу спрямовані паралельно напрямкам в’язко-пружних (попередньо недеформо-ваних) опор так, що трійка осей Oxyz - права. Рухомі осі Ouvw жорстко зв’язані з корпусом, а О£,пС - з ротором. У вихідному положенні роторної системи всі три системи осей співпадають (рис. 1, а).
Припускається, що центр ваги ротора і корпуса знаходяться на його подовжній осі. Відносно осей Ouvw ротор і корпус мають такі тензори інерції
Jp = Diag(Ap,Ap,Cp), Jp = Ша^Лк,Лк,Ск) . (1)
Корпус утримують дві в’язко-пружні недеформова-ні опори з коефіцієнтами в’язкості Ьх , Ьу та жорстко-
Э
сті сх, су, радіус-вектори точок прикладання яких (рис. 1, а) гв1 = (-гв2 = (0,Ув,2в)Т.
У площині Р ( £ = d ) ротора на відстані г0 від його подовжньої осі знаходиться точкова маса т0, яка утворює статичний дисбаланс s (в початковий момент вектор s направлений по осі х).
У цій площині ротор зрівноважує АБ, складений з п однакових куль чи циліндричних роликів. Маса і-го КВ т.
Модель руху ротора і корпуса наведена на рис. 1.
Л(8 - 2ю0 - ю28) + h а (8 —ю0) + са5 +
+юСр(0 + ю8) — (í?n + 2®s^ — ®2s n )d = 0
A(0 + 2ю8 — ю20) + h а (0 + ю8) +
+Са0 — wCp(8 — ю0) + (s^ — 2ws_n — ю 2s^ )d = 0
h . mn,
h . mn,
m
ks¡; +~S^ =“^[—'aD^(1 — Ь1) + aDnb2] ,
kSn^— S n = 2 [aD^ b2 — aDn(1 + bi)],
де: aD^ = ( 0 + 2ю8 —ю20)d , aDn=—( 8 — 2ю0 — ю28)d ; (4)
8 = a cos ®t + в sin ®t,
0 = —asin®t + вcos®t; (5)
s^ = £ miriCos v i + m0r0 = i=1 n
= mr ^ cos v i + m0r0
i=i
n
sn=I m^sin v i =
i=1
n
= mr ^ sin v i
(6)
а) б) в)
Рис. 1. Кінематика руху ротора і корпуса: а — вихідне положення системи; б — поворот А = Ак + Ар ,
ротора разом з корпусом на кути а, в; в — поворот ротора відносно корпуса на кут у
Ь а = 4Ьх,Са = 4Сх5
Припускається, що ротор обертається відносно корпуса із сталою кутовою швидкістю ю.
Положення маси дисбалансу чи КВ (які розглядаються як точки) у площині Р визначається відносними кутами у; , які відраховуються між віссю Н, і відносними радіус-векторами р; (рис. 2, б).
Відносному рухові КВ перешкоджають сили в’язкого опору
k = \
7/5, для куль,
3/2, для циліндричних роликів, 1, для дисбалансу;
b = — Ycos2vі , b2 = — Ysin2Vj .
Гі ^ тл
(7)
(8)
Fi(on) = hui, /і = 1,n/ ,
(2)
де Ь - коефіцієнт сил в’язкого опору, и - модуль відносної швидкості КВ.
а)
б)
Рис. 2. Кінематика руху КВ, маси дисбалансу: а - абсолютні, б - відносні кути
В роботі [2] отримано замкнуту відносно невідомих функцій 8 = 8^), 0 = 0^), з^= (^ , зп= sп(t)
систему диференціальних рівнянь, які описують стійкість основних рухів роторної системи
В систему (3) входить дванадцять параметрів A,o>,ha,ca,Cp,d , k,h,m,n , b1,b2.
2. Приведення рівнянь до безрозмірного вигляду
2.1. Попереднє перетворення системи. Додамо попарно перші та останні два рівняння системи (3) помноживши їх спочатку відповідно на cosф і sin ф , а потім на - sin ф і cos Ф^. У нових змінних
81 = 8 cos Ф4+ 0 sin ф , 01 = -8 sin Ф4+ 0 cos ф ,
s^ = s¡. cosФ4+ sn sin ф , s% = —s^ sin Ф4+ sn cos^ , (9)
отримаємо
A(S - 2«0- ) + h a (8!— «01) +
+caS!+ «Cp (0j+ «Sj) — ( s n + 2 «s^—« 2s % )d = 0,
Л( 01+ 2ю81— ю 201) + ha (01+ ю81) +
+ca01— юСр(81— ю01) +( s ^ — 2юS n1—ю 2\ )d = 0
(10)
=1
1=1
E
ks5 + —s5 = mn[aDE(b1cos Ф1+ b2sin Ф1)+
51 m 51 2 5
+aDn(b2cos Ф4— b4sin -fl-j) — a^cos Ф4— aDT|sin Ф1 ],
ks n1+— sn1 = — mT [aD5(bisin V b2cos Ф1) +
1 m 1 2
+aDn(b2sin Ф1+ b1cos Ф1) — a^sin Ф1+ aDT|cos Ф1]. (11)
Введемо кут Ф такий, що
cosФ = b1/b, sinФ = b2/b, b = Jb42 + b2 . (12)
Підставивши b1,b2 з (12) в рівняння (11) отрима-
i-- h ■
ks5 +— s5 =
51 m 51
= ~^ {b[aD5 cos<^ — Ф1) + aDn sin(d — Ф1 )] — aD51 }
i-- h.
ks n +— sn =
2
(1 + b)(«2S ''— 2««00' — «2S1)
Поділивши перші два рівняння в (16) на Аю^, а останні два - на кю01и , отримаємо
S1— 2ÍS '—«2 S1 + А-
« «2 A«„
S'— «Ч
V «0 7
+-4 S1 + C ■«
А«2 А «0
0 '+««s 1
«o 7
2
_„„«_, « _ 1,,d sn + 2—S5--2s _
n1 m 51 m2 n1
«o 51 «0 7
—u—=0,
l„A
01+ 2-------S1-------201 +--------—
1 « 1 «2 1 A«
01+«tS 1
V «0 7
= ~^ №d5 ^п(Ф — Ф1) — aDn c0s(ф — Ф1 )] — aDn1 }
^ 1—-«
A«02 1 A «0
81—-«01
1 «0 1 7
де ас^ = (01 + 2ю81 - ю201 )d , аСп = -(81 - 2ю01 - ю281 ^ . Нехай Ф1 = Ф/2, тоді з врахуванням (9) останні рівняння приймуть вигляд Ь . тп
ks51 + _ s51 =---------------ТГ(1 — b)aD51 ,
S1 m S1 2 S1
h mn
ч + msn =—¡r(1+b)aDn1.
(13)
Отже, отримана замкнута відносно невідомих функцій 81,01, ,бп систему диференціальних рівнянь (10), (13), яка описує стійкість основних рухів роторної системи із меншим числом параметрів.
2.2. Приведення рівнянь до безрозмірного вигляду. Вводимо безрозмірний час т : df df
T = «0t, f = di = «0dT = «0f',
f df « d(«0f') «2 df' «2f
f=di=».*=».'
і безрозмірні параметри
2
«_, «_ 1,,d s5 — 2-s_-----^
51 « n «2 51
00
—u— = 0,
l„A
h mnl„d
s5' + --s5 =—~—a— (1 — b)
km«
2l k
01'+ 2—S1 — ^ 01
h mnl„d..
s" +-------s' =------(1+b)
n1 km« n1 21,k V '
81'— 2 i^01 — «- S1
1 «0 1 «02 17
. (17)
Очевидним є введення наступних безрозмірних параметрів
(14)
« =« / «0, C = Cp/A, lla = ha/(А«0),
ca = ca/(A«2), Is = h/(km«0).
Тоді рівняння (17) приймуть вигляд
S1— 2« 01— «2S1+ Is a (S1— « 01) + c aS 1+ C « (01+ « S1) —
_(SП1 + 2<BS51 — CO\ )lud / (Ala) = 0
(18)
S1 = S1 / la, 01 =01/la, s51 = ^У1^ \ = sn1 / lu , (15) 01+ 2C0 81— «201+ ¡Sa(01+(BS1) + caV<5 (Й (S51— «01) +
де rn0, la, lu - масштабні коефіцієнти, які будуть вибрані нижче. Тоді рівняння (10), (13) перетворяться до вигляду
AlaГ- 2ЮЮо®1 - “251 ) + halaОо8í - “0 1) + cja8 1 +
«Cp1a(«00'+«81) — («2S;' + 2««0s51 — «\ )1ud = ^ A1a («20''+ 2««0SÍ — «201) + ha1a («00' + «S 1) + ca1a01 —
«Cp1a («0S' —«01) + («2s5Í — 2««0S;1 — «\ )1ud = 0 ,
«0ksÍ'+ — «0SÍ1 11u =
1 m 11
mnlad
2
(1 — b)(«201'+ 2««0S' — «201)
+(s5'— 2« si,1 — «2s51)1ud / (A1a) = 0
s5'+ hs51=—2i k (1—b)(0'+2^«8'— «201), sn' + hsn = mn1fd(1 + b)(S'—2(B0'—«281).
(19)
Вибором невизначених масштабних коефіцієнтів ю0,1а, 1и зменшимо кількість безрозмірних параметрів. Нехай в перших двох рівняннях (19) коефіцієнти біля змінних 81,01 та других похідних ^, §" рівні одиниці, тобто
lud/(Ala) = 1, с а = еа/(Аю2) = 1.
Тоді
+
2
+
+
+
u
1а = lud/A, Ю0 = >/ Са/А
і рівняння (19) приймуть вигляд
81 - 2со01 - со2 81 + Ьа(81 - со01) + 81 + Ссо(01 + со81) --(5" + 2со§р - со_5_ ) = 0
4 П1 П1 '
01'+ 2со 81- со 201+ Ії а (01+ со 81)+
+01- С со (81-со 01) + 5^'-2со8 П - со 25|= 0
§Г+ 1і5^ =-т^ (1 -Ь)(01+ 2со81-со201),
(21)
2Ак
.,'+ц = тп4_(1+ ь)(8'-2со01-со281). п п 2Ак 1 1 1
Вводимо останній параметр
т = тп^/(2кА), т<< 1. Підставивши (23) в (22) отримаємо
5^'+ Ь5^ = -т(1 - Ь)(0'і+ 2со8'- со_01),
®П'+ И®П = т(1+ Ь)(8'- 2со01'-со281) .
Отже, стійкість основних рухів системи описується безрозмірними рівняннями (21), (24) з шістьма незалежними безрозмірними параметрами:
со,т,С,1іа,1і,Ь .
8 z = 81 + 01 і, 0 z = 81 -01 і,
^ = 5П1 + 851і, Е = 5п - V Тоді система (26) прийме вигляд
Ll = 8Zzl+ [Ьа + (2 - с)ші]81 +
+[1 + (С -1)002 + Ь асо і]8 z - 5'1 - 2 со і5^ + со \ = 0
L2 = 0 Z1+ [Ь а- (2 - С )о і]01 +
+[1 + (С - 1)о2 - їїаоі]0z - ^ + 2С0^ + СО= 0
L3 = -т[Ь(8"+ 2соі8'-со_8 ) +0"-2ооі0'-со_0 ] +
3 L\z z z / z z z J
L4 = -т[8!'+ 2соі8Z - со_8z + Ь(0!'- 2соі0Z - со20z)] +
. (_9)
(22)
(_3)
(_4)
(_5)
3. Комплексне псевдосгортання диференціальних рівнянь
Помножимо 2-е рівняння системи (21) і 1-є - (24) на уявну одиницю і та додамо і віднімемо їх відповідно від 1-го та 2-го рівнянь вказаних систем:
L1 = 8"+ 011 + 2ю (81 + 01і)і -й 2(81 + 01і) +
+Ь а [81 + 01і + Ю (81 + 01і)і] + 81 + 01і +
+Ссо[-(81 + 01і)і + со(81 + 01і)] - (§П^ - -
-2йі(§' -5, і) +ю2(§п -5, і) = 0
4 П1 ' ■ П1 '
L3 = 5;;+§£і+Ь (§;1 + §,1і) - т [(811- 01і)+Ь(811+ 01і) -
-2со (81 - 01і)і + 2Ью (81 + 01і)і --со 2(81 - 01і) - Ьсо 2(81 + 01і)] = 0 L2 = L1 = 0, L4 = L3 = 0. (26)
Вводимо дві пари комплексно-спряжених змінних:
Надалі стійкість основних рухів системи буде досліджуватися за рівняннями (28), (29).
4. Оцінка порядку безрозмірних параметрів, та визначення меж їх зміни
Параметр со відповідає кутовій швидкості обертання ротора і змінюється у широких межах, теоретично - від 0 до +~. Задача полягає у визначенні таких областей со , у межах яких буде стійкий основний рух (тобто буде наставати автобалансування).
Оскільки для реальних роторних машин маса КВ набагато менша маси ротора (ротора з корпусом), то т << 1. Параметр С еквівалентний 1, бо є співвідношенням між осьовими моментами інерції деякого умовного ротора, про який буде сказано нижче. Параметри Ьа, Ь характеризують сили опору в системі і для реальних роторних машин еквівалентні 1.
Так як
2 п
1 - Ь_ = — X ^п_(У і-^) ^ 0,
(30)
і,І=1
то параметр Ь при довільній зміні дисбалансу і кількості куль змінюється в межах від 0 до 1.
Випадок Ь = 1 є критичним, так як рівняння (24) чи (29) при цьому мають принаймні один нульовий корінь. З (30) слідує, що це можливе тільки при
і,і =\0 + оіп, оі = {0,1} /і = 1,п/.
(31)
(_7)
де у є[0, 2п) - деякий фіксований кут.
Нехай для j куль уі = у , а для п - j куль уі = у + п , де j = 0,п . Тоді на основних рухах з (6) отримуємо
тг^-п)собу + т0г0 = 0, mr(2j-п)біпу/ = 0. (32)
З останньої системи маємо:
2j-пф0, j<п/2: у = 0, т0г0 = тг(п-2j), (33)
(випадок у = п забезпечується вибором оі );
2j - п = 0: у є[0, п), т0г0 = 0. (34)
Розв’язок (34) задає однопараметричну сім’ю основних рухів ( у - параметр).
Е
Введемо число р як цілу частину числа п / 2 :
Р = [п/2], (35)
тоді всіх критичних випадків - р +1.
Зауважимо, що: ___
- рівності (33) мають місце, коли j куль (j = 0,р /, j<п/2 ) відхилені в сторону дисбалансу, а усі інші в
- сторону протилежно дисбалансу (рис. 3, а); дисбаланс при цьому приймає відповідні дискретні значення тг(п - 2j) ; таких випадків р +1 при непарному п і р
- при парному;
а) б)
Рис. 3. Розташування куль в критичних випадках
- рівності (34) мають місце, коли п парне і половина куль розташована в одному довільному місці, а інша
- в діаметрально протилежному (рис. 3, б); дисбаланс при цьому рівний нулю.
Остаточно маємо такі співвідношення малості для безрозмірних параметрів:
ює(0, +-),ш << 1,С,£а,£~1, Ьє[0,1], (2 є[0,1]). (36)
Відповідно до вихідних диференціальних рівнянь (3) корпус і ротор начебто утворюють деякий умовний ротор із осьовими моментами інерції А = Ак + Ар, С = Ср, обчисленими відносно осей, що проходять через нерухому точку. Цей ротор в залежності від величини параметра С: С < 1 - довгий; С «1 - сферичний; С > 1 - короткий. Оскільки С = Ср/(Ак + Ар), то при масивному корпусі умовний ротор буде - довгим, навіть якщо сам ротор - короткий. При дуже масивному корпусі можливе і таке співвідношення між безрозмірними параметрами
0 < ш << С << 1 . (37)
Надалі будемо приймати, що між параметрами системи мають місце співвідношення (36).
Висновки
Проведені дослідження дозволяють зробити такі висновки.
1. Стійкість основних рухів системи залежить від
дванадцяти розмірних параметрів, або від шості незалежних безрозмірних параметрів а,СДт,Ь неза-
лежно від кількості КВ в АБ.
2. Безрозмірний параметр т , що відображає відношення маси КВ до маси всієї системи можна розглядати як малий параметр.
3. Випадки, коли Ь = 1 є критичними, бо у системи з’являється принаймні один нульовий корінь.
Література
1. Філімоніхін Г.Б. Методика складання диференціальних рівнянь руху роторних систем з автобалансирами і її застосування до системи ротор - масивний корпус - автобалансир / Філімоніхін Г.Б., Гончаров В.В. // Збірник наукових праць КНТУ, 2009, Вип. 22, С. 357-363.
2. Філімоніхін Г.Б. Диференціальні рівняння руху системи, складеної з незрівноваженого ротора з нерухомою точкою, корпуса
і автобалансира / Філімоніхін Г.Б., Гончаров В.В. // Конструювання, виробництво та експлуатація сільськогосподарських машин. Загальнодержавний міжвідомчий науково-технічний збірник. Вип. 40, Ч. II - Кіровоград; КНТУ, 2010 р. С. 86-93.
З
