Безрасходная разгрузка накопленного кинетического момента инерционных исполнительных органов автономного космического аппарата на высокоэллиптической орбите Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 629.7

Безрасходная разгрузка накопленного кинетического момента инерционных исполнительных органов автономного космического аппарата на высокоэллиптической орбите

© Е.А. Воробьева1, Н.Е. Зубов1,2, Е.А. Микрин1,2

1 ОАО «Ракетно-космическая корпорация "Энергия" имени С.П. Королёва», г. Королев Московской области, 141070, Россия 2 МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, 105005, Россия

Рассматривается задача безрасходной разгрузки накопленного кинетического момента инерционных исполнительных органов автономного космического аппарата на высокоэллиптической орбите. Получено аналитическое решение задачи гравитационной разгрузки кинетического момента инерционных исполнительных органов в гироскопически связанных между собой каналах крена — рысканья и показаны преимущества этого решения.

Ключевые слова: инерционные исполнительные органы (ИИО), космический аппарат, гравитационный момент, МИМО-система, уровни декомпозиции, метод точного размещения полюсов.

Введение. Характерной особенностью инерционных исполнительных органов (ИИО) космических аппаратов (КА), обеспечивающих решения задач ориентации орбитального движения является необходимость разгрузки накапливаемого кинетического момента ИИО. В силу большой длительности полета автономных КА наиболее предпочтительной является разгрузка без расхода рабочего тела. Для высокоэллиптической орбиты наиболее предпочтительным является использование гравитационного момента [1]. Вопросы построения законов управления разгрузкой кинетического момента ИИО изучались в ряде работ [2, 3] и касались в основном круговых орбит или эллиптических для автономного канала тангажа [2], но они не рассматривали возможность получения аналитического решения для гироскопически связанных между собой каналов крена — рысканья. Решению этой проблемы и посвящена данная статья.

1. Математическая модель КА. Динамические уравнения углового движения КА, несущего вращающиеся массы (в данном случае маховики), при воздействии гравитационного момента в соответствии с [4] имеют вид

, ^ г г

абс + йабс х абс + Ь + йабс Х Ь = 3—- Х .

Г Г Г (1)

где J — матрица тензора инерции КА; h — вектор суммарного кинетического момента маховиков; юабс — векторы абсолютной угловой

скорости в проекциях на связанный базис; г / г = 12 — единичный

^ г г

вектор местной вертикали; 3—— — гравитационный момент;

г

з

г3 г

г — радиус-вектор из центра Земли в центр масс объекта управления; G = ^М; ц — гравитационная постоянная; М — масса Земли.

Считаем, что на борту КА имеется ЭВМ с тактом работы А/. В этом случае на каждом такте ЭВМ для высокоэллиптических орбит в соответствии с (1) линеаризованные уравнения орбитальной ориентации в окрестности точки у = у = 0, & = 90 при наличии в каждом канале управления ИИО с учетом гравитационного момента имеют вид

у =

• - • V в„ , „в 2

V • у

\

—(1 + е сов V) + 3—сов 60

V г г у

У"

•+• - •

\

+-

в

2е V- 3

в (1 + е сов V) у +

1

— вт200 +0 сов200 V 2

\\

У У

= -К -

\в

(1 + е сов V) Ну

• - •

V • У

в . . в , 2„ — (1 + е сов V) + 3—вт 00

V г г

+

• + • у - •

V у г

в

(1 + е сов V) у -

в

„3

2е вт V + 3

1

\\

—вт200 +0 сов200 V 2

у =

= -Ку + л ГТ (1 + е со!5 ^ К

(2)

0 = з в

г

•у - Ах

V • У

3в 2г

сов

(200 )0

+

•у - •

V Л У

в

вт (200) - 2—е вт V - К

где , 3у, — главные центральные моменты инерции КА; кх, Ьу, — проекции кинетического момента ИИО на оси связанного ба-

з

г

зиса; у, у, — углы отклонения связанного базиса по крену вокруг местной вертикали и от местной вертикали по рысканью и тангажу.

Применяя теорему об изменении кинетического момента отдельно к корпусу КА и отдельно к ИИО на основании системы (1), имеем

у =

° у °:

V 3X J

—(1 + е соэ у) + 3—соэ2 90

V г г

J

3 + 3у - 3

Л

/Г- (1 + е соэ V) у +

С 1 и

+ — (2еV-3(—81Й290 + Эсо*290)) у —-, г 2 Л

У =

3 - 3

V Л J

— (1 + е со* V) + 3—вт2 90

V г г J

У +

+

3 + 3у - 3

3

— (1 + е соэ V) у -

„з

у J /

2е вт V + 3

\л

1*т290 + Э со*290

V 2 J J

и

у

у-3"'

3 у

(3)

К + \ + е со8 V) К = их>

С

Лу - ут?(1 + е со* ^ к = и у

Э = 3 ^

г

к = и,.

3у - 3

V 3 J

Л со* (290 )Э + 3 4 ' 2г

3у - 3

(290)

V 3 J

~ С и,

- 2 —е V—- ,

г 3

Здесь и х, и у, и2 — моменты реакции в подшипниках маховиков, через

которые осуществляется как управляющее воздействие на корпус КА с целью поддержания его ориентации, так и разгрузка накопленного кинетического момента ИИО. Система уравнений (2) распадается на две независимые подсистемы: одна из них определяет движение в гироскопически связанных между собой каналах крен — рысканье, а вторая — в автономном канале тангажа. Решение задачи разгрузки

для канала тангажа рассмотрена в [2]. Соответственно для каналов крена — рысканья на основании (3) можно записать

У =

З - З V

и У ° 2

V У

О,. 2 л I

— (1 + е ео8 V) + 3 — ео8 00 1у-

V г г у

З + Зу - З1 Го

О

+7

— (1 + е ео8 V) +

2е V - 3

V

1

— 260 + 0 ео8 260 V 2

их

¥ =

Зх - З.

ЗУ У

О о I

— (1 + е ео8 V) + 3—2 60 +

V г

+

З + Зу - З

Л

З

— (1 + е ео8 V) у -

у у

г

О

3

2е V + 3

V

1

— 200 + 0 ео8 200 V 2

У т'

у з у

К + \гг(1+е ео8 V) К = их'

- л Нг (1 + е еМ v) К = иу >

или в общем виде

X = Ах + Ви,

\Т

(4)

х1 = у, х2 = у, х3 = у, х4 = у,

- ( V1

где х — (х^ Х2 Х3 х^ х^ ) ,

Х5 = К, Х6 = Ку •

2. Модифицированный алгоритм точного размещения полюсов.

Для решения задачи синтеза законов управления разгрузкой кинетического момента ИИО воспользуемся модифицированным алгоритмом точного размещения полюсов [2], который основан на следующей многоуровневой декомпозиции системы (4):

нулевой уровень

А = А, В0 = В, (5)

к-йуровень (к = 1,Ь , Ь = сей(и / г) -1)

Л - вк-1 Л-1 вк-1, вк - вк-1 Ак-1 вк-1,

(6)

где Вгх — 2-полуобратная матрица для Вгх [3, 4], т. е. матрица, удо-

влетворяющая условиям регулярности:

в1 в1-в1 = в1, в1-в1 в1- = в1-

(7)

Пусть система (4) полностью управляемая и выполнена многоуровневая декомпозиция (5), (6), где все матрицы Вг1- удовлетворяют условиям регулярности (7). Тогда в соответствии с [2] матрица К = К0 хп, являющаяся матрицей обратной связи регулятора, вычисляется по формулам

К = В+ Аь -Ф £ ,

Кк - В- А - Ф^ В-,

- Кк+1Вк" + ,

к - 0, Ь -1,

(8) (9)

и обеспечивает заданное размещение полюсов

I+1

^ (А - ВК ) = и е1§(Ф<-1).

г=1

Здесь В1Т = пи11(ВТ) — ортогональная матрица; В+ — псевдообратная матрица Мура — Пенроуза; п — размерность объекта управления; г — размерность вектора управления.

3. Разгрузка кинетического момента ИИО в каналах крена — рысканья. Рассмотрим применение изложенного выше модифицированного алгоритма синтеза регулятора, обеспечивающего заданное размещение полюсов применительно к задаче нахождения законов управления разгрузкой кинетического момента ИИО КА, который описывается моделью (4). Определим вектор состояния КА следующей матрицей-столбцом:

пТ

X =

[Х1

Х8 ]Т =

гу К |К^ V V К ¡ЬуЖ

(10)

Для сокращения записи аналитического решения будем считать, что моменты инерции КА удовлетворяют следующим соотношениям:

_ 5 _ 1

Зу ~ 4 ' /г ~ ^ •

Тогда в обозначениях уравнения (9) на основании системы (8) с учетом (10) имеем

A =

0 1 0 0 0 0 0 0 ' 0 0

a21 0 0 0 a25 7®0 4 0 0 1 - J 0

0 0 0 0 0 0 -®о 0 1 0

0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 , в = 0 0 0 0

a61 7юо 5 0 0 a65 0 0 0 0 4

0 0 ю0 0 0 0 0 0 0 1

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0

где

ю

ю0 =\ Т(! + ecosv)'

a21 _

V r

J -J v.

° yy ° z;

V Jxx J

—(1 + e cos v) + 3—- cos 60

V r

f

\

—(1 + e cos v) + 3—- cos 60

V r r j

G

a

•25 - 3

r

2e sin v- 3

\\

-sin290 + 0 cos290

a

61

a65 =

G

„3

2e sin v + 3

V

v Jyy J

w

-sin290 + 0 cos290

V

G . . G . 2 л

— (1 + e cos v) + 3 — sin 90

V r r

5 Г G 2

G 2

3 (1 + e cos v) + 3—sin 90

V r r

Размерность n вектора состояния объекта управления равна восьми, вектора управления r = 2 и, следовательно, L = ceil (n / r) -1 = 4 -1 = 3, т. е. число уровней декомпозиции равно четырем (нулевой, первый, второй и третий).

Будем считать, что требуется обеспечить заданный характеристический полином замкнутой системы, который запишем как

det(KI8 -A + BK) = (-К 1 )---(К-К8) = П), (11)

j=i

а Xf заданы исходя из некоторых определенных требований.

4

Нулевой уровень многоуровневой декомпозиции для М1МО-системы [3] (5) реализуется тривиально. Соответственно для КА, описываемого уравнениями (7), имеем

Во = В^ =

1 0 0 0 0 0 0 0

0 3х 1 0 0 0 0 0

0 0 0 1 0 0 0 0

0 0 0 0 1 0 0 0

5 3 х

0 0 0 0 0 X 1 0

4

0 0 0 0 0 0 0 1

Во

0 —

л

(Л +1) 0

1 -

(Л+1)

о о

0 0 —

0

20 Л

16

(25Л +16) 1 (25Л +16)

Проверка условия ортогональности матрицы Е0 показывает, что в данном случае оно не выполняется, поэтому решение поставленной задачи может быть осуществлено только с помощью модифицированного метода. Найдем псевдообратную матрицу [2] для Е^, которая в данном случае запишется так:

Е

1+

0

Л

(Л2 +1)

1

(Л2 +1) 0 0

0

0 0

о о о о

0 о

1 о о 1

о о

о о о о

о о

о

о о

2о Л

(25 Л +16) 16

(25 Л +16)

о

Поскольку в нашем случае Вк зиции будет выглядеть следующим образом:

первый уровень декомпо-

Ai - Bo Ao Bo -

при этом

B

J

Jx a21

о о

( J + i)

0

1

( J + i) о

о о

о Jxa25

о о о о

о о

2

5Jx a61 »o (7 Jx + 4) о 5Jx a65

4

о

4( JJx + i) о

4

о о

B1 = В0 Л Во =

l

0

1 о

3юА

о

2юп

s о

4

5J

4

о

0

1

Jx о

о 2

Jx®0

3Jx® 0 о

4

о 5

2® 0

i о о о о 1 о о

о о о 1

1+

(25 Jx2 +16)

О

roo (35 Jj + i6) (25 Jx2 + i6)

о о

2о Jx

-^— о

(25 Jx2 + i6)

о о i6 о

С о 113 о

о bt+ 122 о Ь 124

•£+ о 133 о

о 142 о Ь 144

•■5+ о 153 о

о ¿1Х+ 162 о Ь 164

в

Здесь для краткости записи введены обозначения

= , ы

ь 113

1+

12 Л® о ¿1+ = 8^>о ь±+

' 122 А ' !24

10 72ю

х ш0

¿1

2

2

Ь±+ = 1 - 16 ^

Ь1 133

2

= 12 Л © о

Х51

¿1

53

12 о ¿1 ' ъх+ = 142 1 - 16 ъ2

16( / +1) , ь±+ 162 20 /

¿1 ¿2

20/

144

ь

х+ _ 164

Ь1 ^2 ь = (9 2 +16 А +16), Ъ = (4ю02 + 25)+16.

Аналитические расчеты показывают, что псевдообратная матрица В+ для первого уровня декомпозиции определяется равенством

В

11

0 ь

0

0

где

ь+ = -

111

16Л

¿1

Ь

10 Л2ю

X

= _12 Зх © о ,

115 Ь1 126

ь2 25/Х

= Ь

и ¿1

, к

20 Л

Для второго уровня декомпозиции имеем

Л2 = В-ЛХ+ =

0 а2 212 0 а2 214

221 а2 222 223 224

231 232 233 234

а2 241 242 243 244

В2 - В1 А1В1 =

4а21 - 3ю о

2 3х ю о

5 а,

61

5а21 21ю 0

2юг

2ю 0 8а

25

53х ю о

2ю2

-а

65

2а

25

Юл

где

13

15

ъ

2

0

а2 = !1!

8Jxœ о

а, = -

214

a2 = -221

a = -

®0b1 '

Jx2 (24a21 + 32) + 32

a2 = -

222

10 J; ю о

Ь2 '

2a25 (b6 -1),

23

a =

Jx bl

a2 =

20 J2 «61

31

a = --

bi

15 Jx2 a2S® 0

32

= J

24

5a6s + 4кз 4 b2

40 Jx a25

Ю 0b2

a = -

5 Jx2 кз

33 ' ^34

2 Jx2 (20а21 - 21ю О )

a2 =

241

a, =

243

® О bi

2( Jx2 (15a21 + 28) + 28)

b

b£ = -2{6(147J2 + 48)ю5 -

a =

5Jx a25

42

2юл

^ -1

V b2 ,

, a2 =

244

50 Jx2 a2s ® 0b2

- 3(256a21 + 5(147 Jx2 + 48)a65 + 56G Jx2a21 )ю0 +

+ 4(15(2a21a65 - a25a61)(35 Jx2 +16) +

+ 2(1GG Jx2 + 64)a21 )©5 - 8Ga21 (25 Jx2 + 16)к1ю5} / b,

b2J+ =-16® 0 {(a21 (96a25 - 125J2a6la65 ) -

12

Ь2^ = {16Jx(®0(300a225a61 - ®4(126a25 + 30a61) +

- 500Jx a25a61®2) + ® 2 (525Jx2a61a65 - 288a25 -

- 210 J2 ^ю 2 + 200J2 ^J / b,

21

+ 315a25a65w2) + a21w0 (40w2(3a25 + a61 )a21 - 300a25a65))} / b, b2L+ = {4 Jx (2000kl + 400w 2 (4a21 + 9a65 )k1 + 64w 2 (5a2 - 9a21w 2 ) +

+ 63w 2 (1 + w 2 ) + 5w4 (576a21a65 — 288a25 a61 + 315a(25 — 252a65ffl2 ))} / b, Ь31 = 4®2{3(147 JX + 48)ш4 - 24(35/2 +16)^2 +

+ 16(a2 (25/2 +16) + 3 6a225 )} I b,

25,

bJ+ = -b2J4+ = -8{3(35J2a6i + 48a25 )®0 +

+ 4(90a25a65 - a21 (25J2a61 - 48a25 ))ю0 + 480a25k1ro0} / b,

b

!

b

2

= {16(25/2 аб1шо + 400к1 - 40шо (8а21 + 15а65 )(а21а65 - а25а61) +

42

+ 4ш 2 (16а21 - 24а21ю 2 + 9ю 4 )(1 + ю 2 ) +

+ 15®4 (32а21а65 - 16а25а61 + 150^ - 12а65ю2))} /Ь, Ь = 400(257X2 + 1б)(а2!а625 + а\х) + 4ю0 (1 + ю2 ) х х(4007Х2а22! - 840/2а21ю2 + 441/2ю0 + 256а^ - 384а21ю2 + 144ю4) -

- 20°°а/2а21 а25аб1аб5 - 40ю2 (а21аб5 - а25аб1) Х

х (-200/Xа21 - 525/2а65 - 128а21 + 240а65) + + 5/2 (33б0а21а65 + 80а61 (а61 - 21а25) + 2205а625 - 17б4а65ю2) + + 16(800а21а25а61а65 + +480а21а65ю0 - 240а25а61ю4 + 144а^5ю0 +

+ 225а625ю4 - 180а65ю6 },

к1 = (а25аб1 - а21аб5 ) > к3 =(2®2 - 5аб5 ) > к6 = (3®2 -4а21) •

При этом

В

4к| + 3аб5ю2

2га0 кв

6 а

25

55х аб1Ю0 2кб

5 (21к>2 - 20а21) 4к

11

21

12

22

П3

23

1 0

0 1

14

24 .

В + =

211 221 231 . 241

212

¿2Х+ 222

¿2Х+ 232

¿2Х+ 242 .

где

¿¡£ = -2{6(147/2 + 48)ш0 - 3(256а21 + 5(147З2Х + 48)а65 +

+ 560Л2а21)ю0 + 4(15(2а21аб5 - а25аб1)(35+ 16) +

+ 2(100ЗX + 64)а^ )ю0 - 80а21 (25/2 + 16)к1ю0 } / Ъ, Ь2Х+ = -16ю2 {(а21 (96^25 - 125/2аб1аб5 ) - 500З2а25а61Ю 2 ) +

Ъ2+ = (16/ (ю 0 (300а225 а61 -ю 4 (126а25 + 30а61) + 315а25 а65ю 0 ) +

+ Ю2 (525/2аб1аб5 - 288а25 - 210З2аб1Ю2 + 200Л2а21аб1} 1 Ь>

21

+ а21ю0(40ю2(3а25 + аб1 )а21 - 300а25аб5))} 1 Ь

Ь2 + = {4Зх (2000к2 + 400ю2 (4а21 + 9а65 )к + 64ю2 (5^ - 9а21ю2 ) +

+ 63ю6 (1 + ю 2 ) + 5ю 4 (576а21а65

■288а25 а61 + 315а65

■252а65ю 2 ))} / Ь,

= 4ш2{3(147+ 48)ш0 - 24(35/° + 16)а21ш02 +

+ 16(а21 (25/° +16) + 36^5)} / Ь, Ь^ = = -8(3(35/X аб1 + 48а25 )ю0 +

+ 4(90а25аб5 - а21 (25/Х2аб1 - 48а25 ))ю0 + 480а25к1ю0} / Ь,

Чг = ^^аб1Ш0 + 400к12 - 40ю О (8а21 + 15аб5 )(а21аб5 - а25 аб1) +

+ 4ш2 (16а°1 - 24а21ш2 + 9ш°)(1 + ш2) + 15ш° (32а21аб5 -

- 16а25аб1 + 15а°5 - 12аб5ш0))} /Ь, Ъ+ = 32ш 0 (ш 2 (10 /X аб\ (80 а65 + ш 2 ) +

+ а25 (105/X + 48)) - 4а2!а25 (25/ + 16))/ Ъ,

= -32^ (12ю0 (5аб5 - 1 - ) + 5ш5 (8а25аб1 - 15аб25 ) +

+ 20а25ю0 (6а25 - 5а61а65) + 4а21 (25а65ю0 - 4ю0 (5а65 -1) + 4ю0 )) / Ь, Ь+ = 16(3а25ю2(357:2 + 16)к3 -4а25((25У;2 + 16)5к1 + 2а21ю0))/Ь,

Ь2+4 = 8(4м0 (125Л2а21аб5 - а25 (125Л2аб1аб5 + 96а25)) +

+ 5УХ®0 (40а25а61 + 105аХ5 - 80а21а65 + 16а21) +

+ 4/2м0 (20а21 + 105а65 - 21) - 84/2®7 )/ Ь, = 10(3®0 (147У,2 + 48) + 4ш0 (25У,24 - 210а21^ - 9ба21) +

+ 16^® 0 (25 /2 + 1б))/ Ь,

%2 = -40^ 0 (а25 (100аб1 + 126® 0 ) + 75аб1аб5® 0 -

- 30а61ю 4 + 20а21 (а61к3 + 6а25)) / Ь, Ь+з = 5(80а21 (25/° + 16)к + 4м02(15(2а21а65 - а25а61 )(35/Х + 16) +

+ 8а221 (25УХ2 + 16)) + 6м 0 (147 УХ2 + 48) - 3 м 4 (16а21 (16 + 35/2 ) +

+ 5^65 (147УХ + 48)))/ Ь,

Ь2+24 = 1°®о (4а25 (125аб21 + 96а21) - 20031 а21а61а0 -

- ЗЮ2 (-175/Хаб1аб5 + 96а25 + 70аб1Ю 0) - 500а21аб1аб5Ю2)/ Ь

Третий уровень декомпозиции выглядит так

а3 а3

311 312

а а

В3 = В2^А2 В2

311 312

321 322

Здесь введены обозначения а = (4а21 - 3ю 0 )Ь,

«зп = 4(45(49/2«61 - 42 / «250,5 + 2аб1 (8 - 5/2 «65 ))ю 0 +

+ 15®0 (/«25 (315«25 - 8«61 (5«61 + 21 «25 )) + 8«21 (36/Х«25«65 - 35/Х«61 -

- 2«61 (8 - 5 Л2 «65))) - 80ш 0 («21 (25/2 «61 - 30/ «25 «65 + 2«61 (8 - 5 Л «65)) +

+ 5/2«21 (2«25«61 (3«25 + «61) - 27«25«(55 ) + 135/2«225«61«65 + 36«225«61) +

+ 6°°0/х2«25 («21«65

- «25 «61) ®0 V «'

% = -5(400(20А? + (51/2 «05® 2 +16/2 «21® 2 )*?) + 4 /2® 2 (1 + ® 0)х

0 2 4 2 2 2

Х(189«65Ю0 + 4 • 320«21к1 + 256«25«01ю0 + 816«21«05ю0 - 576«21«25а01ю0 -

- 684«21«05Ю0 ) + 96072®0 (13«21 «25«01 «05 - 17«21«°5 - ^«б!) +

+ 64«25Ю0 (24«21«01 - 9«01к3 ) + У.2®6 (13680«21«°5 - 9360«25«01«05 + + 840«21 + 4725«05) - 8007:2«21«21®0 - 3780/^Х +

+ 60/2ю2 (285«°5Ю 2 + 64«25 «01 )к1 )/«, «з21 = 16®2 (9(4932а1Х - 42/2а225 -10/2«25«б1 +16<ы)® 4 +

+ 3(53Х«25 (24«21«25 + 8а21«25«61 + 63«25«65 ) -

- 8«221 (3531 +16))® 2 + 4003\ «21 + 90032х «225 К +

+ 256«21 + 576«21«25)/ «,

«322 =-4(24°Ю0 (-«2^«25«65 (16 - 25Л2«65 ) + 2532«^5«61 + «21«2^«61 Х X (16 - 503^«65 ))-®0 (13532«25 (32«25«61 + 35«65 ) - 96031«21«25 -

- 24«21 (7232«25 - 3532«61 - 36032«25«65 + 48«25 )) + 16®0 (67532«5«61«65

- 2«221(3032«25 - 253х «61 - 1503Х «25«65 + 48«25 ) + 15«21«25 х Х(203Х«25«61 - 453х «65 + 12«65 )) - 083Х2«25®0 (35«65 - 7 + 16«21) -

75632«25ш0 )/ «,

Ь3 = 5 311

3а65ю0 (8«21 + 3ю0 )к - 5а21ю

8 4ю0 к

0 к6

ь = _ «61 (8«25 + ®2к3 ) + 2«25«65к6

За25 к6

+ 5а21а61 7 4(6а25 + а21кз)

321 2к6 ' 322 5 к6 '

f01 0 " , Ф1 = " fil 0 " , ф2 = " f21 0 " , Ф3 - " /31 0

0 f02 _ 0 fl2 _ 2 0 f22 _ ' 3 0 f32 _

Выберем матрицы Ф0, Ф15..., Ф3, фигурирующие в методе задания полюсов, в следующем диагональном виде:

фо

Здесь ((,/п; /21, f3l; fo2, fi2; /22,/32) — в общем случае комплексные числа, подчиненные определенным правилам их формирования [3].

С учетом ранее полученных выражений для матриц всех уровней декомпозиции можно вычислить матрицы коэффициентов обратных связей:

Kз = B-1 (( -Ф3), K2 = B2 A2 - Ф2B2 >

где

K = k1 = в- a - Ф&,

B2 - K3 B2 + B2 '

Б = к2Б1 + Б+.

В соответствии со вторым выражением (9) для нулевого уровня имеем

в - В0 - + Во •

Наконец, матрица коэффициентов решения задачи разгрузки кинетического момента ИИО будет

К = K0 = B0 А0 - ф0B0 =

K11 K12 K13 K14 K21 K22 K23 K24

K15 K16 K17 K,

46

17

48

K25 K 26 K27 K.

26

27

28

(12)

Здесь

K11 = [ 10a21k1(10k1 + ю2k2 ) + 25ю2 x

X (11a21a25a61a65 - 4a225a621 - 7a221a625 ) + 20k1 (5k1 + 2а21Ю2) f +

+ 5ю0k1 (5a61k3 - 16a21a25 )f2 + 60a25ю0k1 f + 2(ю2 (14а21ю2 +

+ 42a^5 + 20a25a61 - 55a21a65 ) - 50a65k1 )f ] / [5k], (13)

к12 = -Л [ш 0 фа61к3 — 4а25к2 ) - 16а25ю0к1/1 +

+ к (20к1 + ш2 (35а65 + 2к2 ))Л + 4кгк3/3 - 2к4/4 ] / [к], (14)

К13 = 2[8а25ю0к, (/ - ю2 ) + 2к,к3 (ю2/ - /3) + к/ ] / [к], (15)

~ 4 /4 (12 +5 а25а6]к3+а21кз2)

К14 =-5к-' (16)

К15 = Л [2к1 (20а25к1 + а25Ю0 (2^2 + 15аб5 )) + 16а25® 2к/ +

+ 2ю0к (5а65к3 - 16^)/2 - 4ю0к1к3/3 + (17)

+ (40а25 к1 + 7а61ю 2 к3 + 42а25 а65ю 0 ) / ] / [2к ],

К16 = -/ [ю0к1(140к1 + 285а65ю2 + 14к2 - 64а225 - 100а625)) +

+ 20ю okik.fi + 80^25^1 (/3-ю 2/2) + 8 к/4 ] / [4 к ], (18)

К17 = -4[5ю0ккз (/1 - ю2 ) + 20а25к С/э - ю3./2) + 2кЛ ] / [5к], (19)

1/ца25 (8 а25к +ю0к4) (20) К18 =-к-' ( )

К21 = Л [5а61к1(20а25к1 + ю 0(8а21 - 21ю 0 +15а65)) +

+ 5ю 2к1 (25а6 - 4а21к6 )/б +15ю 2к1 (кбЛ + 5аб1ю 2/5) +

+ (100а61к1 + 7ю2(3 а25к6 +10«21«61 ))/в ] / [4к ], (21)

К22 = / [юок1(140к1 + 10Ба65ю2 +256а21ю2 -125^^1 -147ю0 - (22)

(22)

- 80я2) + 20юоккб/5 +100^61^1 (ю2/б - Л) + 5к7/8] / [4к], К2з = 5[4ю0кхк6 (/ - ю2 ) + 20а61к (ю0/ - /7 ) + к/ ] / [4к], (23)

/в (5а21а61кз +а25 (25^^ +3ю0Аб))

К 24 =-к-' (24)

К25 = 5/х [4(а65к(20а25к + ®2(15^5 - 21ю0)) + + 4ю0 (12а21а25аб1аб5 - 5а225аб21 - 7а221аб25 )) +

+ 4к1 (5(4к1 +3^65® 2 ) /5 + ю 0 (25аб1аб5 - 4а25к6 ) /б - 10а61® 0Л) -

-(80а21к -ю2(10а61(7а61 +6а25) + 9а65(7ю2 -16а21)))/8]/[16к], (25)

К26 =-5 Л [® 0 к(5а61 (5а65 -7® 0 )-4а05к6 ) + 25 «61® +

+ Л1(20Л1 + ®0(15«65 -7к6))/ + 5ккЛ + к/]/[4к], (26)

К21 = -[25аб1юоk (f - ю2)- 5ю0klk6f6 + 5klk6f1 + к/ ] /[k], (27)

5/ (Юа^ю 2+4a2sa61k6+k62 ) K 2s =-4k-' (28)

k2 =(4а21 - 7ю2 ), k4 =ю 0 (a61k3 + 6a25 a65 ), k5 = ю0 (a21k3 + 6a25 ), k7 =ю0 (3a65k6 + 10agj ), k8 =ю0 (3a25k6 +10а21а61 ) , k = kj (20а25a61 - 20a21a65 + 8а21ю0 + 15а65ю0 - бю4 ), f = C/01/11 + f01f2 1 + f01f31 + f11f1 + /1/1 + f1/1), /2 = (/oi + fil + f21 + f31 ) ,

f3 = (foifufi 1 + /01/11/31 + /п./1./з1 + fwfi1/31) , f4 = foifllf2lf3l ,

f5 = (/02/12 + /02/22 + /02/32 + /12/22 + /12/32 + /22/32 ) ,

/ = (/02 + /l2 + f22 + f32 ) ,

/п = (/02/2/22 + /02/12/32 + /02/22/32 + /12/22/32 ) , f8 = /02/12/22/32 •

Итак, выражения (12) - (28) определяют аналитическое решение задачи разгрузки кинетического момента ИИО в каналах крена — рысканья и позволяют формировать закон управления для каждого такта работы бортовой ЭВМ. Они имеют относительно простой физический смысл и однозначно определяются параметрами орбиты, массово-инерционными характеристиками КА, а также значениями корней характеристического полинома (11). Следует заметить, что ИИО в силу своих конструктивных особенностей имеют ограничения на управление, поэтому значения корней не должны приводить к нарушению этих ограничений.

Преимущества данного аналитического решения заключаются в следующем. Во-первых, оно пригодно для всех типов КА, дает возможность проводить исследования, варьируя значения полюсов из области их устойчивости и конструктивных особенностей ИИО. Во-вторых, позволяет решить проблему плохой обусловленности матрицы A, поскольку для КА значения ее компонент могут отличаться на два и более порядка друг от друга, что, как показали исследования авторов, затрудняет или даже делает практически невозможным по-

лучение решения с использованием не символьной, а числовой матрицы А.

Не составляет труда получить численные значения коэффициентов в матрицах разгрузки кинетического момента в случае, когда характеристический полином (11) представляет собой нормированный полином Баттерворта 8-го порядка, имеющий в данном случае вид

X8 + 5,12 сХ7 + 13,1с 2Х6 + 21,8с 3Х5 + 25,7с 4Х4 + 21,8 с5Х3 +

+ 13,1с6Х2 + 5,12с7 X +с8.

Здесь с — нормирующий коэффициент (о 0). Если корни полинома (полюсы) (26) задать в качестве элементов матриц Ф0, Ф1,..., Ф3 следующим образом:

X1 = /01 = с(-0,1950 + 0,9807г), X = /и = с(-0,1950-0,9807/), X 2 = /02 = с(-0,5555 + 0,8314/), X2 = /12 =с(-0,5555 - 0,8314/),

= /21 =с(-0,8314 + 0,5555/), Х3 = /31 =с(-0,8314 - 0,5555/), X4 = /22 =с(-0,98078 + 0,1950/), X3 = /32 = с(-0,9807 - 0,1950/),

(29)

то подстановка (29) в матрицу (12) с элементами, определяемыми выражениями (13) - (28), и выбранным значением с, удовлетворяющим конструктивным особенностям ИИО, даст числовую действительную матрицу коэффициентов регулятора в задаче разгрузки кинетического момента ИИО. Другие сочетания элементов будут приводить к другим матрицам, представляющим иные варианты формирования обратных связей в контурах управления.

Заключение. В работе осуществлен синтез законов управления разгрузкой ИИО с использованием модифицированного метода точного размещения полюсов. Впервые для высокоэллиптической орбиты получено аналитическое решение задачи гравитационной разгрузки кинетического момента ИИО КА в гироскопически связанных между собой каналах крена — рысканья.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Раушенбах Б.В., Токарь Е.Н. Управление ориентацией космических аппаратов. Москва, Наука, 1974.

[2] Богачев А.В., Воробьева Е.А., Зубов Н.Е. и др. Разгрузка кинетического момента инерционных исполнительных органов космического аппарата в канале тангажа. Изв. РАН. ТиСУ, 2011, № 3, с. 132-139.

[3] Зубов Н.Е., Микрин Е.А., Мисриханов М.Ш., Рябченко В.Н. Модификация метода точного размещения полюсов и его применение в задачах управления движением КА. Изв. РАН. ТиСУ, 2013, № 2, с. 148-162.

[4] Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. Москва, Наука, 1965.

Статья поступила в редакцию 28.06.2013

Ссылку на эту статью просим оформлять следующим образом: Воробьева Е.А., Зубов Н.Е., Микрин Е.А. Безрасходная разгрузка накопленного кинетического момента инерционных исполнительных органов автономного космического аппарата на высокоэллиптической орбите. Инженерный журнал: наука и инновации, 2013, вып. 10. URL : http://engjournal.ru/ catalog/it/nav/1072.html

Воробьева Екатерина Андреевна — аспирантка ОАО «РКК "Энергия" им. С.П. Королева». Автор 4 работ области проблем управления космическими аппаратами.

Зубов Николай Евгеньевич — д-р техн. наук, заместитель руководителя по науке научно-технического центра ОАО «РКК "Энергия" им. С.П. Королева», профессор кафедры «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 70 работ в области проблем управления космическими аппаратами. e-mail: Nikolay.Zubov@rsce.ru

Микрин Евгений Анатольевич — д-р техн. наук, академик РАН, первый заместитель генерального конструктора ОАО «РКК "Энергия" им. С.П. Королева», заведующий кафедрой «Системы автоматического управления» МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор более 100 работ в области проблем управления космическими аппаратами.