CC BY
25Математика к Математическое
моделирование
Ссылка на статью:
// Математика и математическое моделирование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2016. №3. С. 1-9.
Б01: 10.7463/шаШш.0316.0850159
Представлена в редакцию: 10.10.2016 © МГТУ им. Н.Э. Баумана
УДК 514.8+537.8
Бессиловые электромагнитные поля в спинорном формализме
Л &
Тришин В. Н. ' *trishinvn@gmail.com
1МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия
Статья представляет собой краткое учебное введение в математические основы электродинамики бессиловых полей, основанное на 2-спинорном формализме. Обсуждаются общие свойства бессиловых полей, рассмотрена алгебраическая классификация тензора Максвелла, основанная на спинорах и ведущая к простому и компактному описанию изотропных и магнитных полей. Описаны геометрические свойства этих двух классов электромагнитных полей. Нелинейная система уравнений бессиловой электродинамики редуцирована к одному линейному уравнению для комплексной функции в случае изотропного поля и к системе линейных уравнений для действительной функции в случае магнитного поля.
Ключевые слова: уравнения Максвелла; бессиловые электромагнитные поля; спинорное исчисление
Введение
Бессиловые электромагнитные поля являются решениями уравнений Максвелла с источниками, для которых сила Лоренца, действующая на ток, равна нулю. Такие поля возникают в различных задач астрофизики (см., например, [1, 2]), когда можно пренебречь передачей энергии и импульса между полем и заряженной материей. Эти условия реализуются в окрестности быстро вращающихся нейтронных звезд (пульсаров) и черных дыр, чьи магнитосферы содержат замагниченную разреженную релятивистскую плазму [3].
Система Максвелла — Лоренца для бессиловых полей имеет вид
V!, = 0,
V, = 43, (1)
^ 3 = 0,
где — тензор напряженности электромагнитного поля; V, — ковариантная производная относительно связности Леви-Чивита метрики ; 3м — 4-вектор плотности тока. Из этих уравнений можно исключить 3 м, тогда получим систему нелинейных уравнений бессиловой электродинамики:
V,, = 0, V, = 0. (2)
Решения этой системы определяют плотность тока по формуле 4п3 = . Заметим,
что вакуумные решения с = 0 составляют тривиальный подкласс решений.
Точные решения системы уравнений (2) известны в основном для плоского пространства-времени (см., например, [1]). Наиболее важным стационарным решением является вращающийся монополь Михеля [4]. Это решение допускает обобщение на нестационарный случай [5]. Свойства решений в искривленном пространстве, а именно в пространстве-времени Керра, исследовались в работе [6], где была показана возможность электромагнитного извлечения энергии из вращающейся черной дыры (процесс Блендфорда — Знаека). Первые точные решения в пространстве Керра получены в [7]. В недавней работе [2] найден широкий класс решений в метрике Керра, обладающих изотропным 4-вектором плотности тока, который включает в себя решения Менона — Дермера [7]. Устойчивость этих решений исследовалась в работе [9]. Отметим также подход [10, 11] к уравнениям бессиловой электродинамики, основанный на потенциалах Эйлера а, в, таких, что = д^адив — дуад^в, и метод, использующий потенциал Герца [12, 13].
Данная статья, носящая учебный характер, представляет собой краткое математическое введение в основы бессиловой электродинамики. Теория сформулирована с использованием 2-спинорного исчисления, изложенного в [14]. Спинорный формализм абстрактных индексов позволяет существенно упростить исследование уравнений (2) и представить результаты в компактной форме. Точные решения, полученные с использованием этого формализма, были найдены в работах [8, 13].
В спинорном представлении тензор напряженности электромагнитного поля имеет разложение
фав £Л'Б' + Фл'в' £АВ ,
где симметричный электромагнитный спинор флв = ф(ав) соответствует антисамодуальной части поля
"= + Ъ ) = фав£л'в' >
а спинор фА>в> = ф(л>в') - самодуальной части
1
F+v = - 1 V) = £АВ'
здесь * FßV = 1 £ßvaß Faß — дуальный тензор; £АВ — антисимметричный спинор, соответствующий метрике gßV = £АВ£А>В>, который поднимает (£А = £АВ£В) и опускает (£а = £В£ВА) спинорные индексы.
Спинорная версия системы (1) имеет вид
VBA' фВА = 2nJАА, (3)
ФАВ JB + ФА'В' JA =0. (4)
Обращение силы Лоренца в ноль влечет за собой вырожденность матрицы напряженности поля det(FßV) = 0, т.е. бивектор FßV должен быть простым: FßV = a[ßbV] для некоторых
векторов ам и Единственный (комплексный) алгебраический инвариант К электромагнитного поля равен
1
/ /
2 ^
где
К = ^ = <^в Ч>АВ = Р + ¿3,
Р =4/.V, 3 = 4= ),
поэтому для бессиловых полей К является действительной величиной.
Используя каноническое разложение ^ав = «(АвВ) на главные спиноры, можно выразить инвариант К через собственное значение электромагнитного спинора ^ав :
К = —2Л2,
где Л = 1 «АвА — собственное значение при собственном векторе «а:
^а «в = ЛаА.
Тогда действительность К означает, что значение Л должно быть действительной величиной, мнимой или нулем. Рассмотрим по отдельности алгебраически специальный случай, когда Л = 0 (изотропное поле), и алгебраически общий с Л = 0.
1. Изотропное поле
Для алгебраически специальных полей, которые описывают электромагнитное излучение, инвариант К = Л = 0, и главный спинор «а пропорционален в а. Выбирая базисный спинор оА стандартной спинорной диады оА, ¿А (оА1А = 1) вдоль аА, спинор ^Ав = аАаВ можно записать в виде
^АВ = ^ОАОв,
где — комплексная функция координат пространства-времени. Это соответствует тензорному представлению
/.V = 21[м av ], av = + V,
с векторами комплексной изотропной тетрады Ньюмана — Пенроуза
1м = оАоА', = АА', = оА 1А', = 1АоА'.
Векторы электрического и магнитного поля равны по абсолютной величине, ортогональны друг другу и к направлению распространения электромагнитной волны, которое задано вектором —
Условие (4) принимает вид
/.V 3V = 2 Яе(^(3о1/— Зое т,)) = 0,
откуда получаем, что 4-вектор плотности тока должен быть изотропным и направленным вдоль главного изотропного направления электромагнитного поля:
3аа/ = 30а0а/ .
Здесь 3 = 3ц/ — единственная отличная от нуля компонента плотности тока. Заметим, что пространственная проекция 3^ совпадает с Р — п Уравнения Максвелла (3) принимают вид
оАов Ча/в ф + ф(ов УА/ В оА + оа^а/в Об ) = 2пЗоаол , (5)
откуда, вычисляя свертку со спинором оа, получаем условие олоВ VлвоА = 0, т.е. собственный вектор изотропного бессилового поля должен быть касательным к лучам бессдвиговой геодезической изотропной конгруэнции.
Сворачивая условие (5) со спинором ьа получим уравнение для функции ф:
оВ V ва/ ф + ф(пл/ + Vвa/ 0В) = —2п3ол/, (6)
где пл/ определяется из соотношения
0^ ал/ ОБ = Па/ оБ .
Общее решение (6) можно записать в виде произведения ф = хФ, где функция х удовлетворяет паре уравнений
0В V ва/ ф + ф(пл/ + Vвa/ 0В) = 0
и описывает вакуумное изотропное электромагнитное поле, а Ф — произвольная функция, постоянная вдоль луча конгруэнции: ¡¿V ¿ф = 0, при этом производная ф = 0. Ком-
понента 4-тока 3 тогда равна 3 = —хт^ V ¿ф.
2. Магнитное поле
Рассмотрим теперь случай, когда инвариант К = 0. Электромагнитное поле является алгебраически общим фАВ = а(АвВ) с Л = -аАвЛ = 0. Выбирая базисные спиноры диады вдоль собственных спиноров поля: аА = а^л, вА = —во1А, получаем
фав = 2Л0(л1в), (7)
или в тензорном виде
= 2(Л + Л)1^п„] — 2(Л — Л)т[м т„]. Пусть поле является «чисто магнитным»: Р^ = 4К > 0. В этом случае собственное
В
значение Л является мнимой величиной: Л = ——г, где В € К — величина напряженности магнитного поля в сопутствующей системе отсчета, и тензор напряженности поля равен
= 21Вт^т„]. (8)
Вектор магнитного иоля направлен вдоль направления Iм — пм. Условие нулевой силы Лоренца (4) для поля (7) имеет вид
= (А + A)(Joo/ nM — J11/lM) + (A — A)(Jio/— J01/mM) = 0, (9)
откуда получаем, что вектор 4-тока лежит во временеподобной плоскости:
JAA' = J11' oAoA' + Joo' ¿A^A', (10)
его пространственная проекция совпадает с направлением магнитного поля Iм — пм. Уравнения Максвелла (3) для поля (7) с учетом (10) принимают вид
(D — 2р)А = —2nJoo',
(А + 2р)А = 2nJU', (11)
(5 — 2т )А = 0, ( )
(A + 2п)А = 0,
где D = VM, А = nM VM, 5 = VM, A = VM, а p, p, т, п, 7, e — спиновые коэффициенты [14] (число п в правой части уравнений является обычной математической константой).
Из второй пары уравнений (11) следует, что т = —п, откуда получаем для коммутатора производных D и А выражение
[A,D] = (Y + A)D + (e + A)A. (12)
Таким образом, распределение, образованное собственными векторами поля l и п, является по теореме Фробениуса интегрируемым, и каждое бессиловое магнитное поле определяет в пространстве-времени времениподобную поверхность с касательными векторами l и п. Эту поверхность можно рассматривать как мировой лист магнитной силовой линии, причем 4-вектор тока J, в силу (10), будет касательным к этому листу.
Действительная часть первой пары уравнений (11) дает выражение для компонент 4-тока через напряженность поля В:
2nJoo' = ^¿В, 2п J11' = —ППВ,
где П = Im(p), = Im(p) — вращения изотропных конгруэнций с касательным вектором l и п соответственно. Для напряженности магнитного поля В мы получаем систему уравнений
(D — 20г )В = 0, (А + 20„)В = 0, (5 — 2т )В = 0,
где 0^ = Re(p), 0n = Re(p) — конвергенции (расходимости) соответствующих конгруэнций. Эта система линейных дифференциальных уравнений описывает эволюцию магнитного поля и вместе с условием (12) на вектора тетрады эквивалентна нелинейной системе (2) для случая магнитного поля (8).
В случае «чисто электрического» поля, для которого FMVF= 4K < 0, собственное значение А является действительной величиной. Условие (9) тогда означает, что JAA' = = — J1o'oAiA' — Jo1'¿AoA', т.е. вектор 4-тока должен быть пространственноподобным вектором, что делает данный класс решений нефизическим.
Заключение
В статье рассмотрены математические основы теории бессиловых полей. Описаны геометрические свойства двух алгебраических классов электромагнитных полей и выписаны редуцированные системы дифференциальных уравнений для каждого класса, которые могут быть использованы в дальнейшем для получения новых точных решений уравнений бессиловой электродинамики.
Список литературы
1. Marsh G.E. Force-free magnetic fields. Solutions, topology and applications. World Scientific,
1996. 157 p.
2. Gralla S.E., Jacobson T. Spacetime approach to force-free magnetosheres // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2014. Vol.445, iss3. P. 2500-2534. DOI: 10.1093/mnras/stu1690
3. Новиков И.Д., Фролов В.П. Физика черных дыр. М.: Наука, 1986. 328 с.
4. Michel F.C. Rotating magnetospheres: an exact 3-D solution // The Astrophysical Journal. 1973. Vol. 180. P. L133-L137.
5. Lyutikov M. Electromagnetic power of merging and collapsing compact objects // Physical Review D. 2011. Vol. 83. Art. no. 124035. DOI: 10.1103/PhysRevD.83.124035
6. Blandford R.D., Znajek R.L. Electromagnetic extraction of energy from Kerr black holes // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1977. Vol. 179, iss. 3. P. 433-456. DOI: 10.1093/mnras/179.3.433
7. Menon G., Dermer C.D. A class of exact solutions to the force-free, axisymetric, stationary magnetosphere of a Kerr black hole // General Relativity and Gravitation. 2007. Vol. 39, no. 6. P. 785-794. DOI: 10.1007/s10714-007-0418-2
8. Brennan T.D., Gralla S.E., Jacobson T. Exact solutions to force-free electrodynamics in black hole backgrounds // Classical Quantum Gravity. 2013. Vol. 30, no. 19. Art. no. 195012. DOI: 10.1088/0264-9381/30/19/195012
9. Zhang F., McWilliams S.T., Pfeiffer H.P. Stability of exact force-free electrodynamic solutions and scattering from spacetime curvature // Physical Review D. 2015. Vol. 92. Art. no. 024049. DOI: 10.1103/PhysRevD.92.024049
10. Uchida T. Theory of force-free electromagnetic fields. I. General theory // Physical Review E.
1997. Vol. 56, iss. 2. P. 2181-2197. 10.1103/PhysRevE.56.2181
11. Uchida T. Theory of force-free electromagnetic fields. II. Configuration with symmetry // Physical Review E. 1997. Vol. 56, iss. 2. P. 2198-2212. DOI: 10.1103/PhysRevE.56.2198
12. Benn I.M., Kress J. Force-free fields from Hertz potentials // Journal of Physics A: Mathematical and General. 1996. Vol.29, no. 19. P. 6295-6304. DOI: 10.1088/0305-4470/ 29/19/014
13. He X., Cao Z. Hertz potential formalism for force-free electrodynamics and its application to Brennan — Gralla — Jacobson solutions // International Journal of Modern Physics D. 2016. Vol. 25, iss.3. Art. no. 1650039. DOI: 10.1142/S0218271816500395
14. Пенроуз P., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. В 2 т. Т. 1. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: пер. с англ. М.: Мир, 1987. 528 с.
Mathematics i Mathematical Modelling
Mathematics and Mathematical Modelling of the Bauman MSTU, 2016, no. 3, pp. 1-9.
DOI: 10.7463/mathm.0316.0850159
Received:
10.10.2016
Electronic journal of the Bauman MSTU http://mathmjournal.ru
© Bauman Moscow State Technical University
Force-Free Electromagnetic Fields within Spinor Framework
Trishin V.N.1'*
1 Bauman Moscow State Technical University, Russia
Keywords: Maxwell's equations, force-free electromagnetic field, spinor calculus
The article deals with spinor representation of the force-free electrodynamics. The equations of the force-free electromagnetic field describe the physics of pulsars and black holes whose magnetospheres are filled with magnetically dominated relativistic plasma.
The paper is a brief pedagogical introduction to the mathematics of the subject, based on 2-spinor calculi. The objective is to present the nonlinear theory of force-free fields in a compact and elegant form that the spinor framework provides. First, the algebraic classification of the Maxwell tensor is presented. Then, the reduced system of differential equations is obtained for two types of electromagnetic field and the basic features of the solutions are described. The null force-free field is connected with the shear-free geodesic null congruence in a space-time and is derived from a linear equation for a complex function. The magnetic force-free field is associated with the time-like 2-surface that represents the world-sheet of magnetic field line. The simplified system includes 4 linear differential equations for a real function. The article is educational in nature and there are no new solutions of force-free equations obtained.
1. Marsh G.E. Force-free magnetic fields. Solutions, topology and applications. World Scientific, 1996. 157 p.
2. Gralla S.E., Jacobson T. Spacetime approach to force-free magnetosheres. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 2014, vol.445, iss3, pp. 2500-2534. DOI: 10.1093/mnras/stu1690
3. Novikov I.D., Frolov V.P. Fizika chernykh dyr [The physics of black holes]. Moscow, Nauka publ., 1986. 328 p. [In Russian]
4. Michel F.C. Rotating magnetospheres: an exact 3-D solution. The Astrophysical Journal, 1973, vol.180, pp. L133-L137.
References
5. Lyutikov M. Electromagnetic power of merging and collapsing compact objects. Physical Review D, 2011, vol. 83, art. no. 124035. DOI: 10.1103/PhysRevD.83.124035
6. Blandford R.D., Znajek R.L. Electromagnetic extraction of energy from Kerr black holes. Monthly Notices of the Royal Astronomical Society, 1977, vol. 179, iss. 3, pp. 433-456. DOI: 10.1093/mnras/179.3.433
7. Menon G., Dermer C.D. A class of exact solutions to the force-free, axisymetric, stationary magnetosphere of a Kerr black hole. General Relativity and Gravitation, 2007, vol. 39, no. 6, pp. 785-794. DOI: 10.1007/s10714-007-0418-2
8. Brennan T.D., Gralla S.E., Jacobson T. Exact solutions to force-free electrodynamics in black hole backgrounds. Classical Quantum Gravity, 2013, Vol.30, no. 19, art. no. 195012. DOI: 10.1088/0264-9381/30/19/195012
9. Zhang F., McWilliams S.T., Pfeiffer H.P. Stability of exact force-free electrodynamic solutions and scattering from spacetime curvature. Physical Review D, 2015, vol.92, iss.2, art. no. 024049. DOI: 10.1103/PhysRevD.92.024049
10. Uchida T. Theory of force-free electromagnetic fields. I. General theory. Physical Review E, 1997, vol. 56, iss. 2, pp. 2181-2197. 10.1103/PhysRevE.56.2181
11. Uchida T. Theory of force-free electromagnetic fields. II. Configuration with symmetry. Physical Review E, 1997, vol. 56, iss. 2, pp. 2198-2212. DOI: 10.1103/PhysRevE.56.2198
12. Benn I.M., Kress J. Force-free fields from Hertz potentials. Journal of Physics A: Mathematical and General, 1996, vol. 29, no. 19, pp. 6295-6304. DOI: 10.1088/0305-4470/ 29/19/014
13. He X., Cao Z. Hertz potential formalism for force-free electrodynamics and its application to Brennan — Gralla — Jacobson solutions. International Journal of Modern Physics D 2016, vol. 25, iss.3, art. no. 1650039. DOI: 10.1142/S0218271816500395
14. Penrose R., Rindler W. Spinors and space-time. Vol. 1. Two-spinor calculus and relativistic fields. Cambridge, Cambridge University Press, 1984. 458 p. (Russ. ed.: Penrose R., RindlerW. Spinory i prostranstvo-vremja. V 2 t. T. 1. Dva-spinornoe ischislenie i reljativistskie polja. Moscow, Mir publ., 1987. 528 s).
