Бесконечные периодические слова и почти нильпотентные многообразия Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.5

БЕСКОНЕЧНЫЕ ПЕРИОДИЧЕСКИЕ СЛОВА И ПОЧТИ НИЛЬПОТЕНТНЫЕ МНОГООБРАЗИЯ

С. П. Мищенко 1

Для любого бесконечного периодического слова в алфавите из двух букв строится почти нильпотентное многообразие линейного роста. Построена дискретная серия различных почти нильпотентных многообразий. До этого было исследовано лишь несколько почти нильпотентных многообразий, причем чаще всего их существование доказано при некоторых дополнительных условиях. Доказано существование почти нильпотентных многообразий любого целого экспоненциального роста с дробной экспонентой, а также существование континуального семейства с ростом не выше квадратичного.

Ключевые слова: многообразие линейных алгебр, тождество, нильпотентность, рост коразмерностей.

An almost nilpotent variety of linear growth is constructed in the paper for any infinite periodic word in an alphabet of two letters. A discrete series of different almost nilpotent varieties is also constructed. Only a few almost nilpotent varieties were studied previously and their existence was proved often under some additional assumptions. It was proved the existence of almost nilpotent varieties of any integer exponent with a fractional exponent, as well as the existence of a continual family of almost nilpotent varieties with not more than quadratic growth.

Key words: variety of linear algebras, identity, nilpotency, growth of the codimensions.

Характеристика основного поля на протяжении всей работы равна нулю. Векторное пространство с билинейной бинарной операцией будем, следуя А. Г. Курошу, называть линейной алгеброй. Напомним, что совокупность алгебр, в которых выполняется фиксированный набор тождеств, называется многообразием. Все используемые, но необъясняемые понятия можно найти в книге [1].

Целью настоящей статьи является изучение почти нильпотентных многообразий. Напомним, что многообразие является почти нильпотентным, если оно не нильпотентно, но все собственные подмногообразия нильпотентны.

В ассоциативном случае единственным почти нильпотентным многообразием является многообразие всех ассоциативно-коммутативных алгебр, в случае алгебр Ли — многообразие всех мета-бел евых алгебр Ли. В работе [2] доказано, что в классе алгебр Лейбница существуют только два почти нильпотентных многообразия. Описать все почти нильпотентные многообразия удалось также в классе многообразий подэкспоненциального роста с тождеством (xy)z = 0. Их в этом классе оказалось ровно два (см. [3]). Аналогичный результат получен также в случае метабелевых коммутативных или антикоммутативных алгебр. Все перечисленные примеры почти нильпотентных многообразий подробно изучены. Из более сложных примеров описано почти нильпотентное многообразие экспоненты два [4, 5]. В остальных работах по этой тематике установлено лишь существование почти нильпотентных многообразий с соответствующими дополнительными свойствами. Так, в работе [6] доказано существование почти нильпотентного многообразия любой целой экспоненты, а в [7] — существование почти нильпотентного многообразия, экспонента которого является не целым числом. В метабелевом случае установлено существование континуального семейства различных почти нильпотентных многообразий не выше квадратичного роста [8]. Дополнительную информацию о результатах, связанных с почти нилыютентными многообразиями, можно найти в обзоре [9].

В настоящей работе построено счетное множество различных почти нильпотентных метабелевых многообразий линейного роста.

Так как ассоциативность в рассматриваемых алгебрах не предполагается, то необходимо следить за расстановкой скобок в произведениях. Обозначим через Lc, Rc операторы умножения слева и справа на элемент с и будем писать dLc = cd, dRc = dc.

1 Мищенко Сергей Петрович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. прикладной математики ф-та математики, авиационных и информационных технологий Ульянов, гос. ун-та, e-mail: mishchenkospQmail.ru.

Пусть Ф — поле нулевой характеристики и Ф{Х} — свободная неассоциативная алгебра со счетным множеством образующих X = {х, у, z, Х\,Х2, ■ ■ ■} над полем Ф. Рассмотрим некоторое многообразие линейных алгебр V. Обозначим через Id(V) Т-идеал тождеств многообразия V, тогда факторалгебра Ф{Х}/Ы(У) будет относительно свободной алгеброй счетного ранга многообразия V. Важной числовой характеристикой многообразия является последовательность размерностей cra(V) n-полилинейных частей Pn(V) алгебры Ф{Х}/1ё(У), п = 1,2,.... Более точно: для каждого п 1 пусть Рп — пространство полилинейных элементов от образующих ОС ]_ 5 • • • 5 . Так как char Ф = 0, то Ф{Х}/Ы(У) полностью определяется последовательностью подпространств (-fn(V) = Рп/(Рп П Idiy))}^ 1 и целым числом cra(V) = dim Pra(V), называемым п-й коразмерностью многообразия V. Функция роста последовательности целых чисел {Cn(V)}n^i определяет рост многообразия V.

Пространство Рп(У) имеет структуру ¿>га-модуля, и пусть Xn(V) — характер этого модуля, который называется п-м кохарактером многообразия V. Исходя из свойства полной приводимости, мы можем записать xra(V) = ^льтАХА) где Хл является неприводимым ¿»„-характером, соответствующим разбиению \ \~ п ш ni\ ^ 0 — соответствующая кратность (для более детального ознакомления мы отсылаем читателя к монографии [1]).

Так как мы исследуем неассоциативный случай, то необходимо учитывать расстановку скобок. Рассмотрим некоторую фиксированную расстановку скобок Т на мономах степени п. Тогда понятным образом можно определить пространство Pn(V) полилинейных элементов с данной расстановкой скобок, а также c^(V), X^(V). Очевидно, что пространство Pn(V) является суммой пространств Pj1(V) для различных расстановок скобок Т. Однако эта сумма необязательно прямая, поэтому rri\ Именно меньше или равно, а не равно, как может показаться. Например, мы полу-

чим строгое неравенство в случае ассоциативных алгебр, когда m\ = m^ для любой расстановки скобок Т.

Говорят, что многообразие V имеет полиномиальный рост, если существуют такие константы a, m ^ 0, что асимптотически Cn(V) ^ апт. При т = 1 мы говорим о линейном росте.

Пусть теперь А — линейная алгебра с одним образующим а, такая, что каждый элемент, содержащий два и более сомножителей, равных а2, равен нулю. Отметим, в частности, что алгебра А является метабелевой, т.е. в ней выполняется тождество (х 1X2) (х 3X3) = 0. Свойства многообразия V, порожденного этой алгеброй, подробно изучены в работе [10]. В частности, для любой расстановки скобок Т пространство Pn(V) как модуль симметрической группы Sn имеет характер

Зафиксируем бесконечное периодическое слово IV = и)1и)2 ... в алфавите 0,1 периода т. Отметим, что число различных его подслов длины п при п ^ т равно т. Действительно, если предположить, что это не так, то получим, что некоторое подслово и длины т является циклическим, т.е. будет совпадать со своим сдвигом: и = У\Ь2 = У2У\. В этом случае, как хорошо известно, = Vя, г>2 = V1 для некоторого слова и и натуральных в, Получаем, что период слова IV строго меньше, чем т. Через и](с) = №1(0)102(0)... обозначим слово в алфавите {Ьс, Кс}, получаемое из ги заменой 0 на Ьс, а 1 на Нс. Рассмотрим идеал алгебры А, порожденный всеми элементами а2у(Ьа, Иа), для которых слово ь(Ьа, Ка) не является подсловом слова и)(а). Факторалгебру А/1т, в которой вместо смежного класса а + 1т будем по-прежнему писать а, обозначим через Аш. Отметим, что ненулевыми мономами алгебры Аш будут элементы а2и(Ьа, Ка), для которых слово и(Ьа, Ка) является подсловом слова и)(а). Обратим внимание на то, что и(Ьа, Ка) € ЕпсЦАц,). Введем обозначение, которое потребуется в дальнейшем. Обозначим и)г'к подслово слова «;, которое начинается с и имеет длину к. Результат замены 0 на Ьс, а 1 на Кс обозначим и]г'к(с). Пусть — многообразие, порожденное алгеброй Аш.

Зафиксируем некоторую расстановку скобок Т и рассмотрим разложение кохарактера

Так как С V, то из разложения кохарактера (1) для многообразия V получаем, что для крат-ностей в (2) выполняются неравенства 0 ^ П1(п) ^ 1) 0 ^ ^ 2. Установим точные значения

кратностей для исследуемого многообразия

Ненулевые мономы от одной образующей х в относительно свободной алгебре имеют вид д = х2и(Ьх, Нх), где слово и(Ьх, Нх) является подсловом слова из(х). Множество таких расстановок скобок обозначим Тп.

Xn(V) = Х(п) +2Х(„_1,1).

(1)

Xn(Vw) = Щп)Х(п) + т(п-1,1)Х(п-1,1)-

(2)

Лемма 1. Пусть Т € Тп — некоторая расстановка скобок. Если Каи(Ьа, Ка) является под-словом слова ъи(а), а Ьаи(Ьа, Ка) не является или наоборот, то Ш(га_1;1) = Ш(га) = 1 и с^^ги) = п в сумме (2); если Ьаи(Ьа, Ка) и Каи(Ьа, Ка) являются подсловами слова из(а), то в сумме (2) т(п) = 1) т(п-1,1) =2 и = 2п — 1. Случай, когда Ьаи(Ьа, Ка) и Каи(Ьа, Ка) оба не являют-

ся подсловами слова из(а), невозможен. Если расстановка Т не принадлежит множеству Тп, то сТп{ = 0.

Доказательство. Рассмотрим разбиение (п) Ь п и соответствующий ему однородный относительно образующей х элемент д^п)(х) = х2и{Ьх,Кх). Так как Т € Тп, то слово и(Ьх,Кх) является подсловом слова ь]{х) и результат подстановки д^п){а) — ненулевой элемент алгебры Ат. Таким образом, кратность Ш(га) = 1. Рассмотрим теперь разбиение (п — 1,1) п и полиоднородные элементы полистепени (п — 1,1) относительно образующих х\,х2, соответствующие различным стандартным таблицам Юнга:

до(х 1,ж2) = х\х2и(ЬХ1,КХ1) - х2х\ и(Ь XI ) )

и для г = 1, 2,... , п — 2

9г{х 1, ж2) = Х1Х1Щ(Х1)... щ-1(х1)щ(х2)щ+1(х1)... ип-2(х 1) - х2х\и(ЬХ1,КХ1).

Проанализируем, сколько из этих элементов являются линейно независимыми. Это число и будет совпадать с кратностью Ш(га_ 1д) в (2) (см. по этому поводу лемму 2 работы [111). Так как выписанные элементы содержат альтернированную пару, то достаточно рассмотреть подстановку, когда вместо х\ стоит элемент а € Аш, а вместо х2 — некоторый одночлен Ь = а2у(Ьа, Яа) из квадрата алгебры А2. Пусть Ь = а2, тогда получим до{а, Ъ) = а2Ьаи(Ьа, Ка) — а2Каи(Ьа, Ка), д^а, Ъ) = —а2Каи(Ьа, Ка), г = 1,2,..., п — 2.

Если слово Каи(Ьа, Ка) является подсловом слова из(а), а Ьаи(Ьа, Ка) — нет, то д^а, Ъ) = до(а,Ь) = —а2Каи(Ьа,Ка), г = 1,2,...,п — 2, и мы получаем один линейно независимый элемент, поэтому т(га_1;1) = 1. Если Ьаи(Ьа, Ка) является подсловом слова из(а), а Каи(Ьа, Ка) — нет, то мы получаем, что д^х\,х2) = 0, г = 1,2,... ,п — 2, являются тождествами многообразия и опять же Ш(га_1;1) = 1. В случае когда Каи(Ьа, Ка) и Ьаи(Ьа, Ка) — подслова слова из(а), мы получаем два линейно независимых элемента, поэтому Ш(га_1;1) = 2. Заметим, что случай, когда оба слова не являются подсловами слова ъи(а), невозможен, так как ъи(а) — бесконечное периодическое слово, а слово и(Ьа, Ка) — его подслово по условию.

Последнее утверждение тривиально, доказательство леммы 1 завершено.

Лемма 2. Из тождества д = х2и]г'к(х) = 0, где г,к — произвольные натуральные фиксированные числа, по модулю тождеств многообразия, следует, нильпотентность.

Доказательство. Подставив в тождество д = 0 вместо образующей х сумму ух + х и взяв полиоднородную компоненту полистепени (к + 1,1,1) относительно образующих х,у,г, получим тождество ухКхи]г'к(х) + угЬхюг'к(х) = 0. Одно из следствий последнего тождества имеет вид

■ ^г+й+т,— 1 {х) = 0. Пусть г — остаток при делении к на т. Если и)г+к+т-1-г(х) = Ех, то

(х)

является подсловом слова ъи(х), а

{х)

не является. Тогда следствие имеет вид

{х) = 0.

Если же и]1+к+т-1_г(х) = Пх, то, наоборот, слово Ьхи)г'к(х)и)^к(х)и)^к+1(х).. ^г+к+т_1(х) не является подсловом слова ъи(х), а Кхи>г'к(х)и>1+к(х)и)1+к+\{х)... и>1+к+т_\(х) является. В этом случае следствие имеет вид

■ г-\-к-\-т— 1

{х) = 0.

Отсюда следует, что тождества вида yzw^'k+2m+l(x) = 0, j = 1, 2,... , m, также являются следствиями рассматриваемого тождества. Получаем нильпотентность степени к + 2m + 3.

Лемма 2 доказана.

Теорема. Многоообразие Vw, где w— бесконечное периодическое слово периода т, является почти нильпотентным многообразием линейного роста. Более точно: при п ^ m + 2 выполнено равенство cn(\w) = тп. Для различных периодических бесконечных слов и и v многообразия, \и, \v различные.

Доказательство. Рассмотрим некоторое полилинейное тождество, которое не выполняется в алгебре Aw степени п ^ 3. Случаи п = 1 или п = 2 тривиальны. Некоторый результат подстановки элементов алгебры вместо образующих в это тождество отличен от нуля. Пусть подстановка а вместо всех образующих приводит к ненулевому результату, тогда рассмотрим его следствие, которое получается после отождествления всех образующих. Если п ^ m + 2, то это тождество имеет вид YliLi Q-iX2wl'n~2 (х) = 0. Если степень исходного тождества меньше, то возможен случай, когда некоторые ws'n~2(x), и}г'п~2(х) совпадают при различных s,t, тогда, приведя подобные, мы запишем его все-таки как сумму различных слагаемых.

Так как полученное тождество не выполняется в алгебре Aw, некоторый коэффициент, пусть cxj, отличен от нуля. Одно из следствий степени п + m имеет вид

^~2щх2гиг'п~2(хwj+n-2(x)... wj+n-3+m(x) = ajx2w3'n~2(x)wj+n-2(x)... wj+n-3+m(x) = 0,

и мы попадаем в условие леммы 2.

Пусть теперь подстановка вместо всех образующих одного и того же элемента а € Aw дает нулевой результат. Тогда для получения ненулевого значения вместо одной образующей, например вместо хп, следует подставить элемент из квадрата алгебры А2Ш. Подставим в рассматриваемое тождество yz вместо хп, а вместо остальных образующих подставим х. Получим следствие, которое по-прежнему не выполняется в алгебре Aw и которое имеет вид 'Y^Li cti(yz)wl'n~1 (х) = 0. Опять же при небольшой степени, в этом случае при п < m +1, количество слагаемых может быть меньше m в силу возможного совпадения ws'n~2(x), wt,n~2(x). Как и в предыдущем случае, так как тождество не выполняется в алгебре Aw, то некоторый коэффициент, пусть <х/, отличен от нуля. Подставляя теперь у = z = X, попадаем в рассмотренный ранее случай.

Пусть п)т + 2иТе Тп. Тогда так как w(a) — бесконечное периодическое слово, a u(La, Ra) имеет длину, большую или равную периоду m, то из двух слов Rau(La, Ra) и Lau(La, Ra) одно и только одно является подсловом слова w(a). Поэтому для такой расстановки скобок по лемме 1 в разложении характера (2) Ш(га_1;1) = Ш(га) = 1 и c^ÇVw) = п. Из доказательства леммы 2 видно, что -Pra(V) = фтет„ Рп^) ~ сумма прямая. Поэтому коразмерность cnÇVw) равна произведению п на число слагаемых, которое равно периоду т. Таким образом, c^(Yw) = mn, если п ^ m + 2.

Пусть теперь и и v — различные периодические слова. Тогда существует моном с некоторой расстановкой скобок, который является тождеством одного из многообразий VM и V^, но не является тождеством другого. Так как оба многообразия являются почти нильпотентными, отсюда следует, что многообразия VM и Vv различные. Доказательство теоремы завершено.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Giambruno A., Zaicev M. Polynomial identities and asymptotic methods // Math. Surveys and Monographs. Vol. 122. Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2005.

2. Фролова Ю.Ю., Шулежко O.B. Почти нильпотентные многообразия алгебр Лейбница // Прикладная дискретная математика. Томск. 2015. № 2(28). 30-36.

3. Mishchenko S., Valenti A. On almost nilpotent varieties of subexponential growth //J. Algebra. 2015. 423, N 1. 902-915.

4. Mishchenko S., Valenti A. An almost nilpotent variety of exponent 2 // Isr. J. Math. 2014. 199. 241-258.

5. Шулежко O.B. Новые свойства почти нильпотентного многообразия экспоненты два // Изв. Саратов, ун-та. Новая сер. Матем. Механ. Информ. 2014. 14, вып. 3. 316-320.

6. Мищенко С.П., Шулежко О.В. Почти нильпотентные многообразия любой целой экспоненты // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2015. № 2. 53-57.

7. Мищенко С.П. Почти нильпотентные многообразия дробной экспоненты существуют // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. № 3. 42-46.

8. Мищенко С.П. Метабелевы почти нильпотентные многообразия полиномиального роста // Мат-лы Между нар. конф. по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Казан, ун-т; Изд-во Академии наук ТР, 2016. 247-248.

9. Шулежко О. В. О почти нильпотентных многообразиях в различных классах линейных алгебр / / Чебы-шёвский сборник. 2015. 16, вып. 1. 67-88.

10. Мищенко С.П., Верёвкин А.Б. О многообразиях с тождествами однопорожденной свободной метабелевой алгебры // Чебышёвский сборник. 2016. 17, № 2(58). 21-55.

11. Зайцев М.В., Мищенко С.П. О кодлине многообразий линейных алгебр // Матем. заметки. 2006. 79, № 4. 553-559.

Поступила в редакцию 14.12.2016

УДК 517.926.4

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО УСИЛЕННОГО ВАРИАНТА ОДНОВРЕМЕННОЙ ДОСТИЖИМОСТИ ЦЕНТРАЛЬНЫХ ПОКАЗАТЕЛЕЙ В КЛАССЕ ЛИНЕЙНЫХ ГАМИЛЬТОНОВЫХ СИСТЕМ

Т. В. Салова1

Центральные показатели линейной гамильтоновой системы раздвигаются в стороны равномерно малыми гамильтоновыми возмущениями ее коэффициентов, а затем одновременно достигаются показателями Ляпунова с помощью бесконечно малых гамильтоновых возмущений полученной системы.

Ключевые слова: линейные системы, гамильтоновы системы, показатели Ляпунова, центральные показатели.

The central exponents of a linear Hamiltonian system are moved apart through uniformly-small Hamiltonian perturbations of its coefficients, and then they are simultaneously attained by the Lyapunov exponents through infmitesimally small perturbations of the Hamiltonian system obtained.

Key words: linear systems, Hamiltonian systems, Lyapunov exponents, central exponents.

Для заданного n € N обозначим через Л4п пространство линейных систем вида

х = A(t)x, жег, te М+ = [0, оо),

с ограниченными кусочно-непрерывными оператор-функциями А : R+ —>■ EndRra, отождествляемыми с самими системами. Линейное пространство Л4п всех таких систем наделим равномерной на полупрямой t € R+ топологией, задаваемой нормой (пространство Шп евклидово)

||А|| = sup \A(t)\, \A(t)\ = sup \A{t)x\, \x\ = y/(x,x), x € Mra

i€R+ \x\ = l

Обозначим через Xa оператор Коши системы A G Л4п, а через S*(A) множество всех ее ненулевых решений.

Для системы А € Л4п определим старший и младший характ,ерист,ические показатели Ляпунова [1, §2]:

Л(А) = sup lim - In \x(t)\, Л(А) = inf lim - In \x(t)\,

XÇS4A) t x&St(A) t->co t

1 Салова Татьяна Валентиновна — канд. фнз.-мат. наук, доцент каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: m_messageQmail.ru.