Bending and buckling responses of functionally graded nanoplates embedded in an elastic medium Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 539.3

Исследование изгиба и потери устойчивости

функционально-градиентных нанопластин в упругой среде

R. Bentabet1, A. Attia2, M.M. Selim3, A. Chikh1,4, F. Bourada1,5, A.A. Bousahla1, M.H. Ghazwani6, A. Tounsi1,7,8

1 Университет Сиди-Бель-Аббеса, Сиди-Бель-Аббес, 22000, Алжир 2 Университет Айн-Темушента, Айн-Темушент, 46000, Алжир 3 Университет им. принца Саттама ибн Абдулазиза, Аль-Афладж, 710-11912, Саудовская Аравия

4 Университет им. Ибн Хальдуна, Тиарет, 14000, Алжир

5 Университет Тисемсильта, Бен Хамуда, 38004, Алжир

6 Университет Джизана, Джизан, 45124, Саудовская Аравия 7 Университет Ёнсе, Сеул, 03722, Корея 8 Университет нефти и полезных ископаемых им. короля Фахда, Дахран, 31261, Саудовская Аравия

В работе исследованы изгиб и потеря тепловой и механической устойчивости функционально-градиентных нанопластин в упругой среде. Модель построена на основе уточненной интегральной теории пластин с четырьмя неизвестными в рамках нелокальной теории упругости Эрингена. Свойства материала пластины считаются непрерывно изменяющимися по толщине. Упругая среда моделируется как двухпараметрическое упругое основание Пастернака. На основе принципа виртуальных перемещений получены уравнения равновесия. Выполнено сравнение полученных результатов для свободно покоящихся функционально-градиентных нанопластин с литературными данными. Проведены параметрические исследования влияния параметра неоднородности материала, нелокального параметра, жесткости упругой среды и соотношения размеров функционально-градиентных нанопластин на их поведение.

Ключевые слова: изгиб, потеря устойчивости, функционально-градиентная нанопластина, нелокальная теория, уточненная интегральная теория пластин с четырьмя неизвестными DOI 10.55652/1683-805X_2023_26_1_78

Bending and buckling responses of functionally graded nanoplates embedded in an elastic medium

R. Bentabet1, A. Attia2, M.M. Selim3, A. Chikh1,4, F. Bourada1,5, A.A. Bousahla6, M.H. Ghazwani7, and A. Tounsi1,8,9

1 Material and Hydrology Laboratory, Faculty of Technology, Civil Engineering Department, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 2 Engineering and Sustainable Development Laboratory, Faculty of Science and Technology, Department of Civil Engineering, University of Ain Temouchent, Ain Temouchent, 46000, Algeria 3 Department of Mathematics, Al-Aflaj College of Science and Humanities, Prince Sattam bin Abdulaziz University,

Al-Aflaj, 710-11912, Saudi Arabia 4 Ibn Khaldoun University, BP 78 Zaaroura, Tiaret, 14000, Algeria 5 Department of Sciences and Technology, Tissemsilt University, Ben Hamouda, 38004, Algeria 6 Laboratory of Multiscale Modeling and Simulation, University of Sidi Bel Abbes, Sidi Bel Abbes, 22000, Algeria 7 Department of Mechanical Engineering, Faculty of Engineering, Jazan University, Jazan, 45124, Saudia Arabia 8 YFL (Yonsei Frontier Lab.), Yonsei University, Seoul, 03722, Korea 9 Civil and Environmental Engineering Department, King Fahd University of Petroleum & Minerals,

Dhahran, 31261, Saudi Arabia

This research is devoted to the study of the flexural response and buckling analysis (thermal and mechanical) of functionally graded (FG) nanoscale plates integrated in an elastic medium. The structure is modeled on the basis of a refined integral plate theory with four unknowns incorporated into Eringen's nonlocal elasticity theory. The material properties of the plate are considered to be graded continuously over the entire thickness of the nanoplate. The elastic medium is simulated like Pasternak's two-parameter elastic foundations. The equilibrium equations are determined from the principle of virtual displacements. The results for simply supported FG nanoscale plates are deduced and compared with those available in the literature. Parametric studies are carried out to demonstrate the impacts of the inhomogeneity parameter, nonlocal parameter, elastic medium stiffness, and plate geometric ratios on the behavior of FG nanoscale plates.

Keywords: bending, buckling, FG nanoplate, nonlocal theory, four-unknown refined integral plate theory

© Bentabet R., Attia A., Selim M.M., Chikh A., Bourada F., Bousahla A.A., Ghazwani M.H., Tounsi A., 2023

1. Введение

Пластина из функционально-градиентного (ФГ) материала в общем случае представляет собой структуру из смеси металлических и керамических материалов с заданным изменением объемных долей компонентов по толщине. Свойства ФГ пластины меняются от одной границы раздела к другой, обеспечивая равномерное распределение напряжений по толщине пластины. При этом отсутствуют проблемы интерфейса, характерные для композитных материалов. Поведение материалов такого типа является предметом интенсивных исследований [1-10].

В последние годы функционально-градиентные материалы широко применяются во многих инженерных решениях, таких как микро- и нано-электромеханические системы, тонкие пленки на основе сплавов с памятью формы, атомно-сило-вые микроскопы [11-15], для получения требуемых эксплуатационных характеристик и высокой чувствительности. При использовании ФГ материалов в наноустройствах необходимо учитывать влияние эффектов малого масштаба. Экспериментально было показано, что пренебрежение масштабным эффектом приводит к неверным решениям и ошибочным концепциям [16-18]. Классические модели сплошной среды неприменимы для описания поведения наноустройств из ФГ материалов, поскольку в них не вводятся внутренние характерные размеры. В связи с этим были предложены различные теории, учитывающие влияние характерного размера на структуры, используемые в наноустройствах, в частности, модифицированная теория моментных напряжений [1921], теория градиента деформации [22-24], микрополярная теория [25], нелокальная теория упругости [26], теория поверхностной упругости [27]. Наряду с этими теориями широко применяется нелокальная теория сплошной среды Эринге-на [26, 28, 29] для точного экспресс-анализа наноструктур [30-39]. Поэтому в последнее время нелокальные подходы к описанию наноструктур получили широкое распространение в области нано-технологий.

Нелокальная континуальная теория применяется для описания не только однородных, но и функционально-градиентных наноструктур. Так, в рамках нелокальной теории, методом конечных элементов исследованы свободные колебания ФГ нанопластин [40]. На основе нелокальной теории упругости с использованием метода конечных элементов и теории балок Эйлера-Бернулли изу-

чено влияние малого масштаба на свободные колебания ФГ нанобалок [41]. В рамках теории сдвиговой деформации первого порядка изучены колебания круглых и кольцеобразных ФГ нанопластин [42]. С применением моделей нелокальной упругости и балки Эйлера-Бернулли рассмотрены нелинейные свободные колебания ФГ нанобалок [43]. В рамках нелокальной теории упругости исследовано влияние упругости поверхности, поверхностных напряжений, плотности поверхности, пьезоэлектрического поля на свободные колебания ФГ нанобалок [44, 45]. Авторами [46] на основе модели Тимошенко и нелокальной теории Эрингена проведен нелинейный статический анализ поведения двунаправленных ФГ нанобалок с закрепленными концами. В [47] с использованием принципа Гамильтона, теорий фон Кармана и Эрингена исследованы нелинейные колебания осесимметричной ФГ нанобалки, покоящейся на упругом основании Винклера-Пас-тернака. Характеристики нелинейных колебаний неоднородной осесимметричной ФГ нанотрубки изучены с использованием нелокальной теории градиента деформации и теории высшего порядка в работе [48]. Методами математического и компьютерного моделирования с использованием принципа Гамильтона и нелокальной теории градиента деформации выполнен анализ динамического разупрочнения консольных ФГ нанобалок [49]. Авторами работы [50] с использованием принципа Гамильтона, теории Эйлера-Бернулли и нелокальной теории упругости получено решение задачи о колебаниях ФГ нанобалки при подвижной гармонической нагрузке. В рамках нелокальных теорий Эрингена и Эйлера-Бернулли аналитически решена задача о термоупругом демпфировании свободно опертой пьезотермоуп-ругой нанобалки [51]. На основе модифицированной теории моментных напряжений, теории пластин высшего порядка Редди и изогеометрическо-го анализа исследован нелинейный отклик при изгибе ФГ микропластины с дефектами с учетом влияния малого масштаба [52]. С использованием нелокальной градиентной теории деформации, модели Рейсснера-Миндлина, принципа Гамильтона и NURBS сплайна изучен статический и динамический отклик нанопластины в виде сэндвич-структуры с S-образным функциональным градиентом [53]. Выполнен ряд исследований поведения одномерных и двумерных структур на упругих основаниях. Например, в работе [54] выполнен динамический анализ пористой сэндвич-

пластины на основании Керра при тепловом воздействии.

Целью данной работы является исследование поведения при изгибе и потери механической и тепловой устойчивости функционально-градиентной нанопластины с использованием уточненной интегральной нелокальной теории пластин. В постановке задачи используются четыре неизвестных и задается параболическое распределение поперечных касательных напряжений по толщине пластины без учета поправок на сдвиг. Распределение компонентов материала по толщине пластины задается в соответствии с законом смесей, предложенным в [55]. Для учета влияния малого масштаба наноразмерных пластин используется нелокальная теория сплошной среды Эрингена. Получены аналитические решения задач для свободно опертой нанопластины. Проведено сравнение результатов расчетов с литературными данными. Рассмотрено поведение ФГ нанопластины, покоящейся на упругом основании, которое моделируется с использованием параметров Винклера и Пастернака. Проведены параметрические исследования, показывающие влияние различных параметров на прогиб, напряжения, критическую нагрузку и температуру потери устойчивости ФГ нанопластины.

2. Постановка задачи

2.1. Геометрия пластины

Рассмотрим функционально-градиентную на-нопластину, длина а, ширина Ъ и толщина И которой ориентированы вдоль осей декартовой системы координат (х; у; т) (рис. 1). Будем считать, что пластина покоится на упругом основании типа Винклера или Пастернака.

2.1.1. Основание Винклера

Модель упругой среды Винклера является од-нопараметрической, зависимость «нагрузка - перемещение» для упругих оснований определяется уравнением

^ = ^о. (1)

2.1.2. Основание Пастернака

Модель упругой среды Пастернака содержит два упругих параметра, первый из которых идентичен параметру Винклера, а второй является параметром сдвигового слоя, описывающим взаи-

модействие пружин [56]. Отклик упругой среды Пастернака можно описать уравнением

4р = К^ ^о - СрУ ^о

(2)

где Ср — жесткость при сдвиге; У — дифференциальный оператор Лапласа:

У2 =

2 + .2

(3)

а^ а/

Функционально-градиентная нанопластина состоит из двух разнородных материалов. Состав пластины изменяется в направлении от верхней поверхности (т = И/2) к нижней (т = -И/2). Коэффициент Пуассона V имеет постоянное значение (V = 0.3), в то время как модуль Юнга Е(т), массовая плотность р(т) и коэффициент теплового расширения а(т) непрерывно изменяются по толщине в соответствии со степенным законом, как описано в [55]:

Е (т) = Е

а(т) =

Е2

V Е1 У

а

Vаl У

(4)

(5)

где индексы 1 и 2 обозначают материал нижней и верхней поверхности соответственно; У2 — объемная доля верхней поверхности, связанная с объемной долей нижней поверхности ¥1 соотношением

VI = 1 - у2. (6)

Выражение для объемной доли второго материала записывается в виде

V =

V

т 1 —+ —

И 2

0 < р < да,

(7)

У

где р — показатель степени (параметр неоднородности), определяющий профиль изменения мате-

Рис. 1. Функционально-градиентная нанопластина на двухслойном упругом основании

Рис. 2. Изменение объемной доли У2 по толщине ФГ пластины при различных значениях параметра неоднородности материала р (цветной в онлайн-версии)

риала по толщине ФГ пластины. На рис. 2 показано изменение объемной доли второго материала У2 по толщине пластины для различных значений показателя степени р. Видно, что объемная доля У2 уменьшается с увеличением значения р.

2.2. Определяющие уравнения

Классическая теория сдвиговой деформации преобразуется путем введения неопределенных интегралов, за счет этого число неизвестных уменьшается до четырех. Обобщенное поле перемещений представим в виде

и(х, у, г, t) = и0 (х, у, t) - г + к1 /(г)|0(х, у, t)дх, у(х, у, г, t) = у0(х, у, t) - г

дж0 дх

дж0 ду

(8)

+ к2/(г)/0(х, у, t)ду, ж(х, у, г, t) = ^о(х, у, t).

Здесь и0, у0, ж0 и 9 — функции перемещений серединной поверхности пластины. Константы к1 и к2 зависят от геометрии пластины. Функцию формы сдвиговой деформации зададим в виде

Г ( г ) =

2 + л

(9)

Видно, что поле перемещений в (8) вводит только четыре неизвестных (и0, у0, w0 и 9). Ненулевые деформации, связанные с полем перемещений в уравнении (8), записываются как

В х в0 Г / Ъ кх К '

в у > = < ву /Ъ къ > +1 ( г )< к;

у ху У0 1 ху _ Ъ кху к1у ^

(10)

= § ( г >

уг

где

ди0

дх кЪЪ

0 > < к"у

дх у

ди0 + ду0 к%

ду дх

-2

д 2 ж0

дх 2 2

д ж0

"ду^

д 2 ж.

дхду

ху

к10

к20

д д к1—10 dх + к2—10 ду ду дх

(11)

Используя метод Навье, запишем интегралы в приведенных выше уравнениях:

= А'-3-0, А|0ду = Е'^0,

ду дхду дх дхду

|0дх = А '—, |0ду = Е'—.

дх ду

(12)

Здесь коэффициенты А', Е' можно выразить с использованием решения Навье как

А' = -1/ а2, Е' = -1/ р2, к1 =а2, к2 = р2,

где а и в определяются из уравнения (23).

2.3. Нелокальная теория

Согласно нелокальной теории упругости [26, 28], нелокальные определяющие соотношения для ФГ нанопластины можно записать как

(1 -ц V2) а х = Щ (в х + у) - М,

1 -V

1 -V

(1 -ц 2) а у = Щ (в у + vв х) - ^^ М,

1 -V2

1 -V

(1 -„2У2) т^ уху,

(1 -„V) т„ =3^ Ух,,

(13)

2(1 + У)

(1 -„2У2)т =у , у2 2(1 + у) у

где АТ — повышение температуры; ц = е0а — нелокальный параметр; е0 — константа соответствующего материала; а — внутренняя характерная длина. В общем случае для однослойной углеродной нанотрубки аппроксимация нелокального параметра дает е0а < 2.0 нм [57].

3. Определяющие уравнения

Используя статический вариант принципа Гамильтона, уравнения движения, связанные с полем перемещений в уравнении (8), можно выразить следующим образом:

дЫ дЫху 5ы + —^ = 0,

дх ду дЫ„. дЫ

: —

дх ду

= 0,

д 2МЬ дМ дМ

5ж0:^х + 2-^ +-

дхду ду2

д Ж0 + д ж0

дх2

К^ Ж -

дх2 ду2

+ Ч + Ехх

^д2 ж ^

дх2

Е

уу

ду2

2 Е

^дЧ >

ху

= 0,

ч дхду у д2М*

59: К,А'—М-^ + К2В' 2

Л, .2

д2М*

дх2

ду2

(К1 А' + К2 В')

д 2Мху , дБ" -^ - К1А'—^

дхду дх

где результирующие напряжения Ыу, МУ, МУ, Б1 представлены в виде

К2 В'^ =

ду

ь

И/ 2

{Ыу,МЬ,М* } = | {1, 7, /(7)}Су.&,

-И/ 2

И/ 2

(15)

Б,г = | &(7)тг2дг, 1 = х, у.

-И/ 2

Продольную нагрузку на кромках пластины Е. запишем как

Е = р + Ыт Е = р + Ыг Е = 0 (16)

хх Ухх хх' уу Ууу уу' ху ' V-1-"/

где рхх, руу и Ы^, ыТу — нормальные силы в плоскости пластины, возникающие под действием механической и тепловой нагрузки соответственно и действующие вдоль граней параллельно направлениям у, х:

рхх = Руу = р

Ы0 = №у = Ыт =- Т^ а( г)дт^. (17)

-И/ 2 1

Подставляя (10) в (14) и полученные результаты в (15), выразим результирующие напряжения через деформации в компактной форме:

(1 -уу) <

' Ы ' " А В В*' 8

МЬ . = В Б Б* < кЬ>

М* В* Б* Н* к* ^

(18)

(1 -УУ) Б = А* у,

где

N = {Ых, Ыу, Ыху }\ Мь = {МЬ, МЬ, М% } М* = {Мх, Му, М*у }1,

е = {ех , 8у , Уху }, к = {кЬ , кЬ , кЬу ^

у ху к = {кх , ку , к*у } ,

у ху ^

" А11 А12 0 " ■ В11 В12 0 "

(14) А = А12 А22 0 , В = В12 В22 0

0 0 Абб _ 0 0 Вбб _

" Бц Б12 0 "

Б = ^12 ^22 0 , В*

0 0 Ббб _

й* й* В11 В12

В1*2 В 0

22

0 В6*

,(19)

п* Б* 0 Н*1 Н1*2 0

0, Б* = Б* Б* Б22 0 , Н* = Н1*2 Н 22 0

0 0 Б* n66 0 0 Н66

Б = {Б^, Б^ }t, у = {у , у % }t, А* =

А*

44

а компоненты жесткости задаются в виде

111 В11 ВП 12 В1

Абб Вб

А12 В12 ^12

В*1 л* Ни

В1*2 Б* 12 Н12

В6*6 Б* 66 Н 66

0

= T Щгa z, z2, f (z), zf (z), f 2(z))\

-h¡ 2

1 -v2

1 v 1 -v

dz,

(Л22, В22, —22, В22, —22, Н22 ) = Аь Аь НпХ

А44 = 45 = Т^Х+М я (^

-V2 2(1 +

Подставляя (18) в (14), запишем нелокальные уравнения движения через перемещения (и0, v0, w0, 0), тогда соответствующие уравнения примут вид

+ (Л12 + ЛбМ^О -- (ВХ2 + 2Вбб)а122Wo + (Вбб(к1 Л' + к2В')Мш0

+ (в(1к1 + в]?2к2)а10 = о, Л22^22У0 + Л66

¿1^0 + (Л12 + Л66)^12и0

- B22d222Wo - (В12 + 2Вбб)аП2Wo + £¿6 (21)

х (к л'+к2 в')а1120+(в2'2к2 + в1'2к1)а20 = о, ААпи0 + (В12 + 2 В66^122и0 + (В12 + 2В66)Й112^0 + В22^22^ - ААпМ - 2(-12 + 2А6Мп22^)

- —22^2222Wo + (АА + А^)^ + 2(—6 (к Л'

+ к2 В'))аП220 + (—А +

+ (1 - УУ)[£ - (р - ^ )(dllWo + ¿22Wo )

- (КЧ W0 - Ks(d11W0 + ¿22^)))] = 0,

-(+ £^2)^0 - (САЛ' + к2В'))^

- (ВДЛ' + к2£'))^о - (£А + ^2^0

+ (—к + Д^)^ + 2( —^(М' + к2 В'))^^ + (—А + —22к2^2^0 - н/А20 - Н22к220

- 2Н'2к1к20 - ((к Л' + к2 В')2 Н6)а11220

+ Л44( к2 В')М220 + Л55( к1 Л')Мп0 = 0, где ¿у, ¿ум — дифференциальные операторы:

-Лл =■

di/ =

Sx.cx

а2 а3

i j

dijlm =

dxidxj dx¡ dxm i, J, l, m = 1,2.

dxidxJdxl

d а

■di =ar,

ax

(22)

(23)

4. Аналитические решения

Используя решение Навье [9, 10, 20], рассмотрим разложение перемещений для выполнения краевых условий на свободно опертой наноплас-тине:

'Umn cos(ax)sin(Py)' Vmn sin(ax) cos(Py)

W0mn sin(ax)sin(Pj) Qmn sin(ax) sin(Pj) Wbmn, 9mn — неизвестные параметры, а = mn/a, в = nn/b.

Приложенную поперечную нагрузку также представим в терминах решения Навье:

да да

q = Z Z 4mn sin (ax) sin (Py), (24)

m=1 n=1

M0

(20) V0 да да >=ZZ<

W0 m=1 n=1

0

где U

, V ,

где qmn

2

для синусоидальном нагрузки, цтп = 16д0/(л2тп) для равномерно распределенной нагрузки.

Подставляя (23) в (22), получим:

(

- ю

an a12

a12 a22

a13 a23

a14 a24

m11 0

0 m22

m13 m23

m14 m24

•43

23

a33 + P

-«34

14

24

-<34

44

Л

m.

13

m

14

m.

23

m

24

m

33

m

34

m

34

m

44

(25)

где

S11 =a A11

P2 A66,

S12 =aP( A12 + Aí6),

S13 =-a3 B11 -ap2( B12 +2 Вбб), S14 = a((k2 B'B12 + (kA' + k2 B') B6s6)p2 + k1A'B¡1a2),

S22 =a A66 +P A22, S23 = -a2p( B12 +2 B66) -P3 B22,

(26)

S24 = P((k A'B/2 + (k A' + k B) B66)a 2 + k2BB22P2),

S33 = a4Dn + p4D22 +2a2p2( D12 +2D66) + Kw + Ks(a2 +p2), S34 = -(a4k1 A'D/1 +p4k2 B'D22) -a2p2(k1 A' + k2 B')( D¡2 +2 D66), S44 = a4(k1 A')2 Я/1 + p4 (k2 B')2 Hs22

+ (2к1к2 А'В'Н*2 + (к1А + к2 В)2 Н6*6 )а 2р2 + а2((к1А')2 Е5*5 +2к1А'Х5*5 + А*5) + Р2((к2 В ' )2 ^4*4 + А44), А, = 1 + „2(а2 +р2), Ч = ^ч0, Ё = (-р + Ыт )(а2 +Р2)А,.

В задаче об изгибе критические нагрузки потери устойчивости равны нулю. В то время как для исследования потери устойчивости чшп = 0.

5. Численные результаты

Рассмотрим влияние нелокального параметра на изгибающую нагрузку, критическую нагрузку при продольном изгибе, а также критическую температуру потери устойчивости ФГ наноплас-тин квадратной формы (а = Ь = 10 нм, И изменяется от 0.5 до 2.5 нм) на упругих основаниях Винк-лера и Пастернака. Статический анализ проводится для свободно опертых ФГ нанопластин. Для сравнения используем выражения для безразмерных параметров, полученные в работе [55]:

_ 100E2h3 ( a b Л 10h W =-2-WI —,- I, Gx =-G,

4 12 2 J x qoa x

qoa

a b h 2 2 2

^xy

= 10h qoa 10h

q0a

2 xy

0,2.0

0,0, - 2

N = — p. AT = 102a7AT. D2

K = Кw a K = K-a K w =-.K =■

D2

Ds

D2 =■

E2h3

12(1 -v2)

Рассматриваемые ФГ нанопластины состоят из двух материалов: металла (алюминий) и алюмо-керамики (Al2O3) со следующими характеристиками: E = 70 ГПа, а: = 23 ■ 10-6 К-1 и E2 = 380 ГПа. а2 = 7 ■ 10-6 К-1 соответственно.

Точность оценки статического отклика ФГ нанопластин при использовании предложенной модели продемонстрирована ниже на ряде примеров. В первом случае градиент характеристик материала (P) ФГ пластины задается степенным законом вида P=Pi + (P2 - Pi)V2. В табл. 1 приведено сравнение полученных значений безразмерного прогиба w и нормального напряжения Gx в плоскости ФГ пластины квадратной формы без упругих оснований с данными работ [55. 58. 59]. Прогиб W и напряжение Gx рассчитаны для различных значений параметра неоднородности (p = 1. 4. 10) и соотношения длины и толщины пластины (a/h = 4. 10. 100). Увеличение отношения a/h приводит к уменьшению прогиба и увеличению напряжения Gx. При увеличении параметра неоднородности p наблюдается противоположное поведение величин W и Gx.

Сравнение полученных значений безразмерного прогиба и напряжений Gx. Yxz и "г при наличии упругих оснований с данными работы [60] показано в табл. 2. Видно. что значения указанных величин уменьшаются при наличии упругих

Таблица 1. Значения прогиба и напряжения в плоскости ФГ пластины квадратной формы без упругих оснований

a/h Источник w G x (V 3)

P = 1 p = 4 p = 10 P = 1 p = 4 p = 10

[58] 7.171 11.585 13.745 6.221 4.877 3.695

4 [55] 7.284 11.598 13.908 5.812 4.448 3.258

Наст. статья 7.272 11.627 13.909 5.796 4.403 3.215

[58] 5.875 8.821 10.072 15.064 11.971 8.965

10 [59] 5.889 8.819 10.089 14.894 11.783 8.775

[55] 5.889 8.814 10.087 14.898 11.793 8.784

Наст. статья 5.888 8.820 10.089 14.891 11.775 8.767

[58] 5.625 8.286 9.361 149.690 119.230 89.077

100 [55] 5.625 8.286 9.361 149.680 119.210 89.060

Наст. статья 5.625 8.287 9.362 149.675 119.207 89.058

2

Таблица 2. Значения прогиба и напряжений ФГ пластины квадратной формы для различных значений параметров упругого основания и параметра неоднородности (а/Н = 10)

к ™ к Модель р = 0 Р = 1 Р = 2 Р = 5 р = 10

0 0 [60] 2.9603 5.8891 7.5733 9.1184 10.0892

[55] 2.9605 5.8895 7.5730 9.1135 10.0870

Наст. статья 2.9597 5.8881 7.5726 9.1208 10.0888

100 0 [60] 2.3290 3.8258 4.4719 4.9691 5.2441

[55] 2.3291 3.8260 4.4717 4.9676 5.2434

Наст. статья 2.3286 3.8254 4.4717 4.9698 5.2440

0 10 [60] 1.9284 2.8525 3.1969 3.4432 3.5730

[55] 1.9285 2.8526 3.1968 3.4424 3.5727

Наст. статья 1.9281 2.8523 3.1968 3.4435 3.5729

100 10 [60] 1.6390 2.2617 2.4729 2.6178 2.6921

[55] 1.6390 2.2617 2.4728 2.6173 2.6919

Наст. статья 1.6388 2.2616 2.4729 2.6180 2.6921

(V 2) 0 0 [60] 19.9550 30.8700 36.0936 42.4883 50.8901

[55] 19.9432 30.8500 36.0669 42.4470 50.8488

Наст. статья 19.9649 30.8868 36.1162 42.5234 50.9246

100 0 [60] 15.6991 20.0546 21.3127 23.1542 26.4513

[55] 15.6895 20.0411 21.2973 23.1373 26.4325

Наст. статья 15.7076 20.0668 21.3268 23.1705 26.4697

0 10 [60] 12.9991 14.9526 15.2360 16.0439 18.0222

[55] 12.9909 14.9423 15.2251 16.0336 18.0101

Наст. статья 13.0065 14.9621 15.2463 16.0545 18.0349

100 10 [60] 11.0480 11.8556 11.7857 12.1978 13.5791

[55] 11.0410 11.8474 11.7773 12.1906 13.5703

Наст. статья 11.0546 11.8634 11.7938 12.2056 13.5888

^ (0) 0 0 [60] 2.4618 2.4618 2.2650 2.0167 2.1981

[55] 2.3857 2.3857 2.1856 1.9296 2.1135

Наст. статья 2.5249 2.5249 2.3313 2.0904 2.2685

100 0 [60] 1.9368 1.5993 1.3375 1.0990 1.1425

[55] 1.8768 1.5498 1.2906 1.0518 1.0986

Наст. статья 1.9865 1.6404 1.3766 1.1391 1.1791

0 10 [60] 1.6037 1.1924 0.9561 0.7615 0.7784

[55] 1.3630 0.9455 0.7396 0.5790 0.5865

Наст. статья 1.6449 1.2231 0.9841 0.7892 0.8034

100 10 [60] 1.3207 0.9161 0.7137 0.5541 0.5640

[55] 1.5540 1.1555 0.9226 0.7289 0.7486

Наст. статья 1.3980 0.9698 0.7613 0.6000 0.6053

^ (V 3) 0 0 [60] 7.0652 6.1104 5.4409 5.7546 5.8937

[55] 7.0665 6.1111 5.4421 5.7567 5.8958

Наст. статья 7.0641 6.1098 5.4399 5.7528 5.8920

100 0 [60] 5.5584 3.9696 3.2128 3.1360 3.0634

[55] 5.5593 3.9699 3.2135 3.1379 3.0648

Наст. статья 5.5577 3.9694 3.2123 3.1346 3.0626

0 10 [60] 4.6024 2.9597 2.2968 2.1730 2.0872

[55] 4.6031 2.9599 2.2973 2.1745 2.0882

Наст. статья 4.6020 2.9597 2.2964 2.1719 2.0866

100 10 [60] 3.9116 2.3467 1.7766 1.6521 1.5726

[55] 3.9122 2.3468 1.7770 1.6533 1.5734

Наст. статья 3.9114 2.3467 1.7764 1.6512 1.5722

Таблица 3. Значения критической температуры потери устойчивости АТ однородной нанопластины без упругого основания и с упругим основанием (Н = 0.34 нм)

К s ц, нм b/a [55 Наст. статья

a/h = 5 10 25 50 a/h = 5 10 25 50

0, 0 0 1 41.3175 11.9782 2.0064 0.5050 41.3662 11.9818 2.0065 0.5050

2 27.7301 7.6392 1.2582 0.3159 29.0735 7.7356 1.2608 0.3160

3 24.9911 6.8161 1.1191 0.2808 25.2979 6.8381 1.1197 0.2809

1 1 5.2767 4.4240 1.5759 0.4727 5.7081 4.5200 1.5815 0.4731

2 5.2630 3.6954 1.0747 0.3030 5.5180 3.7420 1.0769 0.3031

3 5.2124 3.4979 0.9717 0.2706 5.2764 3.5092 0.9722 0.2706

3 1 0.6614 0.7318 0.5801 0.3127 0.7155 0.7477 0.5821 0.3130

2 0.7035 0.7203 0.4960 0.2282 0.7375 0.7294 0.4970 0.2283

3 0.7110 0.7147 0.4730 0.2093 0.7197 0.7170 0.4732 0.2094

100, 0 0 1 54.3074 15.2257 2.5260 0.6349 54.3561 15.2292 2.5261 0.6349

2 48.5139 12.8351 2.0896 0.5237 49.8573 12.9315 2.0922 0.5239

3 48.3729 12.6616 2.0544 0.5147 48.6797 12.6836 2.0550 0.5147

1 1 18.2666 7.6715 2.0955 0.6026 18.6980 7.7675 2.1011 0.6030

2 26.0469 8.8914 1.9061 0.5108 26.3018 8.9380 1.9083 0.5109

3 28.5942 9.3434 1.9069 0.5044 28.6582 9.3546 1.9074 0.5044

3 1 13.6513 3.9793 1.0997 0.4426 13.7054 3.9952 1.1017 0.4429

2 21.4873 5.9163 1.3273 0.4360 21.5214 5.9254 1.3284 0.4362

3 24.0928 6.5601 1.4083 0.4432 24.1015 6.5624 1.4085 0.4432

100, 10 0 1 79.9484 21.6360 3.5517 0.8913 79.9971 21.6395 3.5518 0.8913

2 74.1550 19.2454 3.1152 0.7801 75.4984 19.3418 3.1178 0.7803

3 74.0139 19.0719 3.0800 0.7711 74.3207 19.0938 3.0806 0.7711

1 1 43.9076 14.0818 3.1211 0.8590 44.3391 14.1777 3.1267 0.8594

2 51.6879 15.3016 2.9317 0.7672 51.9428 15.3482 2.9339 0.7674

3 54.2352 15.7536 2.9326 0.7608 54.2992 15.7649 2.9331 0.7608

3 1 39.2923 10.3895 2.1253 0.6991 39.3464 10.4054 2.1274 0.6993

2 47.1283 12.3266 2.3530 0.6925 47.1624 12.3356 2.3540 0.6926

3 49.7338 12.9704 2.4339 0.6996 49.7425 12.9727 2.4342 0.6996

оснований Винклера или Пастернака. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами работ [55, 58-60].

Значения нелокальной критической температуры потери устойчивости AT однородной нано-пластины без упругого основания и с упругим основанием при ц = 0, 1, 3 нм, b/a = 1, 2, 3 и a/h = 5, 10, 25, 50 приведены в табл. 3 в сравнении с данными работы [55]. Из таблицы видно хорошее соответствие результатов.

Во втором случае градиент характеристик материала ФГ пластин задается степенным законом, выраженным в форме уравнений (4) и (5). Влияние нелокального параметра ц, жесткости упруго-

го основания Кь К2 и параметра материала р на прогиб, нормальное напряжение в плоскости, напряжения поперечного и продольного сдвига, критическую нагрузку, а также критическую температуру потери устойчивости АТ представлено в табл. 4 и 5 и на рис. 3-7.

В табл. 4 приведены значения прогиба w и напряжений с использованием локальной (ц=0) и нелокальной модели (ц = 2) ФГ нанопластины квадратной формы без упругого основания и с упругим основанием для различных значений параметра материала р. Следует отметить, что наличие упругого основания приводит к значительному уменьшению значений прогиба и напряжений.

Таблица 4. Значения прогиба и напряжений ФГ нанопластины квадратной формы без упругого основания и с упругим основанием для различных значений параметра неоднородности материала (a/h = 10)

KW Ks p Источник ц = 0 ц = 2 нм

w V w V

0 0 0 [55] 2.9603 19.9550 2.4618 10.7450 5.2977 35.7108 4.4056 19.2289

Наст. статья 2.9597 19.9649 2.5249 10.7504 5.2966 35.7286 4.5185 19.2385

0.5 [55] 5.4971 29.6544 2.4559 4.4493 9.8374 53.0686 4.3950 7.9624

Наст. статья 5.4961 29.6708 2.5195 4.4510 9.8357 53.0979 4.5088 7.9653

2.5 [55] 8.8382 41.8345 2.1227 7.5813 15.8166 74.8658 3.7988 13.5671

Наст. статья 8.8388 41.8654 2.1934 7.5843 15.8177 74.9210 3.9253 13.5725

5.5 [55] 10.0219 50.4378 2.1679 8.1777 17.9350 90.2620 3.8796 14.6345

Наст. статья 10.0218 50.4728 2.2377 8.1817 17.9346 90.3245 4.0046 14.6418

10.5 [55] 11.1361 61.1311 2.3001 8.5915 19.9288 109.3982 4.1162 15.3751

Наст. статья 11.1324 61.1648 2.3634 8.5958 19.9222 109.4586 4.2294 15.3827

100 0 0 [55] 2.3290 15.6991 1.9368 8.4534 3.5671 24.0455 2.9664 12.9475

Наст. статья 2.3286 15.7076 1.9865 8.4580 3.5666 24.0591 3.0427 12.9549

0.5 [55] 3.6564 19.7250 1.6336 2.9595 5.1752 27.9183 2.3121 4.1888

Наст. статья 3.6560 19.7370 1.6760 2.9608 5.1748 27.9359 2.3722 4.1907

2.5 [55] 4.8847 23.1212 1.1732 4.1900 6.4599 30.5774 1.5515 5.5412

Наст. статья 4.8849 23.1375 1.2122 4.1916 6.4601 30.5987 1.6031 5.5432

5.5 [55] 5.2259 26.3004 1.1304 4.2642 6.7874 34.1591 1.4682 5.5383

Наст. статья 5.2258 26.3188 1.1668 4.2663 6.7873 34.1832 1.5155 5.5412

10.5 [55] 5.5135 30.2661 1.1388 4.2537 7.0545 38.7253 1.4571 5.4425

Наст. статья 5.5126 30.2878 1.1703 4.2565 7.0537 38.7549 1.4975 5.4464

100 100 0 [55] 0.4470 3.0133 0.3717 1.6226 0.4789 3.2284 0.3983 1.7383

Наст. статья 0.4470 3.0154 0.3813 1.6237 0.4789 3.2307 0.4086 1.7396

0.5 [55] 0.4805 2.5922 0.2147 0.3889 0.4998 2.6962 0.2233 0.4045

Наст. статья 0.4805 2.5940 0.2203 0.3891 0.4998 2.6981 0.2291 0.4047

2.5 [55] 0.4969 2.3522 0.1194 0.4263 0.5096 2.4120 0.1224 0.4371

Наст. статья 0.4969 2.3538 0.1233 0.4264 0.5096 2.4136 0.1265 0.4372

5.5 [55] 0.5003 2.5177 0.1082 0.4082 0.5115 2.5744 0.1107 0.4173

Наст. статья 0.5003 2.5194 0.1117 0.4084 0.5115 2.5762 0.1142 0.4176

10.5 [55] 0.5028 2.7599 0.1038 0.3879 0.5130 2.8160 0.1060 0.3957

Наст. статья 0.5028 2.7623 0.1067 0.3882 0.5130 2.8185 0.1089 0.3961

С другой стороны, на поведение напряжений при наличии упругого основания большое влияние оказывает изменение параметра неоднородности р. В случае отсутствия упругого основания прогиб увеличивается с увеличением параметра р. Кроме того, расчет прогиба и напряжений в рамках нелокальной модели всегда дает завышенные значения, что объясняется меньшей жесткостью пластины при использовании нелокальной модели по сравнению с локальной.

Значения критической нагрузки, а также разности критических температур потери устойчивости при продольном изгибе ФГ нанопластины квадратной формы без упругого основания и с упругим основанием для различных значений параметра р показаны в табл. 5. Приведенные данные получены с использованием локальных и нелокальных моделей пластин. Поскольку прочность пластины при использовании локальной модели выше по сравнению с расчетом для пла-

Таблица 5. Значения механической нагрузки N и критической температуры потери устойчивости AT ФГ нанопластины квадратной формы без упругого основания и с упругим основанием для различных значений параметра неоднородности (a/h = 10)

KW Ks Р Источник ц = 0 ц = 2 нм

N AT N AT

0 0 0 [55] 18.6876 11.9793 10.4425 6.6939

Наст. статья 18.6915 11.9818 10.4447 6.6953

0.5 [55] 10.0638 7.5745 5.6235 4.2326

Наст. статья 10.0655 7.5757 5.6246 4.2333

2.5 [55] 6.2593 5.6795 3.4976 3.1737

Наст. статья 6.2589 5.6791 3.4974 3.1735

5.5 [55] 5.5200 5.3680 3.0845 2.9996

Наст. статья 5.5201 5.3681 3.0846 2.9997

10.5 [55] 4.9677 5.0102 2.7759 2.7997

Наст. статья 4.9694 5.0119 2.7769 2.8006

100 0 0 [55] 23.7537 15.2267 15.5086 9.9414

Наст. статья 23.7576 15.2292 15.5108 9.9428

0.5 [55] 15.1298 11.3874 10.6896 8.0455

Наст. статья 15.1316 11.3887 10.6906 8.0462

2.5 [55] 11.3254 10.2763 8.5637 7.7705

Наст. статья 11.3250 10.2759 8.5635 7.7702

5.5 [55] 10.5860 10.2945 8.1506 7.9261

Наст. статья 10.5862 10.1213 8.1507 7.9262

10.5 [55] 10.0338 10.1196 7.8420 7.9091

Наст. статья 10.0355 10.1213 7.8429 7.9100

100 50 0 [55] 73.7537 47.2780 65.5086 41.9927

Наст. статья 73.7576 47.2805 65.5108 41.9941

0.5 [55] 65.1298 49.0196 60.6896 45.6777

Наст. статья 65.1316 49.0208 60.6906 45.6784

2.5 [55] 61.3254 55.6447 58.5637 53.1389

Наст. статья 61.3250 55.6443 58.5635 53.1386

5.5 [55] 60.5860 58.9175 58.1506 56.5491

Наст. статья 60.5862 58.9176 58.1507 56.5492

10.5 [55] 60.0338 60.5472 57.8420 58.3367

Наст. статья 60.0355 60.5489 57.8429 58.3376

стины по нелокальной модели, для изгиба последней требуется меньшая внешняя нагрузка или температура. Следует отметить, что наличие упругого основания приводит к заметному увеличению значений N и АТ. С другой стороны, критическая нагрузка потери устойчивости уменьшается с увеличением параметра неоднородности р. При этом зависимость температуры потери устойчивости от параметра р обусловлена наличием упругих оснований. Результаты сравнения пока-

зывают, что предлагаемая модель является достаточно точной.

Влияние параметра неоднородности материала (р = 0, 0.5, 1.5, 2.5, 3.5) на центральный прогиб, нормальное напряжение в плоскости, а также напряжения поперечного и продольного сдвига ФГ нанопластин иллюстрирует рис. 3. Следует напомнить, что при р = 0 пластина состоит из однородного материала со свойствами Р2. Из рисунка видно, что ФГ пластина имеет больший прогиб

Рис. 3. Влияние параметра неоднородности p на прогиб w (а), нормальное напряжение ôx в плоскости (б), напряжение поперечного сдвига xxz (в) и напряжение продольного сдвига х (a/h = 100) (г) ФГ на-нопластин на упругих основаниях (Kw = 100, Ks = 10, ц = 1 нм) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 4. Влияние жесткости упругого основания Kw, на прогиб w (а), нормальное напряжение ôx в плоскости (б), напряжение поперечного сдвига 'xxz (в) и напряжение продольного сдвига x (a/h = 10) (г) ФГ нано-пластин (p = 1.5, ц = 1 нм) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 5. Влияние нелокального коэффициента ц на прогиб w (а), нормальное напряжение ôx в плоскости (б), напряжение поперечного сдвига xxz (в) и напряжение продольного сдвига xxy (a/h = 10) (г) ФГ нанопластин на упругих основаниях (Kw = 100, Ks = 10) (цветной в онлайн-версии)

Рис. 6. Влияние параметра неоднородности р на критическую температуру потери устойчивости АТ (а) и критическую нагрузку N (б) ФГ нанопластин на упругих основаниях (Кщ = 100, К8 = 10, ц = 1 нм) (цветной в онлайн-версии)

по сравнению с однородной пластиной, который уменьшается с увеличением значения соотношения длины и толщины пластины. Также стоит отметить значительное влияние параметра неоднородности на распределение напряжений по толщине пластины. Напряжения продольного сдвига и нормальные напряжения в плоскости ФГ пластины изменяются по толщине нелинейно, тогда как в изотропных материалах данные напряжения изменяются линейно (рис. 3, б, г). Максимальное напряжение сдвига уменьшается с ростом параметра р.

При изменении параметров упругого основания значения прогиба и напряжений ФГ пластины изменяются схожим образом (рис. 4). Увеличение параметров упругого основания приводит к уменьшению прогиба и напряжений. По мере увеличения нелокального параметра прогиб и напряжения ФГ пластины увеличиваются (рис. 5).

На рис. 6 приведены зависимости критической нагрузки и критической температуры при продольном изгибе ФГ нанопластин (ц = 1 нм) в зависимости от отношения длины стороны пластины

ДГ,,

120

90

60

30

0

^ 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 UL

_ -KW=KS= 10

1 . \ - - Kw = 50, Ks= 10

■ -V\ .....^w-50. Д-15

- \\ \ -- KW=100,KS=10 -

Л \ \ Kw= 100, Ks = 20 -

V -

- Vw -

V ' V-

v '-4'4

v ' -Ч 4

1 , 1 . 1 , 1 i . i , i , i V "

12

16

20 a/h

Рис. 7. Влияние жесткости упругого основания (К-, К8) на критическую нагрузку N (а) и критическую температуру потери устойчивости АТ (б) ФГ нано-пластин при р = 1.5, р = 1 нм (цветной в онлайн-версии)

к толщине a/h для различных значений параметра неоднородности материала p. Из рисунка видно, что критическая нагрузка потери устойчивости увеличивается при увеличении отношения a/h и уменьшении параметра p, в то время как критическая температура имеет противоположное поведение.

По мере увеличения параметров Винклера KW или Пастернака Ks критическая нагрузка и критическая температура при продольном изгибе ФГ нанопластин увеличиваются (рис. 7). С другой стороны, увеличение нелокального параметра ^ приводит к уменьшению нагрузок потери устойчивости. Важно отметить, что нелокальный параметр ц оказывает влияние на нагрузку потери устойчивости в случае значительного уменьшения толщины пластины.

6. Заключение

В статье представлена четырехпараметричес-кая модель для описания статического поведения ФГ нанопластины на упругом основании Винкле-

ра-Пастернака. В рамках модели получено параболическое распределение напряжений поперечного сдвига по толщине пластины с помощью тригонометрической функции прогиба, что позволяет избежать введения поправочных коэффициентов при постановке задачи. В работе используется степенной закон распределения объемных долей компонентов материала, в соответствии с которым механические характеристики ФГ нано-пластины непрерывно изменяются от одной поверхности к другой. Рассмотрены задачи изгиба и потери механической и тепловой устойчивости нанопластины. С использованием энергетического принципа Гамильтона получены определяющие уравнения и их решение на основе решения Навье. На основе аналитического решения четырех дифференциальных уравнений определены статические характеристики, критическая нагрузка и критическая температура потери устойчивости ФГ нанопластин. Точность предлагаемой модели подтверждена сравнением с результатами других авторов. Во всех случаях показано хорошее соответствие для всех результатов (прогиб, напряжения, критическая температура потери устойчивости). Полученные результаты показывают, что поведение при изгибе, критическая нагрузка и температура потери устойчивости ФГ нанопластины зависят от значений нелокального параметра, параметра неоднородности материала, а также параметров и размеров упругих оснований Винклера и Пастернака. Вследствие этого можно сделать вывод, что предлагаемая модель проста, эффективна и дает корректную оценку статического поведения наноструктур с учетом различных параметров. В дальнейшем будет рассмотрено применение данной модели для других типов материалов [61-72].

Литература

1. Akbas S.D. Wave propagation of a functionally graded beam in thermal environments // Steel Compos. Struct. -2015. - V. 19. - No. 6. - P. 1421-1447. - https://doi.org/ 10.12989/SCS.2015.19.6.1421

2. Daouadji T.H., Hadji L. Analytical solution of nonlinear cylindrical bending for functionally graded plates // Geo-mech. Eng. - 2015. - V. 9. - No. 5. - P. 631-644. -https://doi.org/10.12989/GAE.2015.9.5.631

3. Ahmed R.A., Fenjan R.M., Faleh N.M. Analyzing post-buckling behavior of continuously graded FG nanobeams with geometrical imperfections // Geomech. Eng. -2019. - V. 17. - No. 2. - P. 175-180. - https://doi.org/10. 12989/gae.2019.17.2.175

4. Avcar M. Free vibration of imperfect sigmoid and power law functionally graded beams // Steel Compos. Struct. -2019. - V. 30. - No. 6. - P. 603-615. - https://doi.org/10. 12989/SCS.2019.30.6.603

5. Madenci E. A refined functional and mixed formulation to static analyses of FGM beams // Struct. Eng. Mech. -

2019. - V. 69. - No. 4. - P. 427-437. - https://doi.org/10. 12989/sem.2019.69.4.427

6. Selmi A. Exact solution for nonlinear vibration of clamped-clamped functionally graded buckled beam // Smart Struct. System. - 2020. - V. 26. - No. 3. - P. 361371. - https://doi.org/10.12989/SSS.2020.263.361

7. Vinyas M. On frequency response of porous functionally graded magneto-electro-elastic circular and annular plates with different electro-magnetic conditions using HSDT // Compos. Struct. - 2020. - V. 240. - P. 112044. -https://doi.org/10.1016/] .compstruct.2020.112044

8. Hadji L. Influence of the distribution shape of porosity on the bending of FGM beam using a new higher order shear deformation model // Smart Struct. Syst. - 2020. -V. 26. - No. 2. - P. 253-262. - https://doi.org/10.12989/ sss.2020.26.2.253

9. Rachedi M.A., Benyoucef S., Bouhadra A., Bachir Boui-adjra R., SekkalM., Benachour A. Impact of the homoge-nization models on the thermoelastic response of FG plates on variable elastic foundation // Geomech. Eng. -

2020. - V. 22. - No. 1. - P. 65-80. - https://doi.org/ 10.12989/gae.2020.22.1.065

10. Merzoug M., Bourada M., Sekkal M., Ali Chaibdra A., Belmokhtar C., Benyoucef S., Benachour A. 2D and quasi 3D computational models for thermoelastic bending of FG beams on variable elastic foundation: Effect of the micromechanical models // Geomech. Eng. - 2020. -V. 22. - No. 4. - P. 361-374. - https://doi.org/10.12989/ gae.2020.22.4.361

11. Craciunescu C.M., Wuttig M. New ferromagnetic and functionally grade shape memory alloys // J. Optoelectron Adv. Mater. - 2003. - V. 5. - No. 1. - P. 139-146. -https://doi.org/10.1002/chin.200339234

12. Fu Y., Du H., Zhang S. Functionally graded TiN/TiNi shape memory alloy films // J. Mater. Lett. - 2003. -V. 57. - No. 20. - P. 2995-2999. - https://doi.org/10. 1016/S0167-577X(02)01419-2

13. Fu Y., Du H., Huang W., Zhang S., Hu M. TiNi-based thin films in MEMS applications: A review // Sens. Ac-tuat. A. Phys. - 2004. - V. 112. - No. 2-3. - P. 395-408. -https://doi.org/10.1016/j.sna.2004.02.019

14. Witvrouw A., Mehta A. The use of functionally graded poly-SiGe layers for MEMS applications // Mater. Sci. Forum. - 2005. - V. 492. - P. 255-260. - https://doi.org/ 10.4028/www.scientific.net/MSF.492-493.255

15. Lee Z., Ophus C., Fischer L.M., Nelson-Fitzpatrick N., Westra K.L., Evoy S., Radmilovic V., Dahmen U., Mit-lin D. Metallic NEMS components fabricated from nano-composite Al-Mo films // J. Nanotechnol. - 2006. -V. 17. - No. 12. - P. 3063-3070. - https://doi.org/10. 1088/0957-4484/17/12/042

16. Fleck N., Muller G., Ashby M., Hutchinson J. Strain gradient plasticity: Theory and experiment // Acta Metall.

Mater. - 1994. - V. 42. - P. 475-487. - https://doi.org/ 10.1016/0956-7151(94)90502-9

17. Ma Q., Clarke D.R. Size dependent hardness of silver single crystals // J. Mater. Res. - 1995. - V. 10. - P. 853863. - https://doi.org/10.1557/JMR.1995.0853

18. Chong A., Yang F., Lam D., Tong P. Torsion and bending of micron-scaled structures // J. Mater. Res. - 2001. -V. 16. - P. 1052-1058. - https://doi.org/10.1557/JMR. 2001.0146

19. Yang F., Chong A.C.M., Lam D.C.C., Tong P. Couple stress based strain gradient theory for elasticity // Int. J. Solids Struct. - 2002. - V. 39. - P. 2731-2743. - https:// doi.org/10.1016/S0020-7683(02)00152-X

20. Attia M.A. On the mechanics of functionally graded nanobeams with the account of surface elasticity // Int. J. Eng. Sci. - 2017. - V. 115. - P. 73-101. - https://doi.org/ 10.1016/j.ijengsci.2017.03.011

21. Fenjan R.M., Faleh N.M., Ahmed R.A. Geometrical imperfection and thermal effects on nonlinear stability of microbeams made of graphene-reinforced nano-compo-sites // Adv. Nano Res. - 2020. - V. 9. - No. 3. - P. 147156. - https://doi.org/10.12989/ANR.2020.9.3.147

22. Aifantis E.C. Strain gradient interpretation of size effects // Int. J. Fract. - 1999. - V. 95. - P. 1-4. - https://doi.org/ 10.1007/978-94-011-4659-3_16

23. Sadeghi H., Baghani M., Naghdabadi R. Strain gradient elasticity solution for functionally graded micro-cylinders // Int. J. Eng. Sci. - 2012. - V. 50. - No. 1. - P. 22-30. -https://doi.org/10.1016/j.ijengsci.2011.09.006

24. Karami B., Karami S. Buckling analysis of nanoplate-type temperature-dependent heterogeneous materials // Adv. Nano Res. - 2019. - V. 7. - No. 1. - P. 51-61. -https://doi.org/10.12989/ANR.2019.7.1.051

25. Eringen A.C. Theory of micropolar plates // Z. Angew Math. Phys. - 1967. - V. 18. - P. 12-30. - https://doi.org/ 10.1007/BF01593891

26. Eringen A.C., Edelen D.G.B. On nonlocal elasticity // Int. J. Eng. Sci. - 1972. - V. 10. - P. 233-248. - https:// doi.org/10.1016/0020-7225(72)90039-0

27. Gurtin M.E., Weissmuller J., Larche F. The general theory of curved deformable interfaces in solids at equilibrium // Philos. Mag. A. - 1998. - V. 78. - No. 5. -P. 1093-1109. - https://doi.org/10.1080/0141861980823 9977

28. Eringen A.C. On differential equations of nonlocal elasticity and solutions of screw dislocation and surface waves // J. Appl. Phys. - 1983. - V. 54. - P 4703-4710. -https://doi.org/10.1063/L332803

29. Eringen A.C. Nonlocal Continuum Field Theories. - New York: Springer, 2002. - https://doi.org/10.1115/L155-3434

30. Reddy J.N. Nonlocal theories for bending, buckling and vibration of beams // Int. J. Eng. Sci. - 2007. - V. 45. -No. 2. - P. 288-307. - https://doi.org/10.1016/].ijengsci. 2007.04.004

31. Ece M.C., Aydogdu M. Nonlocal elasticity effect on vibration of in-plane loaded double-walled carbon nano-tubes // Acta Mech. - 2007. - V. 190. - No. 1-4. -P. 185-195. - https://doi.org/10.1007/s00707-006-0417-5

32. Reddy J.N., Pang S.D. Nonlocal continuum theories of beams for the analysis of carbon nanotubes // J. Appl. Phys. - 2008. - V. 103. - No. 2. - P. 023511. - https:// doi.org/10.1063/1.2833431

33. Aghababaei R., Reddy J.N. Nonlocal third-order shear deformation plate theory with application to bending and vibration of plates // J. Sound Vib. - 2009. - V. 326. -No. 1. - P. 277-289. - https://doi.org/10.1016/jjsv.2009. 04.044

34. Samaei A.T., Mirsayar M.M. Buckling analysis of multi-walled carbon nanotubes with consideration of small scale effects // J. Comput. Theor. Nanos. - 2011. - V. 8. -No. 11. - P. 2214-2219. - https://doi.org/10.1166/jctn. 2011.1946

35. Hashemi S.H., Samaei A.T. Buckling analysis of micro/ nanoscale plates via nonlocal elasticity theory // Physica E. - 2011. - V. 43. - No. 7. - P. 1400-1404. - https:// doi.org/10.1016/j.physe.2011.03.012

36. Ke L.L, Wang Y.S, Yang J., Kitipornchai S. Free vibration of size-dependent magneto-electro-elastic nanoplates based on the nonlocal theory // Acta Mech. Sin. - 2014. -V. 30. - No. 4. - P. 516-525. - https://doi.org/10.1007/ s10409-014-0072-3

37. Shahsavari D., Karami B., Janghorban M. Size-dependent vibration analysis of laminated composite plates // Adv. Nano Res. - 2019. - V. 7. - No. 5. - P. 337-349. -https://doi.org/10.12989/ANR.2019.7.5.337

38. Gafour Y., Hamidi A., Benahmed A., Zidour M., Bensat-talah T. Porosity-dependent free vibration analysis of FG nanobeam using non-local shear deformation and energy principle // Adv. Nano Res. - 2020. - V. 8. - No. 1. -P. 37-47. - https://doi.org/10.12989/anr.2020.8.1.037

39. Bouhadra A., Menasria A., Rachedi M.A. Boundary conditions effect for buckling analysis of porous functionally graded nanobeam // Adv. Nano Res. - 2021. - V. 10. -No. 4. - P. 313-325. - https://doi.org/10.12989/ANR. 2021.10.4.313

40. Natarajan S., Chakraborty S., Thangavel M., Bordas S., Rabczuk T. Size-dependent free flexural vibration behavior of functionally graded nanoplates // Comput. Mater. Sci. - 2012. - V. 65. - P. 74-80. - https://doi.org/10. 1016/j.commatsci.2012.06.031

41. Eltaher M.A., Emam S.A., Mahmoud F.F. Free vibration analysis of functionally graded size-dependent nano-beams // Appl. Math. Comput. - 2012. - V. 218. -No. 14. - P. 7406-7420. - https://doi.org/10.1016/j.amc. 2011.12.090

42. Hashemi S.H., Bedroud M., Nazemnezhad R. An exact analytical solution for free vibration of functionally graded circular/annular Mindlin nanoplates via nonlocal elasticity // Compos. Struct. - 2013. - V. 103. - P. 108118. - https://doi.org/10.1016/j.compstruct.2013.02.022

43. Nazemnezhad R., Hashemi S.H. Nonlocal nonlinear free vibration of functionally graded nanobeams // Comp. Struct. - 2014. - V. 110. - P. 192-199. - https://doi.org/ 10.1016/j.compstruct.2013.12.006

44. Hashemi S.H., Nazemnezhad R., Bedroud M. Surface effects on nonlinear free vibration of functionally graded nanobeams using nonlocal elasticity // Appl. Math.

Model. - 2014. - V. 38. - No. 14. - P. 3538-3553. -https://doi.org/10.1016/j.apm.2013.11.068

45. Hashemi S.H., Nahas I., Fakher M., Nazemnezhad R. Surface effects on free vibration of piezoelectric functionally graded nanobeams using nonlocal elasticity // Acta Mech. - 2014. - V. 225. - No. 6. - P. 1555-1564. -https://doi.org/10.1007/s00707-013-1014-z

46. AzandarianiM.G., GholamiM., NikzadA. Eringen's nonlocal theory for non-linear bending analysis of BGF Ti-moshenko nanobeams // Adv. Nano Res. - 2022. -V. 12. - No. 1. - P. 37-47. - https://doi.org/10.12989/ ANR.2022.12.1.037

47. Yi W. Intelligent computer modelling and simulation for the large amplitude of nano systems // Adv. Nano Res. -2022. - V. 13. - No. 1. - P. 63-75. - https://doi.org/10. 12989/ANR.2022.13.1.063

48. Zhang R., Cao Y. Computational mathematical modeling of the nonlinear vibration characteristics of AFG truncated conical nano pipe based on the nonlocal strain gradient theory // Steel Compos. Struct. - 2022. - V. 42. -No. 5. - P. 599-615. - https://doi.org/10.12989/SCS. 2022.42.5.599

49. Huang X., Shan H., Chu W., Chen Y. Computational and mathematical simulation for the size-dependent dynamic behavior of the high-order FG nanotubes, including the porosity under the thermal effects // Adv. Nano Res. -2022. - V. 12. - No. 1. - P. 101-115. - https://doi.org/10. 12989/ANR.2022.12.1.101

50. Hosseini S.A.H., Rahmani O., Bayat S. A new solution for dynamic response of FG nonlocal beam under moving harmonic load // Steel Compos. Struct. - 2022. - V. 43. -No. 2. - P. 185-200. - https://doi.org/10.12989/SCS. 2022.43.2.185

51. Kaur I., Lata P., Singh K. Thermoelastic damping in generalized simply supported piezo-thermo-elastic nanobeam // Struct. Eng. Mech. - 2022. - V. 81. - No. 1. -P. 29-37. - https://doi.org/10.12989/SEM.2022.81.L029

52. Thanh C.L., Nguyen T.N., Vu T.H., Khatir S., Abdel Wa-hab M. A geometrically nonlinear size-dependent hypothesis for porous functionally graded micro-plate // Eng. Comp. - 2022. - V. 38. - No. 1. - P. 449-460. - https:// doi.org/10.1007/s00366-020-01154-0

53. Le T.C., Nguyen K.D., Le M.H., To T.S., Vu P.P., Abdel Wahab M. Nonlocal strain gradient IGA numerical solution for static bending, free vibration and buckling of sig-moid FG sandwich nanoplate // Physica B. Condens. Matter. - 2022. - V. 631. - P. 413726. - https://doi.org/ 10.1016/j.physb.2022.413726

54. Zhang Z., Yang Q., Jin C. Axisymmetric vibration analysis of a sandwich porous plate in thermal environment rested on Kerr foundation // Steel Compos. Struct. -2022. - V. 43. - No. 5. - P. 581-601. - https://doi.org/ 10.12989/SCS.2022.43.5.581

55. Sobhy M. A comprehensive study on FGM nanoplates embedded in an elastic medium // Compos. Struct. -2015. - V. 134. - P. 966-980. - https://doi.org/10.1016/ j.compstruct.2015.08.102

56. Shahsavari D., Shahsavari M., Li L., Karami B. A novel quasi-3D hyperbolic theory for free vibration of FG plates

with porosities resting on Winkler/Pasternak/Kerr foundation // Aerosp. Sci. Technol. - 2018. - V. 72. - P. 134149. - https://doi.org/10.1016/j.ast.2017.11.004

57. Wang Q. Wave propagation in carbon nanotubes via nonlocal continuum mechanics // J. Appl. Phys. - 2005. -V. 98. - P. 124301. - https://doi.org/10.1002/pse.202

58. Carrera E., Brishetto S., Robaldo A. Variable kinematic model for the analysis of functionally graded material plates // AIAA J. - 2008. - V. 46. - P. 194-203. - https:// doi.org/10.2514/1.32490

59. Zenkour A.M. Generalized shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates // Appl. Math. Model. - 2006. - V. 30. - P. 67-84. - https://doi. org/10.1016/j.apm.2005.03.009

60. Ameur M., Tounsi A., Mechab I., Bedia E.A. A new trigonometric shear deformation theory for bending analysis of functionally graded plates resting on elastic foundations // KSCE J. Civil. Eng. - 2011. - V. 15. - P. 14051414. - https://doi.org/10.1007/s12205-011-1361-z

61. Rajabi J., Mohammadimehr M. Bending analysis of a micro sandwich skew plate using extended Kantorovich method based on Eshelby-Mori-Tanaka approach // Comput. Concr. - 2019. - V. 23. - No. 5. - P. 361-376. -https://doi.org/10.12989/cac.2019.23.5.361

62. Mehar K., Panda S.K. Multiscale modeling approach for thermal buckling analysis of nanocomposite curved structure // Adv. Nano Res. - 2019. - V. 7. - No. 3. - P. 181190. - https://doi.org/10.12989/ANR.2019.7.3.181

63. Jena S.K., Chakraverty S., MalikanM., Tornabene F. Stability analysis of single-walled carbon nanotubes embedded in winkler foundation placed in a thermal environment considering the surface effect using a new refined beam theory // Mech. Based Design Struct. Machin. -2019. - P. 1-15. - https://doi.org/10.1080/15397734.2019. 1698437

64. Kiani Y. NURBS-based thermal buckling analysis of gra-phene platelet reinforced composite laminated skew plates // J. Thermal Stress. - 2019. - P. 1-19. - https:// doi.org/10.1080/01495739.2019.1673687

65. Al-Basyouni K.S., Ghandourah E., Mostafa H.M., Algar-ni A. Effect of the rotation on the thermal stress wave propagation in non-homogeneous viscoelastic body // Geo-mech. Eng. - 2020. - V. 21. - No. 1. - P. 1-9. - https:// doi.org/10.12989/GAE.2020.21.1.001

66. EltaherM.A., MohamedS.A., Melaibari A. Static stability of a unified composite beams under varying axial loads // Thin-Wall. Struct. - 2020. - V. 147. - P. 106488. - https:// doi.org/10.1016/j.tws.2019.106488

67. Bharath H.S., Waddar S., Bekinal S.I., Jeyaraj P., Dod-damani M. Effect of axial compression on dynamic response of concurrently printed sandwich // Compos. Struct. - 2020. - P. 113223. - https://doi.org/10.1016/ j.compstruct.2020.113223

68. Timesli A. Prediction of the critical buckling load of SWCNT reinforced concrete cylindrical shell embedded in an elastic foundation // Comp. Concr. - 2020. -V. 26. - No. 1. - P. 53-62. - https://doi.org/10.12989/ CAC.2020.26.1.053

69. Yaylaci M., Avcar M. Finite element modeling of contact between an elastic layer and two elastic quarter planes // Comp. Concr. - 2020. - V. 26. - No. 2. - P. 107-114. -https://doi.org/10.12989/CAC.2020.26.2.107

70. Pirmoradian M., Torkan E., Toghraie D. Study on size-dependent vibration and stability of DWCNTs subjected to moving nanoparticles and embedded on two-parameter foundations // Mech. Mater. - 2020. - V. 142. - P. 103279. https://doi.org/10.1016/j.mechmat.2019.103279

71. Pirmoradian M., Torkan E., Abdali N., Hashemian M., Toghraie D. Thermo-mechanical stability of single-layered graphene sheets embedded in an elastic medium under action of a moving nanoparticle // Mech. Mater. -2020. - V. 141. - P. 103248. - https://doi.org/10.1016/-j.mechmat.2019.103248

72. Nguyen K.D., Thanh C.L., Nguyen-Xuan H., Abdel Wa-hab M. A hybrid phase-field isogeometric analysis to crack propagation in porous functionally graded structures // Eng. Comp. - 2021. - https://doi.org/10. 1007/s00366-021-01518-0

Поступила в редакцию 21.07.2022 г., после доработки 31.10.2022 г., принята к публикации 06.11.2022 г.

Сведения об авторах

Radia Bentabet, Dr., University of Sidi Bel Abbes, Algeria, bentabet@gmail.com

Amina Attia, Dr., University of Ain Temouchent, Algeria, amina.attia@yahoo.com

Mahmoud M. Selim, Dr., Prince Sattam bin Abdulaziz University, Saudi Arabia, selim@yahoo.com

Abdelbaki Chikh, Dr., University of Sidi Bel Abbes, Ibn Khaldoun University, Algeria, cheikhabdelbakki@yahoo.fr

Fouad Bourada, Dr., University of Sidi Bel Abbes, Université de Tissemsilt, Algeria, bouradafouad@yahoo.fr

Abdelmoumen Anis Bousahla, Dr., University of Sidi Bel Abbes, Algeria, bousahla.anis@gmail.com

Mofareh Hassan Ghazwani, Dr., Jazan University, Saudia Arabia, ghazwani@jazanu.edu.sa

Abdelouahed Tounsi, Prof., University of Sidi Bel Abbes, Algeria; Yonsei University, Korea; King Fahd University of Petroleum & Minerals, Saudi Arabia, tou_abdel@yahoo.com